(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan

(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan(Luận văn thạc sĩ) Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

BÙI THỊ THU THỦY

QUAN HỆ HAI NGÔI

VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

BÙI THỊ THU THỦY

QUAN HỆ HAI NGÔI

VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Nguyên An

THÁI NGUYÊN - 2019

Möc löc

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3

1.1 Quan h» hai ngæi 3

1.2 ¤i sè tê hñp 8

Ch÷ìng 2 Quan h» hai ngæi v  mët sè b i to¡n 15

2.1 ¸m mët sè quan h» hai ngæi °c bi»t 15

2.2 nh x¤ v  mët sè b i to¡n li¶n quan 23

2.3 Ph¥n ho¤ch, sè Stirling lo¤i hai 27

2.4 ¸m sè quan h» t÷ìng ÷ìng v  quan h» hai ngæi b­c c¦u 32

K¸t luªn 39

T i li»u tham kh£o 39

Mð ¦u

Cho A, B l  c¡c tªp hñp Mët quan h» hai ngæi tø tªp A ¸n tªp B

l  mët tªp con cõa tªp t½ch · c¡c A × B °c bi»t, mët quan h» hai ngæi

tø A ¸n A ÷ñc gåi l  mët quan h» hai ngæi tr¶n A N¸u R l  mët quanh» hai ngæi tr¶n tªp A v  (a, b) ∈ R th¼ ta k½ hi»u aRb (åc l  a câ quanh» R vîi b) Quan h» hai ngæi xu§t hi»n trong nhi·u ng nh kh¡c nhau cõato¡n håc: ¤i sè, Sè håc, H¼nh håc, Lþ thuy¸t ç thà, Khoa håc m¡y t½nh, Mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa quan h» hai ngæi C¡c quan h» hai ngæi iºnh¼nh trong ch÷ìng tr¼nh phê thæng l  "quan h» chia h¸t", "quan h» çngd÷", "quan h» lîn hìn", "quan h» song song", h m sè, Ta th÷íng quant¥m ¸n c¡c t½nh ch§t sau cõa quan h» hai ngæi ph£n x¤ (reflexive), èi xùng(symmetric), b­c c¦u (transitive), b§t èi xùng (asymmetric), ph£n èi xùng(antisymmetric), b§t ph£n x¤ (irreflexive) Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l t¼m hiºu mët sè b i to¡n tê hñp v· quan h» hai ngæi T i li»u ch½nh cõa luªnv«n l  gi£i mët sè b i tªp trong [7], [2] v  b i b¡o [6]

Luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸nthùc chu©n bà v· lþ thuy¸t quan h» hai ngæi, quan h» t÷ìng ÷ìng, quan h»thù tü, ¡nh x¤ v  mð ¦u v· lþ thuy¸t tê hñp Tuy l  ki¸n thùc chu©n bà choCh÷ìng 2 nh÷ng èi vîi t¡c gi£ nhi·u ki¸n thùc cõa ch÷ìng l  ki¸n thùc mîi

v  câ nhi·u ùng döng trong gi£i to¡n phê thæng Ch÷ìng n y chõ y¸u thamkh£o theo c¡c t i li»u [1, 2]

Ch÷ìng 2 theo t i li»u [6, 7] l  ch÷ìng ch½nh cõa luªn v«n tr¼nh b yv· mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n quan h» hai ngæi B­t ¦u l  b i to¡n ¸mmët sè quan h» hai ngæi °c bi»t Công c¦n ph£i nâi th¶m r¬ng quan h» haingæi xu§t ph¡t tø nhúng v§n · trong to¡n sì c§p nh÷ "lþ thuy¸t chia h¸t",

"lþ thuy¸t çng d÷" nh÷ng v¼ khuæn khê cõa luªn v«n t¡c gi£ ch¿ khai th¡cmët sè b i to¡n sì c§p li¶n quan ¸n b i to¡n tê hñp Mët l÷u þ cõa luªn

v«n l  t¡c gi£ cè g­ng t¼m hiºu nhi·u c¡ch gi£i, c¡ch ti¸p cªn kh¡c nhau cõamët b i to¡n, mët v§n · ¸m quan h» hai ngæi l  ¡nh x¤ v  c¡c tr÷ínghñp °c bi»t (ìn ¡nh, song ¡nh, to n ¡nh) ÷ñc tr¼nh b y trong möc thùhai cõa ch÷ìng Vi»c nghi¶n cùu sè to n ¡nh gñi þ cho ta t¼m hiºu sè Stirlinglo¤i hai v  b i to¡n ¸m sè ph¥n ho¤ch mët tªp hñp V§n · n y ÷ñc tr¼nh

b y trong möc thù ba cõa ch÷ìng Möc cuèi cõa ch÷ìng t¼m hiºu sè quan h»t÷ìng ÷ìng, sè quan h» b­c c¦u (li¶n h» vîi quan h» thù tü) theo b i b¡o[6] Chó þ r¬ng sè quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp nph¦n tû ch½nh l  sè ph¥nho¤ch, sè Bell thù n

Trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, tæi nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp ïtªn t¼nh cõa TS Tr¦n Nguy¶n An - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡iNguy¶n Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Caohåc khâa Cao håc To¡n khâa 11B (2017-2019) - tr÷íng ¤i håc Khoa håc

- ¤i håc Th¡i Nguy¶n, ¢ truy·n thö ¸n cho tæi nhi·u ki¸n thùc v  kinhnghi»m nghi¶n cùu khoa håc

Líi cuèi còng, t¡c gi£ muèn d nh º tri ¥n bè mµ v  gia ¼nh v¼ ¢chia s´ nhúng khâ kh«n º t¡c gi£ ho n th nh cæng vi»c håc tªp cõa m¼nh

Th¡i Nguy¶n, ng y 28 th¡ng 10 n«m 2019

T¡c gi£

Bòi Thà Thu Thõy

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Quan h» hai ngæi

ành ngh¾a 1.1.1 Mët quan h» hai ngæi tø tªp A ¸n tªp B l  mët tªpcon cõa tªp t½ch · c¡c A × B °c bi»t, mët quan h» hai ngæi tø A ¸n A

÷ñc gåi l  mët quan h» hai ngæi tr¶n A Nâi c¡ch kh¡c, mët quan h» haingæi tr¶n mët tªp A l  mët tªp con cõa tªp A2

Ta th÷íng k½ hi»u c¡c quan h» hai ngæi b¬ng c¡c chú c¡i R (hay

S, T, U, V, ) N¸u R l  mët quan h» hai ngæi tr¶n tªp A v  (a, b) ∈ R

th¼ ta k½ hi»u aRb (åc l  a câ quan h» R vîi b, ho°c nâi t­t l  a R b) Khi

(a, b) /∈ R th¼ ta vi¸t aRb (åc l  a khæng câ quan h» R vîi b) Ta th÷íngquan t¥m ¸n c¡c t½nh ch§t sau cõa quan h» hai ngæi

ành ngh¾a 1.1.2 Gi£ sû R ⊆ A × A l  quan h» hai ngæi Quan h» haingæi R ÷ñc gåi l 

(i) Ph£n x¤ (reflexive) n¸u ∀a ∈ A, ((a, a) ∈ R);

(ii) èi xùng (symmetric) n¸u ∀a, b ∈ A, ((a, b) ∈ R th¼ (b, a) ∈ R);

(iii) B­c c¦u (transitive) n¸u ∀a, b, c ∈ A, ((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R th¼

(ii) Cho ∼ l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp A Vîi méi a ∈ A, ta gåilîp t÷ìng ÷ìng cõa a èi vîi quan h» t÷ìng ÷ìng ∼, k½ hi»u bði [a]∼ (hay

[a], hay a, hay C(a)), â l  mët tªp con cõa A ÷ñc x¡c ành bði

V½ dö 1.1.6 Cho m l  mët sè tü nhi¶n lîn hìn 1 Tr¶n tªp Z c¡c sè nguy¶n

ta ành ngh¾a quan h» hai ngæi R nh÷ sau: vîi måi a, b ∈ Z, ta nâi

aRb ⇔ m|(a − b)

Quan h» n y ÷ñc gåi l  quan h» çng d÷ theo mæun m (hay cán gåi l  quanh» çng d÷ modulo m) Khi a çng d÷ b theo mæun m, ta th÷íng k½ hi»u l 

a ≡ b (mod m)

Ta th§y â l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp Z Vîi a ∈ Z, lîp t÷ìng

÷ìng cõa a ÷ñc k½ hi»u bði a, v  ÷ñc gåi l  mët lîp th°ng d÷ theo mæun

m vîi ¤i di»n l  a Tªp th÷ìng cõa Z èi vîi quan h» çng d÷ modulo m

÷ñc k½ hi»u bði Zm v  ÷ñc gåi l  tªp c¡c lîp th°ng d÷ theo mæun m (haytªp hñp c¡c lîp th°ng d÷ modulo m) Cho a ∈ Z, khi â ta câ

a = {b ∈ Z | b ≡ a (mod m)} = {b ∈ Z | b − a chia h¸t cho m}

Vîi méia ∈ Z ¢ cho, ta luæn câ biºu di¹na = mq+rtrong â 0 ≤ r ≤ m−1

(theo ành lþ ph²p chia vîi d÷) Khi â b − a = b − mq − r, n¶n ta câ

a = {b ∈ Z | b−mq−r chia h¸t chom} = {b ∈ Z | b−rchia h¸t chom} = r

Hìn núa, vîi måi sè tü nhi¶n i, j sao cho 0 ≤ i < j ≤ m − 1 ta luæn câ

0 < j − i < m n¶n j − i khæng chia h¸t cho m Do â i 6≡ j (mod m), n¶n

i 6= j V¼ th¸ tªp Zm gçm m ph¦n tû æi mët kh¡c nhau nh÷ sau:

Zm = {0, 1, , m − 1}

Chó þ r¬ng n¸u a = mq + r th¼ a = r V¼ th¸ vîi q1, , qm l  m sènguy¶n tuý þ ta luæn câ

Zm = {q1m, q2m + 1, , qmm + m − 1}

Ch¯ng h¤n Z3 = {0, 1, 2} = {6, −2, 8}

ành lþ d÷îi ¥y cho ta þ ngh¾a cõa c¡c quan h» t÷ìng ÷ìng Tr÷îckhi ph¡t biºu ành lþ, chóng ta c¦n kh¡i ni»m sau

ành ngh¾a 1.1.7 Cho A l  mët tªp hñp Ta gåi mët ph¥n ho¤ch (hay mët

sü chia lîp) tr¶n A l  mët ph²p ph¥n chia tªp A th nh mët hå c¡c tªp conkh¡c réng {Ai}i∈I tho£ m¢n c¡c i·u ki»n:

(i) Ai ∩ Aj = ∅ vîi måi i, j ∈ I, i 6= j

(ii) A = S

i∈I

Ai

ành lþ 1.1.8 Cho A l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp A Khi â c¡cph¡t biºu sau l  óng.

(i) [a] 6= ∅ vîi måi a ∈ A

(ii) A = S

a∈A[a]

(iii) [a] = [b] ho°c [a] ∩ [b] = ∅ vîi måi a, b ∈ A

V¼ th¸ quan h» t÷ìng ÷ìng∼x¡c ành mët ph¥n ho¤ch tr¶nA.Ng÷ñcl¤i, n¸u{Ai}i∈I l  mët ph¥n ho¤ch tr¶n A th¼ tçn t¤i duy nh§t mët quan h»t÷ìng ÷ìng tr¶n A sao cho méi Ai l  mët lîp t÷ìng ÷ìng

ành ngh¾a 1.1.9 (i) Mët quan h» hai ngæi tr¶n mët tªp hñp ÷ñc gåi l quan h» thù tü n¸u nâ câ c¡c t½nh ch§t ph£n x¤, ph£n èi xùng, v  b­c c¦u.Quan h» thù tü th÷íng ÷ñc k½ hi»u bði d§u "≤" (åc l  "nhä hìn ho°cb¬ng") Khi a ≤ b th¼ ta công vi¸t b ≥ a

(ii) Khi tr¶n mët tªp hñp A câ mët quan h» thù tü ≤ th¼ ta nâi A l  mëttªp hñp ÷ñc s­p thù tü bði ≤

V½ dö 1 (i) Quan h» nhä hìn ho°c b¬ng ≤ thæng th÷íng (ta ¢ bi¸t ð phêthæng) l  quan h» thù tü tr¶n c¡c tªp N, Z, Q, v  R

(ii) Quan h» bao h m ⊆ tr¶n tªp 2A (tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa A) l  mëtquan h» thù tü

(iii) Quan h» chia h¸t "|" tr¶n tªp N∗ = N\ {0} l  mët quan h» thù tü.(iv) X²t A l  tªp con tòy þ cõa tªp N∗ Khi â quan h» chia h¸t "|" tr¶ntªp A công l  mët quan h» thù tü tr¶n A

Möc cuèi giîi thi»u lîp quan h» hai ngæi °c bi»t l  ¡nh x¤

ành ngh¾a 1.1.10 Cho R l  quan h» 2 ngæi tø A ¸n B Khi â mi·n x¡c

ành cõa R (domain of R), kþ hi»u D(R) ÷ñc ành ngh¾a l  tªp

{x|x ∈ A; ∃y ∈ A, (x, y) ∈ R}

ƒnh cõa R (image of R), kþ hi»u im(R) ÷ñc ành ngh¾a l  tªp

{y|y ∈ B, ∃x ∈ A, (x, y) ∈ R}

â ta vi¸t f (a) = b, ta gåi b gåi l  £nh cõa ph¦n tû a bði ¡nh x¤f; v  ta gåi

a l  mët t¤o £nh cõa ph¦n tû b Tªp A ÷ñc gåi l  tªp nguçn, tªp B gåi l tªp ½ch cõa ¡nh x¤ f º di¹n t£ ¡nh x¤ f nh÷ tr¶n ng÷íi ta k½ hi»u:

(iv) Hai ¡nh x¤ ÷ñc gåi l  b¬ng nhau n¸u chóng câ chung nguçn, chung

½ch v  chung ç thà Nâi c¡ch kh¡c, cho f : A → B v  g : A0 → B0 l  hai

¡nh x¤, khi â f = g n¸u A = A0, B = B0 v  f (a) = g(a) vîi måi a ∈ A

ành ngh¾a 1.1.13 Cho f : A −→ B, a 7→ b = f (a) l  mët ¡nh x¤

(i) f ÷ñc gåi l  ìn ¡nh n¸u f (a) = f (a0) k²o theo a = a0 vîi måi

1.2 ¤i sè tê hñp

ành ngh¾a 1.2.1 (Quy t­c cëng) Gi£ sû c¡c vi»cA1, A2, , Am câ thº l mt÷ìng ùng b¬ng n1, n2, nm c¡ch v  gi£ sû khæng câ hai vi»c n o câ thº l m

çng thíi Khi â sè c¡ch l m mët trong m vi»c â l  n1 + n2 + + nm

Quy t­c cëng ÷ñc ph¡t biºu d÷îi d¤ng tªp hñp nh÷ sau

M»nh · 1.2.2 N¸u A1, , Am l  c¡c tªp hñp húu h¤n æi mët ríi nhau,khi â:

|A1 ∪ ∪ Am| = |A1| + + |Am−1| + |Am|

ành ngh¾a 1.2.3 (Quy t­c nh¥n) Gi£ sû mët nhi»m vö n o â ÷ñc t¡ch

ra l m hai vi»c Vi»c thù nh§t câ thº l m b¬ng n1 c¡ch, vi»c thù hai câ thº

l m b¬ng n2 c¡ch sau khi vi»c thù nh§t ¢ ÷ñc l m, khi â s³ câ n1n2 c¡chthüc hi»n nhi»m vö n y

Quy t­c nh¥n th÷íng ÷ñc ph¡t biºu têng qu¡t b¬ng ngæn ngú tªphñp nh÷ sau:

M»nh · 1.2.4 Cho n tªp hñp húu h¤n A1, A2, , An (n ≥ 2) Khi â

|A1 × A2 × × An| = |A1|.|A2| |An|

Sau ¥y ta nh­c l¤i mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tê hñp theo [2] Cho

A1, , Am l  c¡c tªp b§t k¼, S l  tªp mët sì ç s­p x¸p (câ thº l  trüc quanh¼nh håc ho°c câ thº l  trøu t÷ñng v  ÷ñc mæ t£ d÷îi d¤ng c¡c quy t­c s­px¸p), cán R1, , Rn l  c¡c i·u ki»n ¢ cho C¡c i·u ki»n n y °t c¡c r ngbuëc l¶n sü s­p x¸p c¡c ph¦n tû cõa A1, , Am, theo sì ç S Khi â mëts­p x¸p b§t ký c¡c ph¦n tû cõa A1, , Am theo sì ç S thäa m¢n c¡c i·uki»n R1, , Rn ÷ñc gåi l  mët c§u h¼nh tê hñp tr¶n c¡c tªp A1, , Am.N¸u c¡c ph¦n tû cõa A1, , Am ·u thuëc tªp A th¼ c§u h¼nh tê hñp tr¶n

A1, , Am th÷íng ÷ñc gåi ng­n gån l  c§u h¼nh tê hñp tr¶n tªp A

V½ dö 2 Gi£ sû A1 l  tªp gçm 12 håc sinh nú v  A2 l  tªp bao gçm 20 håcsinh nam cõa mët lîp;

Sì ç s­p x¸p S l  "3 h ng dåc, méi h ng câ 6 và tr½";

i·u ki»n R1: 3 và tr½ ¦u cõa h ng 1 ph£i l  nú, 3 và tr½ sau cõa h ng

1 ph£i l  nam;

i·u ki»n R2: ð h ng 2, nam v  núa ÷ñc x¸p v o c¡c và tr½ xen k³nhau, nh÷ng và tr½ ¦u ti¶n ph£i l  nam;

i·u ki»n R2: 3 và tr½ ¦u cõa h ng 3 ph£i l  nam, 3 và tr½ sau cõa

h ng 3 ph£i l  nú;

Khi â méi c¡ch s­p x¸p th nh h ng cõa c¡c håc sinh tø A1 v  A2

theo sì ç S thäa m¢n c¡c i·u ki»n R1, R2, R3 l  mët c§u h¼nh tê hñp.Ghi chó 1.2.5 (Ch¿nh hñp câ l°p) Gi£ sûAl  mët hñp húu h¤n vîi |A| = n,cán k l  mët sè nguy¶n d÷ìng Ta công gi£ sû

A1, A2, , Ak l  c¡c ph¦n tû cõa A,

S l  sì ç s­p x¸p "bë câ thù tü gçm k th nh ph¦n (x1, x2, , xk)",

R l  i·u ki»n s­p x¸p "x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, , xk ∈ Ak"

Khi â méi c§u h¼nh tê hñp tr¶n A1, A2, , Ak theo S thäa m¢n R

÷ñc gåi l  mët ch¿nh hñp câ l°p chªp k cõa n ph¦n tû cõa A

D¹ th§y r¬ng méi ch¿nh hñp câ l°p chªp k cõa n ph¦n tû cõa A câ thºcoi l  mët ph¦n tû cõa t½ch · c¡cA1× .×Ak Do â, n¸u ta kþ hi»u sè ch¿nhhñp câ l°p chªpkcõanph¦n tû cõaAb¬ngAkn, th¼Akn = |A1×A2× .×Ak|.Theo quy t­c nh¥n ta câ

|A1 × A2 × × Ak| = |A1||A2| |Ak| = nk

V¼ vªy

Akn = nk

Ghi chó 1.2.6 (Ch¿nh hñp khæng l°p) Gi£ sû A l  mët tªp húu h¤n vîi

|A| = n, cán k l  mët sè nguy¶n d÷ìng Ta gi£ sû

cõa n ph¦n tû cõa A b¬ng Akn

Akn = n!

(n − k)!,n¸u k 6 n

Ghi chó 1.2.7 (Tê hñp khæng l°p) Gi£ sûAl  mët tªp húu h¤n vîi|A| = n,cán k l  mët sè nguy¶n d÷ìng Ta gi£ sû

÷ñc gåi ìn gi£n l  tê hñp

Nh÷ vªy, mët tê hñp chªp k cõa nph¦n tû cõa A câ thº ÷ñc xem nh÷

l  mët tªp con lüc l÷ñng k cõa A K½ hi»u sè c¡c tê hñp chªp k cõa n ph¦n

tû cõa A b¬ng



nk

,



nk

Ghi chó 1.2.8 (a tªp) Mët sü tö tªp c¡c vªt câ b£n ch§t tòy þ, trong

â câ thº câ nhúng vªt khæng ph¥n bi»t ÷ñc vîi nhau (v  câ thº coi nh÷

l  sü l°p l¤i cõa còng mët vªt), ÷ñc gåi l  a tªp hñp hay ng­n gån l  atªp C¡c vªt trong a tªp công ÷ñc gåi l  c¡c ph¦n tû Ta công dòng c¡cph÷ìng ph¡p x¡c ành tªp hñp º x¡c ành a tªp Nh÷ng èi vîi a tªp,

ta c¦n x¡c ành sè c¡c ph¦n tû khæng ph¥n bi»t ÷ñc vîi nhau, sè l÷ñng c¡cph¦n tû cõa mët a tªp A công ÷ñc gåi l  lüc l÷ñng cõa A v  ÷ñc kþ hi»u

l  |A|

V½ dö: A = {a, a, a, b, c, c} l  mët a tªp vîi |A| = 6

Theo ành ngh¾a, hiºn nhi¶n méi tªp công l  a tªp, nh÷ng ng÷ñc l¤i,mët a tªp câ thº khæng l  tªp hñp Ch¯ng h¤n, a tªp A ð tr¶n khæng l tªp hñp

N¸u c¡c ph¦n tû cõa mët a tªp A ·u l  ph¦n tû cõa mët tªp B, th¼

ta s³ nâi r¬ng A l  a tªp tr¶n B Ch¯ng h¤n, a tªp A ð tr¶n l  mët a tªptr¶n tªp B = {a, b, c}

Ghi chó 1.2.9 (Tê hñp l°p) Gi£ sû A l  mët tªp húu h¤n vîi |A| = n, cán

k l  mët sè nguy¶n d÷ìng Ta gi£ sû A1, A2, , Ak l  c¡c ph¦n tû cõa A,

S l  sì ç s­p x¸p "a tªp câ k ph¦n tû {x1, x2, , xk}",

R l  i·u ki»n s­p x¸p ”x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, , xk ∈ Ak”.

Khi â, méi c§u h¼nh tê hñp tr¶n A1, A2, , Ak theo S thäa m¢n R

÷ñc gåi l  mët tê hñp câ l°p chªp k cõa n ph¦n tû cõa A

Nh÷ vªy, theo ành ngh¾a mët tê hñp câ l°p chªp k cõa n ph¦n tû cõa

A câ thº coi l  mët a tªp lüc l÷ñng k vîi c¡c ph¦n tû ·u thuëc A K½ hi»u

sè c¡c tê hñp câ l°p chªp k cõa n ph¦n tû cõa A b¬ng CRnk Ta công nhªnx²t r¬ng n¸uA = {a1, a2, , an}, th¼ mët a tªpB lüc l÷ñngk vîi c¡c ph¦n

tû ·u thuëc A ho n to n ÷ñc x¡c ành n¸u sè l¦n xu§t hi»n trong B cõaméi ai, i = 1, 2, , n, ÷ñc x¡c ành Ta câ

CRkn = Cn+k−1k

Ghi chó 1.2.10 (Ho¡n và khæng l°p) Gi£ sû A l  mët tªp húu h¤n vîi

|A| = n Khi â mët ch¿nh hñp chªp n cõa n ph¦n tû A ÷ñc gåi l  mëtho¡n và khæng l°p cõa n ph¦n tû cõa A Ho¡n và khæng l°p th÷íng ÷ñc gåi

Khi â c§u h¼nh tê hñp A1, , Am theo S thäa m¢n R1, R2 ÷ñc gåi

l  mët ho¡n và câ l°p cõa c¡c ph¦n tû a1, , an cõa tªp A vîi tham sè l°p

l  m1, , mn

Theo ành ngh¾a cõa ch¿nh hñp câ l°p v  ho¡n và câ l°p ta th§y ngayr¬ng mët ho¡n và câ l°p cõa c¡c ph¦n tû a1, , an cõa tªp A vîi tham sèl°p l  m1, m2, , mn ch½nh l  mët ch¿nh hñp l°p chªp m cõa n ph¦n tû cõa

A thäa m¢n i·u ki»n R2 Công th§y ngay r¬ng mët ho¡n và câ l°p cõa c¡cph¦n tûa1, a2, , an cõa tªpAvîi tham sè l°p l  m1 = m2 = = mn = 1

n giai o¤n k¸ ti¸p nhau H1, H2, , Hn sau ¥y:

Giai o¤n H1: t¤o ra m1 th nh ph¦n a1 cho ho¡n và câ l°p Rã r ng l méi tªp con B1 = {i ∈ {1, , m} |xi = a} cõa tªp {1, 2, , m} t÷ìng ùngvîi óng mët c¡ch thüc hi»n giai o¤n n y V¼ vªy câ m

m 1

c¡ch thüc hi»n

an Do â m−(m1+ +mn−1)

mn

c¡ch thüc hi»n giai o¤n Hn.Theo nguy¶n lþ nh¥n ta câ

mm1, m2, , mn

!

= mm1

!

m − m1m2

nhau th nh hñp ríi r¤c cõa n tªp con B1, B2, , Bn, vîi sè ph¦n tû theo thù

Chùng minh Ta câ thº thüc hi»n c¡c ph¥n ho¤ch ¢ mæ t£ tr¶n ¥y cõa tªp

A th nh n tªp con B1, B2, , Bn nh÷ sau: Ta l§y mët tªp con B1 b§t kýchùam1 ph¦n tû cõa tªp hñp A (i·u n y câ thº thüc hi»n theo



m

m1

c¡ch),trong m − m1 ph¦n tû cán l¤i, ta l§y mët tªp con B2 chùa m2 ph¦n tû (i·u

n y câ thº thüc hi»n theo



m − m1m2

c¡ch), Khi â, theo quy t­c nh¥n,

V½ dö 1.2.13 Gi£ sû câ m chú c¡i, trong â câ m1 chú a1, m2 chú a2 ,

mn chú an (trong â m1 + m2 + + mn = m) Tø c¡c chú c¡i â câ thºlªp ÷ñc bao nhi¶u "tø" kh¡c nhau (tø câ ngh¾a ho°c tø khæng câ ngh¾a) m méi tø gçm m chú c¡i ¢ cho?

Ta ¡nh sè và tr½ c¡c chú c¡i trong méi tø bði c¡c sè 1, 2, , m Méi "tø"

÷ñc x¡c ành ho n to n bði tªp hñp Bi c¡c sè hi»u cõa c¡c và tr½ t¤i â câchú ai Do â sè "tø" kh¡c nhau lªp n¶n tø c¡c chú c¡i ¢ cho b¬ng sè c¡ch

m  ta câ thº biºu di¹n tªp hñp A = {1, 2, , m} d÷îi d¤ng hñp ríi r¤c cõac¡c tªp con B1, B2, , Bn Theo ành lþ 1.2.12 th¼ sè "tø" c¦n t¼m b¬ng

i) Sè c¡c "tø" thu ÷ñc b¬ng c¡ch ho¡n và c¡c chú c¡i cõa tø 'nhanh' b¬ng

sü khai triºn cõa biºu thùc (a + b)n trong â a, b ∈ R v  n ∈ N∗ "Cængthùc a thùc" l  sü khai triºn cõa biºu thùc (a1 + a2 + + am)n trong â

Ch֓ng 2

Quan h» hai ngæi v  mët sè b i to¡n

2.1 ¸m mët sè quan h» hai ngæi °c bi»t

Möc ½ch ch½nh cõa möc n y l  ¸m mët sè quan h» hai ngæi °c bi»tnh÷ sè quan h» hai ngæi ph£n x¤, sè quan h» hai ngæi èi xùng, Tr÷îch¸t ta ÷a ra mët sè ki¸n thùc chu©n bà Theo lþ thuy¸t tê hñp sè tªp con

Bê · 2.1.1 Sè t§t c£ c¡c tªp con k ph¦n tû cõa mët tªp hñp n ph¦n tûb¬ng n!

k!(n − k)! =

n k

Chùng minh Kþ hi»u sè tªp con k ph¦n tû cõa mët tªp n ph¦n tû l  Unk

Muèn düng mët tªp con k ph¦n tû cõa tªp hñp A ta câ thº gh²p th¶m v omët tªp con k − 1 ph¦n tû cõa A mët trong n − (k − 1) = n − k + 1 ph¦n

tû cán l¤i

V¼ câ Unk−1 tªp con k − 1 ph¦n tû v  ta câ thº bê sung tªp con §y

th nh mët tªp con k ph¦n tû theo n − k + 1 c¡ch, n¶n l m nh÷ vªy ta thu

÷ñc (n − k + 1)Unk−1 tªp con k ph¦n tû cõa A Nh÷ng khæng ph£i t§t c£c¡c tªp con ·u kh¡c nhau, v¼ ta câ thº nhªn mët tªp con k ph¦n tû theo k

c¡ch, cö thº l  l§y méi mët trong k ph¦n tû cõa nâ gh²p th¶m k − 1 ph¦n

tû cán l¤i V¼ vªy sè (n − k + 1)Unk−1 vøa t¼m ÷ñc ð tr¶n g§p k l¦n sè Unk

c¡c tªp con k ph¦n tû cõa A Do â ta câ ¯ng thùc

(n − k + 1) (n − 1)k(k − 1) 2 U1

n

U1n l  sè tªp con mët ph¦n tû cõa A Nâ b¬ng sè ph¦n tû cõa A, tùc l  n.Vªy

Chùng minh C¡ch 1: Cho A l  mët tªp húu h¤n Ta li»t k¶ c¡c ph¦n tû cõa

A theo mët thù tü n o â Giúa c¡c tªp con cõa A v  c¡c d¢y nhà ph¥n câ

ë d i |A| câ sü t÷ìng ùng 1-1 Cö thº l , mët tªp con cõa A ÷ñc g¡n vîid¢y nhà ph¥n câ sè 1 ð và tr½ thù i n¸u ph¦n tû thù i trong danh s¡ch thuëctªp con n y, v  l  sè 0 trong nhúng tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i Theo quy t­c nh¥n

câ 2|A| d¢y nhà ph¥n ë d i |A| V¼ vªy |P (A)| = 2|A|

C¡ch 2: Gåi Ta l  tªp hñp t§t c£ c¡c tªp con cõa tªp hñp A chùa ph¦n

tû a ∈ A Hiºn nhi¶n méi tªp con nh÷ th¸ ÷ñc ho n to n x¡c ành, n¸u tabi¸t t§t c£ c¡c ph¦n tû cán l¤i cõa nâ (trø a) V¼ vªy câ bao nhi¶u tªp connh÷ th¸ th¼ câ b§y nhi¶u tªp con trong tªp A0 = A \ a Tªp hñp A0 n y câ

m − 1 ph¦n tû V¼ vªy, n¸u ta gåi sm l  sè tªp con cõa mët tªp hñp câ m

mët ph¦n tû ch¿ câ hai tªp con l  tªp réng v  ch½nh nâ Vªy s1 = 2 Do â

sn = 2n

C¡ch 3: Cho tªp A câ n ph¦n tû X²t tªp hñp Y = {0, 1} Vîi méi tªpcon B cõa A, ta x¡c ành mët ¡nh x¤ f : A → Y nh÷ sau: Cho x ∈ A, n¸u

x ∈ B th¼ ta °t f (x) = 1, cán n¸u x /∈ B th¼ ta °t f (x) = 0 Nh÷ vªy ùngvîi méi tªp con B cõa A, câ mët ¡nh x¤ f tø A tîi Y

£o l¤i, n¸uf l  mët ¡nh x¤ tø A tîi Y th¼ ùng vîi nâ câ mët tªp con

B cõa A, gçm t§t c£ c¡c ph¦n tû x ∈ A sao cho f (x) = 1

Sü t÷ìng ùng §y giúa tªp hñp c¡c tªp con cõa tªp hñp A v  tªp hñpc¡c ¡nh x¤ tø A tîi X rã r ng l  1 − 1 Do â sè tªp con cõa A, tùc l  |2A|,b¬ng sè ¡nh x¤ tø tªp hñp A câ n ph¦n tû tîi tªp hñp Y câ hai ph¦n tû.Theo M»nh · 2.1.2 sè n y l  2m Vªy |2A| = 2m

C¡ch 4: C¡c tªp con cõa A gçm c¡c lo¤i tªp: 0 ph¦n tû, 1 ph¦n tû, ,

n ph¦n tû Méi k ∈ {0, 1, , n}, theo Bê · 2.1.1 câ n

k

tªp con k ph¦n tûcõa A Vªy sè tªp con cõa A l 

n0

!

+ n1

theo cæng thùc khai triºn a thùc

Ta ÷a ra mët ùng döng cõa k¸t qu£ tr¶n trong gi£i to¡n sì c§p

B i to¡n 2.1.3 (VMO-2004) Cho tr÷îc c¡c sè nguy¶n d÷ìng m, n T½nh

C¡c lôy thøa cõa 2 cho ta li¶n t÷ðng ¸n sè tªp con cõa mët tªp hñp

Trong c¡c tªp con cõa tªpS = {1, 2, , m + n + 1}d¹ th§y Cn+kk 2m−k

tªp d¤ng {a1, a2, , an+i} , (1 < i 6 m + 1) trong â (a1 < a2 < < an+i)

v  an+1 = n + k + 1 vîi 0 6 k 6 m (Do câ Cn+kn c¡ch chån n ph¦n tû

(a1, a2, , an)) tø tªp {1, 2, , n + k}, 1 c¡ch chån an+1 = n + k + 1

v  2m−k c¡ch chån tªp con cõa tªp{n + k + 1, , n + m + 1} Nh÷ vªy

l  2m+n+1 â l  i·u ph£i chùng minh

B i to¡n 2.1.4 (APMO 1998) Gi£ sûFkl  tªp hñp t§t c£ c¡c bë(A1, A2, , Ak)

trong â Ai (i = 1, 2, , k) l  mët tªp con cõa {1, 2, , n} (c¡c tªp

A1, A2, , Ak câ thº tròng nhau) H¢y t½nh

v  câ 2k− 1 c¡ch th¶m nv o k-bë (A1, A2, , Ak) cõa tªp {1, 2, , n − 1}

th¼ ta câ: Sn = 2kSn−1+ (2k − 1).2k(n−1)

D¹ th§y: S1 = 2k − 1 Tø §y b¬ng quy n¤p ta chùng minh ÷ñc:

Sn = n.2k(n−1)(2k − 1)

M»nh · 2.1.5 Gi£ sû A l  mët tªp hñp gçm n ph¦n tû X¡c ành sè c¡cc°p (U, V ), ð â U, V ⊆ A, thäa m¢n U khæng l  tªp con thüc sü cõa V

Chùng minh Theo Bê · 2.1.2 sè tªp con cõa tªp A l  2n Vªy sè c¡c c°p

(U, U ) b¬ng 2n× 2n Vîi méi sè tü nhi¶n k v  tªp con V gçm k ph¦n tû, sèc¡c tªp con U cõa V óng b¬ng 2k Tø ¥y suy ra sè c¡c c°p (U, V ), ð â

U, V ⊆ A, thäa m¢n U l  tªp con thüc sü cõa V óng b¬ng