Chứng minh rằng K di động trên một đường tròn cố định tâm I là trung điểm của CO.. M là điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D.. Chứng tỏ tâm đường tròn n
Trang 1Bài 1 ( Ch n HS gi i Toán c p II mi n B c, 1963 ) ọ ỏ ấ ề ắ
Cho n a đử ường tròn đường kính MON T m t đi m A b t kỳ trên MN ta vẽ đừ ộ ể ấ ường vuông góc v i ớ
MN g p n a đặ ử ường tròn t i B Trên tia OB l y đi m C sao cho OC = AB Tìm quỹ tích các đi m C khi ạ ấ ể ể
A chuy n đ ng trên MN.ể ộ
Bài 2 ( Ch n HS gi i Toán c p II Hà N i, 1976 ) ọ ỏ ấ ộ
Cho đường tròn (O) và m t dây AB c đ nh, M là m t đi m tùy ý trên cung AB G i K là trung đi m ộ ố ị ộ ể ọ ể
c a đo n th ng MB Tìm quỹ tích các đi m K.ủ ạ ẳ ể
Bài 3 ( Ch n HS gi i Toán c p II Hà N i, 1976 ) ọ ỏ ấ ộ
Cho đường tròn (O) bán kính OA, đường tròn (O’) đường kính OA T A vẽ m t cát tuy n c đ nh ừ ộ ế ố ị
c t (O’) t i C và (O) t i D M t cát tuy n di đ ng qua O c t (O’) t i M, c t (O) t i N và N’, DN c t CM ắ ạ ạ ộ ế ộ ắ ạ ắ ạ ắ
t i P, DN’ c t CM t i P’ Tìm quỹ tích c a các đi m P và P’.ạ ắ ạ ủ ể
Bài 4 ( Thi vào l p 10 ph thông chuyên Toán 1982 - 1983 ) ớ ổ
Trong m t ph ng cho hai đặ ẳ ường th ng ẳ 1
d
và 2
d
vuông góc v i nhau t i O và m t đi m A không ớ ạ ộ ể
n m trên hai đằ ường th ng đó M t góc vuông xAy có hai c nh Ax và Ay c t các đẳ ộ ạ ắ ường 1
d
và 2
d
t i Bạ
và C G i M là đi m đ i x ng v i A qua BC Tìm quỹ tích c a M khi xAy quay quanh đi m A.ọ ể ố ứ ớ ủ ể
Bài 5 ( Thi vào l p 10 ph thông chuyên Toán 1984 - 1985 ) ớ ổ
Cho góc xOy có s đo ố
0 30 Đi m A di đ ng trên tia Ox, đi m B di đ ng trên tia Oy sao cho ể ộ ể ộ AB a= ( không đ i ).ổ
a) Tìm quỹ tích tâm I c a đủ ường tròn ngo i ti p tam giác OAB.ạ ế
b) Tìm quỹ tích tr c tâm H c a tam giác OAB.ự ủ
Bài 6 ( Ch n HS gi i Toán l p 8 Tp Hà N i, 1977 - 1978 ) ọ ỏ ớ ộ
Cho hai đi m A, B trên để ường th ng xy Hai đẳ ường tròn b t kỳ ti p xúc ngoài v i nhau t i T và cũng ấ ế ớ ạ
ti p xúc v i đế ớ ường th ng t i A và B Tìm quỹ tích nh ng đi m T đó.ẳ ạ ữ ể
Bài 7 ( Ch n HS gi i Toán l p 8 Tp Hà N i, 1981 - 1982 ) ọ ỏ ớ ộ
Cho tam giác ABC cân t i C, đạ ường th ng d thay đ i qua C Trên d l y đi m M sao cho MA + MB nh ẳ ổ ấ ể ỏ
nh t Tìm quỹ tích các đi m M.ấ ể
Bài 8 ( Ch n HS gi i Toán toàn qu c, 1985 - 1986 ) ọ ỏ ố
Cho đo n th ng AB và m t đi m M b t kỳ trên đạ ẳ ộ ể ấ ường th ng y T M vẽ n a đẳ ấ ừ ử ường th ng vuông ẳ góc v i AB và trên n a đớ ử ường th ng v a vẽ l y hai đi m C và D sao cho MC = MA và MD = MB ẳ ừ ấ ể
Đường tròn đi qua A, M, C và đường tròn đi qua B, M, D c t nhau t i N (ắ ạ N ≠M
) Khi M ch y trên ạ
đo n AB thì đi m N ch y trên đạ ể ạ ường nào?
Bài 9 ( Thi vào l p 10 THPT Tp HCM 1986 - 1987 ) ớ
Cho n a đử ường tròn (O) đường kính AB và đi m M trên cung AB Vẽ MH vuông góc AB t i H Ch ng ể ạ ứ minh r ng tâm I c a đằ ủ ường tròn n i ti p tam giác MHO di đ ng trên m t độ ế ộ ộ ường th ng c đ nh khi ẳ ố ị
M di đ ng trên n a độ ử ường tròn (O)
Bài 10 ( Thi vào l p chuyên Toán c p III c a ĐHTN và ĐHSP Hà N i, 1978 ) ớ ấ ủ ộ
Trang 2Cho đường tròn (O;R) Trên đường tròn đó l y m t đi m A c đ nh và vẽ đấ ộ ể ố ị ường tròn tâm A bán kính
OA = R ( g i t t là đọ ắ ường tròn (A)) D ng tam giác ABC n i ti p đự ộ ế ường tròn (O) sao cho tr c tâm ự
c a tam giác y là m t đi m H cho trủ ấ ộ ể ước n m trên đằ ường tròn (A) Cho H ch y trên đạ ường tròn (A), tìm quỹ tích các trung đi m M c a c nh BC.ể ủ ạ
Bài 11 ( Thi vào l p 10 THPT H i Phòng, 1987 - 1988 ) ớ ả
Cho đường tròn O và hai đường kính AB và CD vuông góc v i nhau M là đi m n m trên đớ ể ằ ường kính
AB G i H và K l n lọ ầ ượt là chân các đường vuông góc h t M xu ng các dây cung AC và CB Tìm quỹ ạ ừ ố tích giao đi m I c a BH và DK.ể ủ
Bài 12 ( Thi vô đ ch Toán Matxc va, 1969) ị ơ
Cho hình vuông ABCD Tìm quỹ tích đi m M sao cho ể
·AMB CMD=·
.
Bài 13 ( Thi vào l p 10 chuyên Toán, 1986 - 1987) ớ
M t độ ường th ng ẳ ∆
c t m t đắ ộ ường tròn tâm O cho trướ ạc t i hai đi m A và B Qua đi m M b t kì ể ể ấ
c a đủ ường th ng ẳ ∆
ta vẽ hai đường tròn ti p xúc v i đế ớ ường tròn đã cho t i A và B Tìm quỹ tích ạ giao đi m th hai N c a hai để ứ ủ ường tròn m i vẽ khi đi m M ch y trên đớ ể ạ ường th ng ẳ ∆
Bài 14 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1989 - 1990) ồ
Cho góc vuông xOy, trên c nh Ox l y đi m A c đ nh (ạ ấ ể ố ị A O≠
); B là đi m di đ ng trên c nh Oy Tìm ể ộ ạ quỹ tích đi m C sao cho tam giác ABC đ u.ể ề
Bài 15 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1989 - 1990) ồ
Cho n a đử ường tròn tâm O, đường kính AB G i C là đi m chính gi a cung AB, M là đi m b t kỳ trênọ ể ữ ể ấ cung BC Tia phân giác góc COM c t AM t i I Tìm quỹ tích c a I khi M di đ ng trên cung BC.ắ ạ ủ ộ
Bài 16 ( Thi vào l p 10 THPT Tp HCM, 1990 - 1991) ớ
Cho hai đi m B, C c đ nh trên để ố ị ường tròn (O), A là đi m chuy n đ ng trên để ể ộ ường tròn (O) sao cho tam giác ABC có ba góc nh n M là đi m chính gi a cung BC Tìm t p h p trung đi m N c a MA khi ọ ể ữ ậ ợ ể ủ
A chuy n đ ng sao cho tam giác ABC có ba góc nh n.ể ộ ọ
Bài 17 ( Thi vào l p 10 chuyên, tr ớ ườ ng THPT Bùi Th Xuân, Tp HCM, 1990 - 1991) ị
Cho tam giác ABC có tr c tâm H Hai đự ường th ng song song (D) và (D’) l n lẳ ầ ượt đi qua A và H Các
đi m B và C có hình chi u vuông góc xu ng (D) là M, N và có hình chi u vuông góc xu ng (D’) là Q, ể ế ố ế ố
P K đẻ ường cao AA’ c a tam giác ABC Khi (D) quay quanh A, tìm t p h p tâm O c a hình ch nh t ủ ậ ợ ủ ữ ậ MNPQ
Bài 18 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1990 - 1991) ồ
Cho đường tròn (O;R) c đ nh T m t đi m M ngoài đố ị ừ ộ ể ở ường tròn (O;R) vẽ hai ti p tuy n MA, MB ế ế
đ n (O;R) Tìm t p h p các đi m M sao cho tam giác MAB đ u.ế ậ ợ ể ề
Bài 19 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1990 - 1991) ồ
Trang 3Cho đường tròn (O;R) đường kính AB c đ nh, C là m t đi m c đ nh n m gi a A và O, M là đi m di ố ị ộ ể ố ị ằ ữ ể
đ ng trên độ ường tròn (O;R) N là đi m di đ ng trên (O;R) sao cho ể ộ
· 900
MCN =
, K là trung điểm của
MN Chứng minh rằng K di động trên một đường tròn cố định tâm I là trung điểm của CO
Bài 20 ( Thi HSG Toán 9, Tp HCM, 1990 - 1991)
Cho đường tròn (O;R) có dây cung AB c đ nh không đi qua tâm O, C là đi m di đ ng trên cung l n ố ị ể ộ ớ AB
( C không trùng A và B ) Tìm t p h p các tr c tâm H c a tam giác ABC khi C di đ ng.ậ ợ ự ủ ộ
Bài 21 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1991 - 1992) ồ
Cho tam giác cân ABC n i ti p trong độ ế ường tròn (O;R) có AB AC R= = 2
M là điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một đường cố định khi M di động trên cung nhỏ BC
Bài 22 ( Thi vào l p 10A tr ớ ườ ng THPT Lý Th ườ ng Ki t, Hà N i, 1991 - 1992) ệ ộ
Cho tam giác ABC cân tại A cố định, nội tiếp trong đường tròn (O;R) Điểm M di động trên cung BC Gọi
D là tâm đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B Gọi E là tâm đường tròn đi qua M và tiếp xúc với
AC tại C Tìm tập hợp các điểm I là trung điểm của DE
Bài 23 ( Thi vào l p 10 THPT Tp HCM, 1991 - 1992) ớ
Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB R= 2
Lấy điểm C trên đường tròn (O) sao cho B thuộc cung
AC và số đo
» 300
sd BC=
Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MAC di động trên một đường tròn cố định khi M chuyển động trên cung lớn AC
Bài 24 ( Thi vào l p 10 chuyên, tr ớ ườ ng THPT Bùi Th Xuân, Tp HCM, 1991 - 1992) ị
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, (d) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A M là điểm thuộc đường tròn (O) P và Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB và (d) Gọi I là trung điểm của PQ
a) Tìm t p h p đi m Iậ ợ ể
b) Ti p tuy n c a đế ế ủ ường tròn (O) t i M c t (d) N Ch ng minh r ng tâm đạ ắ ở ứ ằ ường tròn n i ti p ộ ế tam giác AMN n m trên m t đằ ộ ường c đ nh.ố ị
Bài 25 ( Thi vào l p 10 chuyên Toán tr ớ ườ ng Amsterdam, Hà N i, 1991 – 1992) ộ
Cho góc nh n xAy v i tia phân giác Az, m t đi m B c đ nh trên Az ọ ớ ộ ể ố ị
(B≠ A)
Người ta k m t đẻ ộ ường tròn tâm O đi qua A, B c t Ax, By l n lắ ầ ượ ạt t i các đi m M, N G i I là trung đi m MN, d ng hình ể ọ ể ự vuông ACID Tìm t p h p đi m C, t p h p đi m D khi đậ ợ ể ậ ợ ể ường tròn (O) thay đ i luôn đi qua A, B.ổ
Bài 26 ( Thi HSG Toán 9, Hà N i, 1991 - 1992) ộ
Cho đường tròn (O;R) trên đó có m t đi m A L y m t đi m I trên m t ph ng sao cho ộ ể ấ ộ ể ặ ẳ IA R≤
, vẽ
đường tròn (I;IA) c t đắ ường tròn (O) t i đi m th hai M G i N là m t đi m trên đạ ể ứ ọ ộ ể ường tròn (O) và
n m trong đằ ường tròn (I) L y đi m B trên đấ ể ường tròn (I) và n m bên ngoài đằ ường tròn (O) sao cho
sd MB sd MNA=
Tìm t p h p đi m B.ậ ợ ể
Trang 4Bài 27 ( Thi vào l p 10 THPT Tp HCM, 1992 - 1993) ớ
Cho tam giác đ u ABC n i ti p đề ộ ế ường tròn (O;R) G i AI là đọ ường kính c đ nh và D là đi m di đ ng ố ị ể ộ trên cung AC ( D khác A và C ) Trên tia DB l y đi m E sao cho DE = DC Ch ng t r ng E di đ ng ấ ể ứ ỏ ằ ộ trên đường tròn mà ta ph i xác đ nh tâm và gi i h n.ả ị ớ ạ
Bài 28 ( Thi vào l p 10 chuyên Toán tr ớ ườ ng ĐHSP Hà N i, 1992 – 1993) ộ
Cho đo n th ng AB và đạ ẳ ường th ng (d) song song v i AB M là m t đi m không n m trên đẳ ớ ộ ể ằ ường
th ng AB, n m trong n a m t ph ng b AB, n a m t ph ng đó không ch a đẳ ằ ử ặ ẳ ờ ử ặ ẳ ứ ường th ng (d) G i C ẳ ọ
và D là giao đi m c a các tia MA và MB v i để ủ ớ ường th ng (d) Tìm t p h p nh ng đi m M sao cho ẳ ậ ợ ữ ể
di n tích tam giác MCD là nh nh t.ệ ỏ ấ
Bài 29 ( Thi vào l p 10 THPT Tp HCM, 1993 - 1994) ớ
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính c đ nh AB và CD vuông góc v i nhau E là đi m chuy n ố ị ớ ể ể
đ ng trên cung BC ( E khác B và C ) Trên tia đ i c a tia EA l y đi m M sao cho EM = EB Ch ng ộ ố ủ ấ ể ứ minh r ng M di đ ng trên đằ ộ ường tròn mà ta ph i xác đ nh tâm và bán kính c a đả ị ủ ường tròn đó theo R
Bài 30 ( Thi vào l p 10 chuyên, tr ớ ườ ng THPT Nguy n Th ễ ượ ng Hi n, Tp HCM, 1993 - 1994) ề
Cho tam giác ABC đ u n i ti p trong đề ộ ế ường tròn (O;R) L y đi m M trên cung AB Kéo dài AM v ấ ể ề phía ngoài m t đo n MN = MB Tìm t p h p các đi m N.ộ ạ ậ ợ ể
Bài 31 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1993 - 1994) ồ
Cho hình vuông ABCD có tâm O vẽ đường th ng (d) quay quanh O c t hai c nh AD và BC l n lẳ ắ ạ ầ ượt
t i E và F ( E, F không trùng v i các đ nh c a hình vuông ) T E, F l n lạ ớ ỉ ủ ừ ầ ượt vẽ các đường th ng songẳ song v i DB, AC chúng c t nhau t i I.ớ ắ ạ
a) Tìm t p h p đi m I.ậ ợ ể
b) T I vẽ đừ ường vuông góc v i EF t i H, ch ng t H thu c v m t đớ ạ ứ ỏ ộ ề ộ ường c đ nh và đố ị ường
th ng IH qua m t đi m c đ nh.ẳ ộ ể ố ị
Bài 32 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1993 - 1994) ồ
Cho đường tròn (O) và dây cung BC c đ nh không qua tâm A là đi m di đ ng trên cung l n BC sao ố ị ể ộ ớ cho tam giác ABC có ba góc nh n.ọ
a) Ch ng t A ch thu c m t cung ứ ỏ ỉ ộ ộ 1 2
A A
Ch rõ ỉ 1 2
,
A A
là đi m nào trên hình vẽ.ể
b) Tìm t p h p tr c tâm H c a tam giác ABC khi A di chuy n trên cung ậ ợ ự ủ ể 1 2
A A
Bài 33 ( Thi vào l p 10 THPT Tp HCM, 1994 - 1995) ớ
Cho tam giác ABC đ u n i ti p (O;R) M là đi m di đ ng trên cung BC ( M khác B và C ) Trên tia đ i ề ộ ế ể ộ ố
c a tia MB l y đo n MD = MC Ch ng minh r ng D di đ ng trên m t ph n c a đủ ấ ạ ứ ằ ộ ộ ầ ủ ường tròn c đ nh ố ị
mà ta c n ph i xác đ nh tâm và các v trí gi i h n.ầ ả ị ị ớ ạ
Bài 34 ( Thi vào l p 10 chuyên Toán tr ớ ườ ng THPT Bùi Th Xuân, Tp HCM, 1994 - 1995) ị
Cho tam giác ABC c đ nh cân t i A, D là đi m di đ ng trên BC Qua D vẽ đố ị ạ ể ộ ường tròn (I) ti p xúc v i ế ớ
AB t i B và đạ ường tròn (J) ti p xúc v i AC t i C (I) và (J) c t nhau t i Kế ớ ạ ắ ạ
(K ≠D)
Tìm t p h p trung ậ ợ
đi m M c a IJ.ể ủ
Trang 5Bài 35 ( Thi vào l p 10 chuyên, tr ớ ườ ng THPT Nguy n Th ễ ượ ng Hi n, Tp HCM, 1994 - 1995) ề
Cho đường tròn (O;R), A là đi m c đ nh sao cho OA = 2R M là đi m di đ ng trên (O) OD là phân ể ố ị ể ộ giác c a tam giác OAM Tìm t p h p các đi m D.ủ ậ ợ ể
Bài 36 ( Thi HSG Toán 9, Tp HCM, 1993 - 1994)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, M là m t đi m di đ ng trên độ ể ộ ường tròn, vẽ MH vuông góc
v i AB ( H thu c đo n AB ) G i I là tâm đớ ộ ạ ọ ường tròn n i ti p tam giác OMH Ch ng t I di đ ng trên ộ ế ứ ỏ ộ
đường c đ nh có gi i h n khi M di đ ng trên (O) ố ị ớ ạ ộ
Bài 37 ( Thi HSG Toán 9, Tp HCM, 1993 - 1994)
Cho tam giác ABC c đ nh, xét các hình ch nh t có hai đ nh trên c nh BC c a tam giác và hai đ nh ố ị ữ ậ ỉ ở ạ ủ ỉ kia trên hai c nh còn l i c a tam giác Tìm t p h p các tâm c a các hình ch nh t.ở ạ ạ ủ ậ ợ ủ ữ ậ
Bài 38 ( Thi vào l p 10 THPT Tp HCM, 1994 - 1995) ớ
Cho đường tròn (O;R) l y đi m A sao cho ấ ể OA R= 2
Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M,
N Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN Chứng minh rằng I di động trên một cung tròn cố định
Bài 39 ( Thi HSG Toán 9,Qu n 1, Tp HCM, 1994 - 1995) ậ
Cho tam giác ABC cân t i A và D là đi m di đ ng trên đáy BC Vẽ các đạ ể ộ ường tròn qua D và ti p xúc ế
v i AB t i B, ti p xúc v i AC t i C Hai đớ ạ ế ớ ạ ường tròn này c t nhau t i đi m th hai E khác D Tìm quỹ ắ ạ ể ứ tích c a E.ủ
Bài 40 ( Thi HSG Toán 9,Qu n 6, Tp HCM, 1994 – 1995) ậ
Cho đường tròn (O), dây AB c đ nh và M là m t đi m trên (O) G i K là trung đi m c a MB T K ố ị ộ ể ọ ể ủ ừ
h ạ KP⊥AM
Tìm t p h p các đi m K khi M ch y trên đậ ợ ể ạ ường tròn (O)
Bài 41 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1994 - 1995) ồ
Cho tam giác ABC có ba góc nh n, bên ngoài tam giác vẽ hai n a đọ ở ử ường tròn có đường kính AB,
AC M t độ ường th ng (d) quay quanh A và c t hai n a đẳ ắ ử ường tròn theo th t t i M, N ( khác A ) ứ ự ạ Tìm t p h p các trung đi m c a MN.ậ ợ ể ủ
Bài 42 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1995 - 1996) ồ
Cho đường tròn (O;R) c đ nh và đi m A c đ nh, OA = 2R, BC là đố ị ể ố ị ường kính quay quanh O ( đường
th ng BC không đi qua A ) Đẳ ường tròn qua A, B, C c t đắ ường th ng OA t i A và I Trẳ ạ ường h p AB, ợ
AC c t đắ ường tròn (O;R) l n lầ ượ ạt t i D, E, ch ng t tâm đứ ỏ ường tròn qua A, D, E di chuy n trên m t ể ộ
đường c đ nh khi BC quay quanh O.ố ị
Bài 43 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1995 - 1996) ồ
Cho đường tròn (O;R) và đi m P c đ nh n m trong (O) Qua P vẽ hai dây AB, CD vuông góc v i ể ố ị ằ ớ nhau G i I là trung đi m c a BC Ch ng minh r ng ọ ể ủ ứ ằ
IO +IP =R
Suy ra t p h p đi m c a đi m I.ậ ợ ể ủ ể
Bài 44 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê H ng Phong, Tp HCM, 1995 - 1996) ồ
Trên đường th ng (d) l y ba đi m A, B, C theo th t đó sao cho ẳ ấ ể ứ ự
AB= cm BC= cm
Vẽ đường tròn (O) l u đ ng qua B, C Vẽ hai ti p tuy n AT, AT’ đ n (O) ư ộ ế ế ế
(T T, ' ( )∈ O )
Trang 6
a) Tìm t p h p đi m T, T’ậ ợ ể
b) Vẽ đường kính BM c a đủ ường tròn (O) G i P là giao đi m c a AM và (O) Tìm t p h p các ọ ể ủ ậ ợ
đi m M và P.ể
Bài 45 ( Thi HSG Toán 9, Tp HCM, 1995 – 1996)
Cho đường tròn (O;R) và đi m P c đ nh ngoài để ố ị ở ường tròn, vẽ ti p tuy n PA và cát tuy n PBC b t ế ế ế ấ kì
( A, B, C trên (O;R) ) G i H là tr c tâm tam giác ABC Khi cát tuy n PBC quay quanh P, hãy:ọ ự ế
a) Tìm quỹ tích đi m đ i x ng c a O qua BCể ố ứ ủ
b) Tìm quỹ tích c a đi m H.ủ ể
Bài 46 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Tp HCM, 1995 - 1996)
Cho tam giác ABC n i ti p độ ế ường tròn (O) D di đ ng trên cung BC Tìm t p h p đi m I là trung ộ ậ ợ ể
đi m c a đo n th ng DA.ể ủ ạ ẳ
Bài 47 ( Thi HSG Toán 9,Qu n 6, Tp HCM, 1995 – 1996) ậ
Cho đi m P ngoài để ở ường tròn (O;R); OP = d M t độ ường th ng qua P c t (O;R) A và B Hai ti p ẳ ắ ở ế tuy n c a (O;R) t i A và B c t nhau t i M Khi PAB quay quanh P thì M chuy n đ ng trên đế ủ ạ ắ ạ ể ộ ường nào?
Bài 48 ( Thi HSG Toán 9,Qu n 6, Tp HCM, 1995 – 1996) ậ
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB c đ nh C là đi m c đ nh trên bán kính OA M là đi m di ố ị ể ố ị ể
đ ng trên độ ường tròn (O;R) Vẽ CN ⊥CM
( N trên (O;R) ) K là trung đi m c a MN Tìm t p h p ể ủ ậ ợ
đi m K.ể
Bài 49 ( Thi HSG Toán 9,Qu n 1, Tp HCM, 1995 – 1996 vòng 2 ) ậ
Trên tia Ox c a góc vuông xOy, l y đi m A c đ nh, trên tia Oy l y đi m M thay đ i, vẽ hình vuông ủ ấ ể ố ị ấ ể ổ AMNP n m trong góc xOy G i I là giao đi m c a hai đằ ọ ể ủ ường chéo AN và MP c a hình vuông Tìm t p ủ ậ
h p các đi m N và P.ợ ể
Bài 50 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT chuyên Toán ĐHTN – ĐHQG Hà N i, 1995 - 1996) ộ
Cho ba đi m c đ nh A, B, C th ng hàng theo th t y G i ể ố ị ẳ ứ ự ấ ọ
( )Ω
là m t vòng tròn qua B, C K t A ộ ẻ ừ các ti p tuy n AE và AF đ n vòng tròn ế ế ế
( )Ω
( E và F là các ti p đi m ) G i O là tâm c a vòng trònế ể ọ ủ
( )Ω
, I là trung đi m c a BC, N là trung đi m c a EF.ể ủ ể ủ
a) Ch ng minh r ng E và F n m trên m t vòng tròn c đ nh, khi vòng tròn ứ ằ ằ ộ ố ị
( )Ω
thay đ i.ổ
b) Ch ng minh r ng tâm vòng tròn ngo i ti p tam giác ONI n m trên m t đứ ằ ạ ế ằ ộ ường th ng c đ nhẳ ố ị khi vòng tròn ( )Ω
thay đ i.ổ
Bài 51 ( Thi vào l p 10 chuyên Toán tr ớ ườ ng THPT Phú Nhu n, Tp.HCM, 1995 - 1996) ậ
Cho tam giác ABC cân t i A ( góc A nh n ) và n i ti p trong đạ ọ ộ ế ường tròn (O), đi m D l u đ ng trên ể ư ộ cung nh BC Đỏ ường vuông góc v i AD k t C c t BD t i K Tìm t p h p đi m K khi D l u đ ng.ớ ẻ ừ ắ ạ ậ ợ ể ư ộ
Trang 7Bài 52 ( Thi HSG Toán 9 toàn qu c, 1995 – 1996) ố
Cho tam giác ABC nh n, v i m i đi m M n m trong tam giác ABC ( M không thu c c nh c a tam ọ ớ ỗ ể ằ ộ ạ ủ giác ) g i ọ
', ', '
a b c
l n lầ ượt là đ dài c a các kho ng cách t M đ n các c nh BC, AC, AB Tìm t p ộ ủ ả ừ ế ạ ậ
h p nh ng đi m M th a mãn h th c ợ ữ ể ỏ ệ ứ a'< <b' c'
Bài 53 ( Thi vào l p 10 chuyên Toán tr ớ ườ ng THPT Bùi Th Xuân, Tp HCM, 1996 - 1997) ị
Cho đường tròn (O;R) và dây BC c đ nh Cho đi m A di đ ng trên cung l n BC Vẽ AH vuông góc BC ố ị ể ộ ớ
t i H, phân giác c a góc BAC c t đạ ủ ắ ường tròn (O) t i M.ạ
a) Ch ng minh r ng tâm đứ ằ ường tròn n i ti p tam giác ABC di đ ng trên m t độ ế ộ ộ ường c đ nh.ố ị
b) Tìm t p h p tr ng tâm G c a tam giác ABC.ậ ợ ọ ủ
Bài 54 ( Đ thi gi i Lê Quý Đôn, l p 9, Qu n Tân Bình, Tp HCM, 1996 - 1997) ề ả ớ ậ
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, C là đi m chính gi a c a cung AB M là m t đi m b t kì ể ữ ủ ộ ể ấ
di đ ng trên cung nh BC Tia phân giác c a góc COM c t AM E và OC c t AM D Khi M ch y trên ộ ỏ ủ ắ ở ắ ở ạ cung nh BC thì E ch y trên đỏ ạ ường nào?
Bài 55 ( Thi HSG Toán 9, Qu n 6, Tp HCM, 1996 – 1997 ) ậ
Cho đo n th ng AB = a c đ nh và hai đạ ẳ ố ị ường tròn
(O R1; 1) (, O R2; 2)
ti p xúc nhau t i M và ti p xúc ế ạ ế
v i AB l n lớ ầ ượ ạt t i A và B Khi
( ) ( )O1 , O2
di chuy n, ch ng t M di chuy n trên m t để ứ ỏ ể ộ ường c đ nh.ố ị
Bài 56 ( Thi HSG Toán 9, Qu n 1, Tp HCM, 1996 – 1997 vòng 2 ) ậ
Trên c nh Ox, Oy c a góc xOy cho hai đi m chuy n đ ng A và B sao cho OA – OB = a ( a là m t đ ạ ủ ể ể ộ ộ ộ dài cho trước ) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngo i ti p tam giác AOB.ạ ế
Bài 57 ( Thi HSG Toán 9, Qu n 1, Tp HCM, 1996 – 1997 vòng 3 ) ậ
Cho tam giác ABC Tìm t p h p các đi m M sao cho hình chi u c a M lên ba c nh c a tam giác là ba ậ ợ ể ế ủ ạ ủ
đi m th ng hàng.ể ẳ
Bài 58 ( Thi HSG Toán 9 toàn qu c, 1996 – 1997) ố
Cho đường tròn tâm O bán kính R và m t dây AB c đ nh có đ dài ộ ố ị ộ
a a< R
Trên dây AB l y m t ấ ộ
đi m P tùy ý r i qua A và P vẽ để ồ ường tròn tâm C ti p xúc v i đế ớ ường tròn (O) t i A Qua B và P vẽ ạ
đường tròn tâm D ti p xúc v i đế ớ ường tròn (O) t i B, hai đạ ường tròn này c t nhau t i đi m th hai ắ ạ ể ứ
M Cho P di đ ng trên dây AB Tìm quỹ tích đi m M.ộ ể
Bài 59 ( Thi vào l p 10 THPT, Tp.Hà N i, 1997- 1998) ớ ộ
Cho đường tròn (O) bán kính R, m t dây AB c đ nh ộ ố ị
(AB<2R)
và m t đi m M b t kì trên cung l n ộ ể ấ ớ
AB ( M khác A, B) G i I là trung đi m c a dây cung AB và (O’) là đọ ể ủ ường tròn qua M, ti p xúc AB t i ế ạ
A Đường MI c t (O), (O’) l n lắ ầ ượ ạt t i các đi m th hai N, P Ch ng minh r ng khi M di chuy n thì ể ứ ứ ằ ể
tr ng tâm c a tam giác PAB ch y trên m t cung tròn c đ nh.ọ ủ ạ ộ ố ị
Bài 60 ( Đ thi gi i Lê Quý Đôn, l p 9, Qu n Tân Bình, Tp HCM, 1997 - 1998) ề ả ớ ậ
Trang 8Cho tam giác đ u ABC Trên các c nh AB và AC l n lề ạ ầ ượ ất l y các đi m D và E sao cho BD = AE ( D và Eể khác A, B, C ), BE c t DC t i M Gi s tam giác ABC c đ nh Khi các đi m D, E thay đ i v trí và ắ ạ ả ử ố ị ể ổ ị
BD = AE thì M di chuy n trên để ường nào?
Bài 61 ( Thi HSG Toán 9 toàn qu c, 1997 – 1998) ố
Cho hình vuông ABCD c nh a và đi m N trên c nh AB Cho bi t tia CN c t tia DA t i E, tia Cx vuông ạ ể ạ ế ắ ạ góc v i tia CE c t tia AB t i F G i M là trung đi m c a đo n EF Ch ng minh r ng khi đi m N ch y ớ ắ ạ ọ ể ủ ạ ứ ằ ể ạ trên c nh AB nh ng không trùng v i A, B thì trung đi m M c a đo n EF luôn luôn ch y trên m t ạ ư ớ ể ủ ạ ạ ộ
đường th ng c đ nh.ẳ ố ị
Bài 62 ( Thi HSG Toán 9, Tp HCM, 1998 – 1999)
Cho tam giác đ u ABC, trên các c nh BC, CA, AB l n lề ạ ầ ượ ất l y các đi m M, N, P sao cho BM = CN = AP ể Tìm quỹ tích trung đi m I c a đo n th ng MN khi M và N chuy n đ ng trên các c nh BC và CA.ể ủ ạ ẳ ể ộ ạ
Bài 63 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng PTNK - ĐHQG, Tp HCM, 1998 - 1999)
Cho hình vuông ABCD có c nh a L y đi m M trên c nh BC Đạ ấ ể ạ ường th ng AM c t c nh DC kéo dài ẳ ắ ạ
t i P Đạ ường th ng DM c t c nh AB kéo dài t i Q BP c t CQ t i I Khi M chuy n đ ng trên đo n BC, ẳ ắ ạ ạ ắ ạ ể ộ ạ hãy tìm quỹ tích đi m I.ể
Bài 64 ( Thi Toán vào các kh i chuyên tr ố ườ ng ĐHTN - ĐHQG, Hà N i, 1998) ộ
Cho đường tròn (C) bán kính R A và B là hai đi m c đ nh trên để ố ị ường tròn
(AB<2R)
Gi s M là ả ử
m t đi m thay đ i trên cung l n AB c a độ ể ổ ớ ủ ường tròn (C) T B k đừ ẻ ường th ng vuông góc v i AM, ẳ ớ
đường th ng này c t AM t i I và c t đẳ ắ ạ ắ ường tròn (C) t i N G i J là trung đi m c a MN Ch ng minh ạ ọ ể ủ ứ
r ng khi M thay đ i trên đằ ổ ường tròn (C) thì m i đi m I, J đ u n m trên m t đỗ ể ề ằ ộ ường tròn c đ nh.ố ị
Bài 65 ( Thi vào l p 10 chuyên Toán tr ớ ườ ng THPT Nguy n Th Minh Khai, Tp HCM, 1999 - ễ ị 2000)
Cho đường tròn (O;R) c đ nh và đi m A c đ nh, OA = 2R; BC là đố ị ể ố ị ường kính quay quanh O ( đường
th ng BC không đi qua A ) Đẳ ường tròn qua A, B, C c t đắ ường th ng OA t i A và I Trẳ ạ ường h p AB, ợ
AC c t đắ ường tròn (O;R) l n lầ ượ ạt t i D, E, ch ng t tâm đứ ỏ ường tròn qua A, D, E di chuy n trên m t ể ộ
đường tròn c đ nh khi BC quay quanh O.ố ị
Bài 66 ( Đ ki m tra đ i tuy n h c sinh gi i THCS, Qu n 5, Tp HCM, 1999 - 2000) ề ể ộ ể ọ ỏ ậ
Cho góc nh n xAy Tìm t p h p nh ng đi m M có t ng các kho ng cách đ n hai c nh Ax và Ay b ngọ ậ ợ ữ ể ổ ả ế ạ ằ
m t s a cho trộ ố ước
Bài 67 ( Thi HSG Toán 9, Qu n 6, Tp HCM, 1999– 2000 ) ậ
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) ti p xúc ngoài nhau t i A và R > r M t đế ạ ộ ường th ng (d) di đ ng ẳ ộ qua A ( (d) không trùng v i OO’) c t (O) B và (O’) C ( B, C khác A ) Tìm t p h p trung đi m M ớ ắ ở ở ậ ợ ể
c a BC.ủ
Bài 68 ( Đ ki m tra đ i tuy n HSG Toán 9, tr ề ể ộ ể ườ ngTHCS Hai Bà Tr ng, Tp HCM, 2000 - 2001) ư
Cho tam giác ABC Tìm t p h p các đi m M sao cho ậ ợ ể
S =S =S
Bài 69 ( Đ ki m tra đ i tuy n HSG Toán 9, tr ề ể ộ ể ườ ngTHCS Lê Quý Đôn, Tp HCM, 2001 - 2002)
Trang 9Cho A, B là hai đi m c đ nh Đi m M di đ ng sao cho MAB là tam giác có ba góc nh n G i H là tr c ể ố ị ể ộ ọ ọ ự tâm c a tam giác MAB K là chân đủ ường vuông góc vẽ t M c a tam giác MAB Tìm quỹ tích đi m M ừ ủ ể
đ tích KH.KM đ t giá tr l n nh t.ể ạ ị ớ ấ
Bài 70 ( Đ ch n đ i tuy n HSG Toán 9 qu n 3, Tp HCM, 2001 - 2002) ề ọ ộ ể ậ
Cho đ ng tròn (O;R) và đi m A c đ nh bên trong đư ờ ể ố ị ở ường tròn (O) Đi m B di đ ng trên để ộ ường tròn (O) Qua O vẽ đường th ng vuông góc v i AB c t ti p tuy n t i B c a đẳ ớ ắ ế ế ạ ủ ường tròn đi m C ở ể Tìm t p h p đi m C.ậ ợ ể
Bài 71 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng THPT Tr n Đ i Nghĩa, Tp HCM, 2001 - 2002) ầ ạ
Cho đường tròn (O;R) và m t đi m P thu c (O) T P vẽ hai tia Px, Py l n lộ ể ộ ừ ầ ượ ắ ườt c t đ ng tròn (O)
t i A và B ( cho góc xPy là góc nh n ) Vẽ hình bình hành APBM ạ ọ H là tr c tâm c a tam giác APB Khi ự ủ hai tia Px, Py quay quanh P c đ nh sao cho Px, Py v n c t (O) và góc xPy không đ i thì đi m H l u ố ị ẫ ắ ổ ể ư
đ ng trên độ ường c đ nh nàoố ị ?
Bài 72 ( Đ ch n đ i tuy n HSG Toán 9 qu n 10, Tp HCM, 2001 - 2002) ề ọ ộ ể ậ
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Đi m M thu c đo n th ng OA và ể ộ ạ ẳ
1 3
OM = OA
M t cát tuy n ộ ế
CD c a (Oủ ;R) quay quanh đi m M ( ể
C D∈ O R
và C, D không trùng A, B ) I là hình chi u c a O ế ủ
xu ng CD Khi cát tuy n CD quay quanh đi m M thì I di đ ng trên đố ế ể ộ ường nào ?
Bài 73 ( Đ ch n đ i tuy n HSG Toán 9 qu n Gò V p, Tp HCM, 2001 - 2002) ề ọ ộ ể ậ ấ
Cho đo n th ng AB c đ nh, ạ ẳ ố ị
· 450
xAy=
quay quanh A ( Ax, Ay không đi qua B ) Vẽ
BM ⊥ BN ⊥Ay M∈ N∈Ay
MB c t Ay t i E, NB c t Ax t i F Ch ng minh r ng trung đi m ắ ạ ắ ạ ứ ằ ể
c a đo n th ng EF thu c m t đủ ạ ẳ ộ ộ ường tròn c đ nh.ố ị
Bài 74 ( Thi vào l p 10 tr ớ ườ ng PTNK - ĐHQG, Tp HCM, 2001 – 2002 )
Cho hai đường tròn
1 1; 1
C O R
và
2 2; 2
C O R
ti p xúc ngoài t i A Hai đi m B và C l n lế ạ ể ầ ượt di đ ng ộ trên ( ) ( )C1 , C2
sao cho
· 900
BAC=
Ch ng minh r ng trung đi m M c a BC luôn thu c m t đứ ằ ể ủ ộ ộ ường tròn c đ nh Phát bi u và ch ng minh các k t qu tố ị ể ứ ế ả ương t trên trong trự ường h p ợ
( ) ( )C1 , C2
ti p ế xúc trong t i A.ạ
Bài 75 ( Thi vào l p 10A tr ớ ườ ng THPT Tr n Đ i Nghĩa, Tp HCM, 2002 - 2003) ầ ạ
Cho đường tròn (O ;R), đường kính AB c đ nh, đố ị ường kính CD di đ ng AC và AD c t ti p tuy n v iộ ắ ế ế ớ (O) t i B l n lạ ầ ượ ạt t i M, N Tìm t p h p tâm I c a đậ ợ ủ ường tròn ngo i ti p tam giác CMN.ạ ế