Nghiên cứu ngưng tụ bose einstein hai thành phần trong không gian bị hạn chế

Ph÷ìng ph¡p gƒn óng parabol k†pDPA.. Ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamics... Danh möc tł vi‚t t›tBEC Bose-Einstein condensate ng÷ng tö Bose-Einstein BECs two segregated Bose-Einstein ng÷ng

L˝I CAM OAN

Tæi xin cam oan lu“n ¡n n y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa tæi d÷îi sü h÷îng d¤n cıa GS TSKH Trƒn Hœu Ph¡t v PGS TS Nguy„n V«n Thö C¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n l trung thüc v khæng tròng khîp vîi b§t k… cæng tr…nh n o cıa t¡c gi£ kh¡c.

H Nºi, ng y 01 th¡ng 5 n«m 2019

T¡c gi£ lu“n ¡n

Ho ng V«n Quy‚t

i

L˝I C M ÌN!

Tr÷îc ti¶n, t¡c gi£ lu“n ¡n xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c Łi vîi GS TSKH Trƒn Hœu Ph¡t Sü h÷îng d¤n t“n töy v nhœng ºng vi¶n kh‰ch l» cıa thƒy l nguçn ºng lüc to lîn cho t¡c gi£ trong suŁt qu¡ tr…nh ho n th nh ch÷ìng tr…nh o t⁄o v l m lu“n

¡n Thƒy m¢i l t§m g÷ìng s¡ng v• ⁄o øc, v• tinh thƒn l m vi»c nghi¶m tóc, cŁng hi‚n h‚t m…nh v… khoa håc ” t¡c gi£ håc t“p v noi theo.

T¡c gi£ xin tr¥n trång c£m ìn PGS TS Nguy„n V«n Thö, thƒy ¢ t“n t…nh h÷îng d¤n v còng th£o lu“n gióp ï t¡c gi£ ho n th nh c¡c t‰nh to¡n quan trång nh§t trong lu“n ¡n.

T¡c gi£ xin tr¥n trång c£m ìn PGS TS Nguy„n Thà H Loan ng÷íi ¢ d¤n d›t t¡c gi£ ‚n vîi con ÷íng nghi¶n cøu khoa håc.

T¡c gi£ xin tr¥n trång c£m ìn TS Ph⁄m Th‚ Song ¢ nhi»t t…nh gióp ï, còng th£o lu“n v• lu“n ¡n v c¡c v§n • nghi¶n cøu li¶n quan.

T¡c gi£ xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m Hi»u, PhÆng sau ⁄i håc, Khoa V“t Tr÷íng ⁄i Håc S÷ Ph⁄m H Nºi 2 ¢ gióp ï v t⁄o måi i•u ki»n thu“n læi nh§t ” t¡c gi£ ho n

Lþ-th nh ch÷ìng tr…nh o t⁄o, ho n Lþ-th nh lu“n ¡n.

Líi c£m ìn sau còng, xin d nh cho gia …nh t¡c gi£, nhœng ng÷íi ¢ d nh cho t¡c gi£ t…nh y¶u th÷ìng trån vµn, tłng ng y chia s·, ºng vi¶n t¡c gi£ v÷æt qua måi khâ kh«n ” ho n th nh lu“n ¡n.

H Nºi, ng y 01 th¡ng 5 n«m 2019

T¡c gi£ lu“n ¡n

Ho ng V«n Quy‚t

ii

Möc löc

Líi cam oan i

Danh möc tł vi‚t t›t v

Danh möc h…nh v‡ v b£ng bi”u vii

Mð ƒu 1

Ch÷ìng 1 TŒng quan v cì sð lþ thuy‚t v• h» ng÷ng tö Bose-Einstein hai th nh phƒn ph¥n t¡ch 6 1 1.TŒng quan c¡c nghi¶n cøu lþ thuy‚t v• h» ng÷ng tö Bose - Einstein hai th nh phƒn

7 1 2.Cì sð lþ thuy‚t v ph÷ìng ph¡p dòng nghi¶n cøu h» ng÷ng tö Bose - Einstein 10

1.2.1 Ph÷ìng tr…nh Gross-Pitaevskii (GPE)

10 1.2.2 H» ph÷ìng tr…nh Gross-Pitaevskii

11 1.2.3 Ph÷ìng ph¡p gƒn óng parabol k†p(DPA) 14

1.2.4 Ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamics

16 Ch÷ìng 2 H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» ng÷ng tö Bose-Einstein hai th nh phƒn 18 2 1.H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nh trong khæng gian væ h⁄n 18 2 2.H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nh phƒn bà h⁄n ch‚ bði mºt t÷íng cøng 22 2 3.H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nh phƒn bà h⁄n ch‚ bði hai t÷íng cøng 26

iii

Ch÷ìng 3 C¡c hi»u øng k‰ch th÷îc hœu h⁄n trong h» BEC hai th nh phƒn bà giîi h⁄n bði mºt t÷íng cøng 30 3.1 i•u ki»n bi¶n cho c¡c

81

iv

Danh möc tł vi‚t t›t

BEC Bose-Einstein condensate ng÷ng tö Bose-Einstein

BECs two segregated Bose-Einstein ng÷ng tö Bose-Einstein hai

condensates th nh phƒn ph¥n t¡ch

CE Canonical ensemble t“p hæp ch‰nh t›c

GCE Grand canonical ensemble t“p hæp ch‰nh t›c lîn

DPA Double-parabola approxima- gƒn óng parabol k†p

tion MDPA Modified double-parabola ap- gƒn óng parabol k†p mð rºng

proximation

GP Gross-Pitaevskii Gross-Pitaevskii

GPE(s) Gross-Pitaevskii equation(s) (h») ph÷ìng tr…nh

Gross-Pitaevskii Time-independent Gross- h» ph÷ìng tr…nh Gross-

Pitaevskii equations

thíi gian TPA Tripple-parabola approxima- gƒn óng ba parabol

tion MFA Mean-field approximation gƒn óng tr÷íng trung b…nh HDA Hydrodynamic approach gƒn óng hsydrodynamic

v

Danh s¡ch h…nh v‡

1 H…nh v‡ mæ phäng hai øng döng cıa BECs (nguçn: inetrnet) 2

1.1 Th‚ t÷ìng t¡c theo tham sŁ tr“t tü 15

2.1 C§u tróc h…nh håc h» BEC trong khæng gian væ h⁄n 18

2.2 M°t ph¥n c¡ch ÷æc °t t⁄i z = z 0 v t÷íng cøng t⁄i z = h 22

2.3 M°t ph¥n c¡ch ÷æc °t t⁄i z = z 0 v t÷íng cøng t⁄i z = h 2 , z = h 1 26

3.1 C§u h…nh h» BEC hai th nh phƒn bà giam giœ bði mºt t÷íng cøng, t÷íng cøng °t t⁄i z = h0 LA j l chi•u d i x¥m nh“p cıa th nh phƒn ng÷ng tö j(j = 1; 2) trong mi•n ng÷ng tü j 0 (j 0 = 2; 1) = j 31

6 3.2 H m sâng cıa h» ng÷ng tö ð tr⁄ng th¡i cì b£n øng vîi i•u ki»n bi¶n Robin (c = 1=p 2) vîi h = 0 ÷íng n†t li•n øng vîi nghi»m trong gƒn óng DPA, ÷íng n†t øt øng vîi nghi»m gi£i sŁ h» ph÷ìng tr…nh GP 39

3.3 Sü phö thuºc cıa ‘ = f (K; ) theo 1=K t⁄i = 1: 40

3.4 H m sâng cıa th nh phƒn 2 trong mi•n h % ‘ t⁄i K = 3, = 1 v ÷íng n†t ch§m øng vîi c = 0 ( i•u ki»n bi¶n Neumann), ÷íng n†t g⁄ch øng vîi c = 1( i•u ki»n bi¶n Robin), ÷íng n†t li•n øng vîi c = 1 ( i•u ki»n bi¶n Dirichlet) 44

3.5 Sü phö thuºc cıa søc c«ng m°t t⁄i m°t ph¥n c¡ch trong GEC theo 1=K t⁄i = 1 ÷íng n†t ch§m, n†t g⁄ch v n†t li•n t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Neumann, Robin v Dirichlet 45

3.6 L m ÷ît mºt phƒn, 0 < < =2, (a, b ) L m ÷ît ho n to n, = 0, (c) 47

3.7 ÷íng chuy”n pha ÷ît, ÷íng n†t li•n (n†t øt) t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Dirichlet (Robin) 48

vi

xanh øng vîi th nh phƒn 2, m u ä øng vîi th nh phƒn 1, n†t li•n (n†t

øt) øng vîi nghi»m DPA (gi£i sŁ h» ph÷ìng tr…nh GP) 60

4.3 Sü phö thuºc cıa ~ 12 v o k‰ch th÷îc cıa h» d = 2h t⁄i K = 3 and = 1 ÷íng

n†t ch§m, n†t g⁄ch v n†t li•n t÷ìng øng t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Neumann,

Robin(c 1 = 0; 5; c 2 = 0; 5) v Dirichlet 67

4.4 Sü phö thuºc v o d = 2h cıa lüc FGCE t⁄i K = 1; 2; = 1 ÷íng n†t ch§m, n†t

g⁄ch v n†t li•n t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Neumann, Robin (c 1 = 0; 5; c 2 = 0; 5)

v Dirichlet 68

4.5 Lüc FGCE phö thuºc v o 1=K t⁄i h = 5; = 1 ÷íng n†t ch§m, n†t g⁄ch v n†t

li•n t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Neumann, Robin (c 1 = 0; 5; c 2 = 0; 5) v Dirichlet 68

4.6 H m sâng cıa th nh phƒn ng÷ng tö 2 trong kho£ng h % ‘ v cıa th nh phƒn

1 trong kho£ng ‘ % h t⁄i h = 10; K = 3, = 1 ÷íng n†t ch§m, n†t g⁄ch v n†t

li•n t÷ìng øng vîi c¡c i•u ki»n bi¶n Neumann, Robin (c 1 = 1; c 2 = 1) v Dirichlet 70

4.7 Sü phö thuºc søc c«ng t⁄i m°t ph¥n c¡ch trong GCE theo 1=K t⁄i = 1 ÷íng n†t

ch§m, n†t g⁄ch v n†t li•n t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Neumann, Robin v Dirichlet 71

4.8 Sü phö thuºc cıa søc c«ng m°t t⁄i m°t ph¥n c¡ch trong CE theo 1=K

t⁄i = 1 ÷íng n†t ch§m, n†t g⁄ch v n†t li•n t÷ìng øng vîi i•u ki»n

bi¶n Neumann, Robin v Dirichlet 72

4.9 Sü phö thuºc cıa søc c«ng m°t t⁄i m°t ph¥n c¡ch trong CE øng vîi

i•u ki»n bi¶n Neumann theo k‰ch th÷îc cıa h» d = 2h t⁄i = 1; K = 3 74

4.10 Sü phö thuºc cıa lüc Casimir - like FCE trong CE theo d t⁄i = 1; K = 1; 1 . . 75

vii

N«m 1995 nhâm c¡c nh thüc nghi»m ð ⁄i håc Colorado v vi»n cængngh» Massachusetts ¢ th nh cæng khi t⁄o ra BEC cıa c¡c nguy¶n tß(87Rb, 23Na, 7Li) [1, 2, 17, 21, 42, 44] Nhœng k‚t qu£ th‰ nghi»m x¡cnh“n sü tçn t⁄i cıa BEC ¢ ÷æc ghi nh“n b‹ng gi£i Nobel V“t lþ n«m 2001trao cho E A Conell, C E Wieman v W Ketterle [21] Nhœng nghi¶ncøu v• l¾nh vüc n y thüc sü bòng nŒ sau khi c¡c nh thüc nghi»m th nhcæng trong vi»c t⁄o ra ng÷ng tö BEC hai th nh phƒn khæng trºn l¤n(BECs) [40,57].

BEC l d⁄ng v“t ch§t l÷æng tß, sâng v“t ch§t l÷æng tß câ °c t‰nh quantrång cıa laser, â l t‰nh k‚t hæp M°t kh¡c ph÷ìng ph¡p cºng h÷ðngFeshbach cho ph†p i•u khi”n ÷æc hƒu h‚t c¡c tham sŁ quan trång, chflng

1

(a) (b) H…nh 1: H…nh v‡ mæ phäng hai øng döng cıa BECs (nguçn: inetrnet).

h⁄n nh÷ c÷íng º t÷ìng t¡c giœa hai th nh phƒn, nh‹m t⁄o ra nhœng tr⁄ngth¡i b§t ký theo þ muŁn [32] Do â BEC(s) l mæi tr÷íng lþ t÷ðng trongphÆng th‰ nghi»m ” câ th”:

Mæ phäng c¡c t‰nh ch§t cıa h» mæi tr÷íng æng °c m chóng ta r§tkhâ nghi¶n cøu ÷æc trong c¡c v“t li»u thüc t‚

Ki”m chøng nhi•u hi»n t÷æng l÷æng tß kh¡c nhau, chflng h⁄n nh÷

sü h…nh th nh c¡c xo¡y Abrikosov, c¡c v¡ch ng«n (domain wall) giœahai th nh phƒn, c¡c tr⁄ng th¡i soliton, c¡c ìn cüc tł (monopole) [3,6,12,20,25,26,33,41,49,58] Tr¶n h…nh 1 l £nh mæ phäng cho hai øng döngquan trång cıa BECs: t⁄o ra si¶u photon (a) v ìn cüc tł (b)

Nghi¶n cøu c¡c hi»n t÷æng l÷æng tß t÷ìng tü vîi c¡c hi»n t÷ængtrong thıy ºng håc cŒ i”n, chflng h⁄n c¡c hi»n t÷æng khæng Œn ànhKenvin-Helmholtz [51], khæng Œn ành Rayleigh-Taylor [47],Richtmayer-Meshkov [7]

Ngo i ra c¡c nghi¶n cøu v• BEC ¢ ÷a ra nhœng øng döng r§t quantrång trong thüc t‚, v‰ dö ch‚ t⁄o ra Laser câ b÷îc sâng r§t nhä cï 10

11m, ch‰p i»n tß cï nguy¶n tß, ch‚ t⁄o mºt sŁ lo⁄i x«ng °c bi»t cho mºt

sŁ m¡y bay qu¥n sü

Ch‰nh v… nhœng l‰ do tr¶n, sü ph¡t hi»n ra BEC ¢ mð ra mºt giaio⁄n ph¡t tri”n nh÷ vô b¢o c£ l¾nh vüc lþ thuy‚t v thüc nghi»m trong vi»c

2

nghi¶n cøu c¡c hi»u øng l÷æng tß Vi»c nghi¶n cøu BEC hai th nh phƒn

l mºt v§n • r§t thíi sü, høa hµn s‡ ÷a ra mºt sŁ t‰nh ch§t v“t lþ mîi, tł

â s‡ mð ra nhœng h÷îng nghi¶n cøu mîi trong v“t lþ lþ thuy‚t, v“t lþ c¡cmæi tr÷íng “m °c v trong cæng ngh» ch‚ t⁄o c¡c linh ki»n i»n tß Tuynhi¶n, hƒu h‚t c¡c nghi¶n cøu v• BECs mîi ch¿ di„n ra vîi h» thŁngBECs trong khæng gian væ h⁄n v h» BECs trong khæng gian hœu h⁄nvîi i•u ki»n bi¶n Dirichlet, trong khi c¡c thüc nghi»m v c¡c øng döng thüct‚ l⁄i ti‚n h nh trong khæng gian bà giîi h⁄n vîi nhi•u i•u ki»n bi¶n kh¡cnhau Ch‰nh v… nhœng l‰ do tr¶n, chóng tæi ¢ quy‚t ành chån • t icıa lu“n ¡n l "Nghi¶n cøu ng÷ng tö Bose-Einstein hai th nh phƒn trongkhæng gian bà h⁄n ch‚ " Trong lu“n ¡n n y, trong khuæn khŒ lþ thuy‚tGross-Pitaevskii (GP) chóng tæi sß döng ph÷ìng ph¡p gƒn óng parabolk†p (DPA), ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamics (HDA) ” nghi¶n cøuh» BEC hai th nh phƒn trong khæng gian bà h⁄n ch‚ vîi c¡c i•u ki»n bi¶nkh¡c nhau nh‹m möc ‰ch s‡ t…m ra mºt sŁ hi»u øng giîi h⁄n mîi, kh£os¡t sü £nh h÷ðng cıa c¡c i•u ki»n bi¶n ‚n sü Œn ành cıa h»

2 Möc ‰ch nghi¶n cøu

Kh£o s¡t £nh h÷ðng cıa sü giîi h⁄n khæng gian tîi c¡c t‰nh ch§t v“t

lþ cıa h» BEC hai th nh phƒn bà giîi h⁄n bði c¡c t÷íng cøng song songvîi m°t ph¥n c¡ch, ð tr⁄ng th¡i c¥n b‹ng vîi c¡c i•u ki»n bi¶n kh¡c nhau Tł

¥y t…m ra i•u ki»n bi¶n khi‚n cho h» Œn ành v mºt sŁ hi»u øng v“t lþmîi

T…m ra h» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nh phƒn bà giam giœ bði c¡c t÷íng cøng song song vîi m°t ph¥n c¡ch

3

3 Łi t÷æng, nhi»m vö, ph⁄m vi nghi¶n cøu

3.1 Łi t÷æng v ph⁄m vi nghi¶n cøu

Trong lu“n ¡n chóng tæi thüc hi»n nghi¶n cøu tr¶n Łi t÷æng l h» BEChai th nh phƒn C¡c nghi¶n cøu cıa chóng tæi giîi h⁄n trong ph⁄m vi sau:

- H» BECs trong khæng gian nßa væ h⁄n, tøc l h» bà giîi h⁄n bði mºt t÷íng cøng

- H» BECs trong khæng gian hœu h⁄n t⁄o n¶n bði hai t÷íng cøng °t c¡ch nhau mºt kho£ng nh§t ành

3.2 Nhi»m vö nghi¶n cøu

- T…m h m sâng cıa h» ng÷ng tö ð tr⁄ng th¡i cì b£n tho£ m¢n c¡c i•uki»n bi¶n kh¡c nhau t⁄i c¡c t÷íng cøng b‹ng ph÷ìng ph¡p gƒn óng DPA vsau â so s¡nh k‚t qu£ t…m ÷æc vîi k‚t qu£ t‰nh sŁ

- X¡c ành søc c«ng t⁄i m°t ph¥n c¡ch giœa hai th nh phƒn vîi c¡c i•u ki»n bi¶n kh¡c nhau

- Kh£o s¡t £nh h÷ðng cıa i•u ki»n bi¶n t⁄i t÷íng cøng ‚n c¡c t‰nh ch§tv“t lþ h» tł â t…m ra i•u ki»n bi¶n khi‚n cho h» Œn ành

- X¡c ành søc c«ng b• m°t cıa ng÷ng tö t⁄i t÷íng cøng

- V‡ gi£n ç chuy”n pha ÷ît cıa ng÷ng tö tr¶n b• m°t t÷íng cøng

- Ch¿ ra £nh h÷ðng cıa sü giîi h⁄n khæng gian Łi vîi c¡c t‰nh ch§t v“t lþ cıa h»

- Nghi¶n cøu c¡c k‰ch th‰ch b• m°t tr¶n m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEChai th nh phƒn, trong â t“p trung v o vi»c t…m ra h» thøc t¡n s›c cıasâng mao d¤n t⁄i m°t ph¥n c¡ch

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu

Nghi¶n cøu v• BEC(s) ÷æc thüc hi»n trong gƒn óng tr÷íng trung b…

nh Tr¶n cì sð n y, c¡c nghi¶n cøu lþ thuy‚t v• BEC(s) ÷æc thüc hi»n

4

düa v o

- H» ph÷ìng tr…nh Gross-Pitaevskii phö thuºc thíi gian

- H» ph÷ìng tr…nh Gross-Pitaevskii khæng phö thuºc thíi gian

Do t‰nh ch§t li¶n k‚t v phi tuy‚n cıa h» c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n b“chai m chóng ta khæng câ líi gi£i gi£i t‰ch cho tr÷íng hæp tŒng qu¡t ”kh›c phöc khâ kh«n n y, trong lu“n ¡n chóng tæi chı y‚u sß döng haiph÷ìng ph¡p gƒn óng cì b£n â l

- Ph÷ìng ph¡p gƒn óng parabol k†p

- Ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamics

Lu“n ¡n âng gâp nhœng k‚t qu£ nghi¶n cøu mîi v• t‰nh ch§t v“t lþcıa h» BECs bà giîi h⁄n bði c¡c t÷íng cøng, nhœng âng gâp ch‰nh

÷æc tr…nh b y trong phƒn K‚t lu“n cıa lu“n ¡n

6 C§u tróc cıa lu“n ¡n

Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n, danh möc c¡c cæng tr…nh li¶n quan ‚nlu“n ¡n ¢ cæng bŁ v t i li»u tham kh£o, phƒn nºi dung cıa lu“n ¡n gçmbŁn ch÷ìng

Ch÷ìng 1 TŒng quan v cì sð lþ thuy‚t v• h» ng÷ng tö Bose-Einsteinhai th nh phƒn ph¥n t¡ch

Ch÷ìng 2 H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» ng÷ng tö Einstein hai th nh phƒn

Bose-Ch÷ìng 3 C¡c hi»u øng k‰ch th÷îc hœu h⁄n trong h» BEC hai th nhphƒn bà giîi h⁄n bði mºt t÷íng cøng

Ch÷ìng 4 C¡c hi»u øng k‰ch th÷îc hœu h⁄n trong h» BEC hai th nhphƒn bà giîi h⁄n bði hai t÷íng cøng

5

Ch֓ng 1

TŒng quan v cì sð lþ thuy‚t v• h»

ng÷ng tö Bose-Einstein hai th nh phƒn ph¥n t¡ch

Ch÷ìng n y s‡ tr…nh b y tr…nh b y tŒng quan c¡c nghi¶n cøu v• h»BEC hai th nh phƒn ph¥n t¡ch trong nhœng n«m vła qua ð trong n÷îc vtr¶n th‚ giîi; tr…nh b y cì sð lþ thuy‚t v ph÷ìng ph¡p dòng nghi¶n cøu h»BEC hai th nh phƒn ph¥n t¡ch

6

1.1 TŒng quan c¡c nghi¶n cøu lþ thuy‚t v• h» ng÷ng

tö Bose - Einstein hai th nh phƒn

Ng÷ng tö Bose - Einstein (BEC) ÷æc ti¶n o¡n b‹ng lþ thuy‚t bði Bose

si¶u l⁄nh (87Rb, 23Na, 7Li) ÷æc t⁄o ra sau â 70 n«m [1, 2,17,21,42, 44]

Nhœng k‚t qu£ th‰ nghi»m x¡c nh“n sü tçn t⁄i cıa BEC ¢ ÷æc ghi nh“nb‹ng gi£i Nobel v“t lþ n«m 2001 trao cho E A Conell , C E Wieman

v W Ketterle v… nhœng th nh tüu nghi¶n cøu thüc nghi»m ng÷ng tökh‰ lo¢ng cıa c¡c nguy¶n tß ki•m [21] K” tł â, kÿ thu“t thüc nghi»m v•kh‰ si¶u l⁄nh ph¡t tri”n r§t m⁄nh m‡, ng÷íi ta ¢ t⁄o ra ÷æc BEC tł hai th

nh phƒn kh‰ kh¡c nhau Ph÷ìng ph¡p cºng h÷ðng Feshbach cho ph†pi•u khi”n ÷æc hƒu h‚t c¡c tham sŁ quan trång, chflng h⁄n nh÷ c÷íng ºt÷ìng t¡c giœa hai th nh phƒn, nh‹m t⁄o ra nhœng tr⁄ng th¡i b§t ký theo þmuŁn [32] Nhí â, nhi•u hi»n t÷æng l÷æng tß trong h» BECs nh÷ c¡cb§t Œn ành, sü h…nh th nh c¡c xo¡y (votex), c¡c v¡ch ng«n (domainwall) giœa hai th nh phƒn, c¡c tr⁄ng th¡i soliton, c¡c ìn cüc (monopole)[3,6,12,20,25,26,33,41,49,58] ¢ ÷æc ki”m chøng b‹ng thüc nghi»m, t⁄oºng lüc m⁄nh m‡ cho c¡c nh khoa håc nghi¶n cøu v• lo⁄i v“t ch§t °c bi»t

n y

B÷îc ph¡t tri”n cüc ký quan trång cıa nghi¶n cøu lþ thuy‚t v• BEC ÷æc

¡nh d§u bði th nh cæng cıa Gross v Pitaevskii trong vi»c thi‚t l“p h»ph÷ìng tr…nh Gross-Pitaevskii (GPEs) düa tr¶n gƒn óng tr÷íng trung b…

nh (MFA) [22,42,44] GPE(s) cho th§y h m sâng ng÷ng tö thäa m¢n c¡c

ra mºt h÷îng nghi¶n cøu mîi ƒy tri”n vång â l nghi¶n cøu c¡c hi»n t÷ængl÷æng tß cıa BEC t÷ìng tü vîi c¡c hi»n t÷æng ¢ bi‚t trong thıy ºng lüc håc

cŒ i”n, trong â câ søc c«ng b• m°t v chuy”n pha ÷ît

” nghi¶n cøu °c t‰nh v“t lþ cıa h» BECs, vi»c quan trång ƒu ti¶n lph£i t…m ÷æc h m sâng cıa h» h⁄t ð tr⁄ng th¡i ng÷ng tö thæng qua líi

7

gi£i cıa GPEs Tuy nhi¶n, GPEs l h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n b“c hai phituy‚n t‰nh li¶n k‚t n¶n vi»c t…m ÷æc líi gi£i ch‰nh x¡c cho tîi nay v¤ncÆn l mºt th¡ch thøc, ta ch¿ gi£i quy‚t ÷æc trong mºt sŁ tr÷íng hæp °cbi»t [30], chı y‚u v¤n ph£i düa v o t‰nh sŁ k‚t hæp vîi c¡c ph÷ìng ph¡pgƒn óng [4,5,30,59].

B‹ng gi£i ph¡p tuy‚n t‰nh hâa c¡c tham sŁ tr“t tü ð mØi ph‰a cıam°t ph¥n c¡ch, Ao v Chui ¢ t…m ÷æc nghi»m gƒn óng cıa GPEs choh» BECs, tł â t‰nh ÷æc søc c«ng m°t ph¥n c¡ch cıa h» câ sŁ h⁄t x¡cành bà giam trong mºt gi‚ng th‚ hœu h⁄n [4]

Tr¶n cì sð xem x†t c¡c giîi h⁄n ph¥n t¡ch y‚u v ph¥n t¡ch m⁄nh cıaBECs, Barankov ¢ t…m ÷æc líi gi£i cho GPEs v x¡c ành ÷æc søc c«ngm°t ph¥n c¡ch cıa h» theo h m sâng ng÷ng tö [5]

Hi»n t÷æng ng÷ng tö bà h§p thö bði mºt bøc t÷íng quang håc(optical wall), hay cÆn gåi l chuy”n pha ÷ît trong h» BECs, ÷æcIndekeu v Schaeybroeck • c“p trong [30], sau â ti‚p töc ph¡t tri”n düatr¶n c¡c t‰nh to¡n v• søc c«ng b• m°t trong lþ thuy‚t GP cıaSchaeybroeck [48], c¡c nghi¶n cøu n y ¢ ÷æc ho n thi»n trong [31].Ph¡t tri”n þ t÷ðng tuy‚n t‰nh hâa c¡c tham sŁ tr“t tü cıa Ao v Chui[4], Indekeu v c¡c cºng sü ¢ x¥y düng th nh cæng ph÷ìng ph¡p DPA[28], sau â ÷æc mð rºng th nh gƒn óng ba parabol (TPA) [59], nhí â t…

m ÷æc nghi»m gi£i t‰ch gƒn óng cıa GPEs Tł ¥y, c¡c t¡c gi£ ¢ t‰nhto¡n mºt c¡ch chi ti‚t v• søc c«ng m°t ph¥n c¡ch, søc c«ng b• m°t cıang÷ng tö t⁄i t÷íng cøng, düa tr¶n qui t›c Antonov ” v‡ gi£n ç chuy”n pha

÷ît So s¡nh vîi k‚t qu£ thu ÷æc tł c¡c t‰nh to¡n b‹ng lþ thuy‚t GP choth§y c§u h…nh ng÷ng tö, søc c«ng m°t ph¥n c¡ch, gi£n ç pha ÷ît trongDPA v TPA r§t ti»m c“n vîi k‚t qu£ t‰nh sŁ ð måi tr⁄ng th¡i ph¥n t¡chcıa h» tł ph¥n t¡ch y‚u (weak segregation) tîi ph¥n t¡ch m⁄nh (strongsegregation) [28,59]

” c¡c nghi¶n cøu lþ thuy‚t v• BECs ti‚n gƒn vîi thüc t‚, c¡c nh

khoa håc ¢ i nghi¶n cøu h» BECs hai th nh phƒn trong khæng gian b¡n

væ h⁄n v hœu h⁄n [53 55] v ¢ thu ÷æc r§t nhi•u k‚t qu£ quan trång

8

câ þ ngh¾a v“t lþ nh÷: t⁄i t÷íng cøng s‡ x£y chuy”n pha ÷ît tł d‰nh ÷îtmºt phƒn sang d‰nh ÷ît ho n to n, khi h» bà giam giœ bði hai t÷íngcøng th… xu§t hi»n cıa lüc Casimir-like v tòy thuºc v o kho£ng c¡chgiœa c¡c t÷íng m lüc n y câ th” l lüc hót ho°c lüc 'y, søc c«ng m°t ph¥nc¡ch trong t“p hæp ch‰nh t›c lîn (GCE) v t“p hæp ch‰nh t›c (CE)khæng cÆn li¶n h» vîi nhau nh÷ Łi vîi h» væ h⁄n.

B¶n c⁄nh nhœng t‰nh ch§t t¾nh n¶u tr¶n th… c¡c t‰nh ch§t ºnglüc håc, °c bi»t l ºng lüc håc m°t ph¥n c¡ch ÷æc chó þ °c bi»t bði t‰nhøng döng cao cıa nâ trong c¡c cæng ngh» hi»n ⁄i Ch¿ x†t tr÷íng hæphai th nh phƒn ho n to n Łi xøng, Mazet [37] ch¿ ra r‹ng c¡c sâng k‰chth‰ch b• m°t câ hai kh£ n«ng: sâng mao d¤n, ð â n«ng l÷æng sâng t¿l» vîi vecto sâng d÷îi d⁄ng ! / k3=2 ho°c mºt d⁄ng k‰ch th‰ch kh¡c vîi ! /

k1=2 T÷ìng tü nh÷ v“y, Brankov [5] công chøng minh ÷æc r‹ng h» thøct¡n s›c cho k‰ch th‰ch b• m°t cıa h» BECs công câ hai kh£ n«ng nh÷tr¶n, tøc l tçn t⁄i c£ ! / k3=2 v ! / k1=2 Gƒn ¥y nh§t l cæng tr…nh nghi¶ncøu Takahashi v cºng sü [50] Łi vîi h» BECs câ k‰ch th÷îc tòy þ, h»thøc t¡n s›c khi k‰ch th÷îc h» trð n¶n ı lîn công câ d⁄ng cıa sâng maod¤n B¶n c⁄nh hi»u øng cıa sâng mao d¤n, c¡c nghi¶n cøu công kh£os¡t c¡c hi»u øng kh¡c nh÷ Kelvin-Helmholtz [51], Rayleigh-Taylor [47],Richtmayer-Meshkov [7]

Tr¶n ¥y chóng tæi ¢ tr…nh b y tŒng quan nhœng nghi¶n cøu lþthuy‚t v• BECs trong v ngo i n÷îc Tł ¥y chóng tæi nh“n th§y r‹ng câ haiv§n • r§t thó và m ch÷a ÷æc nghi¶n cøu:

Khi h» BECs bà giîi h⁄n bði c¡c t÷íng cøng th… vîi c¡c i•u ki»n kh¡cnhau t⁄i t÷íng s‡ £nh h÷ðng th‚ n o ‚n c¡c t‰nh ch§t v“t lþ cıa h», i•uki»n bi¶n n o t⁄i t÷íng s‡ khi‚n cho h» Œn ành

C¡c nghi¶n cøu v• t‰nh ch§t ºng t⁄i m°t ph¥n c¡ch mîi chı y‚u di„n

ra vîi h» væ h⁄n trong khi t§t c£ c¡c thüc nghi»m, øng döng thüc t‚ l⁄i ti‚n

h nh trong khæng gian bà giîi h⁄n

V… v“y trong lu“n ¡n n y chóng tæi sß döng ph÷ìng ph¡p gƒn óngparabol k†p (DPA), ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamics (HDA) trong

9

khuæn khŒ lþ thuy‚t GP ” i nghi¶n cøu h» BEC hai th nh phƒn trongkhæng gian bà h⁄n ch‚ vîi c¡c i•u ki»n bi¶n kh¡c nhau vîi möc ti¶u s‡ t…

m ra mºt sŁ hi»u øng giîi h⁄n mîi, kh£o s¡t sü £nh h÷ðng cıa c¡c i•u ki»nbi¶n ‚n sü Œn ành cıa h» v t…m ra i•u ki»n bi¶n khi‚n cho h» Œn ành

L = i~ @t @t

vîi = (~r; t) = p 2

N ’(~r; t) l h m sâng cıa h» h⁄t, ’(~r; t) l h m sâng

ìn h⁄t thäa m¢n i•u ki»n chu'n hâa,

a < 0 øng vîi t÷ìng t¡c hót)

T¡c döng S cıa h» ÷æc x¡c ành bði S = L dt: Trong ph†p bi‚n Œi

vîi = (x; y; z; t) Sß döng (1.3) t…m ÷æc ph÷ìng tr…nh

r + U(~x) + Gj j2m

gåi l GPE phö thuºc thíi gian

N‚u bi”u di„n h m sâng cıa h» h⁄t d÷îi d⁄ng = (~r)e i t=~, h m

j(~r; t) = j(~r)e i j t=~: (1.10)Thay (1.10) v o h» (1.9) ta s‡ thu ÷æc h» ph÷ìng tr…nh GP khæng phö thuºc thíi gian

Khi c¡c th nh phƒn ng÷ng tö ÷æc ph¥n bŁ dåc theo ph÷ìng Oz v câ t

‰nh ch§t Łi xøng tành ti‚n theo c¡c ph÷ìng Ox; Oy th… (1.11) ÷æc vi‚t l⁄i nh÷ sau

B¥y gií chóng ta s‡ ÷a c¡c ph÷ìng tr…nh tr¶n v• d⁄ng khæng thø nguy¶n b‹ng c¡ch ÷a ra mºt sŁ ⁄i l÷æng sau:

g

11g

22

Sß döng c¡c bi‚n khæng thø nguy¶n l tåa º % j = z= j , thíi gian j = t=t j ,

h m sâng rót gån j = j=pn vîi nj0 l m“t º khŁi cıa th nh phƒn j

TŒng qu¡t, ta khæng th” t…m ÷æc nghi»m gi£i t‰ch cıa h» (1.14).Tuy nhi¶n câ ba tr÷íng hæp °c bi»t sau ¥y th… câ th” t…m ÷æcnghi»m gi£i t‰ch cıa h» (1.14):

13

- Khi h» Łi xøng 1 = 2 v K = 3, Malomed v cºng sü [36] t…m ÷æc

Y¶u cƒu °t ra Łi vîi c¡c nghi¶n cøu v• BEC(s) l ph£i gi£i GPE(s)

(1.14) Tuy nhi¶n, ¥y l h» c¡c ph÷ìng tr…nh v… ph¥n b“c hai li¶n k‚t vîinhau v tŒng qu¡t, ta khæng th” t…m ÷æc líi gi£i gi£i t‰ch

Mºt trong c¡c ph÷ìng ¡n ƒu ti¶n ÷æc ¡p döng l t‰nh sŁ Tuy nhi¶nph÷ìng ph¡p n y Æi häi h» thŁng m¡y t‰nh câ c§u h…nh r§t m⁄nh vquan trång l n‚u ch¿ ìn thuƒn k‚t qu£ sŁ, chóng ta khâ ÷a ra ÷æc c¡cph¡n o¡n v“t lþ V… lþ do n y m ¢ câ mºt sŁ ph÷ìng ph¡p gƒn óng ÷æc •xu§t, khi sß döng c¡c ph÷ìng ph¡p gƒn óng ta s‡ thu ÷æc nghi»m gi£i t

‰ch cıa h m sâng, søc c«ng t⁄i m°t ph¥n c¡ch tł ¥y chóng ta d„

d ng câ nhœng suy lu“n, ph¡n o¡n câ þ ngh¾a v“t lþ Trong lu“n ¡n tæi

sß döng gƒn óng parabol k†p (DPA) ÷æc ÷a ra trong [4,28] v ph÷ìngph¡p gƒn óng hydrodynamics (HDA) [47]

” t…m hi”u v• ph÷ìng ph¡p gƒn óng DPA chóng ta h¢y x†t h» BECmºt th nh phƒn bà giîi h⁄n bði t÷íng cøng (optical wall) t⁄i và tr‰ z = 0.Khi â th‚ GP (1.15) ÷æc vi‚t l⁄i nh÷ sau

VGP= 2 4

214

H…nh 1.1: Th‚ t÷ìng t¡c theo tham sŁ tr“t tü

Tr¶n h…nh 1.1 l ç thà bi”u di„n th‚ t÷ìng t¡c theo tham sŁ tr“t tü , trong â

÷íng n†t li•n øng vîi th‚ GP, ÷íng n†t øt øng vîi th‚ DPA Nh÷ v“y, th‚ GP

÷æc thay b‹ng hai ÷íng parabol n¶n ¥y ÷æc gåi l gƒn óng parabol k†p(DPA)

Khi sß döng ph÷ìng ph¡p gƒn óng DPA, h» ph÷ìng tr…nh GP câ th” ÷æc

÷a v• h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh câ th” gi£i ÷æc nh÷ sau:

j + 2( 1) = 0;

% j 2

1.2.4 Ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamics

— ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamics (HDA) chóng ta coi chuy”nºng cıa c¡c h⁄t trong tr⁄ng th¡i ng÷ng tö nh÷ l nhœng chuy”n ºng cıa c¡cdÆng ch£y ch§t läng Möc ‰ch cıa ta l cƒn t…m ra nhœng ph÷ìngtr…nh cho chuy”n ºng cıa dÆng nh÷ nhœng ph÷ìng tr…nh thıy ºnghåc câ d⁄ng t÷ìng tü cŒ i”n nh÷ ph÷ìng tr…nh Bernoulli, ph÷ìng tr…nhEuler, ph÷ìng tr…nh li¶n töc tł â nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t ºng håccıa h» BEC

” nghi¶n cøu c¡c v§n • ºng håc cıa BEC chóng ta sß döng ph÷ìngtr…nh Gross-Pitaevskii phö thuºc thíi gian

i~ @t = 2m r + V (~r) + Gj j : (1.23)Nh¥n hai v‚ ph÷ìng tr…nh (1.23) vîi

vli¶n hæp phøc cıa nâ nh¥n vîi

chóng ta thu ÷æc ph÷ìng tr…nh li¶n töc cıa ng÷ng tö

Nh÷ v“y ch÷ìng 1 ¢ ⁄t ÷æc nhœng k‚t qu£ ch‰nh sau ¥y:

Tr…nh b y tŒng quan c¡c nghi¶n cøu v• h» BEC hai th nh phƒn ph¥n t¡ch trong nhœng n«m vła qua

Tr…nh b y lþ thuy‚t Gross-Pitaevskii cho h» BEC mºt th nh phƒn

v h» BEC hai th nh phƒn.;

Tr…nh b y nhœng v§n • cì b£n v• ph÷ìng ph¡p gƒn óng parabol k†p v ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamic

17

Ch֓ng 2

H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» ng÷ng tö Bose-Einstein hai th nh phƒn

Trong ch÷ìng n y chóng tæi ¡p döng ph÷ìng ph¡p gƒn óng namics (HDA) nghi¶n cøu sâng mao d¤n ð m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEChai th nh phƒn bà giîi bði mºt t÷íng cøng v hai t÷íng cøng

hai th nh trong khæng gian væ h⁄n

X†t h» BEC hai th nh phƒn trong khæng gian væ h⁄n h…nh 2.1

H…nh 2.1: C§u tróc h…nh håc h» BEC trong khæng gian væ h⁄n

18

Ta b›t ƒu tł ph÷ìng tr…nh Lagrangian cho h»:

vîi mj l khŁi l÷æng nguy¶n tß cıa c¡c th nh phƒn j T÷ìng t¡c giœa c¡c th

nh phƒn kh¡c nhau ÷æc x¡c ành bði c¡c h‹ng sŁ gjk cho bði cæng thøc:

gjk = 2 ~2ajk mj 1 + mk 1 ;

ð ¥y ajk l º d i t¡n x⁄ sâng s

p döng nguy¶n lþ t¡c döng tŁi thi”u chóng ta câ ph÷ìng tr…nh Lagrange cho mØi th nh phƒn

vîi º d y giao di»n khæng ¡ng k”, tł (2.5) v (2.6) d¤n ‚n ph÷ìng tr…nhBernoulli sau:

P1(x; y; z = z0 + ; t) P2(x; y; z = z0 + ; t) = @2 +

@x2 @y2Ti‚p theo chóng tæi ¡p döng ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamicsb‹ng c¡ch vi‚t h m sâng d÷îi d⁄ng:

gi£ ành r‹ng nhœng thay Œi m“t º t÷ìng Łi cıa c¡c h⁄t ch§t läng nhä sovîi gradient v“n tŁc V“n tŁc trong (2.10a) ÷æc ành ngh¾a l

k2 = kx2 + ky2:

Tł c§u tróc h…nh håc ta câ: ’1 (z) ! 0 khi z ! +1 v ’2 (z) ! 0 khi

1 = (A1cos + B1sin ) exp ( kz);

2 = (A2cos + B2sin ) exp (kz);

ð ¥y Aj, Bj l c¡c thæng sŁ nhä

Khæng l m m§t t‰nh tŒng qu¡t chóng ta x†t

1 = A1exp ( kz) cos ; (2.14a)

2 = A2exp (kz) cos ; (2.14b)chó þ r‹ng k‚t qu£ trong (2.14) khæng thay Œi n‚u ta thay cos b‹ng

Tł (2.14), (2.10b), (2.12) chóng ta câ

P1 = A1!n10exp ( kz0) sin ;

P2 = A2!n20exp (kz0) sin :Thay (2.16), (2.17) v o ph÷ìng tr…nh Bernoulli (2.6) ta ÷æc

r

(2.17a)(2.17b)

(2.18)

ð ¥y %1 = m1n10, %2 = m2n20 H» thøc t¡n s›c (2.18) th” hi»n mºt Ripplon

Nh÷ v“y, b‹ng ph÷ìng ph¡p gƒn óng HDA chóng tæi ¢ t…m ra h»thøc t¡n s›c cıa sâng k‰ch th‰ch ð m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC trongkhæng gian væ h⁄n v ch¿ ra ÷æc ¥y l mºt Ripplon K‚t qu£ n y ¢ t…m

ra trong [29, 52] nh÷ng b‹ng ph÷ìng ph¡p kh¡c Nh÷ v“y ph÷ìng ph¡pgƒn óng HDA l ho n to n ¡ng tin c“y, câ th” dòng ” nghi¶n cøu h» BEChai th nh phƒn trong c¡c c§u chóc h…nh håc bà h⁄n ch‚

2.2 H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nh

phƒn bà h⁄n ch‚ bði mºt t÷íng cøng

X†t h» BEC hai th nh phƒn bà giîi h⁄n nh÷ h…nh v‡ 2.2

H…nh 2.2: M°t ph¥n c¡ch ÷æc °t t⁄i z = z0 v t÷íng cøng t⁄i z = h.

22

C¡c c§u h…nh h…nh håc cıa h» thŁng gæi þ r‹ng c¡c i•u ki»n hæp lþ ÷æc ¡p °t l¶n hai ng÷ng tö l

@’2 (z) z= h = 0;

@z

’1 (z) ! 0 khi z ! +1; (2.19)øng vîi i•u ki»n bi¶n (2.19), gi£i h» ph÷ìng tr…nh (2.13) chóng ta d„ d

ng câ

1 = (A1 cos + B1 sin ) exp ( kz) ;

2 = (A2 cos+ B2 sin ) cosh [k(z + h) ] ;

trong â Aj, Bj l c¡c h» sŁ câ gi¡ trà r§t nhä

ð ¥y %1 = m1n10(z0 + 0), %2 = m2n20(z0 0):

— giîi h⁄n sâng d i, k 1, (2.24) câ d⁄ng

2(h + z0) 4

khi n y h» thøc t¡n s›c di„n t£ mºt Kelvin mode Nh÷ v“y khi h» BEC øngy¶n bà giîi h⁄n bði mºt t÷íng cøng th… sâng k‰ch th‰ch t⁄i m°t ph¥nc¡ch thay v… l Ripplon nh÷ trong h» væ h⁄n l⁄i l mºt Kelvin mode

” ki”m tra t‰nh ch‰nh x¡c cıa c¡c t‰nh to¡n, chóng tæi cho h ! 1,khi n y h» trð th nh h» væ h⁄n v k‚t qu£ (2.24) trð th nh

~ !

j

jvîi j ÷æc cho bði (2.20) Trong tr÷íng hæp n y, i•u ki»n bi¶n t⁄i m°t ph¥n c¡ch (2.21) ÷æc thay Œi nh÷ sau:

Sau khi thay (2.27) v o (2.7) chóng tæi thu ÷æc ph÷ìng tr…nh

— giîi h⁄n sâng d i, k 1, khai tri”n (2.29) chóng ta thu ÷æc

! cos 2V2k v (h + z0) (cos 1V1 cos 2V2)2%1 %2k3=2: (2.30)

%

u

tPh÷ìng tr…nh (2.30) cho th§y h» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch di„n t£mºt phonon v cÆn cho th§y sü b§t Œn Kelvin-Helmholtz x£y ra khi

V2cos 2 < 0 Nh÷ v“y khi h» chuy”n ºng song song vîi m°t phflng ph¥nc¡ch v bà giîi h⁄n bði mºt t÷íng cøng, ð giîi h⁄n b÷îc sâng d i, sâng k‰ch th

‰ch t⁄i m°t ph¥n c¡ch di„n t£ mºt phonon v hìn nœa h» trð n¶n khæng

ð ¥y Vr = cos 1V1 cos 2 V 2

Cæng thøc (2.31) l h» thøc t¡n s›c i”n h…nh cıa ch§t läng ¢ ÷æc bi‚t ‚ntrong [60], nh÷ v“y c¡c t‰nh to¡n ð tr¶n l ho n to n ch‰nh x¡c

25

2.3 H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th

nh phƒn bà h⁄n ch‚ bði hai t÷íng cøng

X†t h» BEC hai th nh phƒn bà giam giœ bði hai t÷íng cøng Gi£ sßr‹ng c¡c th nh phƒn 1 v th nh phƒn 2 cıa h» BEC lƒn l÷æt n‹m trongkhu vüc z > z0 v z < z0 C¡c bøc t÷íng cøng 1 v 2 n‹m t⁄i z = h1 v z = h2

Gi£i h» (2.13a), (2.13b) vîi i•u ki»n bi¶n (2.32), (2.33) chóng ta thu ÷æc

1 = (C1 cos + D1 sin ) cosh [k(h1 z) ] ;

2 = (C2 cos + D2 sin ) cosh [k(z + h2) ] ;

trong â Cj; Dj l c¡c h» sŁ nhä

26

Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, chóng tæi sß döng nghi»m d⁄ng ìn gi£n

1 = C1 cosh [k(h1 z) ] cos ; (2.34a)

2 = C2 cosh [k(z + h2) ] cos ; (2.34b)C¡c i•u ki»n ºng håc t⁄i giao di»n =

song vîi m°t ph¥n c¡ch v bà giam giœ bði hai t÷íng cøng th… sâng k‰chth‰ch t⁄i m°t ph¥n c¡ch di„n t£ mºt phonon thay thay v… l Ripplon hayKelVin mode v trong h» x£y ra b§t Œn Kelvin-Helmholtz khi X < 0.

Sß döng ph÷ìng ph¡p gƒn óng HDA ” nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t cıah» BEC hai th nh phƒn, chóng tæi thu ÷æc mºt sŁ k‚t qu£ quan trångsau ¥y:

1 Tr…nh b y ÷æc h» ph÷ìng tr…nh li¶n töc, ph÷ìng tr…nh Bernoulli cho h» BEC hai th nh phƒn

2 T…m ra ÷æc h» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nhphƒn trong khæng gian væ h⁄n K‚t qu£ n y ho n to n tròng khîp vîih» thøc t¡n s›c t…m ÷æc trong [29,52] nh÷ng b‹ng ph÷ìng ph¡p

28

kh¡c Nh÷ v“y ph÷ìng ph¡p gƒn óng HDA l ho n to n ¡ng tin c“y, câth” dòng ” nghi¶n cøu h» BEC hai th nh phƒn trong c¡c c§u chóch…nh håc bà h⁄n ch‚.

3. T…m ra ÷æc h» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nhphƒn øng vîi mºt sŁ c§u tróc h…nh håc bà giîi h⁄n, cö th” do sü h⁄nch‚ v• khæng gian quan h» ph¥n t¡n cıa ripplon ÷æc thay Œi, h…

nh thøc t¡n s›c l !2 k4 thay v… ! k3=2:

4 Khi hai ng÷ng tö ch£y song song vîi giao di»n h» thøc t¡n s›c l

mºt sŁ tr÷íng hæp cö th”

Chóng tæi t…m ra c¡c k‚t qu£ tr¶n tł vi»c gi£ ành r‹ng c¡c ng÷ng tö lkhæng n†n Tuy nhi¶n, n‚u ch§t läng chàu n†n câ ngh¾a l trong c¡c bi”u

v 2di„n tr÷îc ¥y chóng tæi câ th¶m sü i•u ch¿nh cıa v , ð ¥y v l tŁc

º cıa h» thŁng v vs tŁc º cıa ¥m thanh trong ch§ts läng Trong giîih⁄n n«ng l÷æng th§p th… t l» n y câ th” ÷æc coi l khæng ¡ng k” Do

â, h…nh £nh ƒy ı cıa h» thŁng v¤n khæng Œi ð møc n«ng l÷ængth§p n‚u ch§t läng chàu n†n V… th‚, k‚t qu£ cıa chóng tæi l ho n to n

¡ng tin c“y trong vi»c t…m ra h» thøc t¡n s›c cıa sâng mao d¤n t⁄i m°tph¥n c¡ch trong h» thŁng BEC hai th nh phƒn t¡ch bi»t

29

Ch֓ng 3

C¡c hi»u øng k‰ch th÷îc hœu h⁄n trong h» BEC hai th nh phƒn bà giîi h⁄n bði mºt t÷íng cøng

Trong ch÷ìng n y, tæi s‡ tr…nh b y nhœng nghi¶n cøu trong h»BEC hai th nh phƒn bà giîi h⁄n trong nßa khæng gian bði mºt t÷íngcøng (t÷íng quang) vîi c¡c i•u ki»n bi¶n kh¡c nhau Tł vi»c t…m ranghi»m gi£i t‰ch tr⁄ng th¡i cì b£n cıa h» b‹ng ph÷ìng ph¡p gƒn óngDPA, chóng tæi x¡c ành ÷æc søc c«ng t⁄i m°t ph¥n c¡ch giœa hai th nhphƒn düa v o n«ng l÷æng d÷ tr¶n m°t ph¥n c¡ch, t…m ra søc c«ng b•m°t ng÷ng tö t⁄i t÷íng cøng, v‡ gi£n ç pha ÷ît cıa ng÷ng tö tr¶n b• m°tt÷íng cøng, nghi¶n cøu v• c¡c hi»u øng giîi h⁄n khæng gian v °c bi»t t…

m ra i•u ki»n bi¶n khi‚n cho h» Œn ành nh§t

30

3.1 i•u ki»n bi¶n cho c¡c th nh phƒn ng÷ng tö

X†t h» BEC hai th nh phƒn bà giîi h⁄n bði mºt t÷íng cøng t⁄i z = h0nh÷ h…nh v‡ 3.1

H…nh 3.1: C§u h…nh h» BEC hai th nh phƒn bà giam giœ bði mºt t÷íng cøng, t÷íng cøng °t t⁄i z = h0.

LA j l chi•u d i x¥m nh“p cıa th nh phƒn ng÷ng tö j(j = 1; 2) trong mi•n ng÷ng tü j0(j0 = 2; 1) 6= j.

Vîi mºt h» BECs xem x†t th… Hamiltonian to n phƒn cıa nâ câ d⁄ng [8,27]

- Hamiltonian khŁi theo lþ thuy‚t GP