Khai thác mối quan hệ hình học đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

Mët sè v½ dö minh håa.. Mët sè v½ dö minh håa... Gåi H l trüc t¥m tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån vîi... iºm ch¤y Mx; y khæng phö thuëc tham sè m... Vªy quÿ t½ch giao iºm cõa hå ÷íng cong vî

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

Möc löc

1 Khai th¡c ki¸n thùc ¤i sè º gi£i mët sè b i to¡n H¼nh

1.1 Þ t÷ðng chung 3

1.2 Mët sè v½ dö minh håa 3

1.2.1 B i to¡n cüc trà H¼nh håc 3

1.2.2 B i to¡n quÿ t½ch 14

2 Khai th¡c ki¸n thùc H¼nh håc º gi£i mët sè b i to¡n ¤i sè 19 2.1 Þ t÷ðng chung 19

2.2 Mët sè v½ dö minh håa 19

2.2.1 B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc 19

2.2.2 B i to¡n bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh câ tham sè 37

2.2.3 B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc 43

2.2.4 B i to¡n cüc trà ¤i sè 50

Líi c£m ìn

Trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, tæi luæn nhªn ÷ñc sü õng hë, h÷îngd¨n v  gióp ï cõa PGS TS Trành Thanh H£i Th¦y luæn quan t¥m, theo dãis¡t sao, d nh nhi·u thíi gian ch¿ b£o tªn t¼nh, h÷îng d¨n v  gi£i ¡p c¡c th­cm­c cõa tæi Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t ¸n Th¦y

Tæi xin gûi líi c£m ìn ¸n c¡c Th¦y, Cæ khoa To¡n  Tin v  pháng  o T¤ocõa tr÷íng ¤i Håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n công nh÷ c¡c Th¦y Cætham gia gi£ng d¤y khâa håc cao håc 2017  2019 ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o truy·n

¤t ki¸n thùc trong suèt thíi gian theo håc, thüc hi»n v  ho n th nh luªn v«n

Cuèi còng, tæi xin gûi líi c¡m ìn tîi gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p ¢ luæn

ëng vi¶n, gióp ï, l  ché düa vúng ch­c v· vªt ch§t v  tinh th¦n cho tæitrong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n thi»n luªn v«n th¤c sÿ

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2019

T¡c gi£

Nguy¹n Th nh Cæng

Líi nâi ¦u

1 Lþ do chån · t i

H¼nh håc v  ¤i sè l  hai nëi dung quan trång xuy¶n suèt ch÷ìng tr¼nhto¡n THCS - THPT gâp ph¦n c§u th nh n¶n bë mæn To¡n håc Do â, vi»cnghi¶n cùu khai th¡c mèi quan h» giúa H¼nh håc v  ¤i sè l  mët v§n · r§t

¡ng º quan t¥m çng thíi thæng qua â, cho ta c¡i nh¼n têng thº hìn,gâp ph¦n gióp chóng ta hiºu rã hìn v· To¡n håc công nh÷ gióp ½ch cho vi»cd¤y v  håc bë mæn To¡n håc

Hi»n nay, n·n gi¡o döc ti¶n ti¸n cõa c¡c n÷îc ph¡t triºn tr¶n th¸ giîi r§tquan t¥m chó trång vi»c d¤y v  håc li¶n mæn: giúa c¡c mæn vîi nhau v  giúac¡c ph¥n mæn trong còng mët mæn håc N·n gi¡o döc cõa Vi»t Nam khængn¬m ngo i xu h÷îng cõa thíi ¤i, ¢ v  ang d¦n chuyºn m¼nh ti¸p cªn håchäi, s¡ng t¤o v  ùng döng xu h÷îng d¤y håc n y

Ch÷ìng tr¼nh To¡n trong tr÷íng THCS - THPT hi»n nay, bë mæn To¡nchùa hai m£ng rã r»t: ph¦n 1 l  ¤i sè, ph¦n 2 l  H¼nh håc i·u n y câ m°tt½ch cüc l  gióp håc sinh nhªn bi¸t ngay ÷ñc c§u tróc ch÷ìng tr¼nh v  ti¸pthu ki¸n thùc mët c¡ch câ h» thèng Nh÷ng ng÷ñc l¤i, nâ l m cho håc sinhhiºu r¬ng ¥y l  hai ph¥n mæn ëc lªp vîi nhau, khæng câ mèi quan h» t÷ìngtrñ qua l¤i, công nh÷ vi»c g­n k¸t hai ph¥n mæn n y trong s¡ch gi¡o khoaTHCS- THPT l  ch÷a ÷ñc · cªp rã r ng ¦y õ

Thüc t¸ qu¡ tr¼nh d¤y v  håc ¢ chùng minh r¬ng, håc sinh hiºu bi¸t v·mèi quan h» H¼nh håc v  ¤i sè kh¡ mì hç v  g¦n nh÷ hiºu ¥y l  2 ph¥nmæn ri¶ng bi»t, gâp ph¦n t¤o n¶n mæn To¡n håc C¡c em håc ph¥n mæn n oth¼ håc v  l m b i tªp ph¥n mæn â, công nh÷ gi¡o vi¶n d¤y håc theo ti¸tmæn H¼nh håc th¼ chuy¶n l m b i v· H¼nh håc, ¤i sè th¼ chuy¶n l m b i v·

¤i sè, ½t ho°c khæng ho°c ch÷a chó trång · cªp ¸n sü li¶n k¸t giúa H¼nhhåc v  ¤i sè trong gi£ng d¤y công nh÷ gi£i b i tªp

Thæng qua t¼m hiºu thüc t¸, tæi th§y r¬ng vi»c khai th¡c mèi quan h» giúahai ph¥n mæn H¼nh håc v  ¤i sè s³ gâp ph¦n quan trång gióp c¡c em hiºubi¸t hìn v· bë mæn To¡n håc, công nh÷ trñ gióp c¡c em æn thi v  thi håcsinh häi c§p THCS - THPT câ c¡i nh¼n mîi, h÷îng i mîi, c¡ch ti¸p cªn líigi£i mîi, phong phó hìn trong qu¡ tr¼nh æn luy»n v  thi mæn To¡n.

V¼ nhúng lþ do tr¶n, tæi quy¸t ành chån · t i: "Khai th¡c mèi quan h»H¼nh håc - ¤i sè v o gi£i mët sè b i to¡n d nh cho håc sinh giäi" Thængqua nghi¶n cùu nhä n y, tæi mong r¬ng m¼nh s³ gâp ph¦n l m rã hìn mèiquan h» giúa hai ph¥n mæn H¼nh håc v  ¤i sè, mèi quan h» t÷ìng trñ l¨nnhau trong qu¡ tr¼nh gi£ng d¤y v  håc To¡n cõa b£n th¥n ð THCS

2 Möc ½ch, nhi»m vö cõa luªn v«n

Möc ½ch cõa luªn v«n n y l  khai th¡c mèi quan h» giúa H¼nh håc v  ¤i

sè gâp ph¦n ti¸p cªn h÷îng gi£i to¡n mîi cõa b i to¡n b¬ng con ÷íng vªndöng t½nh ch§t ¤i sè º gi£i b i to¡n H¼nh håc v  ng÷ñc l¤i gi£i c¡c b i to¡nH¼nh håc vîi cæng cö ¤i sè thæng qua vi»c gi£i mët sè b i to¡n d nh chohåc sinh giäi, l  · thi chån håc sinh giäi c¡c t¿nh, to n quèc v  khu vüc.Luªn v«n tªp trung v o ho n th nh c¡c nhi»m vö ch½nh sau:

• Þ t÷ðng khai th¡c c¡c t½nh ch§t, cæng cö cõa ¤i sè º gi£i b i to¡n H¼nhhåc v  ng÷ñc l¤i

• S÷u t¦m mët b i to¡n, · thi v· ¤i sè, H¼nh håc d nh cho håc sinh giäi

• ÷a ra líi gi£i b¬ng c¡ch vªn döng t½nh ch§t, cæng cö cõa ¤i sè º gi£imët sè b i to¡n H¼nh håc v  ng÷ñc l¤i khai th¡c c¡c t½nh ch§t, ph÷ìngph¡p H¼nh håc º gi£i c¡c b i to¡n ¤i sè d nh cho håc sinh giäi

3 Nëi dung cõa · t i luªn v«n

Nëi dung luªn v«n ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o s³ gçm

Ch֓ng 1

Khai th¡c ki¸n thùc ¤i sè º gi£i mët sè b i to¡n H¼nh håc

1.1 Þ t÷ðng chung

Nëi dung ch÷ìng 1 minh håa þ t÷ðng vªn döng c¡c t½nh ch§t, ành lþ, cæng

cö trong ¤i sè trong qu¡ tr¼nh t¼m ra líi gi£i cho mët sè b i to¡n H¼nh håcb¬ng c¡ch ÷a ra mët sè v½ dö sû döng ki¸n thùc ¤i sè º ÷a ra líi gi£i chomët sè b i to¡n chån låc d nh cho håc sinh giäi, l  · thi chån håc sinh giäic¡c àa ph÷ìng, to n quèc công nh÷ · thi chån håc sinh giäi khu vüc Ch¥u

 - Th¡i B¼nh D÷ìng v  mët sè n÷îc khu vüc æng …u

Mët trong nhúng kh¥u quan trång ©n trong nhúng v½ dö l  vi»c bi¸n èi

b i to¡n ban ¦u º chóng bëc lë nhúng iºm câ thº vªn döng c¡c t½nh ch§tcõa ¤i sè º gi£i quy¸t v§n ·, câ thº t¤m gåi ¥y l  qu¡ tr¼nh "¤i sè hâa

b i to¡n h¼nh håc" , sau â l  qu¡ tr¼nh sû döng cæng cö ¤i sè º ph¡t biºu

b i to¡n H¼nh håc ban ¦u



≥ 9

¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi a = b = c.

c +

c

b − 2

+c

b + c + 1

+

b

c + a + 1

+

c

Líi gi£i

H¼nh 1

Gåi h = a

√3

2 l  ë d i ÷íng cao cõa tam gi¡c ·u ABC v  °t MD = x,

a .b) p döng BT 2 ta câ

a .Trong c£ hai tr÷íng hñp ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi x = y = z, lóc â

M l  t¥m ÷íng trán nëi ti¸p ∆ABC

B i to¡n 1.2.1.2 Gåi H l  trüc t¥m tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån vîi

⇔ S1 = S2 = S3 = S

3,lóc â H vøa l  trüc t¥m, vøa l  trång t¥m cõa tam gi¡c ABC n¶n ABC l tam gi¡c ·u

B i to¡n 1.2.1.3 X²t tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån nëi ti¸p ÷íng trán(O) vîi ba ÷íng cao AA1; BB1; CC1 l¦n l÷ñt c­t (O) l¦n núa t¤i D; E; F X¡c ành d¤ng cõa tam gi¡c ABC sao cho:

a) Gåi di»n t½ch tam gi¡c ABC, HBC, HAC, HAB l¦n l÷ñt l  S, S1, S2, S3th¼

S = S1+ S2 + S3.D¹ th§y

⇔ S1 = S2 = S3 = S

3,lóc â H vøa l  trüc t¥m, vøa l  trång t¥m cõa tam gi¡c ABC n¶n ABC l tam gi¡c ·u

¯ng thùc x£y ra khi ∆ABC l  tam gi¡c ·u

B i to¡n 1.2.1.4 Trong c¡c tam gi¡c ngo¤i ti¸p ÷íng trán t¥m O b¡nk½nh r, h¢y x¡c ành d¤ng cõa tam gi¡c sao cho têng ë d i ba ÷íng cao ¤tgi¡ trà nhä nh§t T½nh gi¡ trà â

¯ng thùc x£y ra khi ha = hb = hc = 3r, ha + hb+ hc = 9r, lóc â ∆ABC

l  tam gi¡c ·u

B i to¡n 1.2.1.5 Cho tam gi¡c ABC v  M l  iºm n¬m trong tam gi¡c.K´ AM, BM, CM c­t c¡c c¤nh BC, CA, AB l¦n l÷ñt t¤i A1, B1, C1 X¡c ành

d(M ; BC)d(A; BC) =

S1SVîi d(M; BC); d(A; BC) l¦n l÷ñt l  kho£ng c¡ch tø M v  A ¸n BC.Suy ra

M A1

AA1 =

S1ST÷ìng tü

¯ng thùc x£y ra khi S1 = S2 = S3 = S

3, lóc â M l  trång t¥m ∆ABC.b) °t AA1



− 1 ≥ 9 − 1 = 8

¯ng thùc x£y ra khi x = y = z, lóc â M l  trång t¥m cõa ∆ABC

Ta câ thº gi£i þ b theo c¡ch sau:

C¡ch 2 (Sû döng t¿ sè di»n t½ch v  BT Cauchy)

Gåi S1; S2; S3 l¦n l÷ñt l  di»n t½ch tam gi¡c ABM, ACM, BCM Chó þr¬ng hai tam gi¡c câ còng ÷íng cao th¼ t¿ sè di»n t½ch cõa chóng b¬ng t¿ sèhai c¤nh ¡y

D§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi S1 = S2 = S3 = 1

≥ 2

√BD.EC.2√

2 , lóc â M tròngvîi t¥m O

1.2.2 B i to¡n quÿ t½ch

B i to¡n quÿ t½ch l  mët d¤ng to¡n th÷íng xu§t hi»n trong nëi dungH¼nh håc v  ð phê thæng b i to¡n quÿ t½ch th÷íng gçm c¡c b÷îc: dü o¡nquÿ t½ch, chùng minh quÿ t½ch, giîi h¤n quÿ t½ch Tuy nhi¶n câ mët sè b ito¡n quÿ t½ch l¤i ÷ñc xu§t ph¡t tø mët b i to¡n gi£i t½ch, b i to¡n ¤i sè.Nhúng b i to¡n n y th÷íng ph£i dòng ki¸n thùc gi£i t½ch, ¤i sè º bi¸n êi

¸n b i to¡n trung gian, sau â sû döng ki¸n thùc H¼nh håc º gi£i quy¸t

÷a ra quÿ t½ch Vîi quan iºm sû döng ki¸n thùc ¤i sè gi£i mët sè b i to¡nH¼nh håc(v  ng÷ñc l¤i) l  sû döng trong qu¡ tr¼nh ÷a ¸n líi gi£i, nh÷ vªyki¸n thùc ¤i sè(H¼nh håc) ÷ñc sû döng ð mët sè b÷îc

B i to¡n quÿ t½ch "Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë t¼m quÿ t½ch iºm M(x; y) thäam¢n t½nh ch§t T " ta gåi l  b i to¡n quÿ t½ch ¤i sè v  khi gi£i b i to¡n quÿt½ch n y ta th÷íng x²t ba v§n ·:

1) iºm ch¤y M(x; y) câ phö thuëc v o tham sè m khæng?

2) T½nh ch§t T (i·u ki»n quÿ t½ch) m  iºm ch¤y M(x; y) ph£i thäa m¢nc¦n biºu thà qua ph÷ìng tr¼nh (hay b§t ph÷ìng tr¼nh) cõa x, y nh÷ th¸ n o?3) Giîi h¤n quÿ t½ch Q cõa M (ph¦n £o cõa b i to¡n quÿ t½ch): Q câ thº

l  mët ÷íng, mët mi·n n o â cõa m°t ph¯ng tåa ë ho°c ch¿ gçm mët sèmi·n ríi r¤c

N¸u Q l  mët ÷íng th¼ giúa c¡c tåa ë (x; y) cõa c¡c iºm thuëc Q ph£i

l  mët h» thùc n o â F (x; y) = 0, h» thùc §y ch½nh l  ph÷ìng tr¼nh cõa

÷íng Q v  gåi l  ph÷ìng tr¼nh quÿ t½ch

N¸u Q l  mët mi·n tr¶n R2 th¼ giúa c¡c tåa ë (x; y) cõa c¡c iºm thuëc

Q th÷íng câ li¶n h» d÷îi d¤ng b§t ph÷ìng tr¼nh º ch¿ ra mi·n Q, ta ph£ivi¸t ÷ñc ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng bi¶n cõa Q

Khi dòng ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n quÿ t½ch ¤i sè ta câ hai tr÷íng sau:Tr÷íng hñp 1 iºm ch¤y M(x; y) phö thuëc v o tham sè m

B÷îc 1 Biºu di¹n c¡c tåa ë cõa iºm ch¤y qua tham sè m düa v o i·uki»n T , ta câ h»:

(

x = x(m) (1)

y = y(m) (2)B÷îc 2 Khû m tø h» (1) v  (2) ÷ñc h» thùc li¶n h» giúa x, y l  ph÷ìngtr¼nh quÿ t½ch

F (x, y) = 0 (3)B÷îc 3 Giîi h¤n quÿ t½ch.

N¸u tham sè m bi¸n thi¶n tòy þ th¼ quÿ t½ch l  to n bë ÷íng cong chobði ph÷ìng tr¼nh (3) Kþ hi»u ÷íng cong â l  (d1)

N¸u tham sè m ch¿ bi¸n thi¶n trong mi·n (α) th¼ tø (1) suy ra x ch¿ bi¸nthi¶n trong mi·n (α1)

Ta x²t minx(m),maxx(m) º ch¿ ra quÿ t½ch ch¿ l  mët ph¦n cõa ÷íngth¯ng (d1) v³ trong (α1)

Tr÷íng hñp 2 iºm ch¤y M(x; y) khæng phö thuëc tham sè m

B÷îc 1 Chuyºn tø i·u ki»n quÿ t½ch T èi vîi iºm ch¤y M(x; y) v· i·uki»n èi vîi c¡c tåa ë (x; y) cõa nâ

B÷îc 2 Gi£i i·u ki»n §y º t¼m ra h» thùc ho°c b§t ¯ng thùc li¶n h»trüc ti¸p giúa x, y

Chó þ Quÿ t½ch trong tr÷íng hñp n y th÷íng l  mi·n

Sau ¥y l  mët sè v½ dö minh håa ÷ñc tr½ch d¨n tø T¤p ch½ To¡n Håc v Tuêi Tr´ v  c¡c t i li»u tham kh£o

B i to¡n 1.2.2.1 Cho hå ÷íng cong y = f(x) = x − 2 + m

x (4) T¼mquÿ t½ch iºm cüc ¤i, cüc tiºu cõa ç thà h m sè

÷íng th¯ng y = mx − m c­t y = x2 t¤i hai iºm

⇔ Ph÷ìng tr¼nh x2− mx + m = 0 câ hai nghi»m

⇔ ∆ = m2− 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0 ho°c 4 ≤ m (α)

Gåi I(x; y) l  iºm thuëc quÿ t½ch c¦n t¼m vîi i·u ki»n (α) ta câ:

x = 1

2(x1+ x2)trong â x1; x2 l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x2− mx + m = 0

Vªy quÿ t½ch giao iºm cõa hå ÷íng cong vîi Oy l  mët o¤n tr¶n tröc

Oy câ tung ë thäa m¢n (α)

Gåi B(x; 0) l  giao iºm cõa ç thà ¢ cho vîi Ox Khi â ph÷ìng tr¼nh

Vªy quÿ t½ch giao iºm cõa hå ÷íng cong vîi Ox l  mët kho£ng tr¶n tröc

Ox câ ho nh ë thäa m¢n (α1)

B i to¡n 1.2.2.4 T¼m quÿ t½ch nhúng iºm tr¶n m°t ph¯ng tåa ë câkho£ng c¡ch ¸n ÷íng th¯ng y = −1

4 v  ¸n iºm (0;1

4) l  b¬ng nhau

⇔



y + 14

2

= x2+



y − 14

2

(do c£ hai v¸ ·u khæng ¥m)

⇔ y = x2

Vªy quÿ t½ch c¦n t¼m l  parabol y = x2

B i to¡n 1.2.2.5 Cho h m sè y = x2

a) T¼m quÿ t½ch nhúng iºm m  tø â câ thº k´ ÷ñc hai ti¸p tuy¸n tîi ç

thà

b) T¼m quÿ t½ch nhúng iºm m  tø â câ thº k´ ÷ñc hai ti¸p tuy¸n vuæng

gâc vîi nhau tîi ç thà

º qua iºm A k´ ÷ñc hai ti¸p tuy¸n ¸n ç thà h m sè y = f(x) = x2

⇔ ph÷ìng tr¼nh x2 = 2x(x − x0) + y0 câ 2 nghi»m ph¥n bi»t

⇔ ph÷ìng tr¼nh x2− 2x0x + y0 = 0 câ 2 nghi»m ph¥n bi»t (1)

⇔ ∆0 = x20− y0 > 0 ⇔ y0 < x20

Vªy quÿ t½ch nhúng iºm m  tø â k´ ÷ñc hai ti¸p tuy¸n tîi ç thà l 

nhúng iºm n¬m d÷îi parabol y = x2

b) Gåi B(x0; y0) l  nhúng iºm m  tø â câ thº k´ ÷ñc hai ti¸p tuy¸n

vuæng gâc vîi nhau tîi ç thà Gåi k1, k2 l  c¡c h» sè gâc cõa hai ti¸p tuy¸n

4

Ch֓ng 2

Khai th¡c ki¸n thùc H¼nh håc º gi£i mët sè b i to¡n ¤i sè

2.1 Þ t÷ðng chung

Nëi dung ch÷ìng 2 minh håa þ t÷ðng vªn döng c¡c t½nh ch§t, ành lþ, cæng

cö trong H¼nh håc trong qu¡ tr¼nh t¼m ra líi gi£i cho mët sè b i to¡n ¤i sèb¬ng c¡ch ÷a ra mët sè v½ dö sû döng ki¸n thùc H¼nh håc º ÷a ra líi gi£icho mët sè b i to¡n chån låc d nh cho håc sinh giäi, l  · thi chån håc sinhgiäi c¡c àa ph÷ìng, to n quèc công nh÷ · thi chån håc sinh giäi khu vücCh¥u  - Th¡i B¼nh D÷ìng v  mët sè n÷îc khu vüc æng …u

Mët trong nhúng kh¥u quan trång ©n trong nhúng v½ dö l  vi»c bi¸n èi

b i to¡n ban ¦u º chóng bëc lë nhúng iºm câ thº vªn döng c¡c t½nh ch§tcõa H¼nh håc º gi£i quy¸t v§n ·, câ thº t¤m gåi ¥y l  qu¡ tr¼nh "H¼nh håchâa b i to¡n ¤i sè" vîi vi»c sû döng ngæn ngú H¼nh håc º ph¡t biºu b ito¡n ¤i sè ban ¦u

2.2 Mët sè v½ dö minh håa

2.2.1 B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc

Vectì l  mët ki¸n thùc trong H¼nh håc, nâ kh¡c bi»t vîi c¡c èi t÷ñngkh¡c cõa H¼nh håc ð y¸u tè câ h÷îng ¥y l  mët y¸u tè °c bi»t gióp vectìlinh ho¤t trong c¡c c¡ch ti¸p cªn v  gi£i quy¸t b i to¡n Hìn núa, vi»c h¼nh

th nh h» tröc tåa ë trong m°t ph¯ng v  khæng gian l¤i ti¸p töc trang bà

th¶m nhúng cæng cö mîi cho vectì Cho ph²p xâa i ranh giîi giúa H¼nh håc

v  ¤i sè

Nhi·u b i to¡n trong ¤i sè m  c¡ch gi£i düa tr¶n vi»c ¡p döng vectì v tåa ë vectì thüc sü d¹ hiºu v  trong s¡ng Ch½nh v¼ vªy d÷îi ¥y, luªn v«ns³ ÷a ra mët sè b i to¡n trong ¤i sè m  vi»c sû döng vectì v  tåa ë vectìt¤o ra mët h÷îng ti¸p cªn mîi, çng thíi t«ng kh£ n«ng t÷ duy s¡ng t¤o v vªn döng linh ho¤t ki¸n thùc cho håc sinh

Tr÷îc ti¶n, t¡c gi£ luªn v«n xin n¶u l¤i mët sè v§n · c«n b£n v· vectì nh÷sau

1) C¡c b§t ¯ng thùc cì b£n cõa vectì

a) |~u + ~v| ≤ |~u| + ~v|,

D§u ¯ng thùc x£y ra khi hai vectì còng h÷îng ⇔ ∃k ∈ R∗

+ : ~u = k~v.b) |~u + ~v + ~w| ≤ |~u| + |~v| + |~w|,

D§u ¯ng thùc x£y ra khi ba vectì còng h÷îng v  mð rëng cho n vectì.c) ||~u| − |~v|| ≤ |~u + ~v|,

D§u ¯ng thùc x£y ra khi hai vectì ng÷ñc h÷îng ⇔ ∃k ∈ R∗

− : ~u = k~v.d) |~u| − |~v| ≤ |~u| + |~v|, d§u b¬ng x£y ra khi ho°c ~v = ~0 ho°c ~u;~v ng÷ñch÷îng

e) |~u.~v| ≤ |~u|.|~v|, d§u b¬ng x£y ra khi hai vectì còng ph÷ìng

2) C¡c t½nh ch§t li¶n quan ¸n tåa ë vectì

Trong m°t ph¯ng vîi h» tröc tåa ë Oxy, cho hai vectì ~u = (x1; y1);

Sau ¥y l  mët sè v½ dö minh håa trong ¤i sè m  líi gi£i câ sû döng ¸nvectì v  tåa ë vectì (÷ñc tr½ch d¨n tø C¡c chuy¶n · to¡n håc bçi d÷ïnghåc sinh giäi vòng T¥y B­c v  c¡c t i li»u tham kh£o) Mët c¡i nh¼n têng thº

º l m nêi bªt vi»c ¡p döng vectì cho nhi·u d¤ng to¡n tø sè håc, b§t ¯ngthùc, cüc trà ¸n gi£i ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh

B i to¡n 2.2.1.1 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC ta luæn câ

cos A + cos B + cos C ≤ 3

2 (1)Líi gi£i

C¡ch 1 (Sû döng t½nh ch§t ¤i sè) Sû döng b§t ¯ng thùc l÷ñnggi¡c cì b£n

2 − 12

A = ˆBˆ

C = 60◦

⇒ ˆA = ˆB = ˆC = 60◦ ⇒ Tam gi¡c ABC ·u

C¡ch 2 (Sû döng t½nh ch§t ¤i sè) Sû döng tam thùc bªc haiX²t

cos A + cos B + cos C − 3

°t x = sinC

2.X²t tam thùc f(x) = −2x2− 2 cosA − B

Do â, f(x) ≤ 0 vîi måi x

Hay cos A + cos B + cos C ≤ 3

2.

¯ng thùc x£y ra khi tam gi¡c ABC l  tam gi¡c ·u

C¡ch 3 (Sû döng t½nh ch§t H¼nh håc) Sû döng t½ch væ h÷îngcõa c¡c vectì

Tø iºm I tòy þ trong tam gi¡c ABC düng ba vectì ~v1; ~v2; ~v3 câ ë d i

ìn và l¦n l÷ñt vuæng gâc vîi c¡c c¤nh BC; AC; AB

Theo t½nh ch§t cõa t½ch væ h÷îng

0 ≤ (~v1+ ~v2+ ~v3)2 = ~v12+ ~v22+ ~v23+ 2(~v1.~v2+ ~v2.~v3+ ~v1.~v3) (1)L¤i câ |~v1| = |~v2| = |~v3| = 1 ⇒ ~v2

Tø â d¨n ¸n (1) ⇔ 0 ≤ 3 − 2(cos A + cos B + cos C)

⇔ cos A + cos B + cos C ≤ 3

2.D§u ¯ng thùc x£y ra ⇔ (~v1+ ~v2+ ~v3)2 = 0 ⇒ ~v1+ ~v2+ ~v3 = ~0

⇒ ~v1+ ~v2 = −~v3

H¼nh 8

Ta câ

(~v1; ~v2) = 120◦ ⇒ ˆC = 60◦; (~v2; ~v3) = 120◦ ⇒ ˆA = 60◦; (~v1; ~v3) = 120◦ ⇒ ˆC = 60◦

Do â d§u ¯ng thùc x£y ra ⇔ ˆA = ˆB = ˆC = 60◦ Khi â tam gi¡c ABC ·u

B i to¡n 2.2.1.2 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC v  måi sèthüc x, luæn câ

2 − (cos B + cos C)x + 1 − cos A ≥ 0 vîi måi x ∈ R

⇔f (x) ≥ 0 vîi måi x ∈ R, vîi

f (x) = x

2

2 − (cos B + cos C)x + 1 − cos A

Nh÷ vªy, vi»c chùng minh b§t ¯ng thùc (1) ÷ñc quy v· chùng minh tamthùc bªc hai f(x) khæng ¥m vîi måi x ∈ R

Tø iºm I tòy þ trong tam gi¡c ABC düng ba vectì ~v1; ~v2; ~v3 câ ë d i

ìn và l¦n l÷ñt vuæng gâc vîi c¡c c¤nh BC; AC; AB

0 ≤ x2− 2x(cos C + cos B) − 2 cos A + 2

⇔x2+ 2 ≥ 2 cos A + 2x(cos B + cos C)

°t f(x) = |√x2+ 2x + 5−√

x2− 4x + 40| = |p(x + 1)2+ 4−p(2 − x)2+ 36.X²t c¡c vectì ~u = (x + 1; −2);~v = (2 − x; 6)

Ta câ ~u + ~v = (3; 4)

|~u| = p(x + 1)2+ 4; ~v = p(2 − x)2+ 36

trong â ai, i = 1, 2, 3, , n, n l  c¡c sè thüc câ têng b¬ng 17 T¼m gi¡ trà cõa

n nguy¶n d÷ìng sao cho Sn l  sè nguy¶n

vuut

Vªy n = 12; S12 = 145 thäa m¢n · b i.

B i to¡n 2.2.1.5 Cho b¡t gi¡c A1A2 A8 câ t½nh ch§t t§t c£ c¡c ¿nh câtåa ë nguy¶n v  ë d i t§t c£ c¡c c¤nh l  nhúng sè nguy¶n Chùng minhr¬ng chu vi a gi¡c l  mët sè ch®n

°t OA = a, OB = b, OC = c sao cho [AOB = 45◦; \BOC = 30◦ (xem h¼nhv³)

p döng ành lþ h m cosin, ta câ:

AB = pa2−√2ab + b2

BC =pb2−√3bc + c2

H¼nh 9

Ta câ cos 75◦ = cos(45◦+ 35◦) =

p

2 −√3

Rã r ng AB + BC ≥ AC n¶n suy ra i·u ph£i chùng minh

D§u ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi A; B; C th¯ng h ng, tùc l  khi

SOAB + SOBC = SOAC

p

2 +√3

a√

Vªy (1) l  i·u ki»n º câ d§u b¬ng trong b§t ¯ng thùc ¢ cho

B i to¡n 2.2.1.7 Cho a1; a2; an l  n sè thüc b§t ký Chùng minh r¬ng

2 .Líi gi£i