Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề

Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC



- Để giải những bài toán trên chúng ra cần nắm rõ các công thức biến đổi đặc biệt trong căn thức

(liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương, khử mẫu trục căn thức, đưa thừa số ra

ngoài dấu căn, quy đồng, tìm mẫu số chung,…) và 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ Ngoài ra còn rất

nhiều hằng đẳng thức mở rộng mà thường được áp dụng vào bài tập như

33

* Dạng 1: Rút gọn biểu thức chỉ chứa các con số

- Vận dụng các phép biến đổi cơ bản, các hằng đẳng thức đã được học để giải quyết vấn đề

Chúng ta sẽ nghiên cứu ví dụ bài toán cơ bản đưa về hằng đẳng thức sau

a b  ab. Tới đây đồng nhất hệ số cần

ÔN THI VÀO 10 THEO CHUYÊN ĐỀ - MÔN TOÁN

Hocmai.vn

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM MÔN TOÁN 9

ÔN THI VÀO 10 THEO CHỦ ĐỀ

tìm a,b sao cho 2 2

A, A A

Đầu tiên, quan sát trong căn thức ta thấy có chưa phân số có mẫu là căn thức, vì vậy ta nghĩ ngay

tới việc sẽ thực hiện trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân một lượng liên hợp để mẫu xuất hiện

hiệu hai bình phương    2 2

a b a b  a b Phần còn lại chúng ta sẽ thực hiện phép nhân với các

số trong ngoặc và mong rằng sẽ rút gọn được với phần vừa liên hợp Coi 7 là a và 10 là b Vậy

nên ta sẽ tiến hành nhân cả tử và mẫu với 7 10

*Dạng 2: Tìm điều kiện xác định khi rút gọn các biểu thức chứa tham số

Dạng này có một số kiến thức khi tìm điều kiện xác định: Muốn căn bậc hai số học a (trong đề

bài nếu không nói gì thêm thì tự hiểu là căn bậc hai số học) tồn tại thì a Muốn phân số tồn tại 0.

thì mẫu số phải khác 0,… Xem các ví dụ sau đây

Ví dụ Tìm điều kiện xác định của

Để ý có xuất hiện căn thức nên đầu tiên ta sẽ cho căn thức 0, tiếp theo đó thấy có mẫu số nên ta

sẽ tìm điều kiện cho mẫu số khác 0

Lưu ý Tìm điều kiện xác định là một bước vô cùng quan trọng trong giải các bài tập liên quan tới

rút gọn biểu thức có chứa tham số, nhiều vấn đề khác như giải phương trình, hệ phương trình,…

và là một bước khá dễ để có điểm trong các kì thi, vậy nên chúng ta phải hết sức kĩ lưỡng và cẩn

trọng trong phần này

*Dạng 3: Rút gọn biểu thức có chứa tham số và một số vấn đề liên quan (ĐKXĐ; tính giá trị biểu thức tại

x ; giá trị nhỏ nhất, lớn nhất; tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên; giải phương trình…)

Hướng làm

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Bước 2 Rút gọn biểu thức

Bước 3 Thực hiện các yêu cầu của đề bài (Một số vấn đề liên quan ở trên)

Bước 4 Kết luận (Những giá trị của tham số đó có thỏa mãn ĐKXĐ không ?)

Dễ dàng giải điều kiện trên ta sẽ được điều kiện xác định là x0, x9, x25.

Việc tiếp theo là rút gọn biểu thức (chúng ta sẽ thực hiện quy đồng biểu thức và rút gọn chủ yếu là

đặt dấu phù hợp để có được mẫu số chung phù hợp) Từ đó ta sẽ rút gọn được biểu thức thành

15

5 1

x P

Điều này vô lý, do đó không tồn tại x thỏa mãn điều kiện

Nhận xét Theo đề bài cần tìm x sao cho 1 1

x  vào 2 vế và rút gọn chuyển vế Nhưng liệu thực sự đã đúng chưa? Câu trả lời hoàn toàn

chưa đúng, vì x 5 chưa chắc dương Nếu x 5 thì khi nhân hai vế, chiều của bất đẳng thức sẽ

đổi chiều Do đó chúng ta phải chuyển 1 qua và quy đồng lên

Sửa lại cho đúng

1151

1 056

05

x P

Tới đây nhiều bạn không mắc sai lầm trên nhưng lại mắc sai lầm là kết luận ngay x 25 sẽ thỏa

mãn điều kiện Cần phải kết hợp với ĐKXĐ mới có kết luận được các giá trị x thỏa mãn Do đó

điều kiện của x thỏa mãn đề bài là 0 25

9

x x

 



 

c) Phân tích Đầu tiên, những dạng toán này mình sẽ đưa về dạng phân số trong đó tử số sẽ là một

số nguyên và mẫu số là một biểu thức có tham số Ví dụ: 1

2x 1, Sau đó muốn biểu thức

nguyên thì mẫu phải là ước của tử số, từ đó có thể tìm ra x thích hợp

Lời giải Từ ý tưởng trên ta sẽ tạch ra thành: 1 6

x 

phải nguyên Từ đó x  5 Ư(6)={-6;-3;-2;-1;1;2;3;6} Tới đây bạn sẽ tìm ra x nào thỏa không

Nhận xét chung Qua bài toán này chúng ta nhận thấy việc tìm ĐKXĐ là vô cùng quan trọng, nhắc

chúng ta lại một chút kiến thức về bất phương trình (nhận 2 vế với số âm thì bất đẳng thức đổi

chiều) và cách tìm x nguyên để biểu thức nguyên Chúng ta sẽ chuyển qua ví dụ tiếp theo

11

 

 để đó nói sau (vì nếu phá ra sẽ rất phức tạp) Đến một bước nào

đó, ta sẽ tính được biểu thức này, chẳng hạn  11 1

+ Tiếp theo đó là phần rút gọn, phần này thì các bạn sẽ vận dụng các kiến thức ở trên để rút gọn

và kết quả thu được sẽ là 2

Từ đây thay vào, dễ dàng tính được giá trị của biểu thức

b) Phân tích Để ý thấy nếu lấy tử số chia cho mẫu số thì sẽ xuất hiện dạng 1

2

a a

 thì áp dụng

bất đẳng thức Cauchy thì hoàn toàn tìm được max của P

Vậy chúng ra nghĩ ngay tới sẽ chia cả tử và mẫu cho a hoặc là đánh giá 1 .

B Ta sẽ chọn 1 cách là chia cả tử và mẫu cho a

Ví dụ 3 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 TP.Hà Nội năm học 2016 - 2017)

x x

b) Rút gọn B

c) Cho PA.B Tìm x để P nguyên

Hướng dẫn giải:

a) Tìm ĐKXĐ sau đó thay x 25 vào để tính

b) Quy đồng phân tích nhân tử rút gọn ta sẽ được 8

Sai lầm thường gặp: Để P nguyên thì x 3 phải là Ư(7)={1;7} (do x  3 0 nên loại giá trị âm)

Thay vào tìm được x thỏa mãn là x16.

Kết quả x 16 thỏa mãn, nhưng liệu đã đủ nghiệm Vì x 3 không nhất thiết phải là số nguyên,

có thể là số hữu tỷ

Phân tích: Vậy làm sao tìm x để P nguyên? Có thể nghĩa tới ý tưởng là giới hạn P trong một

khoảng nào đó, xong, do P nguyên nên ta sẽ có một vài trường hợp Ứng với mỗi trường hợp ta

sẽ tìm được x Do vậy ta cần tìm min, max của P

Lời giải đúng Đầu tiên dễ nhận ngay ra rằng 7 0

x

x

x

x , x thỏa mãn điều kiện

Nhận xét chung Ở đây ta nhận thêm một nghiệm 1

4

x  làm cho P nguyên Điều mình muốn nhấn mạnh ở đây chính là dạng toán tìm x để P nguyên khác với tìm x nguyên để P nguyên

Nếu không cẩn thận chúng ta sẽ mất điểm ở những bài rút gọn tưởng chừng cơ bản như vậy

Đó chính là 3 VD mà mình muốn đề cập tới một số dạng khi rút gọn biểu thức Và trong quá trình

luyện đề chúng ta sẽ có thể gặp thêm nhiều dạng hơn, và dần sẽ quen với dạng này

3) Bài tập tự luyện

Bài 1 (Đề thi học sinh giỏi huyện Đắc R’Lấp 2016 - 2017)

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x 7 3 10 2 21 .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

* Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 Ta ký hiệu  b24ac, gọi là biệt thức của phương

* Hệ thức Vi-ét Gọi x ,x1 2 là hai nghiệm của phương trình  1 , khi đó

Khi đó u và v là hai nghiệm của phương trình trên

*Các TH đặc biệt của phương trình bậc 2

+ Nếu a b c   thì phương trình 0  1 có hai nghiệm x1 1; x2 c

Bước 1 Thay m vào phương trình đã cho

Bước 2 Giải phương trình vừa thu được bằng công thức nghiệm hoặc bằng các Th đặc biệt

*Dạng 2 Tìm m để phương trình có một nghiệm x có giá trị nào đó (và tìm nghiệm còn lại)

Hướng làm

Bước 1 Thay nghiệm x để cho vào phương trình

Bước 2 Giải phương trình vừa thu được, tìm được m.

Bước 3 (nếu có) Làm tương tự dạng 1 để tìm ra nghiệm còn lại

*Dạng 3 Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/ cùng dấu âm,

dương)

- Để chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, ta tính  của phương trình, chứng minh

0.

  Đối với phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thì ta sẽ chứng minh   Vậy chứng 0.

minh bằng cách nào? Ta sẽ vận dụng các hằng đẳng thức bậc 2 để biến đổi  thành một bình

phương cộng với một số nào đó và áp dụng tính chất bình phương của một số luôn không âm

- Để chứng minh hai nghiệm của phương trình có hai nghiệm khác dấu/ cùng dấu âm, dương/,…,

ta chỉ cần có kiến thức vững về mối liên hệ về dấu của hai số với tổng và tích của chúng (ví dụ, hai

số khác dâu thì tích của chúng â,; hai số cùng dấu thì tích của chúng dương, nếu chúng cùng âm

thì tổng của chúng sẽ âm, còn nếu cùng dương thì tổng của chúng luôn dương,…) Cụ thể như sau

+ Khác dấu Ta sẽ chứng minh

S x x

a c

b

S x x

a c

*Dạng 4 Tìm m để phương trình có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/ cùng dấu âm, dương)

Tương tự với Dạng 3, chỉ khác ở chỗ ta phải tìm m thỏa mãn  0; S0; P0; chứ không phải

  (ẩn m), ta sẽ biểu diễn được m theo P

Từ 2 điều trên, ta sẽ có được biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không chứa tham số m

*Dạng 6 Tìm m để một biểu thức nào đó bằng một giá trị nào đó đạt GTNN, GTLN…

Đối với dạng này, các bạn cần nắm vững các hằng đẳng thức và các phép biến đổi để biểu diễn

biểu thức đề cho bằng x1x2 và x x ,1 2 sau đó dùng định lý Vi – ét để thay vào và biểu diễn biểu

thức theo m. Việc còn lại là cho biểu thức bằng một giá trị nào đó Hoặc tìm GTLN/GTNN của

biểu thức

Học sinh có thể gặp hai dạng bài này

+ Biểu thức đối xứng giữa hai biến Trường hợp này dễ dàng đưa biểu thức về x1x2 và x x1 2

rồi dùng định lý Vi –ét như trên

+ Biểu thức không đối xứng giữa hai biến Trong trường hợp này, các bạn có ba phương pháp

Một là dùng phương pháp hạ bậc (thay x ,x1 2 vào phương trình ban đầu, tính 2

1

x theo x ,1 tính 2

2

x

theo x2 rồi hạ bậc từ từ…) để đưa biểu thức về hẳn bậc 1, sau đó kết hợp với định lý Vi – ét để

biến đổi, làm theo yêu cầu đề bài

Hai là đưa biểu thức về dạng đối xứng (thế hệ thức trong định lý Vi – ét vào trong biểu thức đề

cho, đưa về cùng bậc rồi thao tác bình thường…)

Ba là đưa biểu thức về một biến x1 hoặc x2 (bằng hệ thức Vi – ét, giải ra x1 hoặc x ,2 thay vào

phương trình ban đầu tìm m )

*Dạng 7 Lập phương trình bậc 2 nhận y1 (tính theo x1) và y2 (tính theo x2) là nghiệm

Hướng làm Ta chỉ cần tính y1y2 và y y1 2 theo tham số m, chẳng hạn y1y2 S và y y1 2 P thì

theo định lý Vi-ét, y1 và y2 là hai nghiệm của phương trình 2

0

y Sy P

3) Làm quen với các dạng thông qua một số bài tập trong đề thi

Bài 1 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định 2015 - 2016)

Cho phương trình 2  

x  m x   m

a) Giải phương trình với m 0.

b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

Bài 2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Ngãi 2015 - 2016)

Cho phương trình 2

x  x  m (với m là tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 3 và tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 thỏa mãn hệ thức 2 2

a) Giải phương trình khi m 1.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Gọi x ,x1 2 là

hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị của m sao cho 2

1 1 2 5 2

x  x x   m.

Bài 4 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Khánh Hòa 2013 - 2014)

Cho phương trình bậc hai 2

CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I) Nhắc lại kiến thức

1) Hàm số yax.

- Hàm số yax a 0 xác định với mọi số thực x

- Đồ thị hàm số yax là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

- Trên tập hợp số thực, hàm số yax đồng biến khi a 0 và nghịch biến khi a 0.

a) Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc

b) Hàm số đồng biến nếu a nghịch biến nếu 0, a 0.

c) Đồ thị của hàm số là một đường thẳng

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng b

- Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x đồng biến khi 0, x 0.

- Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x nghịch biến khi 0, x 0.

* Đồ thị của hàm số là đường parabol với đặc điểm

- Đỉnh O 0 0;

- Trục đối xứng là trục tung Oy.

- Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, nhận gốc tọa độ làm điểm thấp nhất

- Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, nhận gốc tọa độ làm điểm cao nhất

* Quan hệ giữa parabol 2 

- Đường thẳng không giao nhau với parabol nếu phương trình  1 vô nghiệm hay   0.

- Đường thẳng sẽ tiếp xúc với parabol nếu  1 có nghiệm kép hay   0.

- Đường thẳng sẽ tiếp xúc với parabol nếu  1 có nghiệm kép hay   0.

II) Một số dạng toán cơ bản

* Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

- Kiến thức trong sách giáo khoa

* Dạng 2: Cho một hàm số y f x  xác định trên khoảng  a;b Tính giá trị của f k  với giá trị của k

* Dạng 3: Xác định tính biến thiên của hàm số

Vận dụng phần lý thuyết ở trên, ta sẽ làm được dạng bài tập này

Lưu ý: Khi có tham số tham gia  a thì điều kiện phải là a 0.

Ví dụ Xác định m để các hàm số sau đồng biến, nghịch biến:

* Dạng 4: Xác định các hệ số của hàm số khi đi qua một điểm A x , y 0 0, song song với một đường thẳng

- Đối với hàm số bậc hai 2

yax Ta chỉ việc thay xx ; y0 y0 (với x , y0 0 là những số cho trước) thì khi đó 0

2 0

y

x



- Đối với hàm số bậc nhất thì có rất nhiều dạng ví dụ có thể cho trước hệ số góc và đi qua một

điểm có tọa độ với tung độ, hoành độ là những số cho trước thì từ yaxb ta dễ dàng tìm được

- Để hiểu rõ hơn các dạng thì chúng ra sẽ đi vào các ví dụ sau

Ví dụ

a) Hãy xác định hệ số a của hàm số 2

yax biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A ; 1 2 . b) Xác định hàm số yaxb biết rằng hàm số có hệ số góc là 2 và đi qua điểm M3;5.

c) Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A,B có tọa độ là A2 0;   ; B 0 1;

d) Xác định hàm số yaxb để đồ thị của nó song song với đường thẳng y3x1 và đi qua

Dạng 5 Chứng minh rằng một đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số

Muốn làm dạng này ra sẽ biểu diễn phương trình của hàm số đã cho về một phương trình mà với

mọi m chỉ nhận cặp x ; y0 0 làm nghiệm

Ví dụ Cho đường thẳng ymx m 1 1  (m là tham số) Chứng minh rằng đường thẳng  1

luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

Dạng 6 Quan hệ giữa parabol 2 

0

yax a  và đường thẳng y mx n. 

Như lý thuyết đã nêu ở trên

Dạng 7 Cũng liên quan tới quan hệ parabol và đường thẳng những nâng cao hơn một chút với ứng dụng

của định lý Vi – ét trong các bài toán tìm tham số để giải phương trình, diện tích tam giác,…

- Đầu tiên ta sẽ nhắc lại kiến thức về định lý Vi – ét để áp dụng cho dạng toán này:

+ Nếu phương trình bậc hai 2  

Hướng giải Áp dụng định lý Vi-ét ta sẽ biểu diễn các hoành độ hay tung độ về tham số bằng các

hằng đẳng thức quen thuộc hoặc là các kỹ thuật hạ bậc đã được nêu ở chuyên đề sử dụng định lý

Vi – ét:

III) Bài tập tự luyện

Bài 1 Bài tập tự luyện

a) Xác định hệ số a để đường thẳng yax6 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

b) Cho đường thẳng  d : y1 mx1; d 2 : y3m4x Tìm giá trị 3 m để hai đường thẳng trên

song song với nhau; cắt nhau; vuông góc với nhau

c) Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m.

Bài 2 Quan hệ giữa đường thẳng và parabol

Câu 1 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016)

a) Vẽ đồ thị của hàm số 2

yax và đường thẳng  D : y  trên cùng một hệ trục tọa độ x 2b) Tìm tọa độ các giao điểm của  P và  D ở câu trên bằng phép tính

Câu 2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, tỉnh)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol   2

b) Viết phương trình đường thẳng  d đi qua điểm nằm trên parabol  P có hoành độ x 2 và có

hệ số góc k Với giá trị k nào thì  d tiếp xúc với  P

Câu 4 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thái Bình 2015 - 2016)

Cho parabol   1 2

2

P : y x và hai điểm A,B thuộc  P có hoành độ lần lượt là 1 2, Đường thẳng

 d có phương trình là y mx n. 

a) Tìm tọa độ hai điểm A,B. Tìm m,n biết  d đi qua 2 điểm A và B

b) Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB (điểm O là gốc tọa độ)