MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN cực TRỊ DÀNH CHO THCS (THAM KHẢO và sưu tầm)

Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.. Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số fx có miền giá trị D... Để tìm cựctrị của A, ta đi tìm cực trị của

PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ

Chương I Những kiến thức cơ bản.

I- Khái niệm.

Cho một hàm số f(x) xác định trên một miền D

1 M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu 2 điều kiện sauđồng thới được thoả mãn:

b, x  y  x + y , dấu “=” xảy ra khi x, y cùng dấu

c, x  y  x - y , dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu

Chứng minh:

a, x  0 Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối

b, Ta có xy  xy  x y  xy

 2 x y  2xy  x2 + 2 x y + y2  x2 + 2xy + y2

c, Ta có: xy  xy  - xy  -xy.

Tương tự phần b ta chứng minh được

Dấu bằng xảy ra khi x, y cùng dấu, hoặc x hoặc y bằng 0

3 Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy) và các dạng của bất đẳng thức Côsi

a, ( a + b )2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bab, dấu bằng xảy ra khi a = b

b, 2

a

b b

a



 , ( a.b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

c, a + b  2 ab , ( a  0, b  0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

Hệ quả:

+ a  0, b  0 và a + b = k ( không đổi )

Thì (a.b) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi a = b

Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

+ a  0, b  0 và a.b = k ( không đổi )

Thì (a + b) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b

Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

Suy ra:

Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình xuông có chu vi nhỏ nhất Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b Bất đẳng thức Bunhia cốpxki

(ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2)Dấu bằng xảy ra khi ba yx (a,b tỷ lệ với x, y)

Tổng quát:

(a1x1 + a2x2 + … + anxn)2    2

n

2 1

2 n

2 1

1

x

a

x

a x

Với biểu thức trên miền D là toàn bộ miền xác định của biểu thức, là tập R

Ta có: f(x) = x2 + x + 1 = x2 + x + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b14ab, dấu bằng xảy ra khi a = b3

f(x) = (x + 12 )2 + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b3  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b3

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

3

khi x = -12

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

10 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx x

Do đó: A lớn nhất khi và chỉ khi mẫu số đạt giá trị nhỏ nhất

Mẫu số có giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi x = 2Suy ra A đạt giá trị lớn nhất bằng

6

1

khi x = 2

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x - 2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b - x

Trước hết xác định miền D = {x 2  x  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b}

Ta viết y = 1 x - 2  1 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b - x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốpxki ta có:

y2  (12 + 12)(x – 2 + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b - x)

y2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

Do y > 0 nên max y = 2 khi 1

x - 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

2 - x

 hay x = 3  DVậy giá trị lớn nhất của y là 2 khi x = 3

2 Phương pháp miền giá trị của hàm số.

Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y0 là mộtgiá trị nào đó của f(x) với x  D Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = y0 phải

Do đó ’  0  ( 1 + y )( 9 – y )  0

 - 1  y  9

Suy ra: max y = 9 khi đó ’ = 0, x = 1

Vậy cặp nghiệm thoả mãn bài toán là (1; 9)

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

 2 2

4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

1 x

1 x





Ta thấy (x2 + 1)2 > 0, x4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b + 1 > 0

Nên A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi A1 đạt giá trị nhỏ nhất và ngược lại

Ta có

1 x

2x 1 1 x

1 2x x A

1

4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b 2 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

2 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

2x 1 A

Lại có x4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b – 2x2 + 1  0

x4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b + 1  2x2

1 x

2x 1 A

b, Nếu A = B + C + D + … (A, B, C, … là các biểu thức đại số) Để tìm cựctrị của A, ta đi tìm cực trị của B, C, D… nhưng phải chứng minh được với cùngmột giá trị của biến đồng thời các biểu thức B, C, D,… cùng đạt cực trị

c, Khi tìm cực trị của một biểu thức A, có khi ta thay điều kiện để tìm cực trịcủa biểu thức này bằng điều kiện tương đương để tìm cực trị của biểu thức khácnhư: - A; A2; A1 ; A  m ( m là hằng số )…

Chương II Những dạng toán thường gặp và phương pháp giải

I- Dạng 1: Đa thức bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, A = x  1

b, B = 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b  3x  5

c, C = x  1997  2000  x

Bài giải

a, A = x  1

Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có:

1

x   0, x

 A = x  1 đạt giá trị nhỏ nhất khi x + 1 = 0  x = -1

Vậy MinA = 0  x = -1

b, Ta có 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b - 3x  0  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b  3x  5  5

Vậy biểu thức B đạt giá trị bằng 5 khi 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b – 3x = 0  x = 34ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

Do đó MinB = 5  x = 34ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

c, Áp dụng bất đẳng thức:

y x y

x    Dấu bẳng xảy ra khi x, y cùng dấu hoặc x hoặc y bằng 0 Suy ra: C = x  1997  2000  x  x  1997  2000  x

C  3

MinC = 3 khi (x - 1997)(2000 - x)  0

x 1997 2000

x - 1997 - 0 + +

2000 - x + + 0

(x 1997)(2000 x) 0 + 0

-Vậy minC = 3 khi 1997  x  2000

Kết luận: Các bài toán thuộc dạng 1 thường gặp ở lớp 7 Với dạng này cách

giải thường tương đối dơn giản, chỉ cần áp dụng:

+ A  0,  A

+ A   A

+ x  y  x  y, dấu bằng xảy ra khi xy  0

+ A = m f(x)  n, tồn tại maxA hay minA phụ thuộc vào dấu của m

Bài tập áp dụng:

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a, A = 5 1  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx  1

b, B = x  1  x  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

 x = 5

Ví dụ 3: Với giá trị nào của x, y thì

a, D = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b đạt giá trị nhỏ nhất

b, E = 15 – 10x – 10x2 + 24ab, dấu bằng xảy ra khi a = bxy – 16y2 đạt giá trị lớn nhất

Bài giải

a, D = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

D = x2 – 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx2 – 12xy + 9y2

0 2 x

2 2

 





 3 y 2 x

 minD = 0 khi 





 3 y 2 x

b, E = 15 – 10x – 10x2 + 24ab, dấu bằng xảy ra khi a = bxy – 16y2

E = - (x2 + 10x + 25) – (9x2 – 24ab, dấu bằng xảy ra khi a = bxy +16y2) + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b0

E = 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b0 – (x + 5)2 – (3x – 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = by)2

Ta thấy (x + 5)2  0; (3x – 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = by)2  0

Vậy E  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b0 Dấu bằng xảy ra khi 

0 5 x

 





 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b 15 - y 5 - x

Do đó maxE = 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b0 khi 





 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b 15 - y 5 - x

Kết luận:

- Muốn tìm cực trị của một biểu thức A (đa thức bậc 2), ta viết biểu thức Adưới dạng tổng của các biểu thức mà qua đó ta có thể xét dấu một cách thuận lợi.Chẳng hạn A = m[f(x)]2 + n[g(x)]2 + p

Tồn tại maxA hay minA phụ thuộc vào dấu của m và n

- Dùng phương pháp miền giá trị thường là đưa về điều kiện để phương trìnhbậc 2 có nghiệm

a, x2 + 2y2 – 2xy – 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = by + 5

b, 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2024ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

3 Tìm giá trị lớn nhất của:

a, -5x2 - 5y2 + 8x – 6y – 1

b, - a2 - b2 + ab + 2a + 2b

4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b Tìm cặp số (x, y) thoả mãn phương trình:

x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + 7 = 0 Sao cho y đạt giá trị lớn nhất

III- Dạng 3: Đ a thức bậc cao.

Nhận xét: Theo tính chất của luỹ thừa bậc 2 thì A  0

Nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì x2 + x + 1  0

Ta có: x2 + x + 1 = x2 + x + 14ab, dấu bằng xảy ra khi a = b + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b – 6x3 + 10x2 – 6x + 9

Ta thấy B = x4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b – 6x3 + 9x2 + x2 – 6x + 9

0 3x

x 2

 x = 3Vậy minB = 0 khi x = 3

x1,2  

Vậy minf(x) = - 1 

2

5 3

Chú ý:

Khi giải bài toán cực trị cần trả lời đầy đủ hai nội dung: Cực trị của A bằngbao nhiêu và khi nào xảy ra.

Chẳng hạn:

Với A = (x2 x + 1)2  0

 minA = 0 Sai lầm vì không có giá trị của x để A = 0

Bài tập áp dụng:

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

A = x4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b – 2x3 + 3x2 – 2x + 1

B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

C = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2

D = x4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b – 6x3 + 10x2 – 6x + 9

E = x(x + 2)(x + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b)(x + 6)

2 Tìm giá trị lớn nhất của M = x3(16 – x3)

IV- Dạng 4: Phân thức.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức M =

5 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx

3

2





Ta thấy M = 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx2 34ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx52x312 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

Do (2x + 1)2  0  (2x + 1)2 + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

 2

2

1 x

1 x x

1 1

x

1 x 1

x

1 x x

1 1

x

1 1

 x 1

2

1 1 x

2

1 x 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b x 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx 1

x

1 x x

1 x 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

1 x x 3 x 3x

1 x 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

1 x 1 x 3

1 x 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

 , dấu bằng xảy ra khi x = 1

 minA = 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b3  x = 1

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của B = 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bxx2 13





1 x

1 x 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx x 1 x

3 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx

2

2 2

2 x

Mặt khác: B =

1 x

1 x x 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bx

2

2 2

1 x 2 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b 2

3 C =

1 2x x

6 8x 3x

2 2

1 x x

2 2

1 x

+ f(x)  g(x)  f(x)  g(x) Dấu bằng xảy ra khi f(x).g(x)  0

+ f(x)  g(x)  f(x)  g(x) Dấu bằng sảy ra khi 





 g(x) f(x)

0 f(x).g(x)

+ Bất đẳng thức Bunhia cốpxki

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x  2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b  x

Trước hết điều kiện xác định của A là 2  x  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

Vậy maxA = 2 khi x  2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b  x

 x – 2 = 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b – x  x = 3 Thoả mãn điều kiện xác định

x 1

3x 5

B2 =  

2 2

2

2

x 1

9x 30x 25 x

1

3x 5

16x 16 25x 30x 9

 vì 1 – x2 > 0 Dấu bằng xảy ra khi 3 – 5x = 0  x = 53

Vậy minB2 = 16 khi x = 53

 MinB = 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b khi x =

5 3

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = x  2001  x  2002

Cách 1: Ta chia khoảng xác định và dựa vào định nghĩa:

Ví dụ4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a 3  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b a 1  a 15  8 a 1

Nhận xét: Với điều kiện a  1

Ta có: a + 3 – 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b a  1 = a – 1 – 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b a  1 + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b =  2

2 1

M = a  1  2  a  1  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

 M  2 Dấu bằng xảy ra khi  a  1  24ab, dấu bằng xảy ra khi a = b  a  1 0

 5  a  17Vậy minM = 2  5  a  17

1 x 2x

2 2

1 x 2x

2 2

Như vậy phương trình (2) có nghiệm khi - 1 y0  3

Do đó: max y = 3 và min y = -1 với x  R





x min(y)

1 x

1 x

Vậy maxf(x) = 3  x = 2; Minf(x) = 0  

1 x

1 x

Chú ý:

x  R

Nếu f(x) nhận mọi giá trị trong đoạn [m, M].

Ở đây m = minf(x)

M = maxf(x)Thì ta có:



0 f(x)

Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm

VI- Dạng 6: Cực trị có đ iều kiện.

Các bài toán cực trị có điều kiện là các bài toán đi tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của một biểu thức, một hàm số trong sự ràng buộc của điều kiện của biến,của hàm cho trước Để giải quyết đượccác bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợpthành thạo kỹ năng biến đổi khéo léo và vận dụng triệt để điều kiện cho trước củađầu bài

 x = y = 

2 2

Vậy:max(x + y) = 2  x = y =

2 2

min(x + y) = - 2  x = y =

-2 2

2

2 2

y x

1 y 1 y 1 x 1 x y

x

1 y 1

b 1 b

1 1 a 1

a

1 1 a 2 1 a 1 a

1 a 2 a 2 1

2a 1

b 1 a

b a 2 1 a

b 1

Bài tập áp dụng:

1 Cho biểu thức P = a3 + b3 + c3 + a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a+ b)

Tìm giá trị lớn nhất của P với a + b + c = 1

2 Cho x + y = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x; y) = x2 + y2

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 3xy – x2 – y2 biết rằng x, y là nghiệm của phương trình 5x + 2y = 104ab, dấu bằng xảy ra khi a = b Cho a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a3 + b3 + ab

Võ Đại Mau – 250 bài toán học sinh giỏi

VII- Dạng 7: Các bài tập tổng hợp.

Đây là các bài tập mà yêu cầu chính không phải là tìm giá trị lớn nhất hay giátrị nhỏ nhất Nhưng trong quá trình giải thực tế phải áp dụng các kiến thức về cựctrị

Ví dụ 1: Giải phương trình x 2 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b x x 2 16x 11

VT = x  2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b  x

Điều kiện 2  x  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b Theo bất đẳng thức Bunhia côpxki thì

VT2 =  x 2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b  x2  2(x – 2 + 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b – x)

VT2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

Do VT > 0 Nên VT  2

Dấu bằng xảy ra khi x  2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b  x hay x = 3Vậy để VT = VP thì x = 3

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Xác định hình dạng của

tam giác đó sao cho M = b ac a a cb b a bc c

z x x

z y 2

1 2z

y x 2y

z x 2x

z y

y z

x x

z y

x x

y 2

1

Với x, y, z > 0 Theo bất đẳng thức côsi ta có:

2 y

y

y

z



 , dấu bằng xảy ra khi z = y

Do đó M  12 (2 + 2 + 2) = 3, dấu bằng xảy ra khi x = y = z

c

0 c

b

0 b

a

2 2

Dấu bằng xảy ra khi a = b = cSuy ra: 2(a2 + b2 + c2)  2ab + 2bc + 2ca

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-2, 1), B(2, 3) Tìm trên trục

hoành điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox, A’B  Ox  Mo

Xét M bất kỳ  Ox

Luôn có MA + MB = MA’ + MB  A’B

MoA’ + MoB = MoA + MoB = A’B

Do đó tổng MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi M  Mo

Ta lại có A(-2; 1)  A’(-2; -1) B(2; 3)

Phương trình đường thẳng A’B có dạng y = ax + b(d)

1 2a b

Phương trình đường thẳng A’B là y = x + 1 (d)

Giao điểm của (d) với Ox là Mo(-1; 0)

Vậy điểm M phải tìm là M(-1; 0)

B = a + b + c – ab – ac – bc

3 Tìm giá trị lớn nhất của P = ab

Biết rằng a, b thoả mãn hệ thức a + 2b = 1

4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không

âm Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t Biếtrằng: 

3y x

21 t y x

2 2 2

2 2 2

Đề học sinh giỏi toàn quốc - 1985

5 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức N = 2x + 3y – 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = bz

Biết rằng: x, y, z  0 và thoả mãn hệ phương trình sau

6 3z y 2x

PHẦN II:

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chương I Những kiến thức cơ bản.

I- Toán cực trị tr ong h ình học là gì?

- Toán cửc trị trong hình học là những bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của một đại lượng y nào đó sao cho: y1  y  y2

Ở đây y là độ dài đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn củamột góc, chu vi hay diện tích một hình…

y1, y2 là các giá trị cố định không đổi của y

- Giải bài toán cực trị hình học là phải chỉ rõ vị trí hình học của y để y đạt giátrị nhỏ nhất y = y1 hay y = y2

II- Các ph ươ ng pháp giải bài toán cực trị hình học.

Người ta có thể giải bài toán cực trị hình học bằng một trong các phươngpháp sau đây:

1 Phương pháp 1.

Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điềukiện của đại lượng đó bằng các đại lượng tương đương Người ta thường dùngcách này khi đầu bài toán được cho dưới dạng: “Tìm một hình nào đó thoả mãn cácđiều kiện cực trị của bài toán.”

Ví dụ 1: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác nào có

chu vi nhỏ nhất

Qua A kẻ đường thẳng xy // BC (BC không đổi)

Vì diện tích ABC không đổi nên đường cao AH của ABC cũng không đổi

Do đó các đỉnh của các tam giác thoả mãn điều kiện của đầu bài phải nằm trênđường thẳng xy

Ta có PABC = AB + AC + BC = AB + AC + a

PABC nhỏ nhất khi AB + AC nhỏ nhất

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua xy, B’C cắt xy tại A’ Xét tam giác AB’C

có AB’ + AC = AB + AC  B’C