đề toán số 18 (có lời giải chi tiết)

Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=3a , BC=a, cạnh bên SD=2a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy.. Một hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy và th

ĐỀ SỐ 18

(Đề thi có 07 trang)

(Đề thi có lời giải)

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2020

Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 Giả sử a, b là các số thực dương bất kỳ Giá trị biểu thức

Câu 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=3a , BC=a, cạnh bên SD=2a

và SD vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S ABCD bằng

5.6

13

−

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [−3;3] và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?

A Đạt cực tiểu tạix=1 B Đạt cực đại tạix= −1

C Đạt cực đại tạix=2 D Đạt cực tiểu tạix=0

Câu 5 Trong không gian Oxyz, Cho E(−1;0; 2) và F(2;1; 5− ) Phương trình đường thẳng EF là

u = Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

Câu 8 Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(3; 1; 4− ) đồng thời vuônggóc với giá của ar=(1; 1;2− ) có phương trình là

a

.4

a

Câu 10 Giả sử y= f x( ) là một hàm số bất kì liên tục trên (α β; ) và a b c b c, , , + ∈(α β; ) Mệnh đề nào

sau đây sai?

Câu 11 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;0 )

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−3;1 )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0;1

D Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 2

Câu 12 Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) =3−x là

n A

Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P x: −3y+2z 1 0− = , ( )Q x z: − + =2 0 Mặtphẳng ( )α vuông góc với cả ( )P và ( )Q đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 Phương

2

4.5

Câu 18 Một hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy và thể tích của khối trụ bằng

16π(đvtt) Diện tích toàn phần của khối trụ đã cho bằng

3 1

x x

f x′ = −

2.3

3 1

x x

3 1

x x

f x′ =

2.3 ln 3

3 1

x x

f x′ = −

+

Câu 21 Cho f x( ) =x4 −5x2 +4 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x( ) và

trục hoành Mệnh đề nào sau đây sai?

4x3x 2

x y x

Câu 25 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ′ ′ ′ có AB a= , góc giữa đường thẳng A C′ và mặtphẳng (ABC bằng 45) ° Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ bằng

A 3 3

4

.2

.12

.6

Câu 30 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có ,I J lần lượt là trung điểm của BC và BB′ Góc giữahai đường thẳng AC và IJ bằng

Câu 31 Giải bóng chuyền quốc tế VTV Cup có 8 đội tham gia, trong đó có hai đội Việt Nam Ban tổ

chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai bảng đấu, mỗi bảng 4 đội Xác suất để hai đội của ViệtNam nằm ở hai bảng khác nhau bằng

A 2

5

3

4.7

Câu 32 Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) sin2

x

f x

x

= trên khoảng (0;π) là

A −xcot x+ln sin( x)+C B cotx x−ln sinx +C

C cotx x+ln sinx +C D −xcotx−ln sin( x)+C

Câu 33 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , Gọi E là trung điểm của AB Cho biết AB=2a, BC = 13a, CC′ =4a Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B′ và CE

a

C 6 7

a

D 3 7

a

Câu 34 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên Có bao nhiêu

số nguyên m để phương trình f x( 3 −3x) =m có 6 nghiệm phân biệt

Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2

− và hai điểmA(−1;3;1) ,(0; 2; 1)

B − Gọi C m n p là điểm thuộc d sao cho diện tích tam giác ( ; ; ) ABC bằng 2 2 Giá trị của tổng

m n p+ + bằng

Câu 40 Bất phương trình (x3 −9 lnx) (x+ ≤5) 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Câu 41 Cho hàm số f x có đồ thị hàm số ( ) f x′( ) như

hình vẽ Hàm số y= f (cosx) +x2 −x đồng biến trên

khoảng

A ( )1; 2 B (−1;0 )

C ( )0;1 D (− −2; 1 )

Câu 42 Cho hàm số f x( ) =2x −2−x Gọi m là số lớn nhất0

trong các số nguyên thoả mãn f m( ) + f (2m−212) <0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

y= f x + x − f có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong

Câu 46 Để chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một cái mũ “cách

điệu” cho ông già Noel có hình dáng là một khối tròn xoay Mặt cắt qua trục của cái mũ có hình vẽ như

bên dưới Biết rằng OO′ =5cm,OA=10cm,OC =20cm đường cong AB là

một phần của parabol có đỉnh là điểm A Thể tích của chiếc mũ bằng

Câu 47 Giả sử z z là hai trong các số phức thoả mãn 1, 2 (z−6 8) ( +zi) là số

thực Biết rằng z1−z2 =4 Giá trị nhỏ nhất của z1+3z2 bằng

Câu 49 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A SA

vuông góc với mặt đáy và SA=2a Biết BC =a 3 và ·ABC = °30 ,

diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng

3

rr

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(3; 1; 4− ) đồng thời vuông góc

với giá của ar=(1; 1;2− ) nên nhận ar=(1; 1;2− ) làm vectơ pháp tuyến

Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộpABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cũng

là trung điểm của một đường chéo A C′ (giao các đường chéo) của

hình hộp

Hình hộp chữ nhật có độ dài 3 cạnh dài, rộng, cao là

2

AD= a,AB a= ,AA′ =2a

⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là 2 2 2 3

Nhận thấy trên khoảng ( )0;1 đồ thị hàm số là đường có hướng đi lên tính từ trái qua phải nên hàm

số trên đồng biến trên khoảng ( )0;1

Vectơ pháp tuyến của ( )Q là nr( )Q =(1;0; 1− ).

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R suy ra h l= =2R

Theo đề bài ta có thể tích khối trụ là 2 2 3

2

2 2

7 13

2log 7 log 9 0

x x

1

x y

x

=



′ = ⇔  = ±

Lập bảng xét dấu của y′ ta được:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1)

Câu 23: Đáp án D

Tập xác định D=¡ \{−1; 2}.

Ta có 2

2 2

41

( ) ( )

Ta có bảng biến thiên sau

Vậy hàm số đạt cực đại tại 1

2

x= − và x=1

Câu 27: Đáp án D

Gọi S, O lần lượt là đỉnh và tâm của đáy của hình nón Lấy A là một

điểm nằm trên đường tròn đáy Gọi góc ở đỉnh của hình nón là 2β suy ra

S

r

ππ

Không mất tính tổng quát giả sử z1 = − +2 3i, z2 = − −2 3i

Mà AC AB CB, ′, ′ là đường chéo của các hình vuông bằng

nhau nên AC = AB′=CB′⇒ ∆ACB′ ⇒ ∆ACB′ đều Vậy

Gọi A là biến cố: “hai đội của Việt Nam nằm ở hai bảng khác nhau”

Bảng 1: Chọn một trong hai đội Việt Nam và ba trong số sáu đội nước ngoài vào bảng 1 có sốcách chọn là C C 63 12

Bảng 2: Sau khi chọn các đội vào bảng 1 còn một đội Việt Nam và ba đội nước ngoài xếp vàobảng hai có 1 cách xếp

Suy ra số cách chia 8 đội thành hai bảng đấu sao cho hai đội của Việt Nam nằm ở hai bảng khácnhau là ( ) 3 1

Với x∈(0;π) ⇒sinx> ⇒0 ln sinx =ln sin( x)

Vậy 2 cot ln sin( )

d CE A B′ =d A B CEF′ =d A CEF′ =d A CEF

Kẻ AI ⊥CE AH; ⊥FI thì AH ⊥(CEF) hay d A CEF( ,( ) ) = AH

Bảng biến thiên của hàm số g x trên ( ) [−1; 2]

Suy ra với t = −2, có một giá trị của x thuộc đoạn [−1; 2]

( 2; 2]

t∈ − , có 2 giá trị của x thuộc đoạn [−1; 2]

11

a

b a

Từ bảng biến thiên của f x′( ) và h x ta suy ra( )

Diện tích tam giác ABC là 1 1 2

Do cosx∈ −[ 1;1] và từ đồ thị hàm số f x′( ) suy ra f′(cosx)∈ −[ 1;1 ]

Từ đó suy ra −sin x f′(cosx) ≤1 với ∀ ∈x ¡.

Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (−2;3) thì g x có duy nhất một điểm cực trị ( ) x=2.

Do đó phương trình g x( ) =0 có tối đa hai nghiệm trên khoảng (−2;3).

Vậy hàm số y= g x( ) có nhiều nhất 1 2 3+ = điểm cực trị trong khoảng (−2;3)

Câu 45: Đáp án C

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD nên SH ⊥(ABCD)

Đặt m=HB n SH, = Do tam giác SAH vuông tại H nên

Chiều cao của hình chóp là SH =3 a

Diện tích của hình vuông là S ABCD =4 a2

Thể tích của khối chóp S ABCD là

Xây dựng hệ trục toạ độ như hình vẽ

Chia khối tròn xoay trên thành 2 phần

Phần 1 là thể tích của khối trụ có thể tích là V 1

Phần 2 là thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi

20 3

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và K là

trung điểm của đoạn SA Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(ABC tại H và đường thẳng trung trực ) d′ của đoạn SA nằm trong mặt

phẳng (d d; ′) Giao điểm I của d và d′ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của

hình chóp S ABC và R = AI là bán kính của mặt cầu này

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC ta có

Vậy tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình là {1; 2;3 }

Nhận xét: Với cách hỏi và đáp án của câu này ta chỉ cần mở MODE 7 của máy tính cầm tay, nhập

vế trái của bất phương trình và cho biến chạy từ 1 đến 6 là tìm được đáp án ngay