Rèn luyện kĩ năng chứng minh Bất đẳng thức bằng cách vận dụng hai tính chất của hàm số cho học sinh khá, giỏi lớp cuối cấp THPT

Nhằm giúp đỡ học sinh có thêm kỹ năng tốt trong việc chứng minh bất đẳng thức nên tôi chọn nghiên cứu đề tài : Rèn luyện kĩ năng chứng minh Bất đẳng thức bằng cách vận dụng hai tính chất của hàm số cho học sinh khá, giỏi lớp cuối cấp THPT. Mục đích của bài tiểu luận này là cung cấp thêm cho học sinh cách chứng minh bất đẳng thức bằng vận dụng hai tính chất của hàm số.

PHẦN MỞ ĐẦU: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG

1 Lí do chọn đề tài.

Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó, thường hay gặp trong các đề thi Đại

học và Cao đẳng Nhiều học sinh khi tham dự kì thi này đã bỏ qua bài toán chứngminh bất đẳng thức Có rất nhiều bất đẳng thức, rất nhiều kĩ thuật để chứng minhbất đẳng thức nên việc biết và dạy cho các em hết là điều không thể, điều quantrọng của chúng ta là hiểu thật rõ các bất đẳng thức cơ bản, đó là yếu tố đầu tiền đểhọc tốt bất đẳng thức Tuy nhiên một số bất đẳng thức khi chứng minh ta gặp khókhăn khi sử dụng cách này Mà hàm số là khái niệm được học xuyên suốt chươngtrình phổ thông, tính chất của nó có tác dụng lớn vào việc vận dụng để chứng minhbất đẳng thức Nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức phức tạp đã được giảiquyết đơn giản hơn khi sử dụng tính chất của hàm số

Nhằm giúp đỡ học sinh có thêm kỹ năng tốt trong việc chứng minh bất đẳng

thức nên tôi chọn nghiên cứu đề tài : “ Rèn luyện kĩ năng chứng minh Bất đẳng thức bằng cách vận dụng hai tính chất của hàm số cho học sinh khá, giỏi lớp cuối cấp THPT.”

2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích của bài tiểu luận này là cung cấp thêm cho học sinh cách chứngminh bất đẳng thức bằng vận dụng hai tính chất của hàm số

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu:

- Khách thể nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT

- Đối tượng nghiên cứu: kĩ năng chứng minh bất đẳng thức dựa vào hai tínhchất của hàm số

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán chứng minh bất đẳng thức

4 Giả thuyết khoa học:

- Nếu đưa ra được những nội dung rèn luyện kĩ năng chứng minh bất đẳngthức dựa vào hai tính chất của hàm số thì có thể nâng cao kĩ năng chứng minh Bất

đẳng thức cho các em, vì lúc đó các em đã có thêm cơ sở, hướng làm khi đượcnhận một đề bài.

5 Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề cần nghiên cứu

- Đưa ra nội dung, phương pháp rèn luyện kĩ năng chứng minh Bất đẳng thứcdựa vào hai tính chất của hàm số

6 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm hiểu nghiên cứu tài liệu có liên quan đến

đề tài tiểu luận

- Phương pháp quan sát - Điều tra : thực trạng về kĩ năng chứng minh bất đẳngthức của học sinh cuối cấp THPT

7 Dàn ý chi tiết của đề tài.

- Phần mở đầu

- Phần nội dung nghiên cứu.

Chương I: Cơ sở lý luận

1 Kĩ năng

2 Vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

Chương II: Những định hướng sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng chứng minh bất đẳng thức bằng cách vận dụng hai tính chất của hàm số cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT.

1 Hai tính chất sẽ vận dụng của hàm số và một số tính chất liên quan

2 Vận dụng hai tính chất vào chứng minh các bài toán bất đẳng thức

- Phần kết luận.

PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN.

- Theo các nghiên cứu tâm lí học lứa tuổi, tâm lí học sư phạm: “ Kĩ năng là khảnăng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức phương pháp ) để giải quyếtnhiệm vụ mới

- Trong Toán học: “Kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứngminh đã nhận được Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thứcthuần túy, so với thông tin trơn.”

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thứcvào giải quyết bài tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức các kháiniệm, định lý, quy tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng Muốn hình thành được

kĩ năng, đặc biệt là kĩ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần phải tổ chức chohọc sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo đểhọc sinh có thể nắm vững tri thức, kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiến

2 Vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh.

Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyềnthụ kiến thức, rèn luyện kĩ năng là cơ sở vì các mực đích khác muốn thức hiệnđược phải dựa trên mục đích này Và kiến thức về mặt nào đó sẽ không được cũng

cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như các ngành khoa học khác, nếukhông chú trọng vào việc rèn luyện kĩ năng thực hiện các hoạt động tương ứng

Việc rèn luyện kĩ năng hoạt động nói chung, kĩ năng toán học nói riêng là mộtyêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này đã đượcnhiều tác giả đề cập như:

“Suy nghĩ tức là hành động” (J Piaget)

“Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” (Kant)

“Học để hành, học và hành phải đi đôi” (Hồ Chí Minh)

Dạy học sẽ không đạt được kết quả nếu học sinh chỉ biết đọc thuộc khái niệm,định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vàoviệc giải bài tập

Dạy toán là dạy kiến thức, kĩ năng tư duy và tính cách cho học sinh (NguyễnCảnh Toàn) Việc hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là mộttrong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểusâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học sinhcác thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ Từ đó bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ,phát tiển năng lực giải toán cho học sinh

Và sự hình thành kĩ năng thực chất là hình thành cho học sinh nắm vững một

hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứađựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụthể

Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên các bìnhdiện khác nhau

- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tậptoán

- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào các lĩnh vực khác

Có thể nói, bài tập toán chính là mảnh đất để rèn luyện kỹ năng toán Do đó,

để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giảitoán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua

hoạt động giải toán, rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh càn quan tâm chú trọngnhững vấn đề sau:

+ Giúp cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm

và mối quan hệ giữa chúng

+ Giúp học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đốitượng cùng loại

+ Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tươngxứng

CHƯƠNG II: NHỮNG ĐỊNH HƯỚNG SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH VẬN DỤNG HAI TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CUỐI CẤP THPT.

1 Hai tính chất sẽ vận dụng của hàm số và một số tính chất liên quan.

a Hai tính chất hiển nhiên đúng của hàm số

Tính chất 1 Cho đồ thị hàm số y = f(x)

lồi trên khoảng (a; b) Cát tuyến AB có

phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm C có hoành độ x0

thuộc khoảng (a; b) có phương trình

y = ax + b Ta luôn có bất đẳng thức

Ax B f (x) ax b     với   x a;b

( Xem hình 1) Hình 1

Tính chất 2 Cho đồ thị hàm số y = f(x)

lõm trên khoảng (a; b) Cát tuyến AB có

phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm C có hoành độ x0

thuộc khoảng (a; b) có phương trình

b Một số kiến thức liên quan.

1 Nếu f (x) 0 ''  ,   x (a;b) thì đồ thị hàm số y = f(x) lõm trên khoảng (a; b)

2 Nếu f (x) 0 ''  ,   x (a;b) thì đồ thị hàm số y = f(x) lồi trên khoảng (a; b)

3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm C(x0; f(x0)) là

2 Vận dụng hai tính chất trên để chứng minh bất đẳng thức.

 Vận dụng cho hàm số lượng giác

a Hàm số y = sinx

Xét hàm số f(x) = sinx trên khoảng 0;; ta có f (x) "  sinx 0  với   x 0; 

suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng 0;

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 0 0;  có phương trình

'

Theo tính chất 1 ta có bất đẳng thức: sinx cos x x x  0  0 sinx 0(1)

Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = sinx lồi trên khoảng 0; x 1 0;  Cát tuyến OA qua

hai điểm O(0; 0) và A x ;sinx 1 1 có phương trình 1

Bây giờ ta sẽ vận dụng BĐT(1) và BĐT(2) để chứng minh một số Bất đẳng thức.

Bài 1 a) Chứng minh: sin A sin B sin C 3 3

2

   với mọi tam giác ABC

Giải:

Áp dụng BĐT(1) cho các góc A; B; C của tam giác ABC và x 0

Bài 2 a) Chứng minh: sinA sinB sinC 3

2  2  2 2 với mọi tam giác ABC

Giải:

b) Chứng minh: sinA sinB sinC 2

2  2  2  với mọi tam giác nhọn ABC.

b) Chứng minh: sinA sinB sinC 2 2

4  4  4   với mọi tam giác nhọn ABC

  Tiếp tuyến của đồ thị hàm

số tại điểm có hoành độ x 0 0;

thức: cosx  sin x x x 0  0  cosx 0(3)

Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = cosx lồi trên khoảng 0; x 1 0;

Bài 13 a) Chứng minh: cosA cosB cosC 3 3

2  2  2  2 với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh: cosA cosB cosC 2

2  2  2  với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 14 a) Chứng minh:cosA cosB cosC 3 2 3



b) Chứng minh: cosA cosB cosC 2 2

4  4  4   với mọi tam giác nhọn ABC.

căn) với mọi tam giác ABC và n N, n 2  

b) Chứng minh: cosAn cos Bn cos Cn 2 2 2

2  2  2     (n  dấu căn) với mọi tam giác nhọn ABC và n N, n 2   .

xãy ra khi và chỉ khi A B C

Bài 17 a) Chứng minh: tanA tanB tanC 3

2  2  2  với mọi tam giác ABC Giải:

3



b) Chứng minh: tanA tanB tanC 2

2  2  2  với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 18 a) Chứng minh: tanA tanB tanC 3 2 3

4  4  4   với mọi tam giác ABC

(vì A B C   ) Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi A B C

3



b) Chứng minh: tanA tanB tanC 2 2 1

4  4  4   với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 20 Chứng minh: cot A cot B cot C    3 với mọi tam giác ABCnhọn

Bài 21 a) Chứng minh: cotA cotB cotC 3 3

2  2  2  với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh: cotA cotB cotC 2

2  2  2  với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 22 a) Chứng minh: cotA cotB cotC 3 2 3

4  4  4   với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh: cotA cotB cotC 2 2 1

4  4  4   với mọi tam giác nhọn ABC.

Đẳng thức xãy ra khi nào ?

Giải:

Áp dụng BĐT(9) cho các số thực a;b;c 1;2 ta có

9 1 1 1 2 3

b a c

b a c

b

a 1 ) 2 1 1 1 2 ( 1 ) 2 1 1 1(

a Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

b a c

b a c

b

a 1 ) 2 1 1 1 2 ( 1 ) 2 1 1 1(

a Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a 1 ;b 2 ;c 2

và các hoán vị của ba số a; b; c

b Hàm số bậc ba

Xét hàm số f (x) x  3 trên đoạn 1;2 ; ta có f (x) 6x 0 "   với mọi x 1;2 suy ra

đồ thị hàm số lõm trên đoạn 1;2 Cát tuyến AB đi qua hai điểm thuộc đồ thị là

A(1; 1) và B(2; 8) có phương trình y = 7x – 6 Theo tính chất 2 ta có BĐT:

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

Bài 37 Cho các số thực a;b;c 1;2 Chứng minh bất đẳng thức:

b a c

b a c

b

a 3 ) 6 1 1 1 2 ( 3 ) 6 1 1 1(

24 1 1 1 ) 3

Áp dụng BĐT(10) cho các số thực a;b;c 1;2 ta có

2 3

b a c

b a c

b

a 9 ) 6 1 1 1 2 ( 9 ) 6 1 1 1(

2

75 1 1 1 ) 9

x  1;2 suy ra đồ thị hàm số lõm trên đoạn 1;2 Cát tuyến AB đi qua hai điểm

thuộc đồ thị là A(1; 0) và B(2; 0) có phương trình y = 0 Theo tính chất 2 ta có

5 4

Bài 40 Cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn đẳng thức abc 5 Chứng

minh rằng: a 4  b 4  c 4  33 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

Giải:

Áp dụng BĐT(11) cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn abc 5 ta có:

12 ) (

5 4

1 1 1

2 2 2 2

c b

Giải:

Áp dụng BĐT(11) cho các số thực a;b;c;d 1;2 ta có

2 2

2 2

c b a d

c b a d

a và các hoán vị của ba số a;b;c;d

 Vận dụng cho hàm số lũy thừa

và chỉ khi a 1;b 1;c 4    và các hoán vị của ba số a; b; c

Bài 44 Cho các số thực a;b;c 1;4 thoả mãn đẳng thức a b c 9    Chứng minh rằng: 32 32 32 5

x  1;8 suy ra đồ thị hàm số lồi trên đoạn [1; 8] Cát tuyến AB đi qua hai điểm

thuộc đồ thị là A(1; 1) và B 8;4  có phương trình y 3x 4

Bài 46 Cho các số thực a;b;c 1;8 thoả mãn đẳng thức a b c 17    Chứng minh rằng: a23  b23  c23  9 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

 Vận dụng hai tính chất trên để giải một số bài toán khó

Bài 1 (USA MO 2003) Chứng minh bất đẳng thức

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

b a c a

c b

a c b c

b a

c b a

Trong đó a;b;c là các số thực dương.

3 3

2

3 3

2

3

2 2

2 2

2

2 2

c b

b

b a

2

3 2

3 )

(

x x

x x

tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A 

4 3

2

3

2 2

4 3

x x x

x x x

4 3

4 3

2

3

2 2

4 3

2

3

2 2

c

c

Cộng các BĐTcùng chiều trên ta được BĐT sau

2

3 3

2

3 3

2

3

2 2

2 2

2

2 2

c

c b

b

b a

a

a

Đẳng thức xãy ra khi và chỉkhi abc 1 Vậy là bài toán được giải quyết xong

Bài 2 (JAPAN MO 2002) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a;b;c ta

2 2

2

2 2

c b a b a c

b a c a c b

a c b

9 12 4 9 6 2

9 12 4 9 6 2

9 12 4 5

3 3

2 3 3

2 3 3

2

3

2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

c c b

b

b b a

a

a a c

c

c b

b

b a

a

a

5

3 9 6 2

9 2

9 6 2

9 2

9 6

b a

a

5

3 9 6 2

1 9

6 2

1 9

6

2

1

2 2

b a

a Ta thấy đẳng thức trong bất đẳng thức cuối xãy ra khi và chỉ khi abc 1 Ta xét hàm số ( ) 2 2 16 9







x x x

0 ; 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A 

2 9 6 2

3 25

2 9

2 9

2 9 6 2

2 9 6 2

9 ) (

25

2 9 6 2

1 9

6 2

1 9

6

2

1

2 2

b a

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi abc 1 Vậy là bài toán được giải quyết xong

Bài 3 Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 4(a + b +c) – 9 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

  b  c a

c c b

b a

x x

4 1

ln x x2 x x Áp dụng BĐT này cho số dương a ta

4 1 ln

5

3 2 ln 5

4 1

4 1

4 1

Cộng theo vế baBĐT ta thu được

4

9 ) (

5

3 2 ln 3

5

4 ) (

5

3 2 ln 5

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi abc43 Vậy giá trị lớn nhất của S là 4 4 2

Bài 4 Cho tam giác ABC Chứng minh: 1cos2 1cos2 1cos2 3 3

C

C B

B A

;

x x

cos

1 )

0 cos

) cos

2 ( sin sin

cos sin 2

)

3 3

x

x x

x x

x x

;

0  Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

điểm O(0; 0) có PT là y = 2x Theo tính chất 2 ta có BĐT: tanx sinx 2x Đẳng

thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0 Áp dụng BĐT này cho góc 

; 0 2

cot 2

sin 2

cot 2

tan 2

sin

2

2 cot 2 cos

tương tự ta có

2 cot 2 cos

cot 2 cot 2 cos 1 2 cos 1 2 cos

C

C B

B A

B A

Hi vong bài tiểu luận có thể coi là tài liệu tham khảo cho các bạn nhằmrèn luyện kĩ năng giải toán

PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO.

[1] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông, Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục.[2] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Thắng, Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục

[3] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục

[4] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, NXB ĐHSP.

[5] Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán về hệ thức lượng giác, NXB Hà Nội

[6] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức

[7] Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ