Phương pháp quỹ đạo và ứng dụng vào giải một số bài toán tổ hợp dành cho học sinh khá giỏi

1 1.2 Một số nguyên lý, tính chất của toán tổ hợp thường được vận dụng vào giải bài toán đếm của toán tổ hợp.. 4 1.3 Một số phương pháp giải bài toán đếm của toán tổ hợp trong phạm vi ch

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

1.1 Bài toán đếm trong toán tổ hợp 1

1.2 Một số nguyên lý, tính chất của toán tổ hợp thường được vận dụng vào giải bài toán đếm của toán tổ hợp 4

1.3 Một số phương pháp giải bài toán đếm của toán tổ hợp trong phạm vi chương trình toán THPT 4

1.3.1 Đếm trực tiếp 4

1.3.2 Đếm theo vị trí 6

1.3.3 Đếm loại trừ 7

1.3.4 Chọn tập con trước, sắp xếp sau 7

1.3.5 Đếm theo “vách ngăn” 8

1.3.6 Sử dụng nguyên lý bù trừ 9

1.3.7 Sử dụng tính chất của song ánh 11

1.3.8 Sử dụng hàm sinh 13

Chương 2 Vận dụng phương pháp “quỹ đạo” vào giải một số bài toán tổ hợp 15 2.1 Phương pháp “quỹ đạo” 15

2.1.1 Quan niệm về “quỹ đạo” 15

2.1.2 Một số tính chất về “quỹ đạo” 16

2.2 Một số vận dụng 20

2.2.1 Bài toán sắp hàng 20

2.2.2 Bài toán bỏ phiếu 23

2.2.3 Quy tắc Pascal 24

Lời nói đầu

Phương pháp “quỹ đạo” không chỉ ứng dụng được vào giải một số bài toán

tổ hợp liên quan đến lưới nguyên mà còn có thể vận dụng được để đưa ra lờigiải cho một số bài toán về dãy số Mặt khác, với các bài toán tối ưu hóa quenthuộc trong kinh tế, kỹ thuật như: Tìm đường đi ngắn nhất, tìm chu trình đitối ưu nhất thì ngoài các phương pháp quen thuộc như quy hoạch động, thửsai quay lui ta có thể vận dụng tư tưởng của phương pháp “quỹ đạo” để đưa

ra các thuật toán “tốt” hơn

Xuất phát từ thực tế trên và với mục đích tích lũy thêm các kiến thức vềcách giải bài toán đếm của toán tổ hợp với phương pháp “quỹ đạo” và vận dụngvào giải một số bài toán đếm trong các đề thi học sinh giỏi trong nước và quốc

tế làm tư liệu cho công việc giảng dạy của bản thân, em đã lựa chọn hướngnghiên cứu vận dụng phương pháp “quỹ đạo” vào giải một số bài toán đếm.Luận văn tập trung vào hoàn thành các nhiệm vụ chính sau

• Tìm hiểu về bài toán đếm của toán tổ hợp và các nguyên lý, tính chất củatoán tổ hợp thường được vận dụng để đưa ra lời giải cho các bài toán đếm

• Ý tưởng toán học của phương pháp “quỹ đạo” trong việc tìm lời giải chobài toán đếm của toán tổ hợp

• Sưu tầm một số bài toán, đề thi về bài toán đếm của toán tổ hợp dành chohọc sinh giỏi.

• Đưa ra ý nghĩa của khái niệm “quỹ đạo” và phương pháp “quỹ đạo” thôngqua thuật toán đường đi của con Robot

2 Nội dung của đề tài luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chươngChương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Bài toán đếm trong toán tổ hợp

1.2 Một số nguyên lý, tính chất của toán tổ hợp thường được vận dụng vàogiải bài toán đếm của toán tổ hợp

1.3 Một số phương pháp giải bài toán đếm của toán tổ hợp trong phạm vichương trình toán Trung học phổ thông

Chương 2 Vận dụng phương pháp “quỹ đạo” vào giải một số bài toán

tổ hợp

2.1 Phương pháp “quỹ đạo”

2.2 Một số vận dụng

2.3 Ý nghĩa của khái niệm “quỹ đạo” và phương pháp “quỹ đạo”

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầyPGS TS Trịnh Thanh Hải, các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, trường Đạihọc Khoa học cùng toàn thể các bạn trong lớp Cao học K11 đã tạo mọi điềukiện, nhiệt tình ủng hộ em trong suốt quá trình làm luận văn Em xin bày tỏlòng biết ơn chân thành, sâu sắc với tất cả những đóng góp quý báu của thầy

cô và các bạn đặc biệt là thầy PGS TS Trịnh Thanh Hải Tuy đã có nhiều cốgắng trong quá trình làm luận văn, nhưng do thời gian và kiến thức còn hạnchế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được sựgóp ý của quý thầy, cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2019

Tác giả luận văn

Phạm Thị Quỳnh Phương

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Bài toán đếm trong toán tổ hợp

Trong toán tổ hợp, bài toán đếm là bài toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có baonhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đã cho?”

Phương pháp đếm thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lý đếm và một sốkết quả đếm cho các cấu hình tổ hợp đơn giản

Hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân

Hai quy tắc đếm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 (a) Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi mộttrong hai hành động Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hànhđộng thứ hai có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hànhđộng thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện

(b) Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có ncách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc

Hoán vị

Định nghĩa 1.1.2 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi kết quả của sựsắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tửđó

Chỉnh hợp

Định nghĩa 1.1.3 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết quả của việclấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo mộtthứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

hợp A Tiếp tục thao tác này k lần (k không nhất thiết nhỏ hơn hoặc bằng m

A Một dãy như thế gọi là một chỉnh hợp có lặp chập k của m phần tử đã cho.Tập hợp tất cả các chỉnh hợp có lặp chập k lập nên từ các phần tử của một tập

Chứng minh Rõ ràng có m cách chọn một phần tử từ tập m phần tử cho mỗimột trong k vị trí của chỉnh hợp khi cho phép lặp Vì vậy theo quy tắc nhân,

Hoán vị lặp

Trong bài toán đếm, một số phần tử có thể giống nhau Khi đó cần phải cẩnthận, tránh đếm chúng hơn một lần

k > n

Chứng minh Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử có thể biểu diễn bằngmột dãy n − 1 thanh đứng để phân cách các ngăn Ngăn thứ i chứa thêm mộtngôi sao mỗi lần khi phần tử thứ i của tập xuất hiện trong một tổ hợp Mỗidãy n − 1 thanh và k ngôi sao ứng với một tổ hợp lặp chập k của n phần tử

Do đó mỗi dãy ứng với một cách chọn k chỗ cho k ngôi sao từ n + k − 1 chỗchứa n − 1 thanh và k ngôi sao Đó là điều cần chứng minh

Chú ý Số tổ hợp có lặp chập p của n là Cnp = Cn+p−1p = Cn+p−1n−1 Tổ hợp có lặplại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của các phần tử khôngcần để ý.

1.2 Một số nguyên lý, tính chất của toán tổ hợp thường được vận

dụng vào giải bài toán đếm của toán tổ hợp

• Nguyên lý cộng: Nếu A, B là các tập hợp không giao nhau thì

Ví dụ 1.3.2 Từ các chữ số thuộc tập hợp S = {1; 2; 3; ; 8; 9} có bao nhiêu

số có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 2, chữ số 3 đứngtrước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ số 6?

1.3.3 Đếm loại trừ

• Ý tưởng

Nội dung: Đếm loại trừ theo hai bước

+ Bước 2: Đếm số phương án xảy ra không thỏa mãn yêu cầu bài toán ta cókết quả n2

+ Bước 1: Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tính chất mà bài toán

+ Bước 2: Sắp xếp

• Chú ý: Những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt

• Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.3.5 Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Có bao nhiêu số tự nhiên có

5 chữ số khác nhau sao cho:

a) Luôn có mặt hai chữ số 2, 3

b) Luôn có mặt hai chữ số 2, 3 và hai chữ số này luôn đứng kề nhau

Lời giải

+ Lấy ra 5 số từ tập A:

+ Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn

+ Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu bài toán từ m + 1 vách ngănnói trên

• Nhận xét:

1 Hầu hết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương pháp trên

để giải quyết, tuy nhiên sự linh hoạt của phương pháp tùy thuộc vào khảnăng của từng học sinh

2 Đối với bài toán mà tập ban đầu có số 0 ta xét các trường hợp xem số 0

• Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.3.6 Cần sắp xếp 2 thầy giáo và 6 học sinh vào một dãy ghế dài saocho 2 thầy giáo không ngồi cạnh nhau

Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng

để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc Để tính đúng số cách thựchiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cáchlàm đồng thời cả hai việc

Ta có thể phát biểu nguyên lý đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp

|A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| − |A1 ∩ A2|

|A1∪ A2 ∪ A3| = |A1|+|A2|+|A3|−|A1∩ A2|−|A2∩ A3|−|A3∩ A1|+|A1 ∩ A2 ∩ A3|

hữu hạn U nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của U sao cho không thỏa

trong trường hợp các số này dễ tính toán hơn

• Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.3.7 Một chuyến bay có 67 hành khách Trong đó có 47 người sử dụngtốt tiếng Anh, 35 người sử dụng tốt tiếng Đức, 20 người sử dụng tốt tiếng Pháp.Hơn nữa có 23 người sử dụng tốt hai thứ tiếng Anh và Đức, 12 người sử dụngtốt hai tiếng Anh và Pháp, 11 người sử dụng tốt hai tiếng Đức và Pháp Và có

5 người sử dụng tốt cả ba thứ tiếng Tìm số hành khách không sử dụng đượcbất kì ngoại ngữ nào?

Vậy số hành khách không sử dụng được bất kì ngoại ngữ nào là 67 − 61 = 6

Ví dụ 1.3.8 Rút ngẫu nhiên 13 quân bài từ bộ bài 52 quân Tính xác suất đểtrong 13 quân đó có “tứ quý”

Lời giải

đó có 4 quân bài giống nhau (về số)

(lấy 4 con A và 9 con bất kỳ từ 48 con còn lại) Với các quân bài khác cũng vậy

Trong lời giải trên, chúng ta đã đếm lặp Cụ thể là những cách rút bài có hai

tứ quý, chẳng hạn tứ quý K và tứ quý A được đếm hai lần: một lần ở tứ quý

A và một lần ở tứ quý K Nhưng ta đang đếm không phải là số tứ quý mà là

số lần gặp tứ quý Như thế, những lần đếm lặp đó phải trừ đi Dễ thấy, số cách

tức là với một người chơi bài ngẫu nhiên, cứ trung bình 29 lần sẽ có 1 lần đạt

tứ quý Xác suất có 1 tứ quý trong 1 ván chơi cao hơn và cũng có thể tính bằng

phương pháp thêm bớt

P ∼ 4p6p2 + 4p3p4 = 0.1299

tức là cứ khoảng 8 ván sẽ có xuất hiện một tứ quý

Ví dụ 1.3.9 Có bao nhiêu cách xếp 8 con xe lên bàn cờ quốc tế đã bị gạch đimột đường chéo chính sao cho không có con nào ăn con nào?

Lời giải

Có 8! cách xếp 8 con xe lên bàn cờ quốc tế sao cho không có con nào ăn connào Ta cần đếm số cách xếp không hợp lệ, tức là số cách xếp có ít nhất mộtcon xe nằm trên đường chéo

!

Định nghĩa 1.3.1 Cho ánh xạ f : X → Y

có nhiều nhất một x ∈ X sao cho y = f (x) Người ta còn gọi một đơn ánh

f : X → Y là một ánh xạ một đối một

Ánh xạ f được gọi là một toàn ánh nếu f (X) = Y , nói một cách khác, nếu vớimọi y ∈ Y có ít nhất một x ∈ X sao cho y = f (x) Người ta còn gọi một toànánh f : X → Y là một ánh xạ từ X lên Y

Ánh xạ f được gọi là một song ánh hay một ánh xạ một đối một từ X lên Y ,nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nói một cách khác nếu với mọi y ∈ Y

có một và chỉ một x ∈ X sao cho y = f (x)

Phương pháp song ánh dựa vào một ý tưởng rất đơn giản: Nếu tồn tại mộtsong ánh từ A vào B thì |A| = |B| Do đó muốn chứng minh hai phần tử có

cùng số phần tử, chỉ cần xây dựng một song ánh giữa chúng Hơn nữa ta có thểđếm được số phần tử của một tập hợp A bằng cách xây dựng một song ánh từ

A vào một tập hợp B mà ta đã biết cách đếm số phần tử Bởi B có cùng sốphần tử với A nhưng có cấu trúc được mô tả khác A nên ta có thể đếm được

số phần tử của B dễ dàng hơn việc đếm số phần tử của A

Ví dụ 1.3.10 Có một nhóm người mà trong đó mỗi cặp không quen nhau cóđúng hai người quen chung, còn mỗi cặp quen nhau thì không có người quenchung Chứng minh số người quen của mỗi người là như nhau

Lời giải

Nếu a quen b và tập các người quen của a và b (không kể a, b) lần lượt là A

b không quen nhau, hơn nữa họ đã có một người quen chung là a) Tương tựmỗi người thuộc B cũng quen với duy nhất một người thuộc A Vậy tồn tại mộtsong ánh đi từ A tới B, tức a và b có số người quen bằng nhau

Nếu a không quen b thì tồn tại c quen cả a và b Do đó số người quen của a và

b bằng nhau do cùng bằng số người quen của c (suy ra từ trên)

Ví dụ 1.3.11 Xét tập A = {1, 2, , n} Đối với mỗi tập con không trống của

A chúng ta xác định duy nhất một tổng đan dấu theo quy tắc sau:

Xếp các số của tập con theo thứ tự tăng dần và gán luân phiên các dấu cộng,trừ cho các số liên tiếp theo thứ tự của tập con sao cho số lớn nhất có dấu cộng.Hãy tìm tổng của tất cả các tổng đan dấu

Lời giải

Quy ước tổng đan dấu của tập trống có giá trị 0 Mỗi tập con của A được chialàm hai loại:

Loại 1: Có chứa n

Loại 2: Không chứa n

Các tập con loại 1 và loại 2 có số phần tử bằng nhau vì tồn tại một song ánhgiữa chúng như sau:

Bài toán này có thể giải quyết dễ dàng bằng công thức tổ hợp.

Nhưng lần này chúng ta sẽ sử dụng hàm sinh Cụ thể:

1 cách chọn 0 phần tử

1 cách chọn 1 phần tử

0 cách chọn 2 phần tử trở lên

Ta có Ck0 + Ck1 + Ck2 + + Ckk = (1 + x)k.

biệt từ tập k phần tử

Ví dụ 1.3.13 Có bao nhiêu cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử,trong đó cho phép một phần tử có thể được chọn nhiều lần

Chương 2

Vận dụng phương pháp “quỹ đạo” vào giải một số bài toán tổ hợp

2.1 Phương pháp “quỹ đạo”

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày về phương pháp “quỹ đạo” và một sốtính chất liên quan

Định nghĩa 2.1.1 Trong hệ tọa độ Oxy, mỗi điểm có các tọa độ đều nguyêngọi là một điểm nguyên và tập hợp các điểm nguyên gọi là lưới điểm nguyên(hay lưới Gauss)

Định nghĩa 2.1.2 Trong hệ tọa độ Oxy, người ta gọi một đường đi từ M tới

N là một đường gấp khúc nối M và N , còn đường đi ngắn nhất là đường gấpkhúc tạo bởi các đoạn thẳng đơn vị ngang và dọc sao cho số đoạn thẳng là ítnhất Phương pháp chứng minh một công thức tổ hợp bởi số đường đi ngắnnhất gọi là phương pháp “quỹ đạo”

Chú ý 2.1.1 Để thuận lợi, trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường đingắn nhất từ O(0, 0) đến điểm A(k, n) như sau:

Chỉ đi theo hướng dương của trục tọa độ và chỉ được phép đổi hướng đi (đổi

từ hướng dương của trục tọa độ này sang hướng dương của trục tọa độ kia) tạiđiểm có tọa độ nguyên

Định nghĩa 2.1.3 Giả sử m và n là các số nguyên và m > 0 Ta gọi một “quỹđạo” từ gốc tọa độ O(0, 0) đến điểm A(m, n) là đường gấp khúc nối các điểmO(0, 0); (1, s1), , (k, sk), , A(m, sm), trong đó sm = n,

là bằng Cn+kk

Chẳng hạn, với trường hợp n = m = 3, ta có lưới:

111

1234

410

20BA

Theo mệnh đề 2.1.1 thì số đường đi ngắn nhất từ D đến B sẽ là C63.

Hệ quả 2.1.1

Cn+kk = Cn+knChứng minh Nếu ta xét n đoạn dọc thay cho k đoạn ngang thì khi đó số đường

ii) Số đường đi ngắn nhất từ điểm O(0, 0) đến điểm A(k, n) đi qua điểm J (p, q)bằng

Cp+qp · C(k−p)+(n−q)k−p Định lý 2.1.1 (Nguyên lý đối xứng gương) Giả sử A (a; α), B (b; β) là các

đối xứng với A qua trục Ox Khi đó số các “quỹ đạo” từ A đến B cắt trục Ox

Chứng minh Mỗi một “quỹ đạo” T từ A đến B, cắt trục Ox hoặc có điểm chung

đoạn “quỹ đạo” T từ A cho đến điểm gặp nhau đầu tiên giữa T và Ox và lấy

đầu tiên và lấy đối xứng đoạn này qua Ox) Như vậy ta đã thiết lập được songánh từ tập hợp các “quỹ đạo” từ A đến B cắt Ox vào tập hợp các “quỹ đạo” từ

Mệnh đề 2.1.2 Giả sử S[m, n] là số tất cả các “quỹ đạo” nối điểm O(0, 0) vớiđiểm A(m, n) Khi đó

Chứng minh Chú ý rằng tất cả các “quỹ đạo” nối điểm O(0, 0) với điểm A(m, n)

và không cắt trục hoành phải đi qua điểm P (1, 1) Số “quỹ đạo” đi từ P đến Abằng S[m − 1, n − 1] Số “quỹ đạo” đi từ điểm P đến điểm A và cắt trục hoành

trên trục hoành và không có điểm chung khác với trục hoành nhất thiết

phải đi qua điểm T1(2n − 1, 1) Theo Mệnh đề 2.1.3, số “quỹ đạo” nối điểm

n−1 2n−2 = B2n−2

2 Ta xét “quỹ đạo” nối điểm O với T và không có đỉnh nằm dưới trục hoành

điểm O có tọa độ (1, 1) Số “quỹ đạo” nối điểm O với điểm T và không có

có 2k cạnh nằm trên trục hoành và 2n − 2k cạnh còn lại nằm dưới trục hoành

Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp theo n ta chứng minh được

B2k,2n =

n X i=1