Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán (tt)

Luật số lớn trong xác suất không giao hoán được nghiên cứu theohai hướng chính: toán tử bị chặn trên đại số von Neumann với trạng thái và toán tử đo được với trạng thái vết.. Đối tượng n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-ĐỖ THẾ SƠN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN

TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 9460106

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2020

Người hướng dẫn khoa học: 1 GS TS Nguyễn Văn Quảng

2 TS Lê Hồng Sơn

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường

tại Trường Đại học VinhVào hồi ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào

thuộc Trường Đại học Vinh

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Các định lý giới hạn đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiêncứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngànhkhoa học thực nghiệm khác Định lý giới hạn dạng luật số lớn được nghiêncứu cho nhiều đối tượng khác nhau Chẳng hạn, luật số lớn cho các biếnngẫu nhiên đơn trị, các biến ngẫu nhiên đa trị, các biến ngẫu nhiên nhậngiá trị tập mờ; luật số lớn trong lý thuyết trò chơi, trong xác suất khônggiao hoán Trong đó, định lý giới hạn trong xác suất không giao hoánđang thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả và đã đạt được nhữngkết quả nhất định

1.2 Lý thuyết tích phân không giao hoán được bắt đầu nghiên cứu vàonhững năm 1952-1953 bởi Segal Sau đó, nó tiếp tục được nghiên cứu bởiKunze (1958), Stinespring (1959), Nelson (1974), Yeadon (1979) Trên

cơ sở của lý thuyết tích phân không giao hoán, lý thuyết xác suất khônggiao hoán đã được nghiên cứu bởi Batty (1979), Padmanabhan (1979),

Luczak (1985), Jajte (1985) và đang tiếp tục được quan tâm Trong xácsuất không giao hoán, không có không gian xác suất cơ bản, thay vìnghiên cứu các biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu các toán tử trên đại số vonNeumann hoặc toán tử đo được Do phép nhân các toán tử không có tínhgiao hoán và chúng ta cũng không thể nói về max, min của các toán tửnên để nghiên cứu các vấn đề của lý thuyết xác suất không giao hoán,

cần có những công cụ mới và kỹ thuật mới.

1.3 Luật số lớn trong xác suất không giao hoán được nghiên cứu theohai hướng chính: toán tử bị chặn trên đại số von Neumann với trạng thái

và toán tử đo được với trạng thái vết Khó khăn trong hướng thứ nhất làtính chất hạn chế của trạng thái, còn trong hướng thứ hai thì tính không

bị chặn của các toán tử đo được làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp Cácđặc điểm đó góp phần tạo nên sự đa dạng của các vấn đề cần được quantâm, nghiên cứu về các định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán.1.4 Do yêu cầu của nhiều bài toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng

tử, những vấn đề của toán tử bị chặn trên đại số von Neumann hoặc cáctoán tử đo được đã được nghiên cứu sôi nổi từ những năm bảy mươi củathế kỷ trước và tiếp tục được nghiên cứu cho đến nay Chính vì vậy, việcnghiên cứu định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán không chỉ có

ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn

Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các toán tử đo được và luật sốlớn cho các toán tử đo được đối với trạng thái vết trong xác suất khônggiao hoán

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu về các định lý giới hạn dạng luật số lớncủa các toán tử đo được dưới các dạng hội tụ khác nhau như: hội tụ hầuđều hai phía, hội tụ trong LP, hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng cáckhái niệm khả tích sang không gian xác suất không giao hoán.

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp cơ bản của lý thuyếtxác suất trong chứng minh luật số lớn và các kỹ thuật của lý thuyết toán

tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễnphổ của toán tử

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướngnghiên cứu về các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất không giaohoán

Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học vànghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kêtoán học

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

tử đo được độc lập đôi một cùng phân phối hoặc không cùng phân phối.Tiếp đến, chúng tôi chứng minh các điều kiện tương đương của khả tíchđều đối với dãy các toán tử đo được Dựa vào kết quả đó, chúng tôi xây

dựng một số khái niệm khả tích đối với dãy các toán tử đo được trongxác suất không giao hoán Cuối cùng, luật mạnh số lớn đối với dãy cáctoán tử độc lập đôi một và khả tích mạnh Cesàro mức α được chúng tôinghiên cứu.

Đối với luật yếu số lớn, trước hết chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ trong

L1 đối với dãy các toán tử đo được, khả tích Cesàro dư mức α và độc lậpđôi một hoặc m-phụ thuộc Sau đó, chúng tôi xây dựng các khái niệm:khả tích đều theo nghĩa Cesàro, h-khả tích tương ứng với mảng hằng số

{ani} và h-khả tích với mũ r của mảng các toán tử đo được Cuối cùng,chúng tôi thiết lập một số định lý hội tụ trung bình và luật yếu số lớncho mảng các toán tử đo được từ các khái niệm trên

7.2 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần: Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu,Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình của tác giả liênquan đến luận án, nội dung chính của luận án được trình bày trong bachương

Chương 1 dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở chonhững nghiên cứu của luận án

Chương 2 nghiên cứu về một số định lý giới hạn dạng luật mạnh sốlớn đối với dãy các toán tử đo được

Chương 3 nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối vớidãy và mảng các toán tử đo được

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của

lý thuyết xác suất không giao hoán

1.1 Toán tử trên không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử D là không gian con của H, toán tử tuyếntính T : D → H được gọi là toán tử xác định bộ phận trên H Nếu miềnxác định D(T ) của toán tử T trù mật trong H thì T được gọi là toán tửxác định trù mật trên H

Một toán tử xác định bộ phận (hoặc xác định trù mật) trên H có thể

Công thức (1.1) được gọi là biểu diễn phổ của toán tử T và thườngđược viết dưới dạng: T =

tương ứng với tập con Borel B của tập số thực R, ta viết E(B) = eB(T )

1.2 Đại số von Neumann

Định nghĩa 1.2.1 Một đại số con A của L(H) được gọi là đại số vonNeumann nếu:

i) A đóng đối với phép liên hợp, nghĩa là nếu T ∈ A thì T∗ ∈ A;ii) A chứa toán tử đồng nhất 1;

iii) A đóng yếu, nghĩa là nếu dãy suy rộng {Ti} ⊂ A và Ti → T theotôpô toán tử yếu thì T ∈ A

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử A ⊂ L(H) là đại số von Neumann Ký hiệu

A+ = {X ∈ A : X ≥ 0} và τ : A → C là phiếm hàm tuyến tính Khi đó

i) τ được gọi là dương nếu τ (X) ≥ 0, ∀X ∈ A+

ii) τ được gọi là chính xác nếuτ (X) = 0suy raX = 0với mọi X ∈ A+.iii) τ được gọi là trạng thái nếu τ dương và τ (1) = 1

iv) Trạng thái τ được gọi là chuẩn tắc nếu với mọi dãy suy rộng

{Xi} ⊂ A+, Xi ↑ X (theo tôpô toán tử mạnh) đều có τ (Xi) ↑ τ (X).v) Trạng thái τ được gọi là trạng thái vết nếu

τ (XY ) = τ (Y X), ∀X, Y ∈ A;

τ (p ∨ q)6 τ (p) + τ (q), ∀p, q ∈ P rojA.

1.3 Toán tử đo được

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử toán tử đóng xác định trù mật X trên H cóphân tích cực X = U |X| Khi đó, toán tử X được gọi là liên kết với đại

số von Neumann A nếu U thuộc A và mọi phép chiếu phổ của toán tử

đo được tương ứng

Định nghĩa 1.4.1 Dãy {Xn, n ≥ 1}) ⊂ L0(A, τ ) được gọi là hội tụtheo độ đo đến X ∈ L0(A, τ ), ký hiệu Xn −→ Xτ , nếu với mọi ε > 0,

τ e(ε,∞)(|Xn− X|)

−→ 0 khi n −→ ∞

Định nghĩa 1.4.2 Dãy {Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ )được gọi là hội tụ trong

τ (p⊥) < ε, p(Xn− X)p ∈ A và lim

n→∞kp(Xn− X)pk∞ = 0

Kết luận của chương 1

Trong chương này, luận án đã giải quyết những vấn đề sau:

- Trình bày tóm tắt một số khái niệm và tính chất cơ bản của cáctoán tử trên không gian Hilbert;

- Chứng minh một số tính chất của toán tử đo được;

- Hệ thống một số dạng hội tụ trong xác suất không giao hoán vàmối quan hệ giữa chúng;

- Trình bày một số khái niệm độc lập của dãy và mảng các toán tử

đo được

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT MẠNH SỐLỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC TOÁN TỬ ĐO ĐƯỢC

Trong chương này, chúng tôi thiết lập các định lý giới hạn dạng luậtmạnh số lớn (với sự hội tụ hầu đều hai phía) đối với dãy các toán tử đođược

2.1 Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương

Mục này được dành để trình bày một số luật mạnh số lớn đối với dãycác toán tử đo được dương

Định lý sau đây là mở rộng từ Định lý 1 của Chandra và Goswami(1992) sang xác suất không giao hoán

Định lý 2.1.1 Giả sử {Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) là dãy các toán tử dươngthỏa mãn các điều kiện sau:

ở đây Bnc là phần bù của Bn, i ∨ j = max(i, j) và eSn =

n

P

k=1

XkeBk(Xk).Khi đó

1 của Korchevsky (2015)) Chú ý rằng trong trường hợp đặc biệt, khi

f (n) = n, p = 2, một kết quả tương tự cho dãy các toán tử đo được độc

lập liên tiếp với sự hội tụ hầu đều cũng được chứng minh bởi Klimczak(2012).

Định lý 2.1.3 Giả sử {Xn, n ≥ 1} ⊂ LP(A, τ ) (P ≥ 1) là dãy các toán

Trong trường hợp f (n) = n, định lý sau đây là mở rộng Định lý 1 của

Cso¨rg˝o, Tandori và Totik (1983) sang xác suất không giao hoán

Định lý 2.2.1 Giả sử {Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) là dãy các toán tử tự liênhợp, độc lập đôi một sao cho:

X

k=1

ck Xk − τ (Xk)
−−−→ 0b.a.u. khi n → ∞,

với mọi dãy bị chặn {cn}

Trong trường hợp đặc biệt, khi {Xn, n ≥ 1} ⊂ L1(A, τ ) là dãy cáctoán tử tự liên hợp, độc lập đôi một cùng phân phối, ta có hệ quả sauđây

Hệ quả 2.2.3 [Định lý 2.1, Klimczak (2012)] Giả sử {Xn, n ≥ 1} ⊂

L1(A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một cùng phân phối.Khi đó

1n

sự hội tụ hầu đều [Định lý 4.7.3, Jajte (1985)]

Định lý 2.2.4 Giả sử gn : (0, ∞) → (0, ∞) là dãy các hàm không giảmsao cho x

gn(x) và

gn(x)

x2 không tăng đối với biến x, với mọi n ≥ 1 Giả

sử {an, n ≥ 1} là dãy số dương tăng với an ↑ ∞ và  an

đối với dãy các toán tử đo được

Trong mục này, đầu tiên chúng tôi sẽ chứng minh một số tính chấttương đương của điều kiện khả tích đều đối với dãy các toán tử đo được.Sau đó, chúng tôi sẽ xây dựng một số khái niệm khả tích trong xác suấtkhông giao hoán và mối liên hệ giữa chúng Cuối cùng, chúng tôi sẽ thiếtlập một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử độc lập đôi một thỏamãn điều kiện khả tích mạnh mức α hoặc khả tích đều mạnh Ces`ro.Định nghĩa 2.3.1 Một tập con bị chặn K của L1(A, τ ) được gọi là khảtích đều (ký hiệu UI) nếu

lim

X∈K

pnXpn 1 = 0,

với mọi dãy các phép chiếu giảm {pn}n≥1 thuộc A với pn ↓ 0 (theo tôpôtoán tử mạnh).

Bây giờ chúng ta chứng minh một số tính chất tương đương của điềukiện khả tích đều Lưu ý rằng nếu X là toán tử tự liên hợp thì X có thểgiao hoán với mọi phép chiếu phổ eB(X) của nó, ở đâyB là tập con Borelcủa tập số thực R, từ đó suy ra eB(X)XeB(X) = XeB(X) Điều này làrất hữu ích để thiết lập định lý sau đây

Định lý 2.3.2 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được Cáckhẳng định sau đây là tương đương:

(i) Dãy {Xn, n ≥ 1} khả tích đều

(ii) Tồn tại hàm lồi φ ∈ Φ sao cho

Dựa vào Định lý 2.3.2, ta dễ dàng thấy rằng nếu dãy {Xn, n ≥ 1}

thỏa mãn điều kiện UI thì nó cũng thỏa mãn điều kiện CUI

Mệnh đề sau đây là phiên bản không giao hoán của tiêu chuẩn khảtích đều Ces`ro trong Chandra và Goswami (1992)

Mệnh đề 2.3.4 (Dạng không giao hoán của tiêu chuẩn khả tích đềuCes`ro) Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được Các khẳng địnhsau đây là tương đương:

n

X

k=1

τ [φ(|Xk|)]o = M < ∞ (2.16)

* Tính chất này không sử dụng trong trường hợp (ii) ⇒ (i)

Định nghĩa 2.3.5 Giả sử α là số thực dương Khi đó, dãy các toán tử

{Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) được gọi là:

(i) Khả tích Ces`ro mức α, ký hiệu CI(α), nếu

sup

n≥1

h1n

Hiển nhiên, nếu 0 < α < β thì CI(α) suy ra CI(β) và SCI(α) suy raSCI(β) Hơn nữa, từ bổ đề Kronecker suy ra rằng SCI(α) kéo theo CI(α),với mọi α > 0.

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng với mọi α > 0, CUI =⇒ CI(α) và SCUI

Định nghĩa 2.3.7 Giả sử α là số thực dương Khi đó, dãy các toán tử

{Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) được gọi là:

(i) Khả tích Ces`ro dư mức α, ký hiệu RCI(α), nếu

sup

n≥1

h1n

RCI(β) và SRCI(α) =⇒SRCI(β) Hơn nữa, CI(α) =⇒RCI(α)và SCI(α)

=⇒ SRCI(α), với mọi α > 0

Định lý 2.3.8 Giả sử {Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) là dãy các toán tử tự liênhợp, độc lập đôi một Nếu dãy {Xn, n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCI(α)

với α ∈ (0, 1

2) thì

Sn − τ (Sn)n

b.a.u.

−−−→ 0 khi n → ∞

Kết luận của chương 2

Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau:

- Thiết lập một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo đượcdương;

- Chứng minh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đođược độc lập đôi một cùng phân phối và không cùng phân phối;

- Thiết lập các điều kiện tương đương của dãy các toán tử đo đượckhả tích đều;

- Xây dựng một số khái niệm khả tích trong xác suất không giaohoán và mối quan hệ giữa chúng;

- Chứng minh luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độclập đôi một thoả mãn điều kiện khả tích mạnh mức α

3.1 Luật yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được

Trong mục này chúng tôi sẽ thiết lập một số định lý hội tụ trong L1.Chúng ta biết rằng hội tụ trong L1 kéo theo hội tụ theo độ đo Vì vậy, từcác định lý trong mục này chúng ta có thể nhận được kết quả dạng luậtyếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được

Định lý 3.1.1 Giả sử {Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) là dãy các toán tử tự liênhợp độc lập đôi một Nếu dãy {Xn, n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện RCI(α)

với α ∈ (0, 1) thì

Sn − τ (Sn)n

L1

−→ 0 khi n → ∞

Áp dụng Định lý 3.1.1, ta dễ dàng nhận được hệ quả sau đây

Hệ quả 3.1.2 [Định lý 4.1(b), Lindsay và Pata (1997)] Giả sử {Xn, n ≥1} ⊂ L0(A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một Với n ≥ 1,đặt eSn =

n

P

i=1

Xie[0,n](|Xi|)

L 1

−→ 0 khi n → ∞

Tương tự như trong xác suất giao hoán, ta nói rằng dãy các toán tử

đo được {Xn, n ≥ 1} là m-phụ thuộc đôi một nếu Xi và Xj độc lập khi

|i − j| > m

Định lý 3.1.3 Giả sử {Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) là dãy các toán tử tựliên hợp m-phụ thuộc đôi một Nếu dãy {Xn, n ≥ 1} thỏa mãn điều kiệnRCI(α) với α ∈ (0, 1) thì

Sn − τ (Sn)n

Sau đây chúng tôi trình bày một số bổ đề sẽ được sử dụng để chứngminh các định lý trong mục này

Chứng minh của Bổ đề 3.2.1 sau đây tương tự như cách chứng minhcủa Bổ đề 2.1 trong Wu và Guan (2011) và được bỏ qua

Bổ đề 3.2.1 Giả sử {Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các toán tử đođược và r > 0 Gọi {h(n), n ≥ 1} là dãy tăng các số dương với h(n) ↑ ∞

khi n → ∞ Gọi {ani, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các số thực thỏa mãn

h(n) supun≤i≤vn|ani|r → 0 khi n → ∞ Giả sử rằng các điều kiện sau đâythỏa mãn:

trong đó kn = 1/ supun≤i≤vn |ani|r

Lấy ani = k−1/rn với un ≤ i ≤ vn và n ≥ 1 trong Bổ đề 3.2.1, ta nhậnđược bổ đề sau đây

Bổ đề 3.2.2 Giả sử {Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các toán tử đođược và r > 0 Gọi {h(n), n ≥ 1} là dãy số dương tăng với h(n) ↑ ∞ khi

Bây giờ chúng tôi sẽ giới thiệu các kết quả chính của mục này Dướimột số điều kiện thích hợp, một số định lý hội tụ trung bình và luật yếu

số lớn cho mảng các toán tử đo được sẽ được thiết lập

Định lý 3.2.3 Giả sử {Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các toán tửđộc lập đôi một theo hàng và 1 ≤ r < 2 Giả sử rằng kn → ∞, h(n) ↑ ∞

Hệ quả sau đây tổng quát hơn Định lý 3.1 trong Luczak (1985), bởi

vì điều kiện “độc lập liên tiếp” được thay thế bởi điều kiện yếu hơn “độclập đôi một”

Hệ quả 3.2.7 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được tự liênhợp, độc lập đôi một cùng phân phối Nếu