Sáng kiến kinh nghiệm: Giải các bài toán bằng MTCT bậc THCS

- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùngMTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toántrên MTCT đều có.. - Trong thực tế, khi bồi

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kếthợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử Có nhữngbài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (líthuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt,

…), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếukhông dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu Như vậy máy tính điện tửđẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳthi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”

(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).

- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sửdụng rộng rãi trong học tập, thi cử Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việctính toán và những bài tập không thể giải bằng tay

- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùngMTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toántrên MTCT đều có

- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, củahuyện sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phầnlớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năngtrình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác

Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT đểgiải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo vàchính xác là hết sức cần thiết

Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quanđến đa thức đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầuhết các tỉnh thành trong cả nước

Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ”

II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Nhiệm vụ chính:

Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán liên quan đến đa thức

Đối với giáo viên:

- Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn

- Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng MTCT

Đối với học sinh:

- Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức

- Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo

III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN

HÀNH NGHIÊN CỨU

- Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường

- Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện

 Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010

- Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh được lựa chọn ở các khối 7,8,9 từ 5/10/2009 đến 1/11/2009)

- Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Bình Nghi.( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009)

- Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện Tây Sơn

( Từ 14/12/2009 đến 5/01/2010)

B.KẾT QUẢ

I TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC:

- Học sinh không biết giải các bài tập về đa thức bằng MTCT như thế nào

- Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải chung cho dạng bài tập này

Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học

2009 – 2010 khi chưa thực hiện đề tài

BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA

II NỘI DUNG – GIẢI PHÁP:

A KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TỐN ĐA THỨC :

Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)”

Hệ quả :

- Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f ỉ ưç- ÷ççè øba÷÷

- Nếu đa thức P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +….+a 1 x + a 0 ( n  N) cĩ n nghiệm x 1 , x 2

…,x n thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử :

P(x) = a(x – x 1 )(x – x 2 ) ….(x – x n-1 )(x – x n )

- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rấtthông dụng

- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụngMTCT

C

CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG :

Dạng 1 :Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được: P(x)=Q(x) (ax+b) + m + r

Muốn P(x) chia hết cho x + b a thì m + r = 0 hay m = -r = - P( ba)

 Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương trình của MTCT để giải quyết.

Ví dụ 1 : Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2

Giải : Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta cĩ f(x) = g(x) +m2x2 – mx

f(x)  (x – 2 )  f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2m = 0

Ta cĩ g(2) = –56  f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56  4m2 – 2m – 56 = 0

Giải phương trình ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5

(*) vào EQN chọn phương trình bậc hai một ẩn :

nhập vào máy a =4 ; b=- 2 ; c= -56  x 1 = 4; x 2 =- 3,5

Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 và

f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2

(Sở GD – ĐT TP Hồ Chí Minh 2003)

Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m -5 tại x = - 2,5 là 0,49

HD: Đây là bài toán tìm m để đa thức f(x) chia cho x + 2,5 có số dư là 0,49

f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b  f(3) = 0  2a + 3b = –87

g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b  g(3) = 0  –3a +2b = –318

Ta cĩ hệ phương trình : ìïï2a 3b3a 2b 87318

íï ïỵ

Dạng 2 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r  R (vì ax + b bậc 1) Thế x b

a

 ta được P( ba) = r ( Bezout)

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( ba)

Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:

Qui trình ấn máy :

Ấn các phím: 1 624 SHIFT STO X

5

– 7

Qui trình ấn máy :

Ấn các phím: 5 SHIFT STO X

Bài 1: (Sở GD - ĐT Đồng Nai, 1998)

Tìm số dư trong phép chia x5 6,723x 1,857x3 x 2,3182 6,458x 4,319

Ấn các phím:  2 318 SHIFT STO A

Qui trình ấn máy :

Ấn các phím: 2 SHIFT STO B

Đáp số: r 1 = 96 ;r 2 =239 ;BCNN(r 1 ,r 2 ) = 22944

Dạng3 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức

Bài toán : Chia đa thức a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 cho x – c ta sẽ được thương là một

đa thức bậc hai Q(x) = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 và số dư r

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để được q(x) và r với q(x) = b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 +…+ b 1 x + b 0 ta được bảng sau:

( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư)

Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q 1 (x)(x - c)+r 0 theo sơ đồ Horner để được

q 1 (x) và r 0 Sau đó lại tiếp tục tìm các q k (x) và r k-1 ta được bảng sau:

Dạng4: Phân tích đa thức thành nhân tưû

Nếu khơng cĩ sự hỗ trợ của MTCT thì việc phân tích đa thức thành nhân tử là một bài tốn khĩ.

Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của MTCT để tìm nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để giải quyết.

“Giả sử đa thức P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ( a n  0) có n nghiệm là x 1 ;x 2 ,…,x n thì P(x) = a n (x - x 1 )(x - x 2 )…(x - x n )”

Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304

HD: Tìm chức năng giải phương trình bậc ba

Nhập a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265 Tìm được nghiệm của đa thức trên :

1 23 2 11 3 5

x , x ,x

Vậy đa thức 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 được phân tích thành

-Dạng 5: Tính giá trị của đa thức

Dạng 5.1: Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến(đa thức cho trước) Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x 0 , y = y 0 ; …

Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.

Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)

Đặt b n-1 = b n x 0 + a n ; b n-2 = b n-1 x 0 + a n-1 ; …; b 1 = b 0 x 0 + a 0; b o =a 0 Suy ra: P(x 0 ) = b n

Từ đây ta có công thức truy hồi: b k = b k-1 x 0 + a k với k ≥ 1.

Giải trên máy: - Gán giá trị x 0 vào biến nhớ M.

-Thực hiện dãy lặp: b k-1 ALPHA M + a k

Ví dụ 8: (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)

2 , 7 4 , 6

5 2 1 , 3 32

Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans

Aán phím: 1 . 8165 

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X

Aán phím: 1 .8165 SHIFT STO X

2

25

5

5 5

5

y x

y x

xy x

y x xy

Đáp số : B = 7,955449483

y xy x y x y x y

x

C

16

4 4 2

1 4

2 2

2 2

2 2

Ví dụ 11 : (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)

Đa thức P(x) =x 5  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e có giá trị là 11;14;19;26;35 khi

x nhận các giá trị lần lượt là: 1;2;3;4;5

a) Tính P(11) và P(15)

b) Tìm số dư r khi chia P(x) cho 10x – 3

Giải : a) Rõ ràng nếu ta thế 1,2,3,4,5 chỉ xác định hệ số tự do , việc cịn lại là giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn mà máy CASIO khơng thể giải quyết được Giải bằng tay thì rất vất vả Bài tốn này cĩ thể giải quyết như sau :

Từ đĩ suy ra 1,2,3,4,5 là nghiệm của g(x) Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) – k(x) ) và cĩ hệ số cao nhất là 1

Từ đĩ suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :

g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)

mà g(x) = P(x) – k(x)  P(x) = g(x) + k(x)

Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 + 10

P(11) = 30371;P(15)=240475

 Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) = x2 + 10 ?

Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 11 k(2)

= 14 , k(3) = 19

(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta cĩ hệ phương trình :

a b c 114a 2b c 149a 3b c 19

ìïï ïïï íï ïï ïïỵ

Ở câu b) việc tìm số dư quá đơn giản đây là bài toán ở dạng 2 ở trên

Quy trình: Dư trong phép chia P(x) cho 10x -3 là P(103 )

2

( ALPHA X 1)( ALPHA X 2)( ALPHA X 3)( ALPHA X 4)( ALPHA X 5) ALPHA X x 10       

Bài tập tương tự :

Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9)

a) Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e

ìïï ïïï íï ïï ïïỵ

k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9

(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :

a b c 54a 2b c 79a 3b c 9

ìïï ïïï íï ïï ïïî

ìïï ïïï íï ïï ïïî

HD: Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = -1; k(2) = -1 , k(3) = 1

(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

+ +

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -3 , c = 1

Bài toán sau đây là một ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình giải

Ví dụ 12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005

Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)

Giải : Xét đa thức phụ k(x) = 3x + 5

Ở bài toán trên khi chúng ta đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) thì kết quả nhận được là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) – k(x) ) và cĩ hệ số cao nhất là 1 Nên kết quả của bài sai là do đa thức g(x) tìm được chỉ là một đa thức bậc 4.

Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào?

Đa thức g(x) phải cĩ hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của P(x) nên g(x) được phân tích thành nhân tử như sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4)

Vấn đề cịn lại là tìm số I như thế nào ?

Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15

HD: Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14

(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta cĩ hệ phương trình :

a b c 84a 2b c 119a 3b c 14

ìïï ïïï íï ïï ïïỵ

ìïï ïïï íï ïï ïïỵ

Bài tập tổng hợp:

Bài 1: (Sở GD – ĐT Bắc Ninh, 2005)

Cho đa thức bậc 4 :f(x) = x4 +bx3 +cx2 + dx + 43 có f(0) = f(-1); f(1)= f(-2);

f(2) = f(-3) Tìm b,c,d

Với b,c,d vừa tìm được ,Hãy tìm tất cả các số nguyên n sao cho

f(n)= n4 +bn3 +cn2 + dn + 43 là một số chính phương

ìïï ïïï íï ïï ïïỵ

 P(x) được phân tích thành nhân tử như sau :

P(x) = 6301 (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )

Với x Z thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9

số nguyên liên tiếp

Trong đó có ít nhaát 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 5, 1 số chia hết cho 7 và 1 số chia hết cho 9

Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )

Vì ƯCLN(2,5) = 1  A  10

ƯCLN(7,9) = 1 A  63

ƯCLN(10 ,63) = 1  A  630

 1 A

630 là một số nguyên hay P(x) luơn nhận giá trị nguyên với mọi x Z Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m

a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3

b Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x-2 và phântích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất

c Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2

d Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất

d)Tìm chức năng giải phương trình bậc ba

Nhập a = 2 , b =- 5 , c = - 13, d = 30 Tìm được nghiệm của đa thức trên :

a Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2

b Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ cómột nghiệm duy nhất

HD: P(x) , và Q(x) cùng chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) =Q(2) = 0

 (x – 2)( x2 + x + 3) = 0 có nghiệm duy nhất x = 2

Bài 7: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)

a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m

1 Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003

2 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5

3 P(x) có nghiệm x = 2 Tìm m?

b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19,P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11)

HD: a) Dựa vào các ví dụ 1;3

b)Dựa vào các ví dụ 11

Bài 8: (Sở GD - ĐT Cần Thơ 2002)

Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c Biết f( )1 7 ;f( 1) 3;f( )1 89

3 108  2  8 5 500 Tính giá trịđúng và gần đúng của f( )2

HD: Dựa vào bài tập 1(Bài tập tổng hợp)

Bài 9: (Sở GD - ĐT Lâm Đồng, 2005)

Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13)

biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7

HD

: Đặt g(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x + 7 ta cĩ P(x) = g(x) – m

P(x)  (x – 13 )  P(13) = 0 hay g(13) – m = 0

Ta cĩ g(13) = 1834775  P(13) = 0 khi 1834775 – m = 0  m = 1834775

Đáp số: m = 1834775

Bài 10: (Thi khu vực 2004)

Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính:

a Các hệ số b, c, d của đa thức P(x)

Bài 11: (Sở GD - ĐT Hải Phòng, 2004)

Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41.Tính:

a Các hệ số a, b, c của đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4

c Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7

d Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7)

Bài 12: (Sở GD - ĐT Thái Nguyên, 2003)

a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18;P(4) = 42 Tính P(2002)?

b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là

đa thức Q(x) có bậc 3 Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?

C KẾT LUẬN

1.

K hái quát cục bộ :

Qua thực tế dạy – học về sử dụng MTCT để giải toán, thầy và trò cần nắmvững chu trình tổng quát :

Đề

Dạng

Muốn đạt được kết quả cao khi giải các bài toán đa thức bằng MTCTchúng ta cần nắm vững một số vấn đề:

1 Tính năng của các phím, chủng loại máy,…

2 Dạng bài, kiểu bài, …  định hướng đi

3 Các phép biến đổi, thuật toán,…  Dãy lệnh cho máy

4 Trình bày bài làm(lộ trình đối với những bài tập yêu cầu viết qui trìnhhoặc kết quả)

Đề tài: “Một số kinh nghiệm về giải các bài toán đa thức ở bậc THCS

bằng MTCT ” giúp chúng ta định hướng cho học sinh các dạng bài tập về đa

thức và phương pháp giải những dạng toán đó Giúp cho học sinh tự tin hơntrong việc giải các dạng bài tập về đa thức một cách sáng tạo, phối hợp nhịpnhàng giữa tư duy và phương tiện bổ trợ, sử dụng có hiệu quả và khai thác hếtchức năng của MTCT

Kết quả khảo sát ở năm học 2009– 2010

BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC

Kết quả