Bản xem trước 77 đề HSG Toán 9 2018-2019 các tỉnh thành _Hồ Khắc Vũ_

E F Dây BC cắt , OE OF lần lượt tại các điểm P và Q a Chứng minh rằng ABI 600và tứ giác OBEQ nôi tiếp b Chứng minh rằng EF 2PQ c Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho tam gi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

a) Giả sử x x1; 2là hai nghiệm của phương trình x2 2kx   ( k là tham số) Tìm 4 0

các giá trị của k sao cho

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x y x y2 2     x 2 y x  1

b) Cho n  Chứng minh rằng nếu 2*. n  và 31 n  là các số chính phương thì n1chia hết cho 40

Câu 4.

Cho đường tròn O R và một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn, ;  OA2 R Từ A kẻ

các tiếp tuyến AB AC đến đường tròn ,  O ( , B C là các tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt dây BC tại I Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC Tiếp tuyến tại M của đường tròn

 O cắt , AB AC lần lượt tại , E F Dây BC cắt , OE OF lần lượt tại các điểm P và Q

a) Chứng minh rằng ABI 600và tứ giác OBEQ nôi tiếp

b) Chứng minh rằng EF 2PQ

c) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho tam giác OPQ có diện tích nhỏ

nhất Tính diện tích nhỏ nhất đó theo R

Câu 5.

Cho , ,x y z  thỏa mãn 0 x y z    Tìm GTLN của 1 0      

3 3

2

x y P

x yz y zx z xy



Mặt khác số chính phương chia cho 5 chỉ có thể dư 0;1hoặc 4 Do đó

- Nếu n chia cho 5 dư 1 thì 2 n  chia cho 5dư 3, vô lý1

- Nếu n chia cho 5 dư 2 thì 3n+1 chia cho 5 dư 2, vô lý

- Nếu n chia cho 5 dư 3 thì 2n+1 chia cho 5 dư 2, vô lý

- Nếu n chia cho 5 dư 4 thì 3n +1 chia cho 5 dư 3, vô lý

c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA và cắt AB và AC lần lượt tại K và H.

Vì OQP OEFnên

R

Khi đó M là điểm chính giữa cung BC

b) Cho , ,a b c  và 1 ab ac bc   Tìm GTNN và GTLN của 9 P a 2 b2 c2

Câu 4 Cho ABC vuông tại A AC AB .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

BC, D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH (D khác , ) A H Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA tại E và F ( F nằm giữa B và D), M là điểm trên đoạn thẳng AB sao

cho ACF 2BFM , MF cắt AH tại N

a) Chứng minh rằng BH BC BE BF.  . và tứ giác EFHC nội tiếp

b) Chứng minh rằng HD là tia phân giác của EHF

c) Chứng minh rằng F là trung điểm của MN

Câu 5 Cho các số nguyên , ,a b c thỏa mãn

2

a b  a c b c Chứng minh rằng

bc là một số chính phương.

ĐÁP ÁN Câu 1.

Vậy GTLN của P là 18, đạt được khi a b c là các hoán vị của ; ;  1;1;4

Mặt khác a2 b2 c2 ab bc ca   nên GTNN của P là 9 Đạt được khi9

3

a b c  

nên tứ giác EFHC nội tiếp

b) Ta có BHF BEC CFE CHE   mà AHB AHC 900nên AHF AHE HDlà tia phân giác của EHF

c) Gọi K là giao điểm của AH với (C) , chứng minh được BK là tiếp tuyến của đường

tròn (C) , ta có 2BFM ACF 2AEF

BFM AEF MN AE ANM KAE

(1)

MN AN AMN EKA

2 2

Câu 4 (6,0 điểm) Cho 3 điểm , ,A B C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và

C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C(O không nằm trên đường thẳng ).d Kẻ AM AN là các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại M và N Gọi I là trung ,điểm của BC AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q( P nằm giữa Avà ,

O), BC cắt MN tại K

a) Chứng minh 4 điểm , , ,O M N I cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi

c) Gọi D là trung điểm HQ từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường ,thẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm ME.

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD và 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: mỗi đường thẳng đều

cắt hai cạnh đố của hình vuông và chia hình vuông thành 2 phần có tỷ số diện tích là

1.2Chứng minh rằng: trong 2019 đường thẳng trên có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy

ĐÁP ÁN Câu 1.

Dấu " " xảy ra khi

18

a) Với x  phương trình (1) có dạng 0 60,  (vô lý)

Vậy x  không là nghiệm của phương trình (1)0

Vậy

32;

Nếu y  thì từ (1) suy ra 0 x  không thỏa mãn phương trình (2)0

D K

H

Q P

I N

M

O

B

C A

a) I là trung điểm của BC (dây BC không đi qua O) OI BC OIA 90 0

Ta có: AMO 900(do AM là tiếp tuyến (O))

 900

ANO  (do AN là tiếp tuyến của (O))

Suy ra 4 điểm , , ,O M N I cùng thuộc đường tròn đường kính OA

b) Ta có AM AN là hai tiếp tuyến với (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác,

MON mà OMN cân tại O nên OA MN .

Mà , ,A B C cố định nên I cố định suy ra AK cố định, K là giao điểm của dây BC và dây

MN nên K thuộc tia AB suy ra K cố định.

c) Ta có PMQ  900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét MHE và QDM có MEH DMQ(cùng phụ với DMP ),

EMH MQD(cùng phụ với MPO )

 ( ) ME MH *

Câu 5.

B1 I

A1

N

F M

E

C D

J

H

K

Gọi MN EF là đường nối trung điểm hai cạnh đối của hình vuông (hình vẽ),

Giả sử đường thẳng d1cắt cạnh AB tại A1cắt MN tại I và cắt cạnh CD tại B1.Ta có các tứ

giác AA B D1 1 và BCB A1 1là hình thang và có MI NI lần lượt là các đường trung bình của ,hai hình thang đó Khi đó:

MI

MN  nên

13

MI  MN

, vậy điểm I cố định

Lập luận tương tự ta tìm được các điểm , ,H J K cố định

( , , ,I J H K chia các đoạn thẳng cố định MN NM EF FE theo tỉ số 1:2), , ,

Có 4 điểm cố định mà có 2019 đường thẳng đi qua nên theo nguyên lý Dirichle ít nhất phải có 505 đường thẳng đồng quy

PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9

NĂM HỌC 2018-2019 Môn : TOÁN

I PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quẩ vào giấy thi)

Câu 1 Tính giá trị biểu thức A  28 10 3  4 3 7

Câu 2 Giả sử  * là phép toán thỏa mãn với mọi số nguyên x y, ,ta có x y x y x y*    (với phép toán nhân   , phép cộng   thông thường Tìm các số nguyên không âm x y, biết x y * 9

Câu 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2018  2018x2018

Câu 8 Cho là góc nhọn thỏa mãn tan cot 3.Giá trị của Dsin cos  bằng ?

Câu 9 Tam giác ABCvuông tại A,biết AC 16cm AB, 12cm.Các đường phân giác trong và ngoài của góc Bcắt đường thẳng ACở Dvà E.Tính DE

Câu 10 Cho tam giác ABCvuông tại A, phân giác các góc B và C cắt nhau ở I, gọi H là hình chiếu

của Itrên BC.Giả sử BH 5cm CH, 7cm.Tính diện tích tam giác ABC

II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi)

Ax Bycùng vuông góc với AB.Trên tia Axlấy điểm C(khác A), qua Okẻ đường thẳng vuông góc

với OCcắt tia Bytại D

a) Chứng minh AB2 4AC BD

c) Từ M kẻ MHvuông góc với ABtại H Chứng minh BCđi qua trung điểm MH

Câu 13 Hai phụ nữ An, Chi và hai người đàn ông Bình, Danh là các vận động viên Một người là vận

động viên bơi lội, người thứ hai là vận động viên trượt băng, người thứ ba là vận động viên thể dục dụng cụ và người thứ tư là vận động viên cầu lông Có một ngày nọ, họ ngồi xung quanh một cái bàn vuông (mỗi người ngồi cạnh một người) Biết rằng

(ii) Vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đôi diện Bình

(iii) Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An

(iv) Một người phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng

Hãy cho biết mỗi người là vận động viên chơi môn gì ?

ĐÁP ÁN Câu 1 A 7

Câu 7 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2018  2018x2018bằng 1

D 

Câu 9 DE30cm

Câu 10 Diện tích tam giác ABC 5.7 35( cm2)

Câu 11 Với mọi số nguyên ,k ta có :

K H

Chứng minh OCDACO c g c( ) OCD ACO 

Chứng minh OAC OMC ch gn(  ) AC MC dfcm ( )

c) Ta có OAC OMC OA OM CA CM ,   OC là trung trực của AM

Chứng minh được C là trung điểm của AI

Do MH / /AI theo hệ quả định lý Talet ta có:

An (nữ)

Chi

(nữ)

Bình (nam) Bơi lội

Trường hợp 1: hình 1

+Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Danh là vận động viên thể dục dụng cụ (TDDC)

+Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An nên Bình là vận động viên bơi lội

Khi đó Chi và An là hai vận động viên bạn nữ trược băng hoặc cầu lông, điều nầy trái với mệnh đề “Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng”

Danh (nam)

Bình (nam)

Chi (nữ)

Bình (nam)

Trường hợp 4 Hình 4

4

3 2

Chi (nữ) TDDC

An (nữ) Cầu lông

+Vì vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình nên Chi là vận động viên thể dục dụng cụ (TDDC)

+Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An nên Bình là vận động viên bơi lội

+Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng nên trong trường hợp này Danh là vận động viên trượt băng Do đó An là vận động viên cầu lông

Vậy

+An là vận động viên cầu lông

+Bình là vận động viên bơi lội

+Chi là vận động viên TDDC

+Danh là vận động viên trượt băng

UBND HUYỆN KHOÁI CHÂU

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2018-2019 Môn: TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức :

Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số y2m 3x 1 (1)

a) Tìm m để đồ thị hàm số  1 đi qua điểm 2; 3 

b) Đồ thị của  1 là đường thẳng cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 3

Bài 5.(6,0 điểm) Cho đường tròn O R hai đường kính AH và ; , DE Qua H kẻ tiếp

tuyến với đường tròn  O cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại Bvà C Gọi , M N lần lượt là trung điểm của BH và HC

a) Chứng minh DM EN là các tiếp tuyến của đường tròn , O R; 

b) Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH

c) Hai đường kính AH và DE của O R phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam ; 

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Vì đồ thị hàm số  1 đi qua điểm 2; 3 

Nên tọa độ 2; 3 thỏa mãn phương trình (1)

Thay x2;y vào pt (1) ta được: 3 2m 3 2    1 3 m2

b) Xét OAB vuông tại O

Thay vào (2) được x m 3 mx 2m 1 1 m x2  1 m

Hệ có nghiệm duy nhất khi m 1

C B

E

H

O A

D

a) ODH OHD  (vì DHO cân tại O)

MDH MHD (vì DM là trung tuyến của BDH vuông tại D)

ADHE là hình chữ nhật  OHD MHD   900  ODH MDH  900

   là tiếp tuyến của O R; 

Tương tự NE là tiếp tuyến của O R; 

b) Gọi I là trung điểm của OH gọi K là giao điểm của MI và AN,

Lại có MI là đường trung bình của HBO MI / /BO MK AN

Mặt khác AH MN.Vậy trung điểm I của OH là trực tâm của tam giác AMN.

Đẳng thức xảy ra  BH HC  ABCvuông cân tại A AH DE

Vậy MinS AMN 2R2  AH DE

0

x x

x x

x 

Vậy

319

AB D A B Gọi M N lần lượt là trung điểm của , , CB CA Đường thẳng MN cắt (O) tại

hai điểm , ( ,P Q P Q lần lượt thuộc cung CB và CA) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

BDP cắt BC tại I I B.Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K

a) Chứng minh tứ giác CIPK nội tiếp

b) Chứng minh PK QC QB PD.  .

c) Đường thẳng AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G G P  .Đường

thẳng IG cắt BA tại E Chứng minh rằng khi D di chuyển trên BAthì

AD

AE không đổi

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD với AB a AD b ,  Trên các cạnh AD AB BC CD lần , , ,

lượt lấy các điểm , , ,E F G H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH Gọi c là chu vi của tứ .giác EFGH Chứng minh . c2 a2b2

Câu 5 (3,0 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 4y4 6y2  1x

2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n chẵn thì: n3 20n96chia hết cho 48

ĐÁP ÁN Câu 1.

1a) Điều kiện xác định : 1 x 10, đặt a  x 1,0a  , khi đó:3

x y 

Câu 2.

1 Điều kiện

32

x 

Nghiệm của hệ phương trình S  1;4 ; 3;0   

3 Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là x2 2x m  hay1

P

N M

C

B

A D

J

a) Tứ giác BDIP nội tiếp suy ra PIK 1800  PID PBA 

Mà tứ giác CPBA nôi tiếp  PCK 1800  PCA PBA  PIK PCK  suy ra tứ giác

CIPK nội tiếp.

b) Tứ giác CIPK nội tiếp và tứ giác PBDI nội tiếp, suy ra PKI PCI  và

không đổi (6)Lại có PKI PCJ g g( )và ( ) (7)

KI PK KD KD CB PKD PCB g g

K I

C

A

D

B E

AI  EF

Tương tự

1.2

MC  GH IK

là đường trung bình của AFG nên

1.2

IK  FG

Tương tự:1

.2

Vậy với mọi số nguyên n chẵn thì n320n96chia hết cho 48

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

Khóa ngày 23-3-2019 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (3,0 điểm)

Rút gọn biểu thức A  12 4 2 2 3 4 6  

Câu 2 (3,0 điểm) Cho a3 6 3 10; b3 6 3 10. Tìm phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và 2 2

b đồng thời các hệ số đều là số nguyên và hệ số của 2

x bằng 2019.

Câu 3 (3,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y0,5x2và đường thẳng  d :y1,5x2m 1.Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng  d cắt (P) tại

điểm khác gốc tọa độ và có hoành độ gấp hai lần tung độ

Câu 4 (3, điểm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết bình phương của số đó sau khi đã

bỏ đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị cộng với số đó bằng 2419

Câu 5 (3,0 điểm) Cho hai số ,x y thỏa

x y







Câu 6 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C, biết BAC,AB a .Lấy một điểm

D nằm bên trong tam giác ABC sao cho CD vuông góc DB và góc ACD DBA Gọi E

là giao điểm của AB và CD

a) Tính độ dài đoạn thẳng AE theo a và 

b) Gọi F là giao điểm của DB và AC Chứng minh FC2 FD FB.

Câu 7 (2,0 điểm)

Cho 8 đường tròn có cùng bán kính biết

rằng khi sắp ba đường tròn và 5 đường

tròn có tâm nằm trên đường thẳng sao

cho khoảng cách giữa hai tâm liền kề

bằng nhau thì khoảng cách lớn nhất giữa

hai đường tròn biên bằng 20 cm và 32

cm (hình vẽ) Tính bán kính đường tròn

ĐÁP ÁN Câu 1 Khai căn biểu thức A

Vậy m  thỏa đề bài 1

Nếu b  8 960 10 c d 64 1319  10c d cd  295vô nghiệm

Nếu b  9 1080 10 c d 81 1319  10c d cd  158vô nghiệm

Câu 5.

Do x0,y không thỏa điều kiện ta viết lại đẳng thức như sau:0

D

a) Ta có:ACE BCE 900 CBD BCD   ACE CBD DBE  

DB vừa là đường cao vừa là phân giác của tam giác BCE nên tam giác BCE cân tại B

BC BE

Mặt khác xét tam giác vuông ABC có : BC a .sin

Vậy AE AB BC a   1 sin  

b) Tam giác FCB vuông tại C có CD là đường cao , áp dụng hệ thức lượng trong tam

giác vuông ta được: FC2 FD FB.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CON CUÔNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN

Câu 1 (5 điểm) Cho biểu thức

0

44

2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n33n2 2018nchia hết cho 6

Câu 3 (2,5 điểm) Cho đường thẳng  d có phương trình:

m1xm 2y  (d) (m là tham số)3

a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng  d đi qua điểm A   1; 2

b) Tìm m để (d) cắt hai trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng

92

Câu 4 (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng .

bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax By Lấy điểm M bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A và , .B) Kẻ MH ABtại H

a) Tính MH biết AH 3cm HB, 5cm

b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax By lần lượt tại C và D Gọi I là ,

giao điểm của AD và BC Chứng minh , ,. M I H thẳng hàng

c) Vẽ đường tròn tâm  O nội tiếp AMB'  tiếp xúc với AB ở K Chứng minh diện

tích S AMB AK KB.

Câu 5 (1,5 điểm) Cho ,x y là các số tự thực dương thỏa mãn x1  y1 4xy

Chứng minh rằng: 2 2

1

3x 1 3y 1

ĐÁP ÁN Câu 1.

x x

Vì n n 1 n2là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

2016n luôn chia hết cho 6

Vậy n33n2 2018n luôn chia hết cho 6 với mọi n 

Câu 3.

a) Đường thẳng  d đi qua điểm A   1; 2nên ta có

1

02

x

m y

Giả sử  d cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm Avà B ta tính được tọa độ

3

;01

A m

b) Vì AC/ /BD nên ta có :

AC AI CM

BD ID MD(vì AC CM BD MD ,  )Suy ra MI / /AC mà MH / /AC (cùng AB)

b) Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Xác định các hệ số ,a b để hệ thức P x  x4  2x3 3x2 ax b là bình phương của một đa thức

b) Giải phương trình: 3 4 x  4x 1 16x2  8x1 (1)

Câu 3 (2,5 điểm)

Cho đường tròn (O) và dây cung BC a không đổi O BC  A là một điểm di động

trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD BE CK cắt , ,nhau tại H D BC E AC K ,  , AB