Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia có độ nhám cao trong môi trường đàn hồi dị hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- NGUYỄN THỊ KIỀU SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG Chuy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ KIỀU

SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ KIỀU

SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

Mã số: 60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội – Năm 2014

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy PGS TS.Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em từng bước để em

có thể hoàn thành luận văn

Em xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại HọcKhoa Học Tự Nhiên đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua, cảm ơnthầy Trần Thanh Tuấn và các anh chị em trong nhóm xêmina của thầy Vĩnh đãchia sẻ kinh nghiệm, kiến thức và giúp đỡ em rất nhiều

Em cũng xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Cơ học lý thuyết, KhoaXây dựng, Đại học Kiến trúc Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho em để em

có thời gian làm luận văn

Qua đây em cũng cảm ơn gia đình luôn động viên và tạo mọi điều kiệntốt cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Nguyễn Thị Kiều

Mục lục

1 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ

1.1 Bài toán cơ học 6

1.2 Bài toán toán học 7

1.3 Phương pháp giải 9

1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ 11

1.5 Công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ 12

1.6 Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược 16

1.7 Các ví dụ số 18

1.7.1 Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình răng cưa 18

1.7.2 Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin 21 2 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao 23 2.1 Bài toán cơ học 23

2.2 Bài toán toán học 24

2.3 Phương pháp giải 26

2.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ 27

2.5 Công thức tính các hệ số phản xạ, khúc xạ 29

2.6 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi P đối với biên phân chia có dạng hình lược 38

2.7 Các ví dụ số 42

2.7.1 Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình răng cưa 42

2.7.2 Xét trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình

sin 46

MỞ ĐẦU

Các bài toán biên trong miền có biên hay biên phân chia nhám (khôngphẳng) xuất hiện nhiều trong thực tế như: sự phản xạ, khúc xạ của sóng trêncác biên hay biên phân chia nhám [10], [16], các bài toán cơ học liên quan đếncác bản được gia cường dày đặc [7], các dòng chảy trên tường nhám [3], sự daođộng của các vật thể đàn hồi có tính chất cơ học thay đổi nhanh (có tính khôngthuần nhất cao) · · · Khi biên phân chia có độ nhám thấp ( biên độ rất nhỏ sovới chu kỳ của nó), để giải các bài toán này, các tác giả thường sử dụng phươngpháp nhiễu Khi biên phân chia có độ nhám cao (biên độ rất lớn so với chu kỳcủa nó), các tác giả thường sử dụng phương pháp thuần nhất hóa để giải

Năm 1997, các tác giả Nevard và Keller đã nghiên cứu thuần nhất hóabiên phân chia có độ nhám cao đối với hệ (ba) phương trình của lý thuyết đànhồi tuyến tính dị hướng [8] Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, các tác giả

đã rút ra phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi dị hướng Tuynhiên, hệ các phương trình này còn ở dưới dạng ẩn, vì các hệ số của chúng đượcxác định qua các hàm mà chúng là nghiệm của bài toán biên trên nhân tuầnhoàn, gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng Bài toán biên trên nhântuần hoàn này chỉ có thể tìm nghiệm dưới dạng số Vì hệ phương trình thuầnnhất hóa thu được ở dưới dạng ẩn nên không thuận tiện khi sử dụng

Năm 2009, các tác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung [15] đã tìm rađược phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miềnhai chiều, tức là các hệ số của chúng là các hàm của các tham số vật liệu vàđặc trưng hình học của biên phân chia Ngoài kết quả trong bài báo [15], cáctác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung còn tìm ra các phương trình thuầnnhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều có biên phânchia dao động nhanh giữa hai đường tròn đồng tâm [14], phương trình thuầnnhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn điện, lý thuyết đàn nhiệt [1] Các phươngtrình thuần nhất hóa dạng hiện này rất tiện lợi để sử dụng và tính ứng dụng rấtcao Nó sẽ được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán thực tế khác nhau Mộttrong những ứng dụng quan trọng của các phương trình thuần nhất hóa dạnghiện là để nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia độ

nhám cao.

Do vậy, mục đích của luận văn là: Sử dụng các phương trình thuần nhấthóa dạng hiện để nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phânchia độ nhám cao

Cho đến nay, bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia

độ nhám cao chưa có tác giả nào nghiên cứu vì trước năm 2009 các phương trìnhthuần nhất hóa dạng hiện chưa được tìm ra Luận văn đã sử dụng các phươngtrình thuần nhất hóa trong bài báo [15] để nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ củasóng đối với biên phân chia độ nhám cao Kết quả đạt được của luận văn là:tìm ra hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng SH và sóng P đối với biên phân chia độnhám cao dao động giữa hai đường thẳng song song

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độnhám cao

Trong chương này, bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biênphân chia có độ nhám cao được nghiên cứu Giả thiết hai bán không gian làtrực hướng Kết quả chính là: tìm ra công thức hiển (xấp xỉ) của hệ số phản xạ,khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia có độ nhám cao, hình dạng bất kỳ.Khi biên phân chia có dạng hình lược, các kết quả thu được là chính xác Sửdụng các biểu thức này ta khảo sát một số ví dụ bằng số

Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độnhám cao

Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao đượcxét trong chương này Giả thiết hai bán không gian là đẳng hướng Sử dụng cácphương trình thuần nhất hóa dạng hiện [15] và phương pháp ma trận chuyển[11], kết quả đạt được là: tìm ra công thức (xấp xỉ) của hệ số phản xạ, khúc xạcủa sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao có dạng bất kỳ Kết quả thuđược là chính xác khi biên phân chia có dạng hình lược Sử dụng các biểu thứcnày ta khảo sát một số ví dụ bằng số

Chương 1

Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao

1.1 Bài toán cơ học

Xét không gian vô hạn Ox1x2x3 gồm hai bán không gian đàn hồi Ωˆ(+) và Ωˆ(−),

được phân chia bởi mặtS có phương trìnhx3 = f (x1/ϵ), trong đó,f (y), (y = x1/ϵ)

là hàm tuần hoàn theo biến y với chu kỳ 1 Giả thiết mặt S nằm giữa hai mặtphẳng x3 = 0 và x3 = h Ký hiệu Ω(+), Ω(−) và L lần lượt là hình chiếu vuông

góc của Ωˆ(+), Ωˆ(−) và S lên mặt phẳng Ox

1x3 Khi đó, bán không gian trên Ω(+)

và bán không gian dưới Ω(−) được phân chia bởi đường cong L có phương trình

x3 = f (y), nằm giữa hai đường thẳng song song x3 = 0 và x3 = h Giả thiết ϵ

nhỏ hơn nhiều so với h, khi đó L được gọi là biên phân chia có độ nhám caocủa Ω(+), Ω(−) (xem Hình 1.1) Giả thiết thêm rằng trong miền 0 < x

1 < ϵ mỗiđường thẳng x3= x0 = const(0 < x0< h) cắt đường cong L tại đúng hai điểm

Giả sử môi trường là trực hướng, nén được, các hằng số vật liệu C ij vàmật độ khối lượng ρ được xác định như sau:

1.2 Bài toán toán học

Do sóng SH có thành phần chuyển dịch theo phương x2 khác không còn thànhphần chuyển dịch theo phương x1 và x3 bằng không nên ta có

• Liên hệ biến dạng và chuyển dịch

σ11= σ22= σ33= σ13 = 0;

σ12= C66u 2,1; σ23 = C44u 2,3 (1.8)

• Bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động có dạng:

trong đó, dấu " " chỉ đạo hàm theo biến thời gian

Từ (1.3), (1.8) và (1.9), phương trình chuyển động theo chuyển dịch là:

(C66u 2,1),1 + (C44u 2,3),3 = ρ¨ u2, x3 ̸= f(y) (1.10)

• Điều kiện biên

Ký hiệu n là véc tơ pháp tuyến của đường cong L tại M (xem hình 1.1).GọiΣn là véc tơ ứng suất tại tiết diện có véc tơ pháp tuyến n và đi qua M.Hình chiếu củaΣn và n trên ba trụcOx1,Ox2 vàOx3 lần lượt là(Σ 1, Σ2, Σ3 )

Do u2 và Σn phải liên tục trên L nên:

[u2 ]L = 0, [C66u 2,1 n1+ C44u 2,3 n3 ]L = 0, (1.12)trong đó, ký hiệu [ψ] L là bước nhảy của hàm ψ qua đường cong L

Để đơn giản, ta đặt u2 = U Bài toán biên (1.10), (1.12 ) được viết dưới dạngsau:

(Ahk U ,k),h = ρ ¨ U , x3 ̸= f(y), h, k = 1, 3 (1.13)

[U ] L = 0, [(A11U ,1+A13U ,3 )n1 + (A31U ,1+A33U ,3 )n3 ]L = 0, (1.14)trong đó,

A11= C66; A13 =A31 = 0; A33 = C44. (1.15)Như vậy, về mặt toán học, ta cần tìm nghiệm của phương trình (1.13)thỏa mãn điều kiện liên tục (1.14)

1.3 Phương pháp giải

1 Phương pháp chính xác

Thông thường bài toán biên (1.13) và (1.14) được giải bằng các phươngpháp số khác nhau Tuy nhiên, do biên phân chia L dao động nhanh giữahai đường thẳng song song nên lời giải số thường không ổn định Để vượtqua khó khăn này, phương pháp (xấp xỉ) thuần nhất hóa được sử dụng

2 Phương pháp thuần nhất hóa

Ý tưởng phương pháp thuần nhất hóa là: miền chứa biên phân chia độnhám cao được thay thế bằng lớp vật liệu không thuần nhất (theo độ dày)

có biên phẳng Khi đó, bài toán dẫn về sự phản xạ, khúc xạ của sóng đànhồi SH đối với lớp vật liệu không thuần nhất có các biên là phẳng x3 = 0

và x3= h (xem hình 1.2)

Như vậy, ta cần thuần nhất hóa hệ phương trình (1.13) và điều kiện liêntục (1.14) Theo [15] , phương trình thuần nhất hóa là:

C66(+)V ,11 + C44(+)V ,33 = ρ(+)V ,¨ x3< 0 (1.16)

x

10

Cij , Cij

Hình 1.2: Miền chứa biên phân chia độ nhám cao được thay bằng lớp vật liệu không

3= 0, x3 = h (1.19)trong đó:

⟨φ⟩ =

∫ 1 0

Vậy ta cần tìm nghiệm của hệ (1.17) thỏa mãn điều kiện liên tục (1.19).

Ta tìm nghiệm V (x1, x3, t) của (1.17) dưới dạng

Từ (1.22) và (1.25), trường chuyển dịch của bán không gian trên Ω(+) là:

u(+)2 = u(+)2SHI + u(+)2SHR = e i(ξx1−ωt) (Re −iξ(+)x3 + e iξ(+)x3 ) (1.37)Theo (1.26), trường chuyển dịch của bán không gian dưới Ω(−) là:

Vì các hệ số của hệ (1.34) là hàm số phụ thuộc x3 nên không tìm đượcnghiệm chính xác Do vậy, ta chỉ tìm được nghiệm xấp xỉ Ta tìm nghiệm xấp

xỉ của (1.34) như sau:

Ta chia lớp không thuần nhất [0, h]thành N lớp con thuần nhất có độ dàibằng nhau δ = h/N bởi các điểm chia x (i)3 , (i = 2, N ), x(1)3 = 0, x (N +1)3 = h (xemHình 1.4) Về mặt toán học ta phải giải hệ sau:

dY

dx3 =DiY, 0 < x3 < h, (i = 1, N ) (1.41)

x(2) 3

x(1) 3

x(3) 3

x(N+1) 3

Vậy nghiệm của phương trình (1.17) là:

V = (B1e iγx3 + B2e −iγx3)e i(ξx1−ωt) (1.55)

B1, B2 được xác định từ điều kiện liên tục trên biên x3= 0 và x3 = h.

Trên biên x3 = 0

V | x3 =0= u(+)2 (0)

⟨C44⟩V ,3 | x3 =0= C44(+)u(+)2,3(0)

(1.56)suy ra

B1e iγ1h + B2e −iγ1h = T e iξ(−) h

Thay (1.62) vào hai phương trình cuối của hệ (1.60), ta được:

(a2R + a1)e iγ1h + (a1R + a2)e −iγ1h = T e iξ(−) h (a2R + a1)e iγ1h − (a1R + a2)e −iγ1h = C

m = (a2e iγ1h + a1e −iγ1h ), n = −e iξ − h , p = −(a1e iγ1h + a2e −iγ1h)

Khi đường cong L có dạng hình răng cưa (xem hình 1.6), các hệ số của ma trận

D của hệ (1.34) không phải là các hằng số mà là hàm của x3 Khi đó các hệ sốphản xạ, khúc xạ được tính (xấp xỉ) theo (1.43), trong đó

Giả sử sóng SH truyền tới biên phân chia với góc tới θ = π/6

Từ Hình 1.7 và Hình 1.8 ta thấy rằng: khi tần số tăng thì hệ số phản xạgiảm, hệ số khúc xạ tăng

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.9487

κ = hK(+)

modunR modunT kiemtra

Hình 1.9: Hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao có

dạng hình răng cưa trong khoảng κ = [0.01 1].

1.7.2 Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình

Hình 1.10: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin.

Khi đường cong L có dạng hình sin (xem hình 1.7), các hệ số của ma trận

Giả sử sóng SH đến biên phân chia với góc tới θ = π/6

Từ Hình 1.11 và Hình 1.12 ta thấy rằng: khi tần số tăng thì hệ số phản

xạ giảm, hệ số khúc xạ tăng

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.048

0.049

0.05 0.051

modunR modunT kiemtra

Hình 1.13: Hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao

có dạng hình sin trong khoảng κ = [0.01 1].

Chương 2

Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao

2.1 Bài toán cơ học

Hình 2.1: Sóng P truyền tới biên phân chia độ nhám cao L.

Xét hai bán không gianΩ(+)và Ω(−) , được phân chia bởi một đường cong

độ nhám cao L có phương trình x3 = f (y), nằm giữa hai đường thẳng song song

x3= 0 và x3 = h Giả thiết Ω(+) và Ω(−) là đẳng hướng.

Hệ số Lame λ, µ và mật độ khối lượng ρ được xác định như sau:

Trong bán không gian trên, xét một sóng P truyền tới biên phân chia độnhám cao L ( xem Hình 2.1) Các thành phần chuyển dịch của sóng P là:

u2 ≡ 0, u1 = u1(x1, x3, t) ̸= 0, u3 = u3(x1, x3, t) ̸= 0 (2.2)Bài toán đặt ra là:

Xét sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi P truyền trong bán không giantrên tới biên phân chia độ nhám cao L trong môi trường đẳng hướng

2.2 Bài toán toán học

Do sóng P có thành phần chuyển dịch theo phương x1 và x3 khác không cònthành phần chuyển dịch theo phương x2 bằng không nên ta có:

• Phương trình chuyển động bỏ qua lực khối là:

Thay (2.3), (2.7) vào (2.8), phương trình chuyển động theo chuyển dịch là:

((λ + 2µ)u 1,1 + λu 3,3),1 + (µ(u 1,3 + u 3,1)),3 = ρ¨ u1

(µ(u 1,3 + u 3,1)),1 + (λu 1,1 + (λ + 2µ)u 3,3),3 = ρ¨ u3

(2.9)

• Điều kiện liên tục trên biên phân chia:

Gọi n là véc tơ pháp tuyến của L tại M Σn(Σ1, Σ2, Σ3) là véc tơ ứng suất

tại tiết diện có véc tơ pháp tuyến n và đi qua M Ta có:

Σ1 = σ11n1+ σ12n2+ σ13n3

Σ2 = σ21n1+ σ22n2+ σ23n3 (2.10)

Σ3 = σ31n1+ σ32n2+ σ33n3

Với n(n1, 0, n3) và các giá trị σ ij xác định bởi (2.7), từ (2.10), ta có:

Σ1 = σ11n1+ σ13n3 = ((λ + 2µ)u 1,1 + λu 1,3 )n1+ µ(u 1,3 + u 3,1 )n3

[((λ + 2µ)u 1,1 + λu 1,3 )n1+ µ(u 1,3 + u 3,1 )n3]L = 0

[µ(u 1,3 + u 3,1 )n1+ (λu 1,1 + µu 3,3 )n3]L = 0

(2.12)

Dạng ma trận của (2.9) và (2.12) là:

(AhkU,k),h = ρ ¨ U, x3̸= f(y), h, k = 1, 3 (2.13)[U]L = 0, x3 = f (y)

[(A11U,1+A13U,3 )n1+ (A31U,1+A33U,3 )n3]L = 0

(2.14)trong đó

2.3 Phương pháp giải

1 Phương pháp chính xác

Thông thường bài toán (2.13) và (2.14) được giải bằng phương pháp số.Tuy nhiên, do biên phân chia độ nhám cao dao động nhanh giữa hai đườngthẳng song song nên lời giải số không ổn định Vì vậy, ta sẽ giải bài toánbằng phương pháp thuần nhất hóa

2 Phương pháp thuần nhất hóa

Như đã nói ở chương trước, phương pháp thuần nhất hóa là: miền chứabiên phân chia độ nhám cao được thay thế bởi lớp vật liệu không thuầnnhất (theo độ dày) có biên phẳng Khi đó, bài toán dẫn về sự phản xạ,khúc xạ của sóng P đối với lớp vật liệu không thuần nhất có các biên làphẳng x3= 0 và x3 = h ( xem Hình 2.2)

u(+)1P I = sin θe i(ξx1+ξ(+)x3−ωt)

u(+)3P I = cos θe i(ξx1+ξ(+)x3−ωt) (2.21)

trong đó, ω là tần số góc (cho trước), ξ = K(+)sin θ, ξ(+)= K(+)cos θ,

x

10

Hình 2.3: Sóng P truyền tới biên phân chia độ nhám cao L, xuất hiện hai sóng phản

x3) và sóng SV (tạo một góc θ2 so với chiều âm của trục x3) (xem Hình 2.3) cócác thành phần chuyển dịch như sau [5] :

u(+)1P R = R1sin θe i(ξx1−ξ(+)

Khi đi qua lớp vật liệu, sóng tới P gây ra hai sóng khúc xạ là: sóng P (tạomột gócα1 so với trụcx3) và sóng SV (tạo một góc α2 so với trụcx3) có chuyểndịch là [5] :

x3= h Vậy ta cần tìm nghiệm của hệ (2.18) thỏa mãn điều kiện liên tục (2.20).

Nghiệm của (2.18) có dạng là:

V1 = v1(x3)e i(ξx1−ωt)