Một số vấn đề hiện đại trong đại số hình học tôpô

M ụ c tiê u và nội dung:Đề tài tiếp tục đi sâu vào các hướng nghiên cứu hiện đại trong Đại số - Hình học và Tôpõ đã được giới thiệu, khai thác, và bước đầu tìm hiểu trong đề tài QT0706

ĐẠI HỌC QUỒC GIA HÀ NỘI

T Ê N ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ HIỆN ĐẠI TRONG ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC - TÔ PÔ

M ục lục

1 BÁO CÁO TÓM T Ắ T 2

2 ABSTRACT 5

3 PHẦN CHÍNH CỦA BÁO C Á O 8

3.1 Mở đầu 8

3.2 Đối đồng điều của đại số Steenrod và đồng cấu chuyển Singer 8

3.3 Đai số D v e r - L a s h o f 10

3.4 Biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát 11

3.5 Ghép cặp trên elliptic và ứng d ụ n g 12

3.6 Kết l u ậ n 15

3.7 Tài liệu th am k h ả o 15

1

1

M ụ c tiê u và nội dung:

Đề tài tiếp tục đi sâu vào các hướng nghiên cứu hiện đại trong Đại số - Hình học và Tôpõ

đã được giới thiệu, khai thác, và bước đầu tìm hiểu trong đề tài QT0706 trước đó Các nội dung cụ thể là:

- Tiếp tục ph át triển hướng nghiên cứu chủ đạo của nhóm là đại số Steenrod và ứng dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm, lý thuyết bất biến modular, hình học và tổ hợp.

- Nghiên cứu cấu trú c của đại số Dyer-Lashof (trên trường có 2 phần tử).

- Nghiên cứu vành biểu diễn của nhóm tuyến tính vô hạn.

- Nghiên cứu lý thuyết đường cong elliptic và hệ m ã dựa trên chúng.

Chúng tôi đã bước đầu hình thành nhóm nghiên cứu với hướng đi mới cụ thể là các ứng dụng của đại số, hình học đại số trong lý thuyết m ật mã: đồng thời tiếp tục tiến hành nghiên cứu những vấn đề đang là hướng nghiên cứu chính của các thành viên trong đề tài.

Nội d u n g chi tiế t:

Các nội dung nghiên cứu cụ thể là:

1 Nghiên cứu cấu trúc của đối đồng điều của đại số Steenrod thông qua đồng cấu chuyển Singer Mối liên hệ của đồng cấu này với các vấn đề xung quanh lý thuyết biểu diễn nhóm m odular và lý thuyết bất biến modular, Đặc biệt, chúng tôi tiến hành nghiên cứu so sánh những biểu diễn khác nhau của đồng cấu chuyển Singer trên cấc giải thức khác nhau Công việc này có ý nghĩa không chỉ về m ặt lý thuyết m à còn có giá trị về

4 Nghiên cứu cấu trú c ghép cặp trên đường cong elliptic và bước đầu tìm hiểu ứng dụng trong m ật m ã học.

Để thực hiện được các nội dung trên, chúng tôi đ ã tổ chức xêmina hàng tuần nhằm trao đổi thông tin, định hướng và đào tạo các học viên cao học và nghiên cứu sinh đang theo học ngành đại số - hình học và tôpô Trong quá trình thực hiện xêmina, hướng dẫn sinh viên làm luận vãn cao học về các chủ đề liên quan đến đề tài.

Song song với hoạt động nghiên cứu, đề tài tiến hành biên dịch các tài liệu sau:

• J.L Alperin (with Rowen B Bell), Groups and Representations G raduate Texts

in M athematics, Volume 162 Springer-Verlag 1995 (194 trang).

• A Zelevinskv Representations of Finite Classical Groups Lecture Notes in M ath­ ematics Volume 869, Springer-Verlag 1981 (2 chương đầu).

Hai tài liệu trên đã được sử dụng để phục vụ cho việc giảng dạv chuyên đề b ắt buộc

“Đại số Hiện đại: Lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm 1' dành cho sinh viên cao học ngành toán Những tài liệu đã được sử dụng th ử trong 02 khoá cao học gần đâv và trong nghiên cứu của chủ nhiệm đề tài,

• Ann H Koblitz Neal Koblitz and A Menezes Elliptic Curve Cryptography: The serpentine course of a paradigm shift, eprint.iacr.org

/2008/390.pdf (40 trang)

Đây là một báo cáo tổng quan rất có giá trị về lịch sử hình thành và p hát triển của

hệ m ật m ã đường cong elliptic Tài liệu này đã được chúng tôi sử dụng trong báo cáo trình bày tại hội thảo tổ chức tại Ban Cơ Yếu Chính Phủ tháng 5 2009.

• Biên dịch 02 tài liệu phục vụ giảng dạy

• 02 báo cáo mời tại hội nghị quốc tế tô pô đại số Đông Á tổ chức tại Hà nội th án ^

12 2009

3

• Nghiên cứu về lịch sử toán học Việt nam những bài viết đầu tiên của các tác giả Việt Nam được cõng bố trên tạ p chí toán học nước ngoài.

• Hướng dẫn 02 luận văn cao học (cả hai đang chuẩn bị bảo vệ)

1 Đ ỗ X u â n T h à n h , ‘‘Ghép cặp trên đường cong elliptic và ứng dụng", luận văn cao học, dự kiến bảo vệ năm 2010.

2 P h ạm X uân T hịnh “Biểu diễn của nhóm GL(n qỴ\ luận văn cao học, dự kiến

One of th e m a jo r goal of th e pro ject is to investigate new tren d s of research

in Algebra- G eom etry and Topology More specifically:

• T h e theory of cohomology operations: T h e Dyer-Lashof algebra, la m b a algebra and Steenrod algebra P a rtic u la r em phasis are on th e s tu d y of

th e cohomology of th e Steenrod algebra, th ro u g h th e point of view of th e Singer transfer T h e relationship between this algebra hom om orphism and m odular representation theory as well as invariant theory

• T h e theory of group representation, more specifically, representations

of sym m etric group and general linear group

• Pairing in elliptic curve cryp to g rap h y and applications

W e h a v e o r g a n i z e d t h e fo llo w in g a c t i v i t i e s :

1 Organize weekly sem inar for young lecturers as well as M aster stu d en ts Supervise several u n d e rg ra d u a te and m a s te r thesis

2 T ranslate th e following tex tb o o k s into V ietnam ese:

• J.L Alperin (with Rowen B Bell) G roups and R epresentations

G ra d u a te T exts in M athem atics Volume 162 Springer-Verlag 1995 (194 pages)

• A Zelevinsky R epresentations of F in ite Classical Groups L ecture Notes in M ath em atics, Volume 869 Springer-Verlag 1981 (T he first two chapters)

T hese m aterials have been used as m ain te x tb o o k s in a m a n d a to r y course “Đại số Hiện đại: Lý th u y ết n h ó m và biểu diễn n h ó m ” for Grad­

u a te s tu d e n ts in M a th e m a tic s in th e last two years

5

• A nn H Koblitz, Neal Koblitz an d A Menezes Elliptic C urve C ry p ­tography: T h e serpentine course of a p arad ig m shift, eprint.iacr.org /2 0 0 8 /3 9 0 pdf (40 pages).

O u r p ro ject also help sponsoring a weekly sem inar in algebra, a n d a join sem inar w ith th e V ietnam ese N ational Security Agency on C rvptologv and applied algebra

We have been co n centrating on new topics in application of algebra- geom etry and topology, such as applications m cryptology At th e sam e time, we continue to carry out current topics of research of each m em bers

of th e project T h e aim, in the long run, is to build a research group in applied algebra, geom etry and topology

e M a i n r e s u l t s o f t h e p r o j e c t :

• We construct new additive basis for the Dyer-Lashof We have su b m itte d

a research pap er based on this new result

• We s tu d y th e theory of pairing in ellliptic curve and its application to elliptic curve cryptography We also make use of th e newly developed open-source software Sage

• We investigate the rich stru c tu r e of th e rep resen tatio n ring of th e gen­eral linear groups a n d its applications to algebra, com binatorics a n d topology

• We tra n sla te 02 te x tb o o k s into Vietnam ese

• We su p p o rt 02 invited talks at th e recent in tern atio n al conference: T h e

E a st Asian conference in Algebraic Topology, Hanoi Decem ber 2009

• We also found interesting new inform ation concerning th e first reseach articles ever publish by a V ietnam ese in an in te rn a tio n a l journal

• We supervises 02 m a s te r theses, (both are near finish)

M aster thesis 2010

6

2 P h ạ m X u ã n T h ị n h , “Biểu diễn c ủ a nhóm G L (n ,q )M, M aster thesis,

E d u c a t i o n a n d t r a i n i n g : 02 M.Sc Theses

3 PH Ầ N CHÍNH CỦA BÁO CÁO

3.1 M ở đ ầu

Nghiên cứu cấu trú c của đối đồng điều của đại số S teenrod th ô n g q u a đồng cấu chuyển Singer Mối liên hệ củ a đồng cấu này với các vấn đề xun g

là m ột trong những hướng nghiên cứu được nhiều người quan tâ m Nó liên quan m ậ t th iế t đến bài to á n tín h n h ó m đồng luân ổn định của m ặ t cầu, bài

to á n trọng tâ m trong Tô pô - Đại số

Nghiên cứu xây dựng cơ sở cộng tín h mới cho đại số Dver-Lashof - đại số các toán tử đồng điều của không gian vòng lặp vô hạn Hướng nghiên cứu

không gian vòng lặp vô hạn

Lý th u y ết biểu diễn nhóm là m ột chủ đề rấ t thích hợp để hướng d ẫ n các sinh viên làm khoá luận tố t nghiệp hoặc luận văn cao học C húng tôi nghiên cứu cấu trú c vành biểu diễn của nhóm tu v ến tín h tổng q u á t (vô hạn) trên trường hữu h ạ n trong mối quan hệ với la m b d a vành - to á n tử đồng điều củ a

Lý th u y ết đường cong elliptic là m ộ t tro n g những lv th u v ế t được nghiên

trên đường cong elliptic và bước đ ầ u tìm hiểu ứng dụng tro n g m ậ t m ã học

là m ột hướng nghiên cứu đầy hứa hẹn

Báo cáo được chia th à n h bốn p h ầ n lớn, tương ứng với bốn nội dung nghiên cứu chính

3.2 Đ ố i đ ồ n g đ iề u c ủ a đ ạ i số S t e e n r o d v à đ ồ n g c ấ u c h u y ể n S in g e rNăm 1989 Singer [Si] xây dựng m ột á n h xạ m à ngày nay thường được gọi

cứu đối đồng điều của đại số Steenrod Đ ây ỉà m ột tro n g những chủ đề th e n chốt của n h ó m nghiên cứu đứng đ ầ u là G S T S K H Nguyễn H V Hưnơ và trong thời gian gần đây, chúng tôi đ ã th u hoạch được nhiều kết q u ả mới

T rone Quá tr ìn h nghiên cứu chúng tôi cần tìm hiểu biểu diễn ở mức độ d ây

8

chuyền của đồng cấu chuyển trên hai giải thức khác n h a u là giải th ứ c bar thông thường và giải thứ c Hopf b a r củ a A nderson và Davis được B o a rd m a n

sử dụng M ột vấn đề q u a n trọng, có ý nghĩa không chỉ về m ặ t lý th u y ế t m à trê n cả khía cạnh tín h to á n cụ th ể là xâv dựng được m ột đản g cấu tường minh giữa hai giải th ứ c này Điều này cho phép chúng t a có th ể th ự c hiện các phép biến đổi q u a lại giữa hai giải thức, v ề m ặ t lý thuyết, giải thứ c bar thông thường cho phép tín h đối đồng điều của đại số Steenrod T h ế nhưng, giải thức này q u á lớn để tín h to á n n h ấ t là đối với n h ó m đối điều bậc cao

N ăm 1964, Mav đ ã đưa ra trong luận án của m ình m ột phương p h á p th a y

th ế hiệu q uả để tín h n h ó m đối đồng điều theo bậc đồng điều và bậc trong tương ứng Ô ng xây dựng m ột lọc trê n giải thứ c bar, và chỉ ra rằng dãv phổ cảm sinh đi từ đối đồng điều của đại số p h â n bậc liên kết hội tụ tới đối đồng điều của đại số Steenrod Dãy phổ này sau đó được Tangora p h á t triể n và

th u được nhiều kết quả mới, và ngày nay được xem là m ột công cụ hiệu q uả tro n g việc tín h nhóm đối đồng điều của đại số Steenrod theo bậc đồng điều

và bậc trong Sử dụng giải thức Hopf bar, B o ard m an đã xâv dựng m ột biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đồng cấu chuyển từ đồng điều c ủ a không gian

p h â n loại tới phức Hopf cobar Trên cơ sở đó, Ông chứng m inh rằng đồng cấu chuyển hạng 3 là m ột đẳng cấu và hơn nữa hai to án tử squaring tương ứng trên miền xác định và miền giá trị giao hoán với n h a u q ua đồng cấu chuyển Singer M uộn hơn, M inam i [M] khẩng định tín h chất sau cho m ột

h ạn g b ất kỳ Bằng việc nghiên cứu các to á n tử squaring tro n g mối liên hệ trẽn, Nguyễn H V Hưng [H1] đã chỉ r a rằng đồng cấu chuyển Singer không

là m ột đẳng cấu tại các bậc đồng điều lớn hơn 4 G ần đâv, n h ó m nghiên cứu cũng đ ã xác định hoàn to à n ảnh củ a đồng cấu chuvển hạng 4 N hưng giả

th u y ết của Singer về tín h đơn cấu của đồng cấu chuyển đến nay vẫn còn để ngỏ

T heo m ột tiếp cận khác Bousfeld cùng với các đồng tác giả x â y dựn°-

m ột đại số vi phân, được gọi là đại số L am bda, m à đồng điều củ a nó chính

là nhóm đối đồng điều của đại số Steenrod Chúng tôi đã x ây d ựng tườncr

m inh m ột biểu diễn ỏ mức độ d ây chuyền của đồng cấu chuyển th eo đại số

L a m b d a íxem [CH]) Ngoài ra Singer cũng đ ã th à n h công tro n g việc mô tả

9

nhóm đồng điều của đại số S teenrod th eo lý th u y ế t b ấ t biến Hơn nữa ông chứng m inh rằng giải thứ c mới đẳn g cấu với đối ngẫu của đại số L am bda Trong [H2], Nguyễn H V Hưng chỉ ra công thức tương m inh biểu diễn ở mức độ dây chuyền c ủ a đối ngẫu của đồng cấu chuyển trê n phức mới của Singer tới đại số đ a thức Đặc biệt, h ạn chế của biểu diễn này trê n đại số Dickson là phép nhúng những b ấ t biến Dickson vào đại số đ a thứ c tương ứng C húng tôi d ự định khảo sát đồng cấu chuyển th eo các hướng nàv trong thời gian tới Đ ẳng cấu tường m inh giữa giải thức b a r và giải thứ c Hopf bar nói trê n đ ã được chúng tôi mô t ả chi tiết trong m ột báo cáo ngắn Trong tương lai gần chúng tôi hy vọng có thể khai th á c được đẳng cấu này để phục

vụ cho các tính to á n về ảnh của đồng cấu chuyển

Nghiêc cứu cấu trú c của đại số Dyer-Lashof có ý nghĩa quan trọ n g tro n g

hạn Cấu trú c m odule của đại số này trên đại số Steenrod còn có ý nghĩa

q u a n trọng trong việc nghiên cứu giả th u y ết về đồng cấu Lanes - Z arati liên

q u a n đến giả th u y ế t cổ điển về các lớp cầu

C ấu trú c của đại số Dyer-Lashof và đối ngẫu của nó được biết đến bởi các công trìn h của M iìgram -M adsen, M adsen HuỲnh Mùi tro n g trường hợp

ỏ đ ây chúng tôi chỉ xét trê n trường có 2 p h ần tử Đại số D ver-Lashof là đại số các to án t ử đồng điều trên các không gian các vòng lặp vô hạn nhưng cũng có th ể coi nó là m ộ t đại số thương của đại số L a m b d a bởi các đơn thức

có mức th ừ a (excess) âm M ặt khác, các công trìn h của M ilgram -M adsen và

H Mùi cũng đ ã chỉ ra mối liên hệ giữa đại số này và đối ngẫu của đại số Dickson

Do đươc xem n h ư đại số thương của đại số lam bda, nên nó có m ộ t cơ sở

10

cảm sinh t ừ cơ sở của la m b d a được gọi là cơ sở Admissible.

Có th ể định nghĩa đại số D ver-Lashof m ộ t cách th u ầ n tú v đại số n h ư là

tương tự n h ư qu an hệ A dem củ a các to á n t ử Steenrod

D ựa vào tín h đẳng cấu của đại số Dyer-Lashof và đại số các đối b ấ t biến Dickson, T u rn er đ ã đ ư a ra m ột cơ sở đơn thức mới í ÍT] ì được gọi là cơ sở Turner Ngay lập tức nó được dùng để mô t ả cấu trú c vành Hopf của đồng

T ừ đó n h ậ n được m ột tậ p sinh đại số mới của vành H opf này

Sử dụng kỹ th u ậ t củ a D an A rnon ([A]) chúng tồi đã đưa ra m ộ t cơ sở mới cho đại số Dver-Lashof (m od 2), và mối qu an hệ của nó với các cơ sở đ ã biết trước nó Kết q u ả này được chúng tôi viết th à n h m ột bài báo và đ ã gửi đăng ỏ tạ p chí V ietn am Jo u rn al of M athem atics Hiện nav chúng tôi đang tiếp tục nghiên cứu ứng dụng của cơ sở mới xây dựng Theo gợi ý của R Bruner, chúng tôi hy vọng rằng cơ sở mới này sẽ làm đơn giản hóa được các

c ủ a không gian các vòng lặp vô hạn, bước đ ầ u được khảo sát tro n g luận án

c ủ a Nguyễn Phúc Sơn ([S])

3.4 B i ể u d iễ n c ủ a n h ó m t u y ế n t í n h t ổ n g q u á t

M ột họ nhóm đặc biệt q u an trọ n g trong to á n học với sự x u ất hiện tro n g

h ầu khắp các chuvên n g àn h của to á n học như đại số hình học tô pô và

th ậ m chí tro n g lý th u y ết m ã là nhóm tuyến tín h tổng quát, tức là n h ó m các

tự đẳng cấu tu y ến tín h của m ột không gian véc tơ hữu hạn chiều (chúng tôi

qu an tà m chủ yếu đến không gian véc tơ trê n trường hữu hạn.)

Ý tưởng cơ bản củ a cách tiếp cận mới đề xướng bởi A Zelevinsky [Z], là

q u á t GL(n, q) trê n trường hữu h ạn có q p h ần tử (q là lũy th ừ a nào đó của

vành biểu diễn này m ột cách đồng thời Điều th ú vị là vành biểu diễn c ủ a

11

nhóm tu y ế n tín h “vô h ạ n ” R — ®-R(n) có cấu trú c r ấ t phong phú và có liên

hệ với đại số to á n tử củ a K-lý th u y ế t cũng n h ư lý th u y ết tổ hợp về đ a thứ c đối xứng

Hơn nữa, m ộ t loạt kết q u ả quen th u ộ c của lý th u y ế t biểu diễn n h ó m n h ư công th ứ c tương hỗ Frobenius, công thức của biểu diễn cảm sinh, biểu diễn

h ạ n chế, công thức Mackey được diễn đ ạ t lại tro n g m ột ngôn ngữ th ố n g n h ấ t

là lý th u v ế t đại số Hopf Điều này làm cho các tr ìn h bàv trong cách tiếp cận mới của Zelevinsky trở nên vô cùng trong sáng và đẹp đẽ, ngoại tr ừ m ột vài

bỗ đề có tín h chất kỹ th u ậ t

P hương p h á p nói tr ê n cũng có th ể được sử dụ n g để mô t ả vành biểu diễn của nhóm đối xứng “vô h ạ n ”, hoặc tích bện của m ột nhóm hữu h ạn và nhóm đối xứng vô hạn và cho phép chúng t a so sánh với các cánh mô t ả tru y ề n

th ống vành biểu diễn của nhóm đối xứng dựa trê n lược đồ Young và lý th u y ết

h à m đối xứng

C húng tôi đ ã hoàn th à n h việc biên dịch hai giáo trìn h môn học lý th u y ết nhóm và biểu diễn nhóm và đ ã đưa vào sử dụng trong hai khóa học cao học gần đây

3.5 G h é p c ặ p t r ê n e l lip ti c v à ứ n g d ụ n g

Đường cong elliptic là m ột đối tượng nghiên cứu của nhiều n g àn h toán học khác nhau Lúc đầu nghiên cứu về các khía cạnh lý th u v ết số của đường cong elliptic x u ấ t p h á t từ vẻ đẹp nội tại của lý th u y ế t đó N hưng tro n g vài

th ậ p kỷ gần đây những vấn đề này đã và đang trở th à n h những vấn đề quan trọng tro n g nhiều ứng dụ n g khác nhau, bao gồm lý th u y ết m ã hóa, sinh số giả ngẫu nhiên và đặc biệt là lý th u y ết m ậ t mã

Các hệ m ậ t m ã được chia ra th à n h hai lớp chính đó là hệ m ậ t m ã đối xứng tro n g đó các khóa dùn g để m ã hóa và giải m à phải được giữ bí m ậ t và các hệ m ậ t m ã phi đối xứng m à tiêu biểu là các hệ m ã khóa công khai Độ

an to à n c ủ a lớp m ật m ã th ứ hai dựa vào các bài to á n được xem là khó giải

Về m ặ t lịch sử, cụ th ể vào n ă m 1976 giao thức tra o đổi khóa Diffie-Hellman

là m ộ t tro n g những giao th ứ c đ ầu tiên dựa vào bài to á n logarit rời rạc Sau

đó, vào n ă m 1985 N Koblitz và V, Miller độc lập với n h a u đ ã cùng đề x u ấ t

12

ý tưởng sử dụng cấu trú c n h ó m các điểm trê n đường cong elliptic xác định trê n m ộ t trường hữu h ạn tro n g các hệ m ậ t logarit rời rạc Lợi th ế cơ b ả n của các hệ m ậ t đường cong elliptic so với các hệ m ậ t khác dựa trê n bài to á n

p h ân tích số, hay bài to á n logarit rời rạc tro n g n h ó m n h â n của m ột trường hữu h ạn là sự vắng m ặ t của các th u ậ t to án có thời gian dưới lũv th ừ a để tìm logarit rời rạc tro n g các nhóm này, với điều kiện là đường cong và trường hữu hạn nền được lựa chọn m ột cách thích hơp Nhờ đó người t a có th ể sử dụng m ột nhóm đường cong elliptic có cỡ nhỏ hơn đồng thời vẫn giữ được mức độ bảo m ật K ết quả n h ậ n được là độ dài khóa nhỏ hơn, băng th ô n g được tiết kiệm hơn và triển khai n h a n h hơn - những tín h chất này được đặc biệt lưu ý khi nghiên cứu các ứng dụng bảo m ậ t cho các th iết bị có sức m ạ n h tín h to á n và không gian vi mạch h ạn chế, ví dụ như thẻ thông m inh hay điện th o ại di động

Trong đề tài này, tác giả xin được trìn h bày m ột hướng nhỏ tro n g việc nghiên cứu về đường cong elliptic: đó là việc xây dựng, chứng m inh m inh

m ột số tín h chất cơ bản của các loại ghép cặp và nghiên cứu m ột th u ậ t to á n hiệu q uả để tín h to án các ghép cặp song tuyến tín h trên đường cong elliptic

Ta đ ã biết tín h chất ghép cặp song tuyến tín h trong đại số tu v ến tính

Có nghĩa là ghép cặp song tuyến tín h là m ột ánh x ạ tác động trê n m ột cặp véctơ và t r ả về giá trị số hơn nữa ánh x ạ đó còn là ánh xạ tu y ế n tín h theo từ n g biến và không suy biến Ghép cặp song tu y ến tín h m à chúng t a

sẽ nghiên cứu tro n g đề tài này cũng tương tự như vậy, theo nghĩa nó là m ột

á nh xạ tác động lên cặp điểm trê n đường cong elliptic và n h ậ n giá trị tro n g nhóm nh ân của trường hữu hạn Để xây dựng và chứng m inh được m ột số tín h chất cơ b ản của các loại ghép cặp chúng t a phải nghiên cứu m ột cách chi tiết lý th u y ết divisor trê n đường cong elliptic T ừ đó chúng t a có th ể lập trìn h được các th u ậ t to án để tín h to án nó Có hai loại ghép cặp th ư ờ n ơ xuyên được sử dụn g đó là ghép cặp Weil và ghép cập T ate - L ich ten b au m (thường gọi tắ t là ghép cặp T ate) Vào năm 1940 ghép cặp Weil được đề

x u ấ t bởi A ndré Weil, mặc dù nó đã x u ấ t hiện từ trước đó với tê n gọi là hàm sigma tr ẽ n đường cong elliptic Loại ghép cặp n à y đóng m ột vai tr ò q u a n trọne: tro n g viêc nghiên cứu lý th u y ế t số học của đường cong elliptic và đ a

13

tạ p Abel Trong chứng m inh đ ầ u tiên của m ình về giả th u y ết R iem an n đối với các đường cong có giống tù y V trê n trườ ng hữu hạn, A ndré Weil đ ã đưa

ra định nghĩa tr ừ u tượng hơn loại hàm sigm a này G hép cặp Weil được xây dựng trê n cùng m ột n h ó m điểm có cấp hữu h ạ n nào đó X u ấ t p h á t từ việc xây dựng ghép cặp Weil, t a có th ể định nghĩa ghép cặp T a te dùng được tro n g nhiều trường hợp m à ghép cặp Weil không tín h được Do việc tín h

to á n n h a n h và hiệu q u ả của ghép cặp T a te nên nó thường được sử dụ n g tro n g m ậ t mã C ho đến nay, th u ậ t to án Miller được biết đến là th u ậ t to án hiệu q uả n h ấ t để tín h to á n các ghép cặp Weil Tate

Các ghép cặp là công cụ chính trong việc nghiên cứu lý th u y ết về đường cong elliptic và nó là công cụ để chứng minh định lý Hasse về số điểm của

công vào các hệ m ậ t bằng cách quv bài toán ỉogarit rời rạc trê n đường cong elliptic về bài to án tương ứng (được cho là dễ giải hơn) trên trường hữu hạn

có thể kể đến các tấ n công MOV (đề x u ấ t 1993) và sau đó là tấ n cõng Frey

- Ruck (đề x u ất 1994) Các ứng dụng gần đây của các ghép cặp như là: giao thứ c tra o đổi khóa 3 bên Diffie - Heilman được đề x u ấ t vào n ă m 2000 bởi A Joux T ừ năm 2001 các hệ m ậ t dựa vào các ghép cặp đã được đề x u ấ t bởi

D an Boneh và M a tt Franklin M ặc dù các V tưởng về hệ m ật này đ ã được

q u a n tâ m khá nhiều trước đó nhưng tiềm năng to lớn của nó vẫn chưa được

n h ậ n ra Ý tưởng cơ b ản là các loại ghép cặp cho phép m ột số h à m m ậ t m ã được thực hiện m ột cách hiệu q u ả hơn nhiều so với trước kia với điều kiện

là t a làm việc với các đường cong elliptic m à ở đó các ghép cặp được tín h

to á n m ột cách hiệu quả ví dụ như các đường cong có bậc nhúng th ấ p Hệ

m ậ t này là lời giải đẹp m ắ t của Boneh và Franklin cho m ột câu hỏi cũ của Sham ir, nói rằng liệu có th ể xây dựng được m ột hệ m ậ t nào m à tro n g đó khóa công khai của người dùn g chính !à dan h tín h của người đó (ví dụ n h ư địa chỉ email) M ột hệ th ố n g như vậy gọi là m ã hóa dựa trên d a n h tính M ục tiêu của đề tài là nghiên cứu tìm hiểu cơ sở lý th u y ết đường cong elliptic cũng n h ư lý th u y ết ghếp cặp song tu y ến tín h trê n đường cong elliptic đồng thời nghiên cứu th u ậ t to á n Miller để tín h to á n m ột cách hiệu q u ả các loại ghép cặp T ừ đó có th ể lập trìn h (sử dụng p h ầ n m ềm m ã nguồn mở Sage)

14

để đ ư a ra gói lệnh th ự c hiện tính to án với đường cong elliptic tr ê n trường hữu h ạ n và tín h to á n các ghép cặp Tate, Weil.

3.6 K ế t l u ậ n

Sau m ộ t n ă m thực hiện đề tài chúng tôi tự n h ậ n th ấ y là đ ã ho àn th à n h được các mục tiêu đ ặ t ra b an đầu Đó là: Tiếp tục p h á t triển hướng nghiên cứu tru y ề n th ố n g của nhóm là lý th u y ết to á n tử đối đồng điều N hóm đ ã xây dựng được m ột phương ph áp mới để tìm hiểu đồng cấu chuyển Singer, thích hợp với việc lập trìn h tín h to án và ứng dụng đại số m áy tính N hóm

đ ã th u được m ột số kết q uả mới và đang viết th à n h bài báo để gửi đăng

T iếp tụ c hợp tác chặt chẽ với Ban Cơ Yếu C hính P h ủ nghiên cứu lv th u y ế t

hệ m ật dựa trên đường cong elliptic Biên dịch m ột số tà i liệu phục vụ đào

tạ o và hướng dẫn khoá luận, luận văn cao học Hợp tác nghiên cứu với các nhóm trong và ngoài nước

M ột số định hướng p h á t triển nghiên cứu sau khi kết thúc đề tài: Các hướng nghiên cứu xung quanh lý th u y ết to án tử đối đồng điều vần là là ưu tiên hàng đầu Chúng tôi sẽ đẩy m ạn h việc sử dụng đại số m áy tín h trong các tín h toán Tiếp tục tiến hàn h nghiên cứu cùng với B an Cơ Yếu C hính Phủ, về đường cong elliptic và ứng dụng trong m ậ t m ã học; củng cố và xâv dựng nhóm làm việc về chủ đề này

C ả m ơ n , Trong quá trìn h thực hiện đề tài chúng tôi đ ã n h ậ n được sự giúp

đỡ hết sức nhiệt tìn h của các đồng nghiệp C húng tôi đặc biệt xin chân th à n h cảm ơn G S.T SK H Nguyễn Hữu Việt Hưng TS P h ó Đức Tài và NCS Đào

xin cảm ơn các anh chị phòng nghiên cứu cơ b ản của B an Cơ vếu chính phủ

trìn h chuẩn bị báo cáo

3.7 T à i liệ u t h a m k h ả o

[A1] J.L A lperin (with Rowen B Bell), G roups and R ep resentations G r a d ­

15

[A] D an Arnon Monomial bases in th e S teenrod algebra, J.P A A 96 (1994), 215-223

\N M ] A nn H Koblitz, Neal Koblitz and A Menezes, Elliptic C urve C ry p to g ra ­

phy: T h e serpentine course of a parad ig m shift, ep rint.iacr.org/2008/390.pdf.ỊC] P h a n Hoàng Chơn M onomial bases of th e Dyer-Lashof algebra S ub­

m itted 2010 (10 pages)

[CH] P h a n Hoàng Chơn Lê Minh Hà, L am b d a algebra and th e Singer tr a n s ­fer, P rep rin t, 2008

CLM] F R Cohen T J Lada, J p May T he Homology of Ite ra te d Loop

Spaces, Lecture Notes in M ath em atics 533 (1976)

\N M ] A nn H Koblitz Neal Koblitz and A Menezes, Elliptic C urve C ry p to g ra ­

phy: T he serpentine course of a paradigm shift, ep rint.iacr.org/2008/390.pdf.[HI] Nguyễn H V Hưng, T he cohomology of th e Steenrod algebra an d rep­resentations of the general linear groups, Trans Amer M ath Soc No

[SJ N P Sdn Some calculations tow ards th e connective com plex K -T h eo rv

202 493— 523 (1989)

[Zj A Zelevinsky, R epresentations of F in ite Classical G roups L ecture N otes

in M a th e m a tic s Volume 869 Springer-Yerlag 1981

16

[Wa] W ashington L c.} Elliptic curves: N u m b er th eo ry and C ryptography,

C h a p m a n - H a ll/C R C 2003

[We] R obert J Wellington T h e u n stab le A dam s sp ectral sequence for free iterated loop spaces Amer M ath Soc., Vol 36 No 258 1982

17

3 Các bản dịch cuốn sách của Alperin “ Groups and Representations”; Zelevinsky

“Representations of Finite Classical Groups” và bài báo của Ann Koblitz và done tác giả “Elliptic Curve Cryptography: A serpentine course of paradigm shift”

4 Photo bìa và tóm tat báo cáo “Phan Hoảng Chơn May spectral sequence and te Singer transfer, invited talk at at The 3rd East Asia conference on Algebraic Topology Hanoi, December 14-18, 2009"

5 Photo bìa và tóm tăt báo cáo “Võ T N Quỳnh, The action of the squarina operation on the Dickson algebra, invited talk at The 3 rd East Asia conference on Algebraic Topology Hanoi December 14-18 2009’’

2000 M a th e m a tic s S u b jw t C lassifira tio n : P rin jfirv 55N 20 5 7 'ro s r>7T2ri

K ey words: D vP i-L aslio f a lg e b ra, Dickson invariant hom o lo g y o p eratio n 1-’, in fin ite ]fin|>

space

1 ln t.r o d u c t.io n a n d s t a t e m e n t o f r e s u l t s

Let & 1)0 t h e f ree g r : id l 'd ilSMxiiitive a l g e b r a w i t h u n it liver £,<.' 1 1 1 'Pl.t a,! b y t h i ’

symbols Ợ ’ Q l Q ' where degỌ' = I. For any string of nnn-nPKHtivp

integei-s 1 = (»/,_! /<))• ilefirn1 Q ' = Q '1- ' ■ ■ ■ Q '" wv* full tliat Q 1 lor / ) is

a d m i s s i b l e if /■„ < 2? 1 for I < s < 1, - 1, a n d (IcTinc t he tTt f s 1 of o ' (ill I ) Id

Thy quotien t ;i!gel>ra R = 9 j f is called Til* Dver-Lniihof algebra It was

used to d escribed th e m od 2 hom olugv o f in fin ite loop !=|'>fuv O S 0 (|2l.[.r)|) i.e.

' E -m a il uddress: p h c h o n ® c tu e d u v n o r p h c h o n c tu S g r a a il.c o m

■* riiifi work is p a rtia lly s u p p o i t n l by tlif gran t of v \ t

Hoang Chon Phan < phchon.ctu@gmai!.com>

Fwd: Bài gửi Proceedings Huế 9, 2009

Tới Vietnam Journal of Mathematics <vjm@vap ac vn>, Nguyen Khoa Son <nkson@vast ac vn> Phan Hoang Chon <phchon ctu@gmail.com>

Cam on anh Phan Hoang Chon.

Bai se duoc gui referee va ghi nhan vao bai gui den tap chi Chung toi se thong bao ket qua xet duyet sail.

De nghi anh gui cho VJM ca tex file khi bai duoc nhan dang

Em gửi bài báo này để submit váo Proceedings của Hôi nghị Đại số - Hinh hoc - Tỏpõ Huế 9-2009

Sau khi nhận được, nhờ thầy reply cho em đẻ em biết tin.

Cảm ơn thầy nhiều.

Phan Hoàng Chơn

Thú vui lớn trẽn đời là làm được những điều mà người ta cho là minh không thẻ1

2000 M a th e m a tic s S u b jo rt C lassificatio n : P rim a ry 5/ĨN20 57T0ÍÌ r ũ 'l’2n

Key words: D.ver-Lasliof algebra, Dickson invariant, homology operations, infinite loop

space

1 I n t r o d u c t io n a n d s t a t e m e n t , o f r e s u l t s

Let & b e t h e f r e e g r i l l e d a s s o c i a t i v e a l g e b r a w i t h u n i t o v e r F a goncTfUi’fJ b y t i n 1

sym bols Ợ \ Q l Q ‘ wIipip d«gQ ’ =• For any string of uon-npgativr integers I = ( / /._ ! - („), define Q ’ = ộ ’*-> •• - Q 1" We rail that Q 1 (or I) is admissible if i„ < 2 i„ _ i for ! < * < / - - 1 dill I (iL'finc the t r a s s o f Q 1 (ill I) to

1>C

1-2

f{Q‘) = n-x - £ /,■

1= 0

T h e Irnt/fh o f Q 1 H Q 1) is the number o f iiit.pgf'1'K ill I i.e H Q 1) — /'(/) =

A-if 1 — (■/*._] i(i) T h e degrer of Q 1 is ik_i + - h /(,.

Let f be th e ideal o f & generated by th e d e m e n ts

(ij Q°Qh+ Z , {'ĩ!'Z')Qa+h~’Q!- " > 2b.

(ii) Q 1 wi th I ( Ql ) < 0.

The quotient- algebra p — ^ is called the Dvpi-Lrtshof algpbi'H, It WHS

iishcJ t o d e s c r i b e d t h e m o d 2 h o m o l o g y o f i n f i n i t e lo o ịi p p a r f Q S ° (|'2 [■')]) i.e.

* E-Til ail address: phchon@ ctu edu , vn o r p h c h o n c tu ® g ra a il.c o m

** T h i s w o rk is p a r t i a l l y s u p p o r t (Yl by tlIP g r a n t o f V N I

Phnn H(HITÌỊỊ ( 'h(fn

H J Q S 0 ) = P Ị Q ' |l ] ị / n , ỉ m i s s , b ì v r ( Q ' ) > 0] C: F j | Z |

w h e r e [1] 6 H i Q S " ) is t h e i m a g p o f t h e n o n - h a s e p o i n t f>ei»T;iri>r Ilf HitS" -

F2 0 F t under th e inclusion i>n t-> Q S °.

By (i) called Adorn 1 0 lat.ilills, and (ii) thi' ÍUImÌKKÍhlt' C'K'IIH'líts of 1)1 iiMirnatiw'

e x c e ss form an additive b asis o f TỈ calk'd till' adm issible basis.

Lot J7|fc] he tlie siib sp a re o f R spanned by til? elem en ts Q 1 ot li’HRtli I:

In th is work, we introduce a new ildilit.ivr basis of th e D yt'r-Laslidf alRplirii

< m d f i n d t i l e r e l a t i o n b e t w e e n t h i s l i a s i s M ild t h e b a s e s t h a t w k n o w n b e f o r e

T h e follow ing theorem , w hich proviclf a new basis o f till* D ytu -L asliof iilgcbra

is th e first main result, in th is work.

T h e o r e m 1 1 T h r S l i t u f a l l m o n o m i o J s Q ' 1 - 1 • ■ ■ Q ’" Il’h r r t j u > 2 j „ -1 f o r

1 < if, < k — 1 a n d j„ i s d i tr is ib U ' If) 2 " i s n i l n t i d i l i n h a s / * o f 77|A-|.

For exam p le, the set \ Q 12 Q" Q U,Q 2 Q^Q4} is Mil a d d itive b asis o f /? |2 ]12.

Let Q l anrl Q J be m onom ials of length k we rail Q 1 < Q 1 (resp Q ' < n Q 1)

if / < .7 in th e lexicographic ordering from th e |pft (tvsp, right.).

Lot A 4J„, be basis o f m hiiissibk' m onom ials of ỈỈ A c tic liasis ill 1 hci JR’III 1,1

W e chuosi.' tlio o r d e r < f o r 4,(„| a n d t h e o r d e r < f i t o r A f ' l i s t ’ll IIV Li'iimiii

2.2 and T heorem 1.1 w e have follow ing result.

C o r o l l a r y 1.1 The change, o f basts m atrix hrt.wexm A Alim a n d A c IS upper tit-

nnqular with rrspcrt to the ordr.r rhoacn fo r each basis.

Ill order to find t lie ch an ge o f basis m atrix w e firstly find th e 11.-IS is A c of R:

M'condly We u se Aden I relation to convert thorn to th e a<lruissil)l(.' basis A a , i „,'

;u)<1 finally W(> obtain till' c’hangc oi basis matrix

Fur exam p le, we have

arc" bases of /?|2]12 It is easy to MX’ that

Q12Q" = Q tìQ ti:

Q "'Q 2 = Q~Qr’ 4-

Q V = Q*Q\

It im plies th at the change of basis m atrix is

M on om ial is calk'd minimal ii it cannot be expressed as ecjinbiiKtt iuii ijiMiiiillri

m on om ials M onom ials is culled m / i T Ì n i n l if it r.'iiimot lie r x p ir s sc d US f oi nl i i i Ki -

tion o f liirRpr m onom ials.

A c = { Q n ( f Q w Q 2 Q * Q 4}

a n d

Sim ilar to A n io n 's m ethod 1(1]) til' 1 followinjj 11|C’(>r<m- w hich fl.iim s that

t h e H ih u ÌK K Ìh k ' a n d o i i r o n e i U f I I l f b a s i s ( i f I t i i i i i i n i l i i u d n u i x i i t i a l i i K i i i D i n i a l s

resp ective th e order < , is tliP secon d main result, in t Ills pa|)Hi\

T h eorem 1.2 -4.4,/,,, IS ihr basis o f m in im a l m o n o m ia h and A c IX f-h> busts Ilf

m am m al m o n o m ia ls of /?[/.:] with T' sprj-1 to tlir rtrrlry <.

P u t

_ r ( 2 fc- ' - i (2 t - 1 ) 2 ( 2 ' - 1 J 2 ' - 1 2 - 1 2 1 ) 1 < > - /,■:

It is easy to see that, Q ,tl is an adm issible m onom ial of noii negativT nxorss Lft

£,* bp th e dual o f Q l , t By the w ay that is sim ilar to M ilnor's fine f[^]) nsff! til

stu d y th e stru ctu re o f tho dual o f Stucurod algebra M adsen (Jo]) sh o w n ! that

t h e f i l i a l o f /? ( /.• ] /? [/• ']* i s i s o m o r p h i c t o t i l l ' p o l y n o m i a l a l g e b r a

i?[fc|‘ = F 2|iifr i t

/.]-o f d eg rw 2 k' - ' ( 2 ' - 1).

Let Ek he s-dinien.sional vector space over F-J A s w well known, the coh o­

m ology of DEt, is the polynom ial algebra Pi F2l.i1 J'A-] °n gPHPriit.oi-s Ofich of degree 1 T h e hom ology o f BE); H i B E k ) — r ( c i ] a/,), is till' di­

vided power algeb ra giiKTat-wJ IIV <11 «1 each of (li’grcc 1 whore a is t hi'

finnl of X, £ /•/’ { B E ị ).

T h e general linear group GLK G L ( E s ) arts regularly oil E„ and therefore'oil

th e hom ology and colioinulogy of B E , T lir Dii'kson iilgclu'H of all C L i -invariants

WHK dctc-rmintxt ([3]) as follows

D , : = H ' { D E k f u = F 2[ T, - = ¥ 2 \ Q , v Q k A Q t

where Qk., d en o tes the Dickson invariant o f clcgrw 2 — 2' (sec Si'ctiun 4.).

Ah the resu lts of Mtwlsou ([6]) M adsen - Milgrmn ([7]) cUid M id ([10]) /?[/•■,

is isom orphic to D ị as ^4-roalgplira, where A is tliP 1110(1 '2 Stppiirtjcl iilgt’hrn.

I11 jl 1], T u rn e r introduced an n d ilitiv i1 liasis ral)<il T u n iw 's lia.sis

T h e o r e m 1 3 ( [ 1 1 ] ) T h e s r t { [ f i ^ ' a ! ; 21' 1 + '- ') | ' • • o f 1,1 + + ' , ) | | | / : > 0 } p r o ­

v i d e s n b u s t s o f D j!.

We choose th e order < for Tiirnpr’s basis T h e follow ing theorem w hich claim s that tile relation b e t w m i the H.dmissili|p basis and th e T m w r ’s b asis is upper triangular is th e filial result ill th is paper.

T h e o r e m 1 4 T he cliin u /f o f IxisLs m a tr ix brtw rrn till nihil issiiiỉt liiisix Iirni

T u rn e r s one- is tr ia n g u la r with respect to t.hf ir n h i rh a s c n fo r tr u ll hu.si*.

C u n il l in i n g T h e o r e m 1.4 a n d C n r u l l n r v 1.1 W( l i i i w tliH folluwinu; rrMilt

C o r o l l a r y 1.2 T h e r h m i q r o f bu.sii m n t r u l i r t i n i ii tin Ill'll hast* m i l l J v r ' i x I s

line I.s Iipjirr humiruim irith IÌ S])I I I to lh/ oTthi rhosf-Ti fur mrh

hits/'-M ovơrm ah basis (if thr Dyrr-Lash iff (tlqihra ~\

It im plies y„ — 2 / „ _ i = 2"{2<*—j_„ - ú _ „ ) > *) M u n w r sin ce Id > 0.

> 0 for all 0 < 11 < k- — 1 T im s J is well defined.

W e d e f i n e ;) f u n c t i o n <I> : s ' - * s h v I J o ) = ( a - I > 1 1 ) will'll'

_ j k - l ■ + ■ ■ ■ + //.-I

*« = p rr- = — - §TT7 - 1 - K ; - 1

T hen, A is ii bijection and its inverse is Í* ■

Applying, th e A dcin rela tio n , w obtain

where M, is adm issible and strictly loss ill,Hi Q UQ'‘

III tilt1 g e n e r a ] Cii.se w e h a w 1 lie re su lt.

L e m m a 2.2 L /t Q 1 = Q " - ' l>r (t arhmssihỉi rmn-trj I'jirl ntnih Iin ntl.

Pi Of if o f Lemma 2.2 B y (2) tlie assertion o f t.lie lem m a is trill' for / = 1

S ince Q 1 is adm issible m on om ial o f iiun-iK'giitivr c x w s s Q '1 ' • Q n St; is

By inductive h yp oth esis

Q U -, Q U _ Ợ 2' 2,1 • - Q n - - + V F „

where p, is adm issible aiirl strictly less tlian Q '*-' • • ■ Q

It im plies

Q' = • Q’' -' “ ~!,c1?’u •+ ^ P,Ọ’"

-= g2 1 • • Q ‘ -' 'Q 'L' + Y l p

>-t

where PỊ is ad m issib le nml strictly less t hail Q !

Siucc* / is adm issible, H_1 — ••• — /! < 2/0 aud by h y p o th esis I [ Q 1 ) =

w here Mị is adm issible and strict]v loss than Q 1

P r u o f o f T h v u r e m 1.1 P u t

A t := { Q n - ' Q Jt - Q 1" : j , > 2 j „ - i > n 2 ’ | j , l < A < /,■- 1}.

S in ce Leniniii 2.1 in path degree, tin ■ num ber o f elem en ts o f Af is < -rjUH I to

the cliirK'iisicm of

It is Mlffuic-ut to prove, ill rncli (legroo nụ, ] is lỊeiiciall'll I.y S ilifc Lrmiii;i 2.2 for any a d m issib le m onom ial Q ' w<- C'iin w rite

1

where A/f is a d m issib le and strictly less than Q 1.

B y in duction (ill order o f m onom ials, wr luivc th e a s s m io n ■

E x a m p le 2 2 By E xam ple 2,1 we have

M o n o m ia l Q 1 = Q 7k~' ■ ■ ■ Q " 1 is liot fo rm r e q u ir e d ill -4t '_ 4 ,/ if Mini o n ly if at

least out1 of follow ing happen:

1 For som e s j , < 2 1.

2 For SOIIIP s j„ is not divided IIV 2".

Ill the ca se (1) if j„ < tilt'll Q J' Q ' —' = (I so Q 1 = 0 O therw ise,

If in = 0 I lion /, = u is Kild applying Adi 111 relation \VI have

Monomials basis o f the fiy i r-Lnslm f nlqt brn ỊI

If iri > 0 applying A deni relation for QJ' ( } ' wr o b ta in

If there ex ists t % < t < such that is tÍR '11 Hjiplying

C a s e 1, WP h a v e t h e a s s e r t i o n

O t h e r w is e Q J’ Q “ - ' = Q i ' V - J , - i Q J / 2 I t is c le a r t h a t v ', / 2 > 2 / _ 2 i t p p ly -

Ì11ỊỊ, dll' A lla n relation for Q Ji/" 2 Q ir- - R epeat this p ro cess at must 1)1 slop , \vc

C)l)tain either <y- ■ • • Q Jn = 0 tln;rof<ue Q 1 = 0 or Q J' ■ • • Q Jn can lie expressed

T h en (1) ran lie rew ritten

QJ - Qm = QJW2+J.-1 ỢttQi.ir+, 2» Ọ/M + othru fcims.

M onom ials bast* u f the D ytv-L ashuf alqrbm I ị

As we w ell know n, the coh om ology of DEk is th e polvnoiiiiii] algi-hru p k

■-F-)Ị : ' ' 1 '■*] o n k g e n e r a t o r s phcIj o f ( l e g i t s 1 A n d t I l f h o m o l o g y (if BEi;.

H ( B E i ) = F( « 1 a t) , is tilt’ divided power algebra gi’iRTiitt'il I)V Cl 1 ni

Cfioh o f degree 1 where a, is the (Ilia) o f T 6 H l ị B E i )

Let GLI; and 7fc he tlip general linpar group iinrl tlu1 group o f upppt triangle

Ill th is sectio n w e use this isom orphism to find t lif lfliitio n lii'fw m i now basis

w ith th e basis o f Turner in [1 1].

Lot 1 = ( f'l »■*) J = ( / 1 i t ) 1)1’ s t r i n g s o f i n m - iiif Ị ,a tiv c i n r fjj.fr 1 1

UIU-bors Wc call V 1 (res]), r 1 a 1) < \ 1 (l't’sp r ' d ' 1) if and unlv if I < .7 in tile

lexicographic ordering from th e loft.

12 Plum H o im i ( 'Inin

Proof nf Thcurttn 1 . 4 It is easy to HOC I hut ill n u ll (lc g n v

V 1 = V j” ■ ■ • I'fr* = ' j' r 2 ■ ' • J 'i ' + ni'HHtfr iim iKJiniiils.

where / > ( u j uị) > • ■■ > (u Ị I I I ) £ t= i 2" = n ! = ] 2 ' 1L for ill]

/■; and IIf is defined inductively by

!’< ■= « f ‘“1 + p v ' i ' ' 1" ^ 1 ■ • •«ÍT1"Ỉ1- v>‘; • - K ‘i ^

It's (’iusy to chock that

< » ( / l v ' ) - {n!fr / 5 J

So W(i) is ;i K 'picsontatioii of v{I).

B y M ill’s resu lt Q 1 = Q 1' ■■■Qik t-> [jif/j w here / J = ii — ■ ■ — /'/, for 1 < ý < Ả- Ifc = Vj

HJV adm issible b a sis and Turner’s OIK1' o f i?[2]lc’.

B y M ill’s isom orphism and above lPsnlt.s we obtain

2 F R C ohen, T J L ad a J P- May The H om ology o j Itrratr.d Ltm p S p o rt s L p ctu re

Notes in Mathematics 533 (197fi).

3 L E D ickson A fu n d a m e n ta l system o f in v a r ia n ts o f th e gen era l m o d u la r linear

group m th a solution o f the j m m problem 'I Van A m or M a th Hnr 12 f 191 1), 75

- 08

4 N E K echagias, A d i’-Tti lĩla tio n s in the D y e r -L a s h n f (ilqebm a n d m n d u ia r ttivtin-

ants, A if* Geo To pci Vol 4(2004), 2 1 9 -2 4 1

r> T k u d o and s A raki, Topnlngy o f H ,, -spaCC -.1 rind H -sq v a ru iọ ojirrutm ny M rm oii s

8 J M ilnor T he S teen ro d algr.bn and its dual A nn o f M a th (>7 (19.r>8) I fil) - 171

9 H Mùi, M odular in v a r ia n t theory and the m h o n io lo g y alqcbras u} th e s y m m e tr ic

groups J F ar Sci., U n iv T okyo Sect I A 22 ( 1975) 3 1 9 - 3(59.

10 H M ùi, Hom ology operation* derived fm m m o d u la r c u u ii'a n n tits L e r t u r r N otes in

M a th e m a tic s 1172 (1 9 8 5 ) 85 - IIS.

11 P R T u rn er, D icksn n c o m i’a riim ts and the h om ology u f Q S ° M atli z ‘224 (1907)

209 - T2S.

A N I S O M O R P H I S M B E T W E E N T H E B A R R E S O L U T I O N A N D

T H E H O P F B A R R E S O L U T I O N O F T H E S T E E N R O D A L G E B R A

V Ô T N QƯỲNH

A b s t r a c t D w A nderson a n d D M D a v is form in [3] a r e s o lu t io n , s o -c a lle d

th e H opf bar resolution, of F 2 over th e m od 2 S teen ro d alg eb ra A to com pute

th e cohom ology of th e S teen ro d algebra In th is p a p e r, we c o n stru ct explicit

isom orphism s betw een th is resolution and th e b ar resolution (th e sta n d a rd

resolution) As a consequence, we determ ine a ch ain re p re se n tatio n of th e

slh -S in g er tran sfer from th e hom ology of the classifying space to th e

.ith-m odule of th e cobar com plex.

T h e p ap er is d iv id ed in to 4 s e c t io n s and o rgan ized a s follow s T h e in tr o d u c tio n

in S ectio n 1 is follow ed by th e p relim in ary in S e c tio n 2 w h ere w e recall th e co n ­ str u c tio n o f th e bar resolu tion and H op f bar r e so lu tio n o f F2 over A In S ectio n

3 we d efin e an ch a in iso m o rp h ism b etw een th ese r e so lu tio n s In p a rticu la r, w c d e­ term in e e x p lic itly th e fom ular o f th e in d u ced iso m o rp h ism b etw een th e H o p f bar

c o m p lc x and th e cob ar co m p lex F in a lly , w e show in S ectio n 4 a chain rep r e se n ta ­ tio n o f th e sth -S in g e r tran sfer from th e h om ology o f th e c la s sify in g sp a ce B V S to

1-he s lh -m o d u le o f t,he cob ar c o m p le x

2 P r e l im in a r y

To m ake th e p a p er s e lf c o n ta in e d , w e recall th o c o n str u c tio n o f th e H o p f bar reso lu tio n and o f th e bar reso lu tio n o f Fo over the S tc c n r o d algeb ra A.

2 1 B a r r e s o l u t i o n In th is s e c tio n , wc rccall the d efin itio n an d p ro p erties o f th e

b ar reso lu tio n T h is d efin itio n is d u e to A d a m s [1],

L et us w rite M <g AỈ' for M ® M ' L et A be the a u g m e n ta tio n idea] o f A T h en

h o m o lo g v s : B ( A ) — B [ A ) by 5 (a o [ fli I ■ • ■ Ịo.í]) = 1 -Ịooịo] I la*] A b o u n d ­

ary {<5* I s > 0} th e n b e d efin ed in d u c t iv e ly b y <5o(l) = 0, ổJ ( a o [ a i | |a s ]) =

a o ổ s Ị a il |a 5] a n d <5.5 + s s = 1 - e It im p lie s th a t ỗs : B f ( A ) —*

4—1

í s ( a o [ a i | |fl*]) = a0a i[ a i I la.,) -4 -+ ao[ỡi I |a ,a ,+ i I |a s |.

1 = 1

B [ A ) th u s b eco m es a free reso lu tio n , th e so -ca lled th e bar reso lu tio n o f F 2 _

To d u a liz e , le t Ả , be th e du al o f A a n d let A , b e the d u a l o f A T h en A t =

C ( A ) is called th e cobar co m p lex of F ỉ- H t [ C ( Ả ) = E xt^* (F2 F t}.

2.2 H o p f b a r r e s o l u t i o n In th is s e c t io n , w e p resent th e (n o r m a liz e d ) H o p f bar

co n stru ctio n o f A for F2, in trod u ced b y A n d erso n and D a v is [3], t o c a lc u la te th e

T o s h o w t h a t th e ch a in c o m p le x ’H ( A ) is a lw a y s a free reso lu tio n of F 2 it is n ecessa ry

and su fficien t to sh o w th a t A ® is free as an 4 -m o d u le for s > 0.

G iv en a ,4 -m o d u le M d efine i M t.0 b e M eq u ip p ed w ith th e triv ia l ,4 -m o d u le

I t sh ou ld b e n o te d that, th e m o d u le A ® t A is th e .s-grading o n e in th e bar

r eso lu tio n o f F2 over A (w ith th e .4 -a c tio n on it b e in g ju s t th e p r o d u c t ill its first

fa cto r A ).

B v P r o p o sitio n 2 1 , cach term o f K ( A ) is free, so th e a ss o c ia te d chain c o m lc x

is a free reso lu tio n o f F t 'H(A) is called th e H o p f bar resolu tion o f F2 (over th e St.eenrod a lg e b r a ) E x1^ * (F2- F2) is th e h o m o lo g y o f th e coch ain c o m p le x

T h is com plex is callrd th e H o p f bar co m p lcx o f F t

3 A CHAIN ISO MORP HISM B ETW EEN T H E H o p p BAR RESOLUTION AND T H E BAR

where the first row is the bar resolution uriih the diffential qiver 1by

a n d th e fart t.hat Ip is an isom orp h ism o f 4 -m o d u le s, it im p lie s th a t ips is a ls o h om o­

m o rp h ism o f ^ -m o d u le s for all s > 0 In a d d itio n , Ộ 3_1 is b ije c tiv e by L e m m a 3,2

so ự>s is an isom orphism o f -4 -m o d u les.

T h e m o d u le A ® t A <Ss is g en era ted bv ele m e n ts o f t h e form 1 ® aj 0 ■ • ® as for

a , € A , so ips- \Ss = d s (ps if and on lv if

ự s _ i đ s ( l 0 0 ] © ® Of ) = d sips ( l ® d ] ® ® Qs ).

W e w ill prove th e la tte r co n clu sio n b y in d u ctio n on s.

I f s — 1 then V?nt5i(1 ® a i ) = ổ i ( l 0 Oj) = 0] as ự >0 = id; 0 ữ i) =

d\ (1 ® O]) = é(1 )d] = f l i So ipo<5i(1 ® 0-1) = d \ip\ (1 ® a j ): th erefore ipoỗ\ — diifii-

I f .5 > 1 then set y = a2 0 <8 a« B y d efin ition o f Ss , w e have