bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hình học phần 1

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦNHÌNH HỌC PHẦN I: DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Bài 1: Giả sử M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CD,EA của ngũ giác lồi ABCDE.. Tìm số cạnh

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN

HÌNH HỌC PHẦN I: DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

Bài 1: Giả sử M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CD,EA của ngũ giác lồi ABCDE Gọi

I,K là trung điểm MP,NQ Chứng minh IK = 1

4ED.

HƯỚNG DẪN

Lấy M đối xứng M qua K , chứng minh MNLQ là hình bình hành

Áp dụng t/c đường trung bình => đpcm

Bài 2: Cho hai đa giác đều n – cạnh và m – cạnh có tỉ số hai góc trong của chúng là 5

7 Tìm số cạnh hai đa giác đều trên

HƯỚNG DẪN

Áp dụng công thức: số đo một góc trong đa giác đều n cạnh :

0

(n 2)180

n



Chú ý m  3 (ĐS: n = 6; m = 30)

Bài 3: Cho hình thang ABCD và O là giao điểm hai đường chéo AC, BD Chứng minh rằng:

a) S(AOD) = S(BOC)

b) S(AOB) S(COD) = [ S(BOC)]2

HƯỚNG DẪN

a ) Kẽ đường cao AH, BH’

b) Kẻ đường cao BK của tam giác ABC; tính tỉ số : ( )

S AOB

S BOC Tương tự kẻ đường cao DL

của tam giác ADC; tính tỉ số : ( )

S AOD

S DOC

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A Các đường thẳng đi qua điểm B và C và trung điểm O của đường

cao AH cắt AB , AC ở M và N Cho diện tích ∆ ABC = S Hãy tính diện tích tứ gác AMON ( ĐS: 1/6S)

MỘT SÓ BÀI TOÁN ÁP DỤNG TỈ SỐ DIỆN TÍCH Bài 1: Chứng minh công thức tính diện tích tam giác : S = p.r Với p là nửa chu vi; r là bán kính

đường tròn nội tiếp tam giác

HƯỚNG DẪN

Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác cách đều ba cạnh tam giác

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AA’ , BB’ , CC’ và trực tâm H Tính tổng:

HA HB HC

AA  BB CC

HƯỚNG DẪN

HƯỚNG DẪN

Chứng minh tổng diện tích ba tam giác MBC, MAC, MAB bằng diện tích tam giác ABC =>

MD + ME + MF = AH ( E, D, F là hình chiếu của điểm M trong tam giác ABC)

Bài 4 : Cho góc xOy và một điểm nằm trong góc đó Hãy dựng qua M một đường thẳng cắt hai cạnh

của góc xOy ở A và B sao cho tổng : 1 1

MA MB lớn nhất

HƯỚNG DẪN

Kẻ MP // Oy; AH  OM; BK  OM Tính ( )

S MOA OA

S MPO OP VÀ

S OBA AB

S OBM BM

S OBA

S OMA S OMB S MPO Chứng minh :

AH BK không đổi mà MA  AH; MB  BK

Vậy vị trí của AB cần tìm là AB  OM

TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ

Cách làm:

 Đặt các diện tích cần tìm bằng cá ẩn số rồi đưa về phương trình hoặc hệ phương trình với các

ẩn số đó

 Giài các phương trình hoặc hệ phương trình để tìm nghiệm

Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N

asao cho: AM = 3BM ; AN = 4CN Đoạn BN cắt doạn CM ở O Tính diện tích tam giác AOB và AOC

HƯỚNG DẪN

Đặt S(AOB) = x; S(AOC) = y (x,y > O) => S(OAM) = 3

4x và S(OAN) =

4

5y

Ta có : S(BAN) S(BAO) + S(OAN) = x + 4

5y ; mà S(BAN) =

4

5S(ABC) =

4

5 =>

X + 4

5y =

4

5 (1) Tương tự : y +

3

4x =

3

4 (2) Từ (1) và (2) giải hệ => x =

1

2; y =

3 8 Vậy S(AOB) = 1

2 : S(AOC) =

3

8

Bài 2: Giả sử MNPQ là hình vuông nội tiếp tam giác ABC với M thuộc AB, N thuộc AC, và P,Q

thuộc BC Ính cạnh hình vuông biết BC = a; đường cao AH = h

Áp dụng: Trên tia phân giác góc vuông xOy ta lấy điểm P tùy ý ( P không trùng O) Một đường thẳng qua P cắt Ox tại I, cắt Oy tại J Chứng minh tổng: 1 1

OI OJ có giá trị không đổi khi đường tẳng qua P

thay đổi

HƯỚNG DẪN

ĐS: x = ah

a h ( x là cạnh hình vuông)

BAI 1

O H

E

D

B

C A

K N M

BAI 3

H

D

B

C

A

CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI VỀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Bài 1 : Ch hình bình hành ABCD Qua A dựng đường thẳng xy không cắt hình bình hành Gọi E, H

lần lượt là hình chiếu của D, B trên xy Xác định vị trí xy để BE + DH nhỏ nhất

Bài 2 : Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm Gọi H là điểm nằm giữa A và B Cho

đường thẳng xy  AB ở H Cho điểm C thuộc xy và C ≠ H Cho C và D lần lượt

Là trung điểm AC và BC

a) Chứng minh tứ giác CDOE là hình bình hành

b) Chứng minh tứ giác DHOE là hình thang cân

c) Khi điểm C di động trên đường thẳng xy, chứng minh trung

điểm K của đoạn DE di động trên một đường cố định

Bài 3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD sao cho

AM CN

m

BM DN 

( m là hằng

số , m > 0 ) Nối DM, DN Tính SDMBN theo m và S

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có E,F lần lượt thuộc AB sao cho AE = EF = FB G, H trên cạnh CD sao

cho DH = HG = GC

Chứng minh : SEFGH = 1

3SABCD

y

x

BAI 2

O H

E D

B

C

A

F

G BAI 4

H

E

D

B

C A

BAI 5

h a

h b

b

B

A

Bài 5: Trong một tam giác , gọi ha là

đường cao ứng với cạnh a, gọi hb là

đường cao ứng với cạnh b cho biết a > b

Chứng minh: h a h b 1

a b





 Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?

Bài 6: a) Hai đường cao tam giác bằng

32cm, 8cm Chứng minh đường cao thứ

ba nhỏ hơn 11cm

c) Có tồn tại hay không một tam

giác có hai đường cao của nó lớn

hơn 1m còn diện tích thì nhỏ hơn

2005cm2

Bài 7: Tính diện tích một tam giác biết

dộ dài ba đường trung tuyến là 9cm,

12cm và 13cm