Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán

Một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được 26 2.1.. Một số định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được 64 3.1.. Trong

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-ĐỖ THẾ SƠN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN

TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỖ THẾ SƠN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN

TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 9460106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS TS NGUYỄN VĂN QUẢNG

2 TS LÊ HỒNG SƠN

NGHỆ AN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quảviết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khiđưa vào luận án Các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưatừng được ai công bố trước đó

Tác giả

Đỗ Thế Sơn

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướngdẫn khoa học của GS.TS Nguyễn Văn Quảng và TS Lê Hồng Sơn Tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với hai Thầy đã hướng dẫntận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quantâm và góp ý của TS Nguyễn Thị Thế, PGS.TS Lê Văn Thành, TS.Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, TS.Dương Xuân Giáp, TS Trần Anh Nghĩa, PGS TS Nguyễn Chiến Thắng,

TS Nguyễn Huy Chiêu cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp.Tác giả xin chân thành cảm ơn những sự giúp đỡ quý báu đó

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và PhòngĐào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã hỗ trợ và tạo mọi điều kiệnthuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh.Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đạihọc Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, nơi tác giả đang làm việc, đã tạo điềukiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán vì đã

hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả được học tập và nghiên cứutại Viện

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè và đồng nghiệp đã luônđộng viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã luôn là chỗdựa vững chắc cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác

Đỗ Thế Sơn

MỤC LỤC

1.1 Toán tử trong không gian Hilbert 10

1.2 Đại số von Neumann 15

1.3 Toán tử đo được 18

1.4 Các dạng hội tụ và sự độc lập 23

Chương 2 Một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được 26 2.1 Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương 26

2.2 Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một 41

2.3 Một số dạng khả tích đều và luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được 49

Chương 3 Một số định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được 64 3.1 Luật yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được 64

3.2 Luật yếu số lớn đối với mảng các toán tử đo được 69

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án 87

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

B(R) σ-đại số Borel của tập số thực R

B ∈ B(R) B là tập con Borel của tập số thực R

x, y Tích vô hướng của x, y ∈ H

L(H) Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H

W∗(X) Đại số von Neumann sinh bởi toán tử đo được X

eB(X) Phép chiếu phổ của toán tử tự liên hợp X tương ứng

với tập con Borel B của tập số thực R

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Các định lý giới hạn đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiêncứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngànhkhoa học thực nghiệm khác Định lý giới hạn dạng luật số lớn được nghiêncứu cho nhiều đối tượng khác nhau Chẳng hạn, luật số lớn cho các biếnngẫu nhiên đơn trị, các biến ngẫu nhiên đa trị, các biến ngẫu nhiên nhậngiá trị tập mờ; luật số lớn trong lý thuyết trò chơi, trong xác suất khônggiao hoán Trong đó, định lý giới hạn trong xác suất không giao hoánđang thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả và đã đạt được nhữngkết quả nhất định (xem [3], [23], [35], [43], [60])

1.2 Lý thuyết tích phân không giao hoán được bắt đầu nghiên cứu vàonhững năm 1952-1953 bởi I E Segal [52] Sau đó, nó tiếp tục được nghiêncứu bởi R A Kunze [31], W F Stinespring [53], E Nelson [36], F J.Yeadon [59] Trên cơ sở của lý thuyết tích phân không giao hoán, lýthuyết xác suất không giao hoán đã được nghiên cứu bởi C J Batty [3],

A R Padmanabhan [37], A Luczak [35], R Jajte [23] và đang tiếp tụcđược quan tâm Trong xác suất không giao hoán, không có không gianxác suất cơ bản, thay vì nghiên cứu các biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu cáctoán tử trên đại số von Neumann hoặc toán tử đo được Do phép nhâncác toán tử không có tính giao hoán và chúng ta cũng không thể nói vềmax, min của các toán tử nên để nghiên cứu các vấn đề của lý thuyết xác

suất không giao hoán, cần có những công cụ mới và kỹ thuật mới.

1.3 Luật số lớn trong xác suất không giao hoán được nghiên cứu theohai hướng chính: toán tử bị chặn trên đại số von Neumann với trạng thái

và toán tử đo được với trạng thái vết Khó khăn trong hướng thứ nhất làtính chất hạn chế của trạng thái, còn trong hướng thứ hai thì tính không

bị chặn của các toán tử đo được làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp Cácđặc điểm đó góp phần tạo nên sự đa dạng của các vấn đề cần được quantâm, nghiên cứu về các định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán.1.4 Do yêu cầu của nhiều bài toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng

tử, những vấn đề của toán tử bị chặn trên đại số von Neumann hoặc cáctoán tử đo được đã được nghiên cứu sôi nổi từ những năm bảy mươi củathế kỷ trước và tiếp tục được nghiên cứu cho đến nay Chính vì vậy, việcnghiên cứu định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán không chỉ có

ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn

Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các toán tử đo được và luật sốlớn cho các toán tử đo được đối với trạng thái vết trong xác suất khônggiao hoán

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu về các định lý giới hạn dạng luật số lớncủa các toán tử đo được dưới các dạng hội tụ khác nhau như: hội tụ hầuđều hai phía, hội tụ trong LP, hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng cáckhái niệm khả tích sang không gian xác suất không giao hoán.

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp cơ bản của lý thuyếtxác suất trong chứng minh luật số lớn và các kỹ thuật của lý thuyết toán

tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễnphổ của toán tử

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướngnghiên cứu về các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất không giaohoán

Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học vànghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kêtoán học

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan về luận án

Luật số lớn đầu tiên trong xác suất không giao hoán được chứng minhnăm 1979 bởi C J K Batty [3] Trong bài báo của mình, ông đã thiếtlập dạng không giao hoán của bất đẳng thức Kolmogorov và chứng minhluật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập liên tiếp Sau

đó, A Luczak [35] đã xây dựng một số luật mạnh và luật yếu số lớn chodãy các toán tử đo được độc lập liên tiếp cùng phân phối Tiếp đến, R.Jajte [23], [24] đã chứng minh một số kết quả đáng quan tâm như: luậtmạnh số lớn đối với dãy các toán tử trực giao, định lý 3 chuỗi Kolmogorov

hay luật mạnh số lớn Chung Kailai.

Trong nước, luật số lớn đối với dãy và mảng các toán tử cũng đượcmột số tác giả như Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Quảng, Lê Hồng Sơn,Nguyễn Ngọc Huy nghiên cứu (xem [43], [45])

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạngluật số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được

Đối với luật mạnh số lớn, đầu tiên chúng tôi sử dụng một số kỹthuật của lý thuyết toán tử và các phương pháp được phát triển bởi N.Etemadi ([18], [19]), S Cs¨org˝o, K Tandori, V Totik [16], T K Chandra,

A Goswami ([8], [9]) và V Korchevsky [29] để thiết lập một số luật mạnh

số lớn cho dãy các toán tử đo được dương

Sử dụng những kết quả này, chúng tôi chứng minh một số luật mạnh

số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một cùng phân phốihoặc không cùng phân phối

Tiếp đến, chúng tôi chứng minh các điều kiện tương đương của khảtích đều đối với dãy các toán tử đo được Dựa vào kết quả đó, chúng tôixây dựng một số khái niệm khả tích đối với dãy các toán tử đo được trongxác suất không giao hoán

Cuối cùng, luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử độc lập đôi một

và khả tích mạnh Cesàro mức α được chúng tôi nghiên cứu

Đối với luật yếu số lớn, trước hết chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ trong

L1 đối với dãy các toán tử đo được, khả tích Cesàro dư mức α và độc lậpđôi một hoặc m-phụ thuộc

Sau đó, chúng tôi xây dựng các khái niệm: khả tích đều theo nghĩaCesàro, h-khả tích tương ứng với mảng hằng số {ani} và h-khả tích với

mũ r của mảng các toán tử đo được

Cuối cùng, chúng tôi thiết lập một số định lý hội tụ trung bình vàluật yếu số lớn cho mảng các toán tử đo được từ các khái niệm trên.7.2 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần: Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu,Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình của tác giả liênquan đến luận án, nội dung chính của luận án được trình bày trong bachương

Chương 1 dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở chonhững nghiên cứu của luận án Mục 1.1 giới thiệu một số khái niệm về đại

số Banach, toán tử trong không gian Hilbert, khai triển đơn vị và định lýphổ Mục 1.2 giới thiệu về đại số von Neumann, phép chiếu, trạng thái

và trạng thái vết Mục 1.3 trình bày định nghĩa và một số tính chất củatoán tử đo được Cuối cùng, Mục 4.4 trình bày một số dạng hội tụ vàmột số khái niệm độc lập trong xác suất không giao hoán

Chương 2 nghiên cứu về một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớnđối với dãy các toán tử đo được Trong Mục 2.1, chúng tôi thiết lập một

số luật mạnh số lớn cho dãy các toán tử đo được dương Mục 2.2 chứngminh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được, độc lậpđôi một cùng phân phối hoặc không cùng phân phối Trong Mục 2.3, đầutiên chúng tôi chứng minh một số tính chất tương đương của điều kiệnkhả tích đều đối với dãy các toán tử đo được trong xác suất không giaohoán Sau đó, chúng tôi xây dựng một số khái niệm khả tích và chứngminh một số tiêu chuẩn khả tích trong xác suất không giao hoán Cuốicùng, chúng tôi sẽ trình bày một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán

tử đo được độc lập đôi một thỏa mãn điều kiện khả tích mạnh mức α

(SCI(α)) hoặc khả tích đều mạnh Ces`ro (SCUI)

Chương 3 nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối với

dãy và mảng các toán tử đo được Mục 3.1 thiết lập một số luật yếu sốlớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một hoặc m-phụ thuộc.Trong Mục 3.2, chúng tôi xây dựng một số khái niệm mới về một số dạngkhả tích đối với mảng các toán tử đo được trong xác suất không giaohoán Ngoài ra, trong mục này, chúng tôi còn chứng minh một số định lýhội tụ trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng các toán tử đo đượcdưới các điều kiện thích hợp.

Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại: Đại hội Toánhọc Việt Nam lần thứ 9 (Trường Đại học Thông tin Liên lạc, Nha Trang,14-18/8/2018); Hội thảo khoa học: “Nghiên cứu và dạy học toán đáp ứngyêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay” (Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đạihọc Vinh, 19/9/2019); Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và Toánứng dụng thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh (từ năm

2015 đến năm 2019) Phần lớn các kết quả này đã được viết thành 3 bàibáo, công bố trên các tạp chí Statistics and Probability Letters, Journal

of Theoretical Probability và Lobachevskii Journal of Mathematics

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của

lý thuyết xác suất không giao hoán Nội dung của chương này được viếtdựa trên các tài liệu [5], [13], [20], [23], [27], [30], [37], [48], [50]

1.1 Toán tử trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 ([50]) Giả sử A là một không gian vectơ trên trường

số phức C Khi đó, A được gọi là một đại số phức nếu trên A có phépnhân thỏa mãn các điều kiện sau:

i) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A;

ii) (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ A;

iii) α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C.

ii)A chứa phần tử đơn vị esao cho ex = xe = x, ∀x ∈A và kek = 1.

Nếu thêm điều kiện xy = yx, ∀x, y ∈ A thì A được gọi là đại số

Banach giao hoán

Ví dụ 1.1.4 Giả sử X là không gian Banach Ký hiệu

Nếu thay không gian Banach X bởi không gian Hilbert phức H thì tađược L(H) là đại số Banach không giao hoán các toán tử tuyến tính liêntục trong H

Định nghĩa 1.1.5 ([50]) Giả sử A là đại số Banach với phần tử đơn vị

Ví dụ 1.1.6 Nếu λ là giá trị riêng của toán tử tuyến tính liên tục

T ∈ L(H) thì T (h) = λh, với mọi h ∈ H, h 6= 0, hay (λ1 − T )(h) = 0

Trong trường hợp này λ1 − T không khả nghịch, do đó nếu λ là giá trịriêng của toán tử tuyến tính liên tục T thì λ ∈ σ(T ).

Định nghĩa 1.1.7 ([5]) Ánh xạ tuyến tính T : H → H được gọi là toán

tử bị chặn nếu có một hằng số K ≥ 0 sao cho

Một toán tử xác định bộ phận (hoặc xác định trù mật) trên H có thể

bị chặn hoặc không bị chặn

Toán tử xác định trù mật trên H được gọi là toán tử đóng nếu đồ thịcủa nó là một không gian con đóng của H × H

Định nghĩa 1.1.10 ([30]) Hai toán tử S và T được gọi là bằng nhau,

ta viết S = T, nếu các miền xác định D(S) = D(T ) và S(x) = T (x) vớimọi x ∈ D(S) = D(T )

Định nghĩa 1.1.11 ([50]) Giả sử T là toán tử xác định trù mật trên H.Toán tử T∗ : D(T∗) → H được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T nếu:

i) D(T∗) = {y ∈ H : ánh xạ x 7→ T (x), y liên tục trên D(T )};

ii) T (x), y= x, T∗(y), ∀x ∈ D(T ), y ∈ D(T∗).

Nếu T = T∗ thì T được gọi là toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 1.1.12 ([50]) Một toán tử tuyến tính (không nhất thiết bịchặn) T đóng và xác định trù mật trên H được gọi là toán tử chuẩn tắcnếu T∗T = T T∗

Mệnh đề 1.1.13 ([50]) Nếu T ∈ L(H) là toán tử chuẩn tắc thì

i) Nếu T là toán tử tự liên hợp thì σ(T ) ⊂ R.

ii) Nếu T là toán tử đóng thì T∗T là toán tử dương

iii) Nếu T là toán tử dương thì σ(T ) ⊂ [0, ∞)

Định nghĩa 1.1.16 ([5]) Giả sử T là toán tử đóng trên H Toán tửdương S được gọi là căn bậc hai của toán tử dươngT∗T, ký hiệu S = |T |,nếu S2 = T∗T

Định nghĩa 1.1.17 ([5]) Giả sử M là một tập con của H, đặt

M⊥ = {x ∈ H : x, y = 0 với mọi y ∈ M }

Khi đó, M⊥ là một không gian con đóng của H và được gọi là phần bùtrực giao của M

Định nghĩa 1.1.18 ([5]) Giả sử M là một không gian con đóng của H.Khi đó, mọi x ∈ H có thể được viết duy nhất dạng: x = x1 + x2, trong

Do đó, có sự tương ứng một-một giữa các phép chiếu trong L(H) vàcác không gian con đóng của H

Định nghĩa 1.1.20 ([20]) Giả sử Ω 6= ∅, F là một σ-đại số các tập concủa Ω Ánh xạ µ : F → C được gọi là độ đo phức nếu:

i) E(∅) = 0 và E(Ω) = 1;

ii) Với mọi A ∈ F thì E(A) là một phép chiếu;

iii) E(A ∩ B) = E(A)E(B), ∀A, B ∈ F;

iv) Nếu A, B ∈ F , A ∩ B = ∅ thì E(A ∪ B) = E(A) + E(B);

v) Với mọi x, y ∈ H thì ánh xạ Ex,y : F → C được xác định bởi

Ex,y(A) = E(A)(x), y, ∀A ∈ F là độ đo phức

Định lý 1.1.22 ([50]) Nếu T là toán tử tự liên hợp xác định bộ phậntrên H thì tồn tại duy nhất khai triển đơn vị E xác định trên các tập conBorel B của tập số thực R sao cho

B là tập con Borel của R thì E(B) giao hoán với T

Ngoài ra, với mọi toán tử S ∈ L(H) giao hoán với T thì E(B) giaohoán với S

1.2 Đại số von Neumann

Định nghĩa 1.2.1 ([5]) Dãy suy rộng {Ti} ⊂ L(H) được gọi là hội tụđến T ∈ L(H) theo tôpô toán tử mạnh nếu

Ti− T

(h) → 0, với mọi h ∈ H

Dãy suy rộng {Ti} ⊂ L(H) được gọi là hội tụ đến T ∈ L(H) theotôpô toán tử yếu nếu

Ví dụ 1.2.3 L(H), {1} là các đại số von Neumann

Ví dụ 1.2.4 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, J2 = L2(Ω, F ,P)

là họ các đại lượng ngẫu nhiên phức X : Ω →C thoả mãn E|X|2 < ∞.Khi đó, J2 là không gian Hilbert phức với tích vô hướng

Mệnh đề 1.2.5 ([23]) Giả sử P rojA là tập các phép chiếu thuộc A Vớimỗi họ (pi)i∈I ⊂ P rojA, đặt:

trong đó p⊥ = 1 − p là phép chiếu bù trực giao của p

Định nghĩa 1.2.6 ([23]) Toán tử U ∈ L(H) được gọi là toán tử đẳng

cự bộ phận nếu U∗U là một phép chiếu

Định nghĩa 1.2.7 ([23]) Hai phép chiếu p, q trong đại số von Neumann

A ⊂ L(H) được gọi là tương đương, ký hiệu p ∼ q, nếu tồn tại toán tửđẳng cự bộ phận U ∈ A sao cho U∗U = p và U U∗ = q

Giả sử p, q là hai phép chiếu trong đại số von Neumann A ⊂ L(H).Khi đó, p được gọi là phép chiếu con của q nếu p ≤ q Chúng ta viết

p ≺ q nếu p tương đương với một phép chiếu con của q

Mệnh đề 1.2.8 ([23]) Nếu p, q là các phép chiếu trong A thì p ∨ q − q ∼

p − p ∧ q Đặc biệt, nếu p ∧ q = 0 thì p ≺ 1 − q

Định nghĩa 1.2.9 ([23]) Giả sử A ⊂ L(H) là đại số von Neumann Kýhiệu A+ = {X ∈ A : X ≥ 0} và τ : A → C là phiếm hàm tuyến tính.

Khi đó

i) τ được gọi là dương nếu τ (X) ≥ 0, ∀X ∈ A+

ii) τ được gọi là chính xác nếuτ (X) = 0suy raX = 0với mọi X ∈ A+

iii) τ được gọi là trạng thái nếu τ dương và τ (1) = 1.

iv) Trạng thái τ được gọi là chuẩn tắc nếu với mọi dãy suy rộng

{Xi} ⊂ A+, Xi ↑ X (theo tôpô toán tử mạnh) đều có τ (Xi) ↑ τ (X).v) Trạng thái τ được gọi là trạng thái vết nếu

τ (XY ) = τ (Y X), ∀X, Y ∈ A;

τ (p ∨ q)6 τ (p) + τ (q), ∀p, q ∈ P rojA

1.3 Toán tử đo được

Mệnh đề sau đây được sử dụng để định nghĩa toán tử đo được trongxác suất không giao hoán

Mệnh đề 1.3.1 (Phân tích cực của một toán tử [23]) Nếu X là mộttoán tử đóng xác định trù mật trên H thì tồn tại duy nhất một toán tửđẳng cự bộ phận U sao cho

với |X|2 = X∗X

Công thức (1.3) được gọi là phân tích cực của toán tử X

Định nghĩa 1.3.2 ([23]) Giả sử toán tử đóng xác định trù mật X trên

H có phân tích cực X = U |X| Khi đó, toán tử X được gọi là liên kết vớiđại số von Neumann A nếu U thuộc A và mọi phép chiếu phổ của toán

tử |X| cũng thuộc A

Ký hiệu eA là tập các toán tử liên kết với đại số von Neumann A Mỗiphần tử X ∈Aeđược gọi là một toán tử đo được

Định nghĩa 1.3.3 ([13]) Giả sử A ⊂ L(H) là đại số von Neumannvới trạng thái vết chuẩn tắc, chính xác τ Với P ≥ 1, ta gọi không gianBanach các phần tử trong eA, ký hiệu LP(A, τ ), là tập các phần tử thuộce

Hệ quả 1.3.5 (Bất đẳng thức Markov) Nếu X ∈ L0(A, τ ) thì với mọi

Hệ quả 1.3.7 Nếu X ∈ L0(A, τ ) thì với mọi ε > 0, ta có:

i) |X|e[0,ε)(|X|) ∞ < ε

ii) Xe[0,ε)(|X|)(h) ∞ < εkhk, ∀h ∈ H và Xe[0,ε)(|X|) ∞ < ε.iii) Xe[ε,∞)(|X|)(h) ≥ εkhk, ∀h ∈ e[ε,∞)(|X|)(H)

Chứng minh Từ |X|e[0,ε)(|X|)(h) < εkhk, ∀h ∈ H ta suy ra i)

Để chứng minh ii) và iii) ta sẽ chứng minh

Xe[0,ε)(|X|)(h) = |X|e[0,ε)(|X|)(h) , với mọi h ∈ H

Thật vậy, với mọi h ∈ H, ta có

Hệ quả được chứng minh

Mệnh đề 1.3.8 Giả sử X là toán tử tự liên hợp thuộc A Khi đó, vớimỗi số thực a ∈ R, ta có

Điều này suy ra rằng |X + a| ≤ |X| + |a|.

Mệnh đề 1.3.9 Giả sử r > 0 và X là toán tử tự liên hợp thuộc A Khi

1.4 Các dạng hội tụ và sự độc lập

Trong mục này, chúng tôi gọi A ⊂ L(H) là đại số von Neumann vớitrạng thái vết chuẩn tắc, chính xác τ và L0(A, τ ) là đại số các toán tử

đo được tương ứng

Định nghĩa 1.4.1 ([27]) Dãy {Xn, n ≥ 1}) ⊂ L0(A, τ ) được gọi là hội

tụ theo độ đo đến X ∈ L0(A, τ ), ký hiệu Xn −→ Xτ , nếu với mọi ε > 0,

τ e(ε,∞)(|Xn− X|)

−→ 0 khi n −→ ∞.Định nghĩa 1.4.2 ([37]) Dãy {Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ )được gọi là hội tụtrong LP đếnX ∈ L0(A, τ ), ký hiệuXn −→ XLP , nếuτ |Xn− X|P

Suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.4.4 ([27]) Dãy {Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) được gọi là hội

tụ hầu đều đến X ∈ L0(A, τ ), ký hiệu Xn −−→ Xa.u. , nếu với mọi ε > 0, tồntại phép chiếu p ∈ A sao cho

τ (p⊥) < ε, (Xn− X)p ∈ A và lim

n→∞k(Xn − X)pk∞ = 0

Định nghĩa 1.4.5 ([27]) Dãy {Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) được gọi là hội

tụ hầu đều hai phía đến X ∈ L0(A, τ ), ký hiệu Xn −−−→ Xb.a.u. , nếu với mọi

ε > 0, tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho

τ (p⊥) < ε, p(Xn− X)p ∈ A và lim

n→∞kp(Xn− X)pk∞ = 0

Nhận xét 1.4.6 Nếu Xn −−→ Xa.u. thì Xn −−−→ X.b.a.u.

Chứng minh Từ (Xn − X)p ∈ A kéo theo p(Xn− X)p ∈ A và

kp(Xn − X)pk∞ ≤ kpk∞k(Xn− X)pk∞

Ta suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.4.7 ([13]) Giả sử S là tập các toán tử đóng xác định trùmật trên H, ta kí hiệu W∗(S) là đại số von Neumann nhỏ nhất sao chomỗi phần tử của S là liên kết (với W∗(S))

Trong trường hợp S = {X} với X là toán tử đóng xác định trùmật trên H, ta viết W∗(X) ≡ W∗(S) và W∗(X) được gọi là đại số vonNeumann sinh bởi X

Định nghĩa 1.4.8 ([23]) Hai đại số von Neumann A1, A2 ⊂ A được gọi

Kết luận của chương 1

Trong chương này, luận án đã giải quyết những vấn đề sau:

- Trình bày tóm tắt một số khái niệm và tính chất cơ bản của cáctoán tử trên không gian Hilbert;

- Chứng minh một số tính chất của các toán tử đo được;

- Hệ thống một số dạng hội tụ trong xác suất không giao hoán vàmối quan hệ giữa chúng;

- Trình bày một số khái niệm độc lập của dãy và mảng các toán tử

đo được

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT MẠNH SỐLỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC TOÁN TỬ ĐO ĐƯỢC

Trong chương này, chúng tôi thiết lập các định lý giới hạn dạng luậtmạnh số lớn (với sự hội tụ hầu đều hai phía) đối với dãy các toán tử đođược Các kết quả chính của chương này được trình bày trong hai bài báo[46] và [47]

Trong toàn bộ chương này, ta ký hiệu f (n) là dãy không giảm các

số thực dương không bị chặn và Sn =

n

P

k=1

Xk là tổng riêng của dãy

{Xn, n ≥ 1} ⊂ L0(A, τ ) Giả sử X ∈ L0(A, τ ) là toán tử tự liên hợp, ta

ký hiệu X+ = Xe[0,∞)(X) và X− = −Xe(−∞,0](X)

2.1 Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương

Mục này được dành để trình bày một số luật mạnh số lớn đối với dãycác toán tử đo được dương

Đầu tiên, chúng tôi trình bày và thiết lập một số bổ đề sẽ được sửdụng trong phần này

Bổ đề 2.1.1 ([27]) Giả sử{Xn} ⊂ L0(A, τ ) Nếu chuỗi

∞

P

n=1

τ e[ε,∞)(|Xn|)
hội tụ với mọi ε > 0 thì Xn −−→ 0a.u. khi n → ∞

Bổ đề 2.1.2 ([36]) Với mọi X ∈ L0(A, τ ) và ε > 0, tồn tại phép chiếu

Do đó, sử dụng Mệnh đề 1.1.13, ta có

kSk∞ = sup {|hS(h), hi| : h ∈ H, khk ≤ 1}

≤ sup {|hT (h), hi| : h ∈ H, khk ≤ 1} = kT k∞

Bổ đề được chứng minh

Bổ đề 2.1.5 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các toán tử tự liên hợp trong

L0(A, τ ) và {Bn, n ≥ 1} là dãy các tập con Borel của tập số thực R saocho

Đặt p = p1 ∧ p2 ∧

V

nguyên {ml, l ≥ 1} như sau:

m1 = inf m ≥ 0 : αm ≤ f (n) < αm+1 với n nào đó

và với l ≥ 2,

ml = inf m > ml−1 : αm ≤ f (n) < αm+1 với n nào đó

Chú ý rằng vì f (n) ↑ ∞ nên {ml}∞l=1là dãy các số nguyên thỏa mãn



Đặt ks+(l) = sup As(l), k−s (l) = inf As(l), nếu tập As(l) không rỗng và

ks+(l) = k−s (l) = infk : αml ≤ f (k) < αm l +1 nếu ngược lại

Do cách đặt của ks±(l) nên với bất kỳ l ≥ 1 và s = 0, 1, , L, ta có

f (ks±(l)) ≥ αml và i ≤ k±s (l) suy ra f (i) < αml +1

Do đó, sử dụng bất đẳng thức Chebyshev và các giả thiết (2.4), (2.5)

cùng với lập luận như trong T K Chandra và A Goswami ([8], [9]), vớimọi s = 0, 1, , L và λ > 0, ta nhận được

!!

s (l) − τ (Sk±

s (l))

τ Sk± s(n) (l(n))

f ks(n)± (l(n))
− τ (Sn)

f (n)



A + 1α

Sk− s(n) (l(n)) − τ Sk−

Sk− s(n) (l(n)) − τ Sk−

f ks(n)− (l(n))
+

1α

Sk− s(n) (l(n))

f ks(n)− (l(n))

+ ε3

f ks(n)+ (l(n))

Sk+ s(n) (l(n)) −

τ



Sk+ s(n) (l(n))



ks(n)+ (l(n)) +

ε3



ks(n)+ (l(n)) +

ε3



A + 1α

Sk− s(n) (l(n)) − τ Sk−

s(n) (l(n))

f ks(n)+ (l(n))
+ (α − 1)A +

ε3



A + 1α

Sk− s(n) (l(n)) − τ Sk−

s(n) (l(n))

f ks(n)+ (l(n))
+ (α − 1)A +

ε3

Sk− s(n) (l(n)) − τ Sk−

Mn,α ∞ ≤ 1

α

Sk− s(n) (l(n))− τ Sk−