Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng hall trong siêu mạng hợp phần

Những tính toán về hệ số hấp thụ phi tuyến tính sóng điện từ mạnh được nghiên cứu sử dụng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối [5], trong bán dẫn siêu mạng hợp phần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn

thành luận văn

Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành luận văn này

Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học NAFOSTED (103.01 – 2011.18) VÀ QGTD.12.01

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn có nhiều thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn

Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, 16 tháng 12 năm 2013 Học viên

Nguyễn Thị Minh Phúc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU:……….……… …1

CHƯƠNG 1: SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI……… ………… 4

1.1 Tổng quan về siêu mạng hợp phần……… …….4

1.1.1 Khái niệm về siêu mạng hợp phần……….4

1.1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần ……… 5

1.2 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối……… 6

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO TENXƠ ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC TỪ TRỞ HALL CHO SIÊU MẠNG HỢP PHẦN……….13

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong siêu mạng hợp phần… 13

2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần 14

2.3 Biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall……… 35

CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ ĐỒ THỊ……….50

3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ……….50

3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường Br……… ……… 51

3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chu kỳ siêu mạng……… ……… 52

KẾT LUẬN……… 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO………54

PHỤ LỤC……….55

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ ở các

giá trị B = 4T (đường trơn), B = 4.2T (đường gạch ngang), B = 4.4T

(đường chấm)

Trang 50

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường Br ở những giá

trị khác nhau của chu kỳ siêu mạng : T=100K (đường nét

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cuối những năm 80 của thế kỷ 20 thành tựu của khoa học vật lý được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn

có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều Đó là, các bán dẫn hai chiều (giếng lượng

tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng, …); bán dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu)

Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều) Nhưng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệ một chiều và hệ không chiều), ngoài điện trường của thế tuần hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường điện thế phụ Trường điện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần) Tuỳ thuộc vào trường điện thế phụ tuần hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng), hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dây lượng tử) Nếu dọc theo một hướng nào đó có trường điện thế phụ thì chuyển động của hạt mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt ( hạt chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều không có trường điện thế phụ), phổ năng lượng của các hạt mang điện theo hướng này bị lượng tử hoá Chính

sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng, tenxơ độ dẫn, tương tác điện tử với phonon…, đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới, ưu việt mà hệ điện

tử ba chiều không có [1,2] Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo

ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang-điện tử

nói riêng Nhờ những tính năng nổi bật, các ứng dụng to lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ và trong thực tế cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước

Trong nhiều năm, có rất nhiều nghiên cứu giải quyết vấn đề về sự ảnh hưởng của sóng điện từ lên bán dẫn thấp chiều Sự hấp thụ tuyến tính sóng điện từ yếu gây ra bởi sự giam giữ các điện tử trong bán dẫn thấp chiều, được nghiên cứu tỉ mỉ bằng cách

sử dụng phương pháp Kubo - Mori [3,4] Những tính toán về hệ số hấp thụ phi tuyến tính sóng điện từ mạnh được nghiên cứu sử dụng phương trình động lượng tử cho điện

tử trong bán dẫn khối [5], trong bán dẫn siêu mạng hợp phần [6, 7] và trong dây lượng

tử [8] Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối với sự có mặt của sóng điện từ được nghiên cứu rất chi tiết bằng việc sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử trong [9 – 13]

Những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều ở nhiệt độ tương đối cao, đặc biệt là với sự có mặt của trường laser đang được nghiên cứu Hiệu ứng Hall trong

hố lượng tử với hố thế Parabol có tính đến sự có mặt của từ trường với chuyển động của điện tử là tự do nhưng trong trường hợp trường điện từ trực giao trong mặt phẳng của chuyển động tự do của electron không được nghiên cứu.Tuy vậy, nghiên cứu về lý thuyết lượng tử hiệu ứng Hall trong siêu mạng hợp phần chưa được nghiên cứu và do

đó, trong khóa luận này chúng tôi nghiên cứu và trình bày các kết quả nghiên cứu đối

với đề tài: “Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong siêu mạng hợp phần”

2 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử Từ Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong siêu mạng hợp phần với trục siêu mạng được giả thiết theo phương z, sự có mặt của một từ trường đặt dọc theo trục Oz:

điện Eur ( 0, E0sint 0), (trong đó Eo và Ω tương ứng là biên độ và tần số của trường laser).Xây dựng phương trình động lượng tử cho hệ điện tử và giải phương trình để tìm

ra biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall và hệ số Hall Biểu thức này chỉ ra rằng độ dẫn Hall phụ thuộc vào từ trường, chu kỳ siêu mạng, tần số sóng điện từ Điều đó thể hiện rõ ràng qua đồ thị bằng cách và sử dụng chương trình Matlab để tính toán số cho

siêu mạng hợp phần Đây là phương pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn thấp chiều

3 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong siêu mạng hợp phần để làm rõ hơn

các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều

 Đối tượng nghiên cứu: Siêu mạng hợp phần

 Phạm vi nghiên cứu: Xét trường hợp từ trường dọc theo trục siêu mạng và tán

xạ chủ yếu là tán xạ điện tử - phonon quang

4 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn này được chia làm ba chương:

CHƯƠNG 1: Siêu mạng hợp phần và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán

dẫn khối

CHƯƠNG 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn

Hall, hệ số Hall cho siêu mạng hợp phần

CHƯƠNG 3: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho siêu mạng hợp phần

cụ thể

Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng hợp phần xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần với thế siêu mạng tuần hoàn theo phương z, với sự có mặt của điện trường ngoài, từ trường, trường laser (sóng điện từ mạnh) trong đó Eo và Ω tương ứng là biên độ và tần số của trường laser)

Từ đó thu được biểu thức giải tích của độ dẫn Hall cũng như hệ số Hall

CHƯƠNG 1 SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG

HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI

Trong chương đầu tiên này, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ lược về siêu mạng hợp phần và hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối theo quan điểm lượng tử Từ Hamiltonnian của hệ điện tử - phonon, bằng phương pháp phương trình động lượng tử, đưa ra công thức tenxơ độ dẫn Hall, công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối

1.1 TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN

1.1.1 Khái niệm về siêu mạng hợp phần

Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d1, kí hiệu là A, độ rộng vùng cấm hẹp g A (ví dụ GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ dày d2, kí hiệu là

B, có độ rộng vùng cấm g B (ví dụ AlAs) Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô hạn dọc

theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên) Chu kì của siêu mạng: d=d1+d2 Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới dạng B/A/B/A… và độ rộng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ sung vào mạng tinh thể Khi đó điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác

Từ sự tương quan giữa đáy và đỉnh vùng dẫn của các lớp bán dẫn người ta phân loại siêu mạng hợp phần như sau:

- Loại I: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn bao nhau Trong siêu mạng này tương tác giữa các hạt mang từ các lớp riêng biệt chỉ xảy ra giữa các vùng năng lượng cùng loại Ở đây cả lỗ trống và điện tử bị giam nhốt trong cùng

lớp A Loại này được tạo bởi GaAs/AxGa1-xAs, lớp GaAs có độ dày hơn 20nm, phần Al

có mode ít hơn 0,3

- Loại II: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nằm gần nhau nhưng không bao bọc nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần Trong trường hợp này các loại hạt mang khác loại có thể tương tác với nhau Siêu mạng loại này được chia làm hai loại: + Loại IIA: Bán dẫn khe vùng không gian gián tiếp Lỗ trống bị giam trong cùng lớp A, điện tử bị giam trong cùng lớp B

+ Loại IIB: Hoặc không có hoặc có khe năng lượng rất nhỏ giữa các điện tử trong lớp B và các lỗ trống trong lớp A

1.1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần

Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần là hệ điện tử chuẩn hai chiều Các tính chất vật lý được xác định bởi phổ điện tử của chúng thông qua việc giả phương trình Schrodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng, việc giả phương trình Schrodinger ttoongr quát là rất khó Tuy nhiên bài toán đơn giản hơn nhiều bởi thực tế chu kỳ siêu mangjlowns hơn nhiều so với hằng số mạng và biên độ thế của mạng tinh thể Vì vậy ảnh hưởng của thế tuần hoàn của siêu mạng chỉ thể hiện ở mép vùng năng lượng và quy luật tán sắc của điện tử

có thể coi là dạng bậc hai và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng bán dẫn có thể xác định bằng phương pháp gần đúng, khối lượng hiệu dụng đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến, phương trình Schrodinger có dạng:

2* 2        

2m  r U r  r E r

 h  r  r r  r (1.1) Với m là khối lượng hiệu dụng của điện tử (lỗ trống) được coi như nhau trong toàn siêu mạng Dựa vào tính chất tuần hoàn của U r r mà các siêu mạng có thể coi là một, hai hoặc ba chiều Đối với hệ điện tử chuẩn hai chiều, cấu trúc vùng năng lượng có thể

tìm được bằng cách giải phương trình Schrodinger trong đó ta đưa vào thế tuần hoàn một chiều có dạng hình chữ nhật

*

m : khối lượng hiệu dụng của điện tử

n: một nửa độ rộng của mini vùng n

Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng (xy) có dạng sóng phẳng và theo phương của trục siêu mạng (có dạng hàm Block)

N d

Với L x: độ dài chuẩn theo phương x

L y: độ dài chuẩn theo phương y

N d: số chu kỳ siêu mạng

n z : Hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập

1.2 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

Trong phần này chúng tôi giới thiệu tổng quát về ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phương Ox, một từ trường theo phương Oz thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương Oy Hiện tượng này được gọi là Hiệu ứng Hall cổ điển

Ở đây, để có ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trường và từ trường không đổi, vuông góc với nhau

Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trưng bởi vecto cường độ điện trường

0

(E sin t, 0, 0)

E  với Eo và  tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ)

Trước hết, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ Sử dụng Hamiltonnian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:

  uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur

 

µ ,

Chứng minh tự tương ta nhận được phương trình đối với hàm , ,  

r r r rh

r

(1.14)

Sau đó nhân hai vế với *  

e p

c c

và phụ thuộc vào điện trường không đổi E1

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO TENXO ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC TỪ TRỞ HALL CHO SIÊU MẠNG

HỢP PHẦN

Trong chương này, chúng tôi đưa ra Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm - phonon trong siêu mạng hợp phần Sau đó bằng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần, từ đó tìm được biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn Hall và từ trở Hall

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong siêu mạng hợp phần

Xét siêu mạng hợp phần với trục siêu mạng được giả thiết theo phương z, ở đó khí điện tử được giam giữ bởi một thế được đặt vào dọc theo phương z và chuyển động

tự do theo phương (x - y) Chuyển động của electron bị giam giữ trong hệ thống và năng lượng của nó bị lượng tử hóa theo phương z Nếu ta đặt vào trục siêu mạng một điện trường dọc theo trục Ox: Eur1(E , 0, 0)1 , một từ trường không đổi theo phương Oz:Bur1(0, 0, B )1 , không những thế còn có sự góp mặt của trường laser

r

, ,

, , ', ' ', ' , , , ' , ' ,

 và  : Hằng số tần số điện môi tĩnh và hằng số tần số điện môi cao

2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần

Trước hết, ta đi thiết lập phương trình động lượng tử cho số điện tử trung bình

, , y ,n, y ,n, y

N n k N k N k

f v  a r a r Phương trình có dạng:

, , , ,

,, , , ,

', ',

0, ' , '

Ta thiết lập phương trình động lượng tử cho:

 ,

h (2.23)

Từ đó suy ra nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.20) bằng phương pháp biến

thiên hằng số và nó có dạng:

(2.30)

Tính thế vectơ A t r   của trường sóng điện từ:

r

( 2.31) Thay (2.30) vào (2.10) ta được:

(2.32) Trong số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba lấy qr1 qr Trong số hạng thứ hai và số

1 eE 1

f

N n ky f

r r

exp , , ', '

exp

,', '

N n ky f

n n

r

r r

So sánh vế trái và vế phải của (2.41) ta thấy hệ số Fourier hai vế bằng nhau và trong vế

phải ta chỉ xét l=s và thực hiện các bước chuyển đổi cho số hạng thứ hai và số hạng thứ

y y

Thực hiện tính tích phân theo : 1  

r r

B



rr

là vectơ đơn vị theo phương Br

r

h

  1      

,', '

2

2 ', ', , ,

2

12

2

4

2

,', '

2

4

21

,', '

2

2

', '2

,', '