ĐỀ THI vào 10 TRƯỜNG CHU văn AN và AMSTERDAM – hà nội

3 điểm Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa cung lớn AB.. Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB , dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H và cắt tia BM tại

ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG CHU VĂN AN VÀ AMSTERDAM – HÀ NỘI

NĂM 2005 – 2006

Ngày thứ nhất – Lớp khoa học tự nhiên

Câu 1 (2 điểm)

Cho biểu thức:

P

a Rút gọn P

b Tìm x để

9 2

P =

Câu 2 (2 điểm)

Cho bất phương trình:

3m- 1x+ >1 2m x+

(m là tham số)

a Giải bất phương trình với m = -1 2 2

b Tìm m để bất phương trình nhận mọi giá trị x >1 là nghiệm.

Câu 3 (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( )d : 2x y a- - 2=0

và parabol

( )P :y=ax2

(a là tham số dương).

1 Tìm a để ( )d

cắt ( )P

tại hai điểm phân biệt ,A B Chứng minh rằng khi đó , A B nằm về

bên phải trục tung

2 Gọi ,u v theo thứ tự là hoành độ của , A B Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T

u v uv

+

Câu 4 (3 điểm)

Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa cung lớn AB Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB , dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C

a Chứng minh các tam giác AIB và AMC là tam giác cân.

b Khi điểm M di động trên cung lớn AB chứng minh rằng điểm C di chuyển trên một

cung tròn cố định

c Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5 (1 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A có AB<AC và trung tuyến AM , ACB· =a AMB· =b,

chứng minh rằng:

sina+cosa = +1 sinb

Ngày thứ hai – Lớp chuyên Toán Tin 05 – 06

Câu 6 (2 điểm)

Cho P =(a b b c c a+ )( + )( + )- abc

với , ,a b c là các số nguyên Chứng minh rằng nếu

a b c + + chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.

Câu 7 (2 điểm)

Cho hệ phương trình:

13 6

ïí

ïïî

a Giải hệ phương trình với m = - 10.

b Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất

Câu 8 (2 điểm)

Ba số dương , ,x y z thỏa mãn hệ thức:

6

x+ + =y z

Xét hệ thức P = +x y2+z3

a Chứng minh rằng P ³ x+2y+3z- 3.

b Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Câu 9 (3 điểm)

Cho tam giác ABC , lấy ba điểm , , D E F theo thứ tự trên các cạnh BC CA AB sao cho, ,

AEDF là tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D nằm giữa A và P ) sao cho

DA DP =DB DC .

a Chứng minh rằng tứ giác ABPC nội tiếp, và hai tam giác DEF PCB đồng dạng với, nhau

æ ö÷

£ çç ÷÷

çè ø

Câu 10 (1 điểm)

Cho hình vuông ABCD và 2005 đường thẳng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:

a Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông

b Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích là 0,5 Chứng minh rằng trong 2005 đường thẳng đó có ít nhất 502 đường đồng quy

LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VÀ THPT HÀ NỘI – AMSTERDAM

NĂM HỌC 2005 – 2006 (Đề thi đã đăng trên THTT số 344, tháng 2 năm 2006)

NGÀY THỨ NHẤT Bài 1.

1 ĐK để P có nghĩa là x ¹ 1 và x > 0

Ta có:

1

P

x

x

+

2

9

2

P = Û x- x+ =

PT này có hai nghiệm x = và 4

1 4

x =

Bài 2

1 Với m = -1 2 2, BPT đã cho có dạng ( ) 4 2 1

6 2 1

+ > - Û <

+

2 BPT đã cho được viết dưới dạng

(3m- 4)x+ -(1 2m)>0 1( ) Xét hàm số f x( ) (= 3m- 4)x+ -(1 2m)

Đồ thị hàm số này là một đường thẳng nên để BPT

( )1

đúng với mọi x > thì:1

( )

3

m

m

ìï - >

íï = - ³ ïïî

Bài 3

1 PT hoành độ giao điểm của đường thẳng ( )d

và parabol ( )P

có dạng:

( )

ax - x a+ =

( )d ( )P

0

a

a a

ìï >

í ¢

ï D = - >

ïïî Lúc đó nếu gọi ,u v lần lượt là hoành độ của A và B thì theo định lý Viète cho PT ( )1

ta có:

2 0

u v

a

uv a

ìïï + = >

ïïí

ïï = >

ïïî

suy ra ,A B nằm về bên phải trục tung (đpcm).

Có nghiệm trong

3

; 2

æ ö÷

ç- ¥ ÷

çè ø

2 Từ kết quả 1) ta có:

( )

æö÷

ç ÷

= + ³ ç ÷ç ÷çè ø

, hay T ³ 2 2.

Do đó giá trị nhỏ nhất của T là 2 2 đạt được khi và chỉ khi

2 2

a =

Bài 4

Hình 1

1 (h.1) Do I là điểm chính giữa cung lớn AB nên IA =IB hay AIBD cân tại I

Nếu M thuộc cung IA (không chứa B ) thì CMH· =IMB· (đối đỉnh) ( )1

Mặt khác:

AMH = æçç AM + MIö÷÷÷= IA = IB = IMB

Từ ( )1

, ( )2

suy ra tam giác AMC cân tại M

Nếu M thuộc cung IB (không chứa A ) thì lập luận tương tự cũng có AMCD cân tại M

2 Từ kết quả câu 1) suy ra IA =IC , mà IA không đổi nên C nằm trên đường tròn tâm I bán

kính IA Khi M º A thì C º A , còn khi M º B thì C º C1

(trong đó C1

là giao điểm của

đường thẳng qua A vuông góc với IB với đường tròn tâm I , bán kính IA ) Do đó khi M

chuyển động trên cung lớn »AB thì điểm C chuyển động trên cung AC¼ 1 (đpcm)

3 Giả sử C0

là giao điểm của AI với đường tròn tâm I , bán kính IA , còn M0

là điểm đối

xứng của A qua O Nhận xét rằng, khi tia Ax trùng với tia AI thì M trùng M0

, lúc đó

0 0

, ,

B M C

thẳng hàng Từ mối liên hệ giữa độ dài dây cung và độ dài đường kính ta có 0

AM £ AM

Vậy PT ( )2

có nghiệm duy nhất

1 5

x =

- 0

AC £ AC

Kí hiệu p H( )

là chu vi hình H thì p AMC( ) £ p AM C( 0 0)

Kết luận: Giá trị lớn nhất của p AMC( )

là p AM C( 0 0)

đạt được khi M là điểm xuyên tâm đối của A đối với đường tròn ( )O

Bài 5 (Bạn đọc tự vẽ hình)

Dựng AH ^BC , do AB <AC nên H thuộc đoạn BM

Ta có sin 1 sin ( )1

2

Mặt khác AH =AC.sina =BC sin cosa a ( )2

Từ ( )1

, ( )2

suy ra sinb=2sin cosa a, dẫn đến ( )2

1 sin+ b= sina+cosa

(đpcm)

NGÀY THỨ HAI Bài 6.

( )( )( )

ab bc ca T abc

-Vì T chia hết cho 4 nên trong ba số , , a b c có ít nhất một số chẵn Từ ( )1

suy ra P chia hết cho

4 (đpcm)

Bài 7

1 Đặt ( )2

,

u= x y v+ =xy

, với m = - 10 hệ có dạng:

( ) ( )

2

uv v

ïïí

ï - = -ïïî

Từ ( )3

có

2

2 2v 10

v

v

-=

, thay vào ( )2

được 2v4+17v2- 100= , suy ra 0 v2= Þ4 v= - 2 (từ ( )3

ta thấy v < ) Với 0 v = - thì 2 u = , dẫn đến 1 x y+ = hoặc 1 x y+ = - 1

Giải các hệ

1 2

x y xy

ìï + =

ïí

ï =

1 2

x y xy

ìï + = -ïí

ï =

-ïî , ta đi đến kết luận hệ đã cho ứng với m = - 10 có nghiệm ( )x y,

là (- 1,2 , 2, 1 , 1, 2 ,) ( - ) ( - ) (- 2,1)

2 Nếu ( )x y,

là nghiệm của hệ thì (- x y,- )

cũng là nghiệm của hệ đó Do đó hệ có nghiệm duy nhất thì x= = Thay y 0 x= = vào hệ ta gặp điều mâu thuẫn Vậy không có giá trị nàoy 0 của m để hệ có nghiệm duy nhất

Bài 8.

1 Ta có P + = +3 x (y2+ +1) (z3+ + ³1 1) x+2y+3z

(theo bất đẳng thức Cauchy) suy

ra P ³ x+2y+3z- 3 (đpcm).

2 Áp dụng kết quả trên và bất đẳng thức Bunhiacovski ta có

có nghiệm trong

3

; 2

æ ö÷

ç- ¥ ÷

çè ø

6 P 3 x 2y 3z

+ ³ + + çç + + ÷÷

x

ç

÷

çè ø hay P ³ 3 Tóm lại, minP = , đạt được khi3

1

x= = = y z

Bài 9.

1 (h.2)

Hình 2

Từ DA DP =DB DC suy ra

DB = DA , kết hợp với BDP· =ADC· ta có

D ∽D , dẫn đến DPB· =DCA· suy ra tứ giác ABPC nội tiếp.

Vì các tứ giác AEDF và ABPC nội tiếp nên DEF· =DAF· =BCP DFE· ;· =DAE· =CBP·

Từ đây suy ra DEFD ∽DPCB (đpcm).

2 Do DEFD ∽DPCB nên S EF22 S PCB ( )1

BC

æ ö÷

¢= çç ÷÷

Mặt khác S PCB DP.S

DA

=

Vậy từ ( )1

ta có S EF22.DP S ( )2

DA BC

¢=

Ta lại có 2 ( )2 ( )

4.BD DC 4.DA DP

Từ ( )2

, ( )3

ta nhận được

2 2

æ ö÷ ç

çè ø (đpcm).

Bài 10

Xem bài báo “Một lớp bài toán về các đường thẳng đồng quy”, THTT số 341, tháng 11 năm

2005

Vậy PT ( )2

có nghiệm duy nhất

1 5

x =

-