Về một vài mở rộng mới của dãy fibonacci

Thông thường có 2 cách mở rộng dãy Fibonacci: cách 1 là giữ nguyên côngthức đệ quy cho số hạng thứ n của dãy và thay đổi điều kiện ban đầu, cách 2là giữ nguyên các điều kiện ban đầu và t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

ĐINH HỒNG CHINH

VỀ MỘT VÀI MỞ RỘNG MỚI

CỦA DÃY FIBONACCI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

ĐINH HỒNG CHINH

VỀ MỘT VÀI MỞ RỘNG MỚI

CỦA DÃY FIBONACCI

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - 2019

Thông thường có 2 cách mở rộng dãy Fibonacci: cách 1 là giữ nguyên côngthức đệ quy cho số hạng thứ n của dãy và thay đổi điều kiện ban đầu, cách 2

là giữ nguyên các điều kiện ban đầu và thay đổi ràng buộc quan hệ đệ quy đểtính số hạng thứ n thông qua 2 số hạng đứng trước nó, có thể phụ thuộc vào

1 hay nhiều tham số khác nhau Và đã có rất nhiều dãy số thú vị khác đượcnghiên cứu: Dãy Pell, dãy Lucas, dãy k-Fibonacci

Với mong muốn đi tìm hiểu hai mở rộng gần đây của dãy Fibonacci, tôichọn đề tài "Về một vài mở rộng mới của dãy Fibonacci" làm đề tàiluận văn cao học của mình Mục tiêu của luận văn này là trình bày 2 mở rộngmới gần đây của dãy Fibonacci thông qua các tài liệu tham khảo [1] − [3].Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận văn được trìnhbày trong hai chương:

Chương 1 Dãy Fibonacci và một vài mở rộng của nó trước năm 1970.1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung này trình bày về dãy số Fibonacci,công thức Binet, hàm sinh, tỉ số vàng

1.2 Mở rộng của Horadam (1961)

Chương 2 Hai mở rộng mới của dãy Fibonacci

2.1 Mở rộng mới của dãy Fibonacci của M Edson, O Yayenie (2009).2.2 Mở rộng mới của dãy Fibonacci của Goksal Bilgici (2014)

Để hoàn thành bản luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới PGS TS Nông Quốc Chinh, người thầy nhiệt huyết đã truyền thụ kiếnthức, đã chỉ ra hướng đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làmluận văn Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phản biện đãdành thời gian đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho bản luận văn này.Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong Khoa Toán - Tin,Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng dẫn,truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thànhluận văn Qua luận văn này, tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian làm luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả sự nhiệt tình

và năng lực của mình Tuy nhiên, luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót, tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 10 năm 2019

Tác giả luận văn

Đinh Hồng Chinh

Chương 1

Dãy Fibonacci và một mở rộng trước năm 1970

1.1 Dãy Fibonacci

Định nghĩa 1.1.1 Dãy số Fibonacci, ký hiệu bởi (Fn)n∈N, được định nghĩabởi hệ thức truy hồi sau

Fn = Fn−1 + Fn−2, n ≥ 2 (1.1)với F0 = 0, F1 = 1

Theo định nghĩa, ta có dãy các số Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,

Mệnh đề 1.1.2 (Công thức Binet) Với n ∈ Z, α = 1 +

√5

1 1

1 − x = 1 + x + x

2 + x3 +

Φ = Φ − 1.

Nghiệm của phương trình bậc hai là

Φ = 1 +

√5

2 ≈ 1.6180339887

Số Φ còn "đẹp" theo hai cách sau

Định nghĩa 1.1.6 Dãy số Lucas, ký hiệu bởi (Ln)n∈N, được định nghĩa bởi

hệ thức truy hồi sau

Ln = Ln−1+ Ln−2, n ≥ 2 (1.6)với điều kiện ban đầu L0 = 2, L1 = 1

Mệnh đề 1.1.7 (Công thức Binet cho dãy Lucas) Ta có các số hạng của dãyLucas (Ln)n∈N là

với điều kiện ban đầu P0 = 0, P1 = 1

Các số Pell-Lucas thỏa mãn hệ thức truy hồi

với điều kiện ban đầu Q0 = 2, Q1 = 2

Mệnh đề 1.1.10 (Công thức Binet) Công thức Binet cho các số Pell vàPell-Lucas lần lượt là

Pn = (1 +

√2)n− (1 −√2)n

1.2 Mở rộng của Horadam (1961) [1]

Từ dãy số Fibonacci (Fn)n∈N, ta giữ nguyên công thức truy hồi và thayđổi điều kiện ban đầu ta được một dãy số (ta có thể gọi là dãy Horadam) kýhiệu là (Hn)n∈N được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.1 Dãy số (Hn)n∈N, được cho bởi hệ thức truy hồi

Hn = Hn−1 + Hn−2 (n ≥ 3) (1.15)

với điều kiện ban đầu H1 = p, H2 = p + q,

với p, q là các số nguyên tùy ý

Dạng khai triển của (Hn)n∈N là

Định lý 1.2.3 Cho dãy số (Hn)n∈N được xác định trong Định nghĩa 1.2.1.Khi đó số hạng tổng quát của (Hn)n∈N là

2 ; b = 1−

√ 5

2 là hai nghiệm của phương trình

Định lý 1.2.4 Cho dãy số (Hn)n∈N được xác định trong (1.15) Khi đó ta có

Hn

Hn−1 → a, Hn

Hn−i → ai, Hn

Fn → p − qb (1.19)khi n → ∞

Định lý 1.2.5 Cho dãy số (Hn)n∈N được xác định trong (1.15) Khi đó

Từ đây ta sẽ được kết quả (1.20)

Làm tương tự như trên ta cũng có được kết quả (1.21)

e = 1

4lm = p

2 − pq − q2

Chứng minh Ta có các kết quả sau đây



(p − qb) la2n−1− (p − qa) mb2n−1

= 1

2√5



(2p − q) la2n−1− (2p − q) mb2n−1

+ 1

2√5



l + m

−2 +

l2

Fn(a,b) =

(

aFn−1(a,b)+ Fn−2(a,b),nếu n chẵn

bFn−1(a,b) + Fn−2(a,b),nếu n lẻ (n ≥ 2) (2.1)Trong đó

Khi a = b = 1, chúng ta có dãy Fibonacci cổ điển (1.1)

Khi a = b = 2, chúng ta sẽ nhận được dãy Pell (1.9)

Định lý 2.1.2 Hàm sinh của dãy (qn)n∈N được xác định trong (2.2) là

F (x) = x 1 + ax − x

2

1 − (ab + 2)x2 + x4 (2.3)

Chứng minh Đặt F (x) là hàm sinh của dãy (qn)n∈N, ta có

Chứng minh Giả sử αvàβ là các nghiệm của phương trình bậc hai

Nên hàm sinh F (x) được viết lại như sau

2

ab.(vi) − β(α + 1) = α



$m2

Định lý 2.1.4 Với số nguyên n không âm bất kỳ, ta có

a1−ξ(n)bξ(n)qn−1qn+1 − aξ(n)b1−ξ(n)qn2 = a(−1)n (2.6)

Vì (2.6) là một trường hợp đặc biệt của kết quả được nêu dưới đây, nên

nó được chứng minh từ kết quả đó

Định lý 2.1.5 Với hai số nguyên không âm bất kỳ n và r với n ≥ r, ta có

aξ(n−r)b1−ξ(n−r)qn−rqn+r − aξ(n)b1−ξ(n)qn2 = aξ(r)b1−ξ(r)(−1)n+1−rqr2 (2.7)Chứng minh Sử dụng công thức Binet mở rộng (2.4), ta được

2

"n2

% +ξ(n)−1

=



a(ab)n−1



α2n − 2(αβ)n+ β2n(α − β)2

(αβ)n−rα

2r − 2αrβr + β2r(α − β)2

=



−a(ab)n−1

!

αm+n+1 + βm+n+1− (αβ)n αm−n+1 + βm−n+1

Vì vậy

aξ(mn+m)b1−ξ(mn+m)qmqn+1−aξ(mn−n)b1−ξ(mn−n)qm+1qn

na(ab)m−n−ξ(m−n)2

5 Với hai số tự nhiên n và m bất kì, ta có gcd (qm, qn) = qgcd(m,n)

6 Với số nguyên n không âm bất kỳ

q2n+2− qn2 = a1−ξ(n)bξ(n)q2n+2, qn+22 + qn2 = a1−ξ(n)bξ(n)q2n+2+ 2q2n (2.14)Suy ra

7 Với ba số nguyên n, k, j không âm bất kỳ với k ≥ j,

a(−1)nξ(j)ξ(n+k)b−(−1)nξ(j)ξ(n+k)qkqn+j−a(−1)nξ(k)ξ(n+j)b−(−1)nξ(k)ξ(n+j)qjqn+k =(−1)jqnqk−j

Định lý 2.1.8 Với số nguyên n không âm bất kỳ, ta có



aξ(k+1)(ab)bk+12 cqk+1 = aq2n+1 (2.17)Chứng minh Ta có

n

−



β2ab

n

− β



β2ab

2.2 Mở rộng mới của dãy Fibonacci của Goksal Bilgici

(2014) [2]

Định nghĩa 2.2.1 Xét dãy số {ln}∞n=0 được cho bởi công thức truy hồi

ln = 2aln−1+ b − a2
ln−2 (n ≥ 2) (2.18)với

l0 = 2, l1 = 2a,

trong đó, a là số thực khác không và b ≥ 0

Định nghĩa 2.2.2 Xét dãy số {fn}∞n=0 được cho bởi công thức truy hồi

fn = 2afn−1 + b − a2
fn−2 (n ≥ 2) (2.19)với

j0 = 0, j1 = 1

Tiếp theo, chúng tôi đưa ra các hàm sinh cho các dãy {fn}∞n=0 và {ln}∞n=0.Định lý 2.2.4 (Công thức hàm sinh của{fn}∞n=0) Cho dãy số {fn}∞n=0 đượcxác định như (2.19) Khi đó hàm sinh của {fn}∞n=0 là

Từ đó, ta được điều phải chứng minh.

Định lý 2.2.5 (Công thức hàm sinh của {ln}∞n=0) Cho dãy số {ln}∞n=0 đượcxác định như (2.18) Khi đó hàm sinh của {ln}∞n=0 là

Các định lí sau cho ta công thức Binet của các dãy {fn}∞n=0 và {ln}∞n=0.Định lý 2.2.6 (Công thức Binet của {fn}∞n=0) Cho dãy số {fn}∞n=0 được xácđịnh như (2.19) Khi đó số hạng tổng quát của {fn}∞n=0 là

1

2√b

1(αx − 1) +

1

2√b

1(βx − 1).

Khi đó ta thu được

1(1 − αx) − 1

2√b

1(1 − βx)

= 1

2√b

Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2.7 (Công thức Binet của {ln}∞n=0) Cho dãy số {ln}∞n=0 được xácđịnh như (2.18) Khi đó số hạng thứ n của {ln}∞n=0 là

Tách vế phải của phương trình trên ta có

2 − 2ax(αx − 1) (βx − 1) =

Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2.8 Với mọi số nguyên dương n, ta có

và

l−n = α−n+ β−n = α

n + βn(αβ)n =

1(αβ)n.ln.

Định lý 2.2.9 Với mọi số nguyên dương n và r, ta có

Vậy, định lý đã được chứng minh

Hệ quả 2.2.10 Với mọi số nguyên dương n, ta có

Hệ quả 2.2.11 Với mọi số nguyên dương n, ta có

Hệ quả 2.2.14 Với mọi số nguyên dương n, ta có

ln− aln−1 = 2bfn−1 (2.40)Chứng minh Đối với phương trình (2.39), ta có

Từ đây, ta thu được phương trình (2.39)

Sử dụng hệ thức truy hồi (2.18)trong phương trình (2.39), ta dễ dàng thuđược (2.40)

Định lý 2.2.17 Với mọi số nguyên dương n, ta có

fn+1 − a2 + b
fn−1 = aln−1 (2.41)và

fn− afn−1 = ln−1

Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh (2.41).

Từ đây, ta thu được phương trình (2.41)

Ta chứng minh tương tự với phương trình (2.42)

Định lý 2.2.18 Với mọi số nguyên dương n, ta có

Từ (1), (2) ta có được điều phải chứng minh

Định lý 2.2.19 Với mọi số nguyên dương n, ta có

Kết luận

Luận văn đã trình bày về một mở rộng của dãy Fibonacci trước năm 1970

đó là mở rộng của Horadam (1961) Đặc biệt là hai mở rộng gần đây bao gồm

mở rộng của M Edson, O Yayenie (2009) và của Goksal Bilgici (2014) Bêncạnh việc xem xét mở rộng dãy số, trong luận văn còn nghiên cứu đến côngthức Binet, hàm sinh cũng như các tính chất đặc biệt của các dãy mở rộng.Ngoài ra, ta thấy rằng từ mở rộng của M Edson, O Yayenie (2009) khi cho

a = b = 1, còn từ mở rộng của Goksal Bilgici (2014) khi cho (a, b) = 12,54

thì ta sẽ thu được dãy Fibonacci nguyên thủy

Dựa theo các tài liệu tham khảo, luận văn mới trình bày những nội dung

cơ bản, đặc trưng về các mở rộng của dãy Fibonacci cổ điển Hy vọng trongthời gian tới, tác giả luận văn có điều kiện tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này

Tài liệu tham khảo

[1] A F Horadam (1961), “A generalized Fibonacci sequence”, Amer Math.Monthly, 68, pp 455–459

[2] Goksal Bilgici (2014), “New Generalizations of Fibonacci and Lucas quences”, Applied Mathematical Sciences, Vol 8, no 29, pp 1429 – 1437

[3] M Edson, O Yayenie (2009), “A New Generalization of Fibonacci quences and Extended Binet’s Formula”, Integer, 9, pp 639 – 654