Giáo trình Xử lý số tín hiệu_Mac Van Bien_Phan Quang Thuong

L ỜI NÓI ĐẦUXử lý số tín hiệu DSP: Digital Signal Processing nghĩa là xử lý tín hiệu bằng con đường số và là môn học đề cập đến các phép xử lý các dãy số để có được các thông tin cần thi

Ths M ạc Văn Biên (chủ biên) – Ths Phan Quang Thưởng

)|

1

ω Dải

thông

Dải quá độ

Dải quáđộ

Dảichắn

p

ωs

TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

Chủ biên: Ths MẠC VĂN BIÊN

BỘ CÔNG THƯƠNG

TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

Chủ biên: Ths Mạc Văn Biên Thành viên: Ths Phan Quang Thưởng

Giáo trình

(Giáo trình l ưu hành nội bộ - chào mừng 50 năm

thành l ập trường Cao đẳng Kỹ thuật Công nghiệp)

B ẮC GIANG - 2016

L ỜI NÓI ĐẦU

Xử lý số tín hiệu (DSP: Digital Signal Processing) nghĩa là xử lý tín hiệu bằng

con đường số và là môn học đề cập đến các phép xử lý các dãy số để có được các

thông tin cần thiết như phân tích, tổng hợp mã hoá, biến đổi tín hiệu sang dạng mớiphù hợp với hệ thống Đây là ngành khoa học đang phát triển rất mạnh và được ápdụng rất hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như: Thông tin liên lạc, phát thanh, truyền hình,

điều khiển, đo lường, … So với xử lý tín hiệu tương tự, xử lý tín hiệu số có nhiều ưuđiểm như:

- Độ chính xác cao, sao chép trung thực, tin cậy

- Tính bền vững: không chịu ảnh hưởng nhiều của nhiệt độ hay thời gian

- Linh hoạt và mềm dẻo: thay đổi phần mềm có thể thay đổi các tính năng phần cứng

- Thời gian thiết kế nhanh, các chip DSP ngày càng hoàn thiện và có độ tích hợp cao.Trong môn học Xử lý số tín hiệu, những nội dung chính được đề cập bao gồmcác khái niệm về tín hiệu và hệ thống, các phép biến đổi cơ bản dùng trong xử lý số tínhiệu như biến đổi Z, biến đổi Fourier, biến đổi DFT, các phương pháp tổng hợp bộ lọc

FIR và cấu trúc bộ lọc Giáo trình X ử lý số tín hiệu được biên soạn cho đối tượng là

sinh viên cao đẳng các ngành Công nghệ kỹ thuật điện, điện tử; công nghệ viễn thông,

công nghệ thông tin, công nghệ tự động,… với chủ trương ngắn gọn, nhiều ví dụ, dễhiểu Giáo trình được chia thành 5 chương:

Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc

Chương 2: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền Z

Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu trong miền tần số liên tục Chương 4: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu trong miền tần số rời rạc

Chương 5: Thiết kế bộ lọc FIR

Mặc dù đã rất cố gắng và giáo trình đã được sử dụng để giảng dạy nhiều năm tại

trường Cao đẳng Kỹ thuật Công nghiệp nhưng ở lần biên soạn đầu tiên, chắc chắn

không tránh khỏi các sơ sót, nhầm lẫn Chúng tôi rất mong bạn đọc thông cảm và đónggóp các ý kiến cho tác giả trong quá trình học tập, trao đổi để lần tái bản sau đượchoàn thiện hơn

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về:

- Mạc Văn Biên, Phan Quang Thưởng - Giảng viên khoa Điện tử - Tin học, Cao

Đẳng Kỹ thuật Công nghiệp, số 202 Trần Nguyên Hãn, TP Bắc Giang, Bắc Giang

- Văn phòng khoa Điện tử - Tin học, tầng 5, tòa nhà đa năng, số 202 Trần NguyênHãn, TP Bắc Giang, Bắc Giang

- Thư viện Cao Đẳng Kỹ thuật Công nghiệp, số 202 Trần Nguyên Hãn, TP BắcGiang, Bắc Giang

TÁC GIẢ

M ỤC LỤC

Chương 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 4

1.1.CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC HỆ THỐNG XỬ LÝ TÍN HIỆU 4

1.1.1 Khái niệm về tín hiệu 4

1.1.2 Phân loại tín hiệu 5

1.1.3 Các hệ thống xử lý tín hiệu 6

1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC 7

1.2.1 Các cách biểu diễn tín hiệu rời rạc 7

1.2.1.1 Bi ểu diễn toán học 8

1.2.1.2 Bi ểu diễn bằng đồ thị 8

1.2.1.3 Bi ểu diễn bằng dãy số 8

1.2.2 Các dãy số cơ bản 9

1.2.2.1 Dãy xung đơn vị 9

1.2.2.2 Dãy nh ảy đơn vị 9

1.2.2.3 Dãy ch ữ nhật 10

1.2.2.4 Dãy d ốc đơn vị 10

1.2.2.5 Dãy hàm m ũ 11

1.2.2.6 Dãy Sin 11

1.2.3 Một số định nghĩa 12

1.2.3.1 Dãy tu ần hoàn (Dãy chu kỳ) 12

1.2.3.2 Dãy có chi ều dài hữu hạn 12

1.2.3.3 Năng lượng và công suất của dãy 12

1.2.3.4 T ổng của hai dãy 13

1.2.3.5 Tích c ủa hai dãy 14

1.2.3.6 Tích v ới hằng số 14

1.2.3.7 Tr ễ (dịch) 14

1.3 CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 15

1.3.1 Các hệ thống tuyến tính 15

1.3.1.1 Khái ni ệm 15

1.3.1.2 Các h ệ thống tuyến tính 15

1.3.1.3 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính 16

1.3.2 Các hệ thống tuyến tính bất biến 16

1.3.2.1 Định nghĩa 16

1.3.2.2 Tích ch ập 16

1.3.2.3 Tính ch ất của phép tích chập 22

1.3.3 Các hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 24

1.3.3.1 Định nghĩa 24

1.3.3.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 25

1.3.2.3 Dãy nhân qu ả 26

1.3.2.4 Tín hi ệu và hệ thống phản nhân quả 27

1.3.4 Các hệ thống tuyến tính bất biến và ổn định 27

1.3.4.1 Định nghĩa 27

1.3.4.2 Định lý 28

1.4 CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 29

1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính 29

1.4.2 Các phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng .30

1 4.2.1 Phương pháp thế 31

1.4.2.2 Phương pháp nghiệm tổng quát 32

1.4.3 Các hệ thống không đệ quy và đệ quy 35

1.4.3.1 H ệ thống số không đệ quy 35

1.4.3.2 H ệ thống đệ quy 36

1.4.3.3 H ệ thống đệ quy thuần túy 38

1.4.4 Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến .39

1.4.4.1 Các ph ần tử thực hiện 39

1.4.4.2 Th ực hiện hệ thống 39

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 42

Chương 2 : BIỂU DIỄN HỆ THỐNG 45

VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 45

2.1 BIẾN ĐỔI Z 45

2.1.1 Mở đầu 45

2.1.2 Biến đổi Z hai phía và biến đổi Z một phía 45

2.1.2.1 Bi ến đổi Z hai phía 45

2.1.2.2 Bi ến đổi Z một phía 46

2.1.2.3 Bi ểu diễn Z trong mặt phẳng Z 47

2.1.3 Sự tồn tại của biến đổi Z 48

2.1.3.1 Mi ền hội tụ của biến đổi Z 48

2.1.3.2 Tiêu chu ẩn hội tụ Cauchy 49

2.1 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC (IZT – Inverse Z Transisform) 51

2.1.1 Cực và không 51

2.1.1.1 Định nghĩa điểm cực 51

2.1.1.2 Định nghĩa điểm không 51

2.1.2 Biến đổi Z ngược (IZT) 52

2.1.2.1 Phương pháp thặng dư 53

2.1.2.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa 55

2.1.2.3 Phương pháp khai triển thành tổng các phân thức tối giản 55

2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z 58

2.3.1 Tính chất tuyến tính 58

2.3.2 Tính chất trễ 59

2.3.3 Tính chất nhân với dãy hàm mũ 60

2.3.4 Tính chất đạo hàm của biến đổi Z 60

2.3.5 Tính chất tích chập của hai dãy 61

2.3.6 Dãy liên hợp phức 62

2.3.7 Định lý giá trị đầu 63

2.3.8 Tích của hai dãy: 64

2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 64

2.4.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc 64

2.4.1.1 Định nghĩa 64

2.4.1.2 Hàm truy ền đạt H(Z) của hệ thống rời rạc được mô tả bởi phương trình sai phân 64

2.4.1.3 Bi ểu diễn hàm truyền đạt bằng các điểm cực và điểm không 65

2.4.2 Phân tích hệ thống trong miền Z 66

2.4.2.1 Các ph ần tử thực hiện hệ thống 66

2.4.2.2 Phân tích h ệ thống 66

2.4.3 Giải phương trình sai phân dùng biến đổi Z một phía 69

2.4.4 Sự ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến 70

2.4.4.1 S ự ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến 70

2.4.4.2 S ự ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 70

2.4.4.3 Tiêu chu ẩn Jury 71

CHƯƠNG 3:BIỂU DIỄN TÍN HIỆU 76

VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 76

3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA CÁC TÍN HIỆU RỜI RẠC 76

3.1.1 Đặt vấn đề 76

3.1.2 Định nghĩa biến đổi Fourier(FT) 76

3.1.2.1 Định nghĩa 76

3.1.2.2 Các phương pháp biểu diễn X e( j ) 76

3.1.3 Sự tồn tại của biến đổi Fourier 78

3.1.4.Biến đổi Fourier ngược (IFT: Inverse Fourier Transform) 78

3.2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA FT 79

3.2.1.Tính chất tuyến tính 79

3.2.2 Tính chất trễ 79

3.2.3 Vi phân trong miền tần số 80

3.2.4 Trễ tần số: 80

3.2.5 Tích chập của hai dãy 80

3.2.6 Tích của hai dãy: 80

3.3 SO SÁNH BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI Z 80

3.3.1 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z 80

3.3.2 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục 81

3.4 CÁC BỘ LỌC SỐ LÝ TƯỞNG 81

3.4.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng 81

3.4.2 Bộ lọc thông cao lý tưởng 83

3.4.3 Bộ lọc thông dải lý tưởng 85

3.4.4 Bộ lọc chắn dải lý tưởng 86

3.4.5 Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thực tế 87

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3: 88

Chương 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU 90

VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 90

4.1 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VỚI TÍN HIỆU TUẦN HOÀN CÓ CHU KỲ N 90

4.1.1 Đặt vấn đề 90

4.1.2 Các định nghĩa 90

4.1.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc 92

4.1.2.3 Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc ngược 93

4.1.3 Các tính chất cơ bản của DFT với dãy tuần hoàn có chu kỳ N 94

4.1.3.1 Tính ch ất tuyến tính 94

4.1.3.2 Tính ch ất trễ 94

4.1.3.3 Tính ch ất đối xứng 94

4.1.3.4 Tích ch ập tuần hoàn 95

4.1.3.5 Tích c ủa hai dãy 95

4.1.3.6 Tương quan tuần hoàn 95

4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VỚI CÁC DÃY KHÔNG TUẦN HOÀN CÓ CHIỀU DÀI HỮU HẠN 97

4.2.1 Tổng quan 97

4.2.2 Các định nghĩa 98

4.2.2.1 Bi ến đổi Fourier thuận: 98

4.2.2.2 Bi ến đổi Fourier ngược (IDFT) 98

4.2.3 Các tính chất cơ bản của DFT đối với các dãy có chiều dài hữu hạn 99

4.2.3.1 Tính tuy ến tính 99

4.2.3.2 Tr ễ vòng 100

4.2.3.3 Tính đối xứng 101

4.2.3.4 Tích ch ập vòng 101

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4 104

Chương 5: TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ 106

CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU HẠN 106

5.1 TỔNG QUAN 106

5.1.1 Đặt vấn đề 106

5.1.2 Các tính chất bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (FIR) 106

5.1.3 Các bước tổng hợp bộ lọc số FIR 106

5.2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH 107

5.2.1.Đáp ứng tần số của pha (đáp ứng pha) 107

5.2.2 Bộ lọc pha FIR tuyến tính 108

5.2.2.1 Trường hợp 1:   0    ,      108

5.2.2.2 Trường hợp 2:   0     ,      110

5.3 ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA CÁC BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH 112

5.3.1 Trường hợp đáp ứng xung đối xứng, N lẻ (bộ lọc FIR loại 1) 112

5.3.2 Trường hợp đáp ứng xung đối xứng, N chẵn (bộ lọc FIR loại 2) 114

5.3.3.Trường hợp đáp ứng xung phản đối xứng, N lẻ (bộ lọc FIR loại 3) 115

5.3.4.Trường hợp đáp ứng xung phản đối xứng, N chẵn (bộ lọc FIR loại 4) 117

5.4 PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR PHA TUYẾN TÍNH 119

5.4.1 Giới thiệu chung 119

5.4.2 Phương pháp cửa sổ 119

5.4.2.1 C ửa sổ chữ nhật 121

5.4.2.2 C ửa sổ tam giác (hay cửa sổ BARTLERT) 125

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 5 129

PHỤ LỤC 131

TÀI LIỆU THAM KHẢO 134

Chương 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

Ví dụ: Ta có tín hiệu âm thanh được biểu diễn như sau:

Trong đó: x(t) là hàm một biến số độc lập và biến số này phụ thuộc vào thời

gian t Vì là hàm một biến nên ta gọi tín hiệu này là tín hiệu có tính chất một chiều

Trong xử lý số ta chỉ xét ảnh tĩnh Một điểm ảnh đặc trưng bởi một cường

phẳng ảnh, như vậy ia(x,y) có tính chất hai chiều và được biểu diễn như sau:

Trong xử lý số tín hiệu chúng ta chỉ tập chung nghiên cứu đối với các tín hiệu làhàm của một biến độc lập, cụ thể ở chương này chúng ta đề cập đến vấn đề biểu diễn tínhiệu và hệ thống trong miền biến số độc lập n (trong miền thời gian rời rạc – miền n)

1.1.2 Phân lo ại tín hiệu

Các tín hiệu trên thực tế được chia thành hai nhóm lớn là tín hiệu liên tục và tínhiệu rời rạc và được thể hiện trên hình sau:

a) Định nghĩa tín hiệu liên tục:Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của

một tín hiệu là liên tục, thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục

Nh ận xét: Theo định nghĩa tín hiệu liên tục thì từ liên tục ở đây được hiểu là liên

tục theo biến số Giả sử biến số là thời gian thì tín hiệu liên tục theo thời gian

Nếu dựa vào hàm số, chúng ta có thể phân loại tín hiệu liên tục ra làm hai loại:Tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hóa

Định nghĩa tín hiệu tương tự:Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là liên tục thì tín

hiệu đó được gọi là tín hiệu tương tự

Nh ận xét: Tín hiệu tương tự liên tục theo cả biến và hàm.

Định nghĩa tín hiệu lượng tử hóa: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là rời rạc thì

tín hiệu đó được gọi là tín hiệu lượng tử hóa

Nh ận xét: Tín hiệu lượng tử hóa liên tục theo biến và rời rạc theo hàm.

Định nghĩa quá trình lượng tử hóa:Là quá trình xấp xỉ một tập đại lượng có giá trị

tương đối lớn hoặc thay đổi liên tục (hoặc thay đổi một cách rời rạc trong một khoảng rất

nhiều giá trị) (ví dụ, các số thực) bằng một lượng có giá trị nhỏ hơn (hoặc thay đổi mộtcách rời rạc trong một khoảng tương đối ít giá trị) (ví dụ, các số nguyên)

Tín hiệusố

Tín hiệu

Tín hiệu rời rạcTín hiệu liên tục

b) Định nghĩa tín hiệu rời rạc:Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của

một tín hiệu là rời rạc, thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu rời rạc

Nh ận xét: Theo định nghĩa tín hiệu rời rạc thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời

rạc theo biến số

Nếu dựa vào biên độ, chúng ta có thể phân loại tín hiệu rời rạc ra làm hai loại:Tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số

Định nghĩa tín hiệu lấy mẫu:Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên tục (không

được lượng tử hóa) thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu lấy mẫu

Nh ận xét: Tín hiệu lấy mẫu liên tục theo biến và rời rạc theo hàm.

Định nghĩa tín hiệu số:Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó

được gọi là tín hiệu số

Nh ận xét: Tín hiệu số rời rạc theo biến và hàm.

Việc phân loại tín hiệu là cơ sở để phân loại hệ thống xử lý, ví dụ như ta có hệthống rời rạc hay hệ thống tương tự được phân loại tương ứng với loại tín hiệu mà hệthống đó xử lý là tín hiệu rời rạc hay tín hiệu tương tự Các tín hiệu được nghiên cứutrong môn học này, chúng ta chỉ đề cập đến các tín hiệu rời rạc, do vậy chúng ta cần

quan tâm đến định lý lấy mẫu của Shannon

c) Định lý lấy mẫu:Nếu một tín hiệu tương tự xa(t) có tần số cao nhất là Fmax=B,

xác từ giá trị các mẫu của nó nhờ hàm nội suy

Khi FS> Fmax = 2B ta gọi FS lúc này là tần số lấy mẫu Nyquist, ký hiệu là FNyquisthay FN.Có thể hiểu lấy mẫu là quá trình biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thànhtín hiệu rời rạc theo thời gian

Nội suy là phương pháp ước tính giá trị của các điểm dữ liệu chưa biết trongphạm vi của một tập hợp rời rạc chứa một số điểm dữ liệu đã biết Những điểm này

là giá trị đại diện của một hàm số của một biến số độc lập có một lượng giới hạncác giá trị

1.1.3 Các h ệ thống xử lý tín hiệu

Có thể phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu theo chính tín hiệu cần xử lý Nhưvậy ta có các hệ thống tương tự, hệ thống số, hệ thống xử lý số tín hiệu

H ệ thống tương tự: là hệ thống nếu ở đầu vào của hệ thống đó chúng ta đặt các

tín hiệu tương tự thì ở đầu ra của hệ thống cũng thu được các tín hiêu tương tự

Vậy tín hiệu ra của bộ ADC là tín hiệu số xd(n), đó là tín hiệu vào của hệ thống số,

hệ thống số này làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số xd(n) và đưa ra tín hiệu số yd(n) Sau đó

tín hiệu này lại được đưa qua bộ DAC để thiết lập lại thông tin tương tự ya(t) Như vậy

bản chất của việc xử lý thông tin này chính là thực hiện việc xử lý tín hiệu tương tự

thông qua con đường số, nên môn học này được gọi là “Xử lý số tín hiệu”

1.2.1 Các cách bi ểu diễn tín hiệu rời rạc

Một tín hiệu rời rạc được biểu diễn bởi một giá trị thực hoặc giá trị phức Nếu nó

được hình thành bởi các giá trị thực thì nó được gọi là tín hiệu thực, còn nếu nó được

hình thành bởi các giá trị phức thì được gọi là tín hiệu phức

Trước khi biểu diễn tín hiệu rời rạc chúng ta sẽ tiến hành chuẩn hóa biến số độc

lập bởi chu kỳ lấy mẫu như sau:

S S

nT

TS: Chu kỳ lấy mẫu

Như vậy sau khi chuẩn hóa ta có:

Nếu trong miền biến số chúng ta chuẩn hĩa bởi chu lỳ lấy mẫu TSthì trong miềntần số chúng ta phải chuẩn hĩa bởi tần số lấy mẫu FS 1

S S

F T



1.2.1.1 Bi ểu diễn tốn học

Biểu thức toán học, với N n N 1   2

0 với n còn lại

Cách biểu diễn này giúp biểu diễn tín hiệu rời rạc một cách trực quan hơn

Ví dụ 1.2: Hãy vẽ đồ thị của tín hiệu rời rạc x(n) đã cho ở ví dụ 1.1

Bài giải:

Đồ thị của ví dụ 1.1 cho trên hình 1.9

1.2.1.3 Bi ểu diễn bằng dãy số

Cách biểu diễn này liệt kê các giá trị của x(n) thành các dãy số, như sau:

Lưu ý:Ta phải đánh dấu mốc 0 để thể hiện thời điểm gốc

Ví dụ 1.3: Hãy biểu diễn tín hiệu rời rạc trong ví dụ 1.1 và 1.2 bằng dãy số.Bài giải:

Tín hiệu rời rạc x(n) thực chất là các dãy số như cách biểu diễn này nên x(n) cịn

được gọi là dãy x(n)

Tín hiệu rời rạc x(n) chỉ được định nghĩa với giá trị n nguyên, x(n) không đượccoi bằng không và không được định nghĩa với các giá trị n không nguyên.

Tùy từng trường hợp cụ thể mà ta áp dụng cách biểu diễn tín hiệu cho hợp lý,thuận tiện với mục đích của chúng ta

1.2.2 Các dãy s ố cơ bản

1.2.2.1 Dãy xung đơn vị

Trong miền n, dãy xung đơn vị được

định nghĩa như sau:

1, n = 0(n)=

Biểu diễn dưới dạng biểu thức toán học:

1.2.2.2 Dãy nh ảy đơn vị

Trong miền n, dãy nhảy đơn vị

được định nghĩa như sau:

1, n 0u(n)=

Ví dụ 1.5: Hãy biểu diễn toán học và biểu diễn bằng đồ thị các dãy sau:

Trong miền n, dãy nhảy chữ nhật được

định nghĩa như sau:

Ví dụ 1.6: Hãy biểu diễn tốn học và biểu diễn bằng đồ thị các dãy sau:

0, n còn lại

Trong miền n, dãy hàm mũ được

định nghĩa như sau:

0

1.2.3 M ột số định nghĩa

1.2.3.1 Dãy tu ần hoàn (Dãy chu kỳ)

Dãy x(n) được gọi là dãy tuần hoàn chu kỳ N nếu thỏa mãn điều kiện sau:

x(n)= x(n+N)= x(n+kN); với  kZ

Ký hiệu: x(n)  N

Ví dụ 1.8: Hãy vẽ một dãy tuần hoàn với chu kỳ N=4

Bài giải:

Dãy x(n) có N=4 cho trên hình 1.20

1.2.3.2 Dãy có chi ều dài hữu hạn

Một dãy được xác định với số hữu hạn N mẫu (N điểm trên trục hoành) gọi làdãy có chiều dài hữu hạn với N là chiều dài của dãy

Ví dụ 1.9: Hãy biểu diễn dãy có chiều dài hữu hạn với N = 4

Bài giải:

Dãy x(n) có chiều dài hữu hạn N = 4 (hình 1.21)  dãy này có chiều dài N= 4

Nh ận xét:Ta thấy dãy ( )n có chiều dài bằng một, dãy u(n) có chiều dài bằng vôcùng, dãy rect (n)N có chiều dài bằng N Nếu ta ký hiệu chiều dài của dãy x(n) là L, ta

có thể viết chiều dài của dãy rect (n)N như sau:

  ,

L rect (n)N  N   N

1.2.3.3 Năng lượng và công suất của dãy

Năng lượng của một dãy được định nghĩa như sau:

Công suất trung bình của một dãy được định nghĩa:

Dãy công suất: Nếu Px là hữu hạn (tức là 0  Px   ) thì x(n) được gọi là dãycông suất.

Ví dụ 1.10: Hãy tính năng lượng và công suất của các dãy sau:

N x

1.10 ta thấy dãy rect (n)M là dãy năng lượng còn dãy u(n) là dãy công suất

1.2.3.4 T ổng của hai dãy

Định nghĩa: Tổng của hai dãy nhận được bằng cách cộng từng đôi một các giá

trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập

Ví dụ 1.11: Hãy thực hiện x3(n) = x1(n) + x2(n)

Giải:

1.2.3.5 Tích c ủa hai dãy

Định nghĩa: Tích của hai dãy nhận được bằng cách nhân từng đôi một các giá trị

mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập

Ví dụ 1.12: Hãy thực hiện x3(n) = x1(n).x2(n)

Bài giải:

1.2.3.6 Tích v ới hằng số

Định nghĩa: Tích của một dãy với hằng số nhận được bằng cách nhân tất cả các

giá trị mẫu của dãy đó với chính hằng số đó

Ta biểu diễn lần lượt các thành phần trong mô tả trên, sau đó thực hiện phép cộng

như minh họa dưới đây để xác định x(n)

Hình 1.25 Minh h ọa dãy x(n) trong ví dụ 1.14

Từ ví dụ 1.14, ta thấy: Một dãy x(n) bất kỳ đều có thể biểu diễn dưới dạng sau:

Kích thích và đáp ứng: Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hay kích thích), Dãy

ra được gọi là đáp ứng của hệ thống ứng với kích thích đang khảo sát

Đặc trưng của hệ thống: Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi một toán tử T

làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào thành dãy ra và được ký hiệu như sau:

T[x(n)] = y(n) hoặc x(n)Ty(n)hoặc cũng có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau:

1.3.1.2 Các h ệ thống tuyến tính

Đối với hệ thống tuyến tính bất biến, toán tử T phải tuân theo nguyên lý xếp

chồng, tức là phải tuân theo quan hệ sau đây:

T[a.x1(n)+ b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n)

Ở đây : a, b là hai hằng số bất kỳ;

1.3.1.3 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

Như đã biết một dãy x(n) bất kỳ đều có thể biểu diễn dưới dạng:





Nh ận xét:

- Các hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi đáp ứng xung của nó

- hk(n) là hàm của k và n, với các giá trị k khác nhau sẽ có các đáp ứng xung khácnhau, có nghĩa là hệ thống tuyến tính này phụ thuộc vào biến k, nếu k là thời gian thì

hệ thống phụ thuộc vào thời gian

Sau đây chúng ta sẽ đi xét hệ thống tuyến tính bất biến theo biến k, tức là dạng

của đáp ứng xung hk(n) không phụ thuộc và k

1.3.2 Các h ệ thống tuyến tính bất biến

1.3.2.1 Định nghĩa

Nếu y(n) là đáp ứng ứng với kích thích x(n) thì hệ thống được gọi là tuyến tínhbất biến khi và chỉ khi y(n-k) là đáp ứng của kích thích x(n-k)

Ở đây: k – Số nguyên dương hoặc âm, nếu biến số là thời gian thì ta nói hệ thống

tuyến tính bất biến theo thời gian

Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian: nếu tín hiệu vào x(n) dich đi k đơn vịthì tín hiệu ra y(n) cũng dịch đi k đơn vị

1.3.2.2 Tích ch ập

 Phép tích chập chỉ được định nghĩa cho hệ thống tuyến tính bất biến

 Đáp ứng xung h(n) sẽ đặc trưng cho toàn bộ hệ thống tuyến tính bất biến

Ta có quan hệ sau:

( )

k k=-

T[ ] = h(n)T[ ] = h(n-k) = h (n)y(n) = x(k).h (n) x(k).h(n-k) (1.6)

xung của hệ thống tuyến tính bất biến, lúc này h(n)không phụ thuộc vào k, tức là nếubiến là thời gian thì ở mọi thời điểm khác nhau đáp ứng xung của hệ thống tuyến tínhbất biến luôn là h(n)

Ta có thể biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến theo sơ đồ sau:

Ở đây dấu (*) thể hiện ký hiệu của phép tích chập

Sau đây chúng ta sẽ xem xét các phương pháp tính tích chập

a Phương pháp 1: Phương pháp trực tiếp (phương pháp thế)

Khi các chuỗi được mô tả bằng các biểu thức toán học có dạng đơn giản ta nênthực hiện phép tính tích chập trực tiếp Khi thực hiện phép chập trực tiếp, ta thườngphải tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn các số hạng có dạng  n và n n

Các biểu thức có dạng đơn giản của một số chuỗi thường gặp được liệt kê ở bảngsau:

1)

N N-1

n n=0

n n=0

Để tính được y(n) ta phải tính y(n) theo từng giá trị của n, về lý thuyết n và k có

giá trị từ  đến , như vậy không thể tính hết các giá trị của y(n) được, nhưng

trong thực tế chúng ta thường làm việc với dãy có chiều dài hữu hạn Với mỗi giá trị

của n ta phải tính theo một tổng theo k: x(k).h(n-k)

 4 

k=0

4 k=0

Tiếp tục tính tương tự như trên ta được:

y(3) = 2,5 y(4) = 2,5 y(5) = 1,5

y(6) = 0,75 y(7) = 0,25 y(8) = 0

Tất cả các giá trị khác của y(n) đều bằng không

Vậy, tổng hợp các kết quả ta được y(n) cho bởi đồ thị hình 1.26

Hoặc tính tích chập trực tiếp từ giải tích của x(n) và h(n) thông qua công thức:

0 n

Ta thấy: x(k) = 1 trong khoảng 0 k 4   Vậy tổng theo k luôn lấy từ 0 ÷ 4

4 0

thay bằng tổng từ 0÷n theo k:



n k

8 - n ( n + 1 ) 0 4

Thay các giá trị của y(n) vào ta sẽ có đồ thị của y(n) như trên hình 1.26

Bước 2: Quay h(k) qua trục tung, để thu được h(-k), tức là h(0-k) (Nếu cố định

h(k) thì quay x(k) qua trục tung sẽ thu được x(-k))

Bước 3: Dịch chuyển h(-k) theo từng giá trị của n trên trục tung để thu được

h(n-k) Dịch chuyển h(-k) về phía phải tương ứng với n>0 dịch chuyển h(-k) về phíatrái tương ứng với n<0

Bước 4: Thực hiện phép nhân x(k) với h(n-k) theo từng mẫu với tất cả các giá trị

của k và cộng các giá trị thu được, chúng ta có một giá trị y(n) (ví dụ, nhân x(k) với

h(-các kết quả theo từng mẫu ta thu được y(1), …) Tổng hợp h(-các kết quả ta có dãy y(n)cần tìm.

Bước 2+3: Quay h(k) qua trục tung, để thu được h(-k) và dịch chuyển h(-k) theo

từng giá trị của n trên trục tung để thu được h(n-k)

Lưu ý: Ta nhận thấy với n ≤ -2 và n ≥ 3 thì x(k).h(n-k) =0

Bước 4: Thực hiện phép nhân x(k) với h(n-k) theo từng mẫu với tất cả các giá trị

của k và cộng các giá trị thu được y(n)

c Phương pháp 3: Phương pháp quy luật trượt

Một phương pháp khác để chúng ta thực hiện phép tích chập gọi là phương phápquy luật trượt, phương pháp này thuận lợi khi cả hai chuỗi x(n) và h(n) đều là chuỗihữu hạn và tồn tại trong khoảng thời gian ngắn

Các bước thực hiện:

Bước 1: Ghi các giá trị của x(k) dọc theo đỉnh của tờ giấy và ghi các giá trị của

h(-k) dọc theo đỉnh của một tờ giấy khác (minh họa như hình bên dưới)

Bước 2: Xếp thẳng hàng các giá trị x(0) và h(0) của hai chuỗi, nhân từng cặp và

cộng các tích để thu được giá trị y(0)

Bước 3:Trượt tờ giấy ghi giá trị của h(-k) về phía phải 1 đơn vị (ứng với n>0) ,

làm như bước 2 để thu được giá trị y(1), tiếp tục dịch h(-k) về phía phải và làm nhưbước 2 thu được giá trị y(2) …

Sau khi dịch phải xong ta thực hiện dịch trái (ứng với n<0) nếu cần thiết và làm

tương tự bước 2, thu được giá trị y(-1), tiếp tục dịch trái 1 đơn vị và lại làm như bước

2 ta thu được y(-2)…

Bước 4:Tổng hợp các kết quả …y(-2), y(-1), y(0), y(1), y(2)… ta được đồ thị của

Trong hệ thống, ta có thể hoán đổi vị trí của đầu vào x(n) với đáp ứng xung

h(n) mà đáp ứng ra của hệ thống không thay đổi

Nếu ghép song song các hệ thống với nhau thì đáp ứng xung của cả hệthống tổng quát bằng tổng của đáp ứng xung của các hệ thống thành phần

Bài giải:

Ta có: h n1   h n2   rect n6 

Vậy: h n   h n1   h n2 * h n3   rect n6 * rect n11 

Tính h(n) bằng biểu thức giải tích (phương pháp trực tiếp):

 

0 5 0

1.3.3.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả

Định lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng

xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện sau:

y1(n) = y2(n) với n<n0Chúng ta có thể chia tổng này thành hai phần như sau:

Nh ận xét: Các hệ thống nhân quả là hệ thống duy nhất thực hiện được về mặt vật

lý Đối với các hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả ta có thể biến dạng công thức

tích chập dựa theo tính chất: h(n) = 0 với n<0

1.3.2.4 Tín hi ệu và hệ thống phản nhân quả

Một tín hiệu rời rạc x(n) được gọi là phản nhân quả (anticausal) nếu ta có :

x(n) = 0 với n>0Vậy chiều dài của một tín hiệu nhân quả là :

L[x(n)] = [-∞, 0] = ∞Một hệ thống rời rạc được gọi là phản nhân quả nếu đáp ứng xung h(n) của nóthỏa mãn điều kiện :

h(n) = 0 với n>0Vậy chiều dài của một tín hiệu nhân quả là :

L[h(n)] = [-∞, 0] = ∞

Ví dụ 1.21: Xét tính nhân quả của các tín hiệu cho trên hình 1.34

Hình 1.34

Bài giải :

x1(n) và x2(n) là các tín hiệu phản nhân quả, trong đó

x1(n) : là tín hiệu phản nhân quả có chiều dài vô hạn (L[x1(n)] = [-∞,0] = ∞)

x2(n) : là tín hiệu phản nhân quả có chiều dài hữu hạn (L[x1(n)] = [-3,0] = 4)

1.3.4 Các h ệ thống tuyến tính bất biến và ổn định

1.3.4.1 Định nghĩa

Một hệ thống tuyến tính bất biến gọi là ổn định nếu ứng với dãy đầu vào giớihạn, ta có dãy đầu ra giới hạn (hệ thống BIBO – Bounded Input Bounded Output)Tức là với │x(n)│<∞ với n bất kỳ

Ta sẽ có:│y(n)│<∞ với n bất kỳ

Ví dụ 1.22 Xét sự ổn định của hai hệ thống tuyến tính bất biến có cùng kích

thích đầu vào là x(n) = u(n) với các đáp ứng xung lần lượt là :

h1(n) = rect4(n) và h2(n) = u(n)Bài giải :

Ta thấy: │x(n)│=1 <∞ với n bất kỳ

y1(n) =u(n)* rect4(n) và y2(n) =u(n)* u(n)Kết quả cho trên hình 1.35

Hình 1.35 Đồ thị biểu diễn đáp ứng ra y 1 (n) và y 2 (n) trong ví d ụ 1.22

Từ hình 1.35 ta thấy :

│y1(n)│≤ 4<∞ với mọi n → hệ thống ổn định

│y2(n)│=∞ khi n → ∞ → hệ thống không ổn địnhChú ý : Nếu xét đáp ứng xung của hệ thống ta có :

1 1 n

Ví dụ 1.23 Hãy xét tính nhân quả và tính ổn định của hệ thống có đáp ứng xung :

Nếu │a│≥1 thì chuỗi này phân kỳ.

Vậy hệ thống này sẽ ổn định khi │a│<1 và không ổn định khi │a│≥1

1.4 CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính

Về mặt toán học, kích thích vào x(n) và đáp ứng ra của hầu hết các hệ thốngtuyến tính đều thỏa mãn một phương trình sai phân tuyến tính sau đây :

Phương trình này chính là ảnh rời rạc của phương trình vi phân tuyến tính đối với

các hệ số liên tục, phương trình có dạng sau :

các đạo hàm Vơi đạo hàm bậc một ta có gần đúng sau :

dy(t) y(t) y(t t)



Chú ý : Khi nghiên cứu hệ thống tương tự bằng con đường tương tự, chúng ta

không được coi phương trình sai phân là gần đúng của phương trình vi phân và khôngdùng phương trình sai phân này để nghiên cứu hệ thống tương tự bằng con đườngtương tự Nhưng chúng ta có thể nghiên cứu hệ thống tương tự bằng con đường số, lúc

đó phương trình sai phân sẽ là gần đúng của phương trình vi phân, và ta dùng nó đểđặc trưng cho hệ thống số tuyến tính rời rạc

Ví dụ 1.23 : Cho hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi phương trình sai phântuyến tính sau :

y(n) = nx(n)y(n) = 2x(n)+3x(n-1)Hãy tìm các hệ số ak(n) và br(n).

Hệ thống (1) và (2) đều là hệ thống tuyến tính, nhưng hệ thống (1) không phải là

hệ thống bất biến vì hệ số của nó không phải là hằng số và phương trình y(n)= nx(n)không phải là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Còn hệ thống (2) là bấtbiến vì hệ số của nó là hằng số và phương trình y(n) =2x(n)+3x(n-1) là phương trìnhsai phân tuyến tính hệ số hằng

1.4.2 Các phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.

Một hệ thống tuyến tính bất biến về mặt toán học được mô tả bởi một phươngtrình sai phân tuyến tính hệ số hằng dạng tổng quát sau đây :

Chúng ta có thể viết phương trình (1.16) dưới dạng khác sau đây:

Nh ận xét: Với cùng một phương trình sai phân nhưng với điều kiện đầu khác

nhau ta sẽ có các nghiệm khác nhau

1.4.2.2 Phương pháp nghiệm tổng quát

Nội dung của phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng

phương pháp nghiệm tổng quát được chia thành bốn bước:

B1: Tìm nghi ệm tổng quát của phương trình thuần nhất - y 0 (n).

Phương trình thuần nhất là phương trình không chứa thành phần thứ hai, tức là ta

2

) 1

0 1 1

00

(1.20) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống, phương trình này có bậc

N, có N nghiệm, được ký hiệu lần lượt là α1, α2, … , αN Các nghiệm này có thể lànghiệm thực hoặc nghiệm phức, nếu các nghiệm trùng nhau thì có nghiệm bội

Giả sử (1.20) có nghiệm đơn α1, α2, … ,αN → nghiệm tổng quát của phương trình

sai phân thuần nhất có dạng:

Các hằng số A1, A2,…, ANsẽ được xác định bởi các điều kiện đầu

Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng là các nghiệm bội, thì y0(n) có dạng

B2: Tìm nghi ệm riêng của phương trình sai phân không thuần nhất - y p (n).

Phương trình sai phân không thuần nhất là phương trình sai phân ứng với kíchthích đầu vào khác 0, có dạng:

B3: Tìm nghi ệm tổng quát của phương trình sai phân – y(n).

Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là tổng của hai nghiệm: y0(n) và

yp(n)

  0  p 

y n  y n  y n

B4: Tìm giá tr ị các hệ số.

Giá trị các hệ số của nghiệm y(n) được xác định nhờ vào các điều kiện đầu

Ví dụ 1.25: Giải phương trình sai phân sau:

B2: Tìm nghi ệm riêng của phương trình sai phân không thuần nhất – y p (n).

Phương trình sai phân không thuần nhất là phương trình chứa thành phần thứ hai: