Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị học cho học sinh lớp 12 THPT

MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PT MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ ……….... Để giúp học sinh lớp 12 khắc sâu các kiến thức về phương pháp tọa độ nói chung và có

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU

PHẦN II: NỘI DUNG

Chương I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PT MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ ………

I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ

II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ

Chương III: KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM

I Tiến hành thử nghiệm

II Kết luận chung về thử nghiệm

III Bài học kinh nghiệm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 2 Trang 4 Trang 4

Trang 7 Trang 7

Trang 12 Trang 16 Trang 16 Trang 17 Trang 18 Trang 19

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Qua thực tiễn, nhiều học sinh lớp 12 Trường THPT còn lúng túng khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Nhiều em giải bài toán nào thì biết bài toán đó, chưa có kĩ năng vận dụng, phát huy kiến thức đã học và trong nhiều trường hợp chưa biết cách phát biểu bài toán dưới dạng khác, giải bài toán bằng nhiều cách… Vì vậy khi làm bài tập trắc nghiệm khách quan mất nhiều thời gian do đó kết quả kiểm tra và thi không cao

Để giúp học sinh lớp 12 khắc sâu các kiến thức về phương pháp tọa độ nói chung và có kỹ năng giải nhanh một số bài toán Hình học giải tích trong không gian có yếu tố cực trị nói riêng, trong năm học 2017 – 2018 tôi đã viết

sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ năng tìm điểm trong không gian Oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị cho học sinh lớp 12 THPT” Để tiếp tục phát triển chuyên

đề này, năm học 2018 – 2019 tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị học cho học sinh lớp 12 THPT”.

II Mục đích; đối tượng; phạm vi nhiên cứu và thời gian thực hiện đề tài 1) Mục đích nghiên cứu:

Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 12 THPT thông qua các bài toán Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu

tố cực trị bằng câu hỏi trắc nghiệm

2) Đối tượng nghiên cứu:

Trên cơ sở lí luận của năng lực giải toán, áp dụng vào dạy học giải các bài toán Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu

tố cực trị cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông Từ đó phân loại và phát triển

hệ thống bài tập về Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12, đặc biệt là học sinh khá, giỏi

3) Phạm vi nghiên cứu:

Quá trình tổ chức dạy học Rèn luyện kỹ năng Viết phương trình mặt

phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12 THPT bằng bài tập tổng quát sau đó là thực hiện ví dụ dạng câu hỏi trắc nghiệm

4) Thời gian thực hiện:

Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện trong năm học 2018 – 2019 Đề tài

đã được đăng kí với tổ và đã được tổ duyệt, thông qua kế hoạch thực hiện đề tài Trong quá trình thực hiện đề tài đã được tổ dự giờ và khẳng định đề tài có chất lượng, đã được đồng nghiệp áp dụng trong giảng dạy

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nhiệm vụ nghiên cứu của SKKN bao gồm:

+ Đưa ra cơ sở lý thuyết về Hình học giải tích trong không gian Oxyz

+ Đưa ra một số bài toán về viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị

+ Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các bài tập tự luyện

IV Dự kiến cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, SKKN gồm

3 chương

Chương I Cơ sở lí thuyết

Chương II Một số bài toán Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị.

Chương III Kết quả và Bài học kinh nghiệm

======================

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm và tính chất

1) Định nghĩa và tính chất:

 Véc tơ u ( ; ; )x y z  u xi y j zk   

 Điểm M  ( ; ; )x y z  OM                             xi y j zk                             

 Vectơ 0 (0;0;0)

 Điểm Ax y z A; A; A; Bx y z B; B; B;Cx y z C; C; C thì:

 B A; B A; B A

AB x  x y  y z  z

và ABAB  x B  x A2y B y A2z B z A2

 Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:

2) Các phép toán: Cho ux y z v; ; ; x y z' ; ; ' '

thì:

 u v  x x y y z z ';  ';  '; kukx ky kz; ; ;

' ' '

x x

z z

 



   







 

'

'

0

x kx

z kz

 



 



3) Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ: Trong không gian Oxyz cho

 ; ; ;  ' ; ; ' '

u x y z v x y z

3.1 Tích vô hướng của hai véc tơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ u v , khác vectơ 0 Tích vô hướng của hai vectơ u v , là một số: u v  u v  .cos , u v  Nếu u  0 hoặc v  0 thì qui ước u v   0

Biểu thức tọa độ: u v x x   ' y y ' z z '; u v u v    0 x x ' y y ' z z '  0

Độ dài vectơ: u  x2 y2 z2

Góc giữa hai vectơ u v , khác vectơ 0:

cos ,

u v x x y y z z

u v

 

 

 

u  v  x.x’+ y.y’ + z.z’ = 0

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ và được tính như

' ' ' ' ' '

y z z x x y

 

Tính chất: u v,  u u v;  ,  v

     

II Phương trình mặt phẳng

1) Véc tơ pháp tuyến.

- Vectơ n  0 có giá vuông góc với mặt phẳng () được gọi là VTPT của mặt phẳng ()

- Nếu u v , là hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng () thì u v ,   n là một VTPT của mặt phẳng ()

- Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì                            AB AC,                 n

là một VTPT của mặt phẳng (ABC)

- Mặt phẳng () đi qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có một VTPT nA B C; ;  có phương trình: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ( ) 

Chú ý: Trong không gian Oxyz, phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với điều

kiện A2 + B2 + C2 > 0 là phương trình một mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là: n = (A; B; C)

2) Các cách viết phương trình mặt phẳng

Cách 1: Mặt phẳng () qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến n= (A, B, C) có phương trình là:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0  Ax + By + Cz + D = 0

Cách 2: Mặt phẳng () qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có hai vectơ không cùng phương u1, u2 có giá song song hoặc chứa trong () thì () có vectơ pháp tuyến

là n [u1;u2]

Cách 3: Từ phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 > 0), thường dùng khi trong giả thiết có khoảng cách, góc

Cách 4: Mặt phẳng () đi qua ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc

 0 thì () có phương trình:    1

c

z b

y a x

III Phương trình đường thẳng

1) Véc tơ chỉ phương.

- Vectơ u  0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng  được gọi là VTCP của đường thẳng 

- Đường thẳng  đi qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có VTCP ua b c; ; , khi đó

+) Phương trình tham số của là:

0 0 0

;( )

x x at

y y bt t R

z z ct

 







  



, t gọi là tham số

+) Phương trình chính tắc của  là: x x0 y y0 z z0 (abc 0)

2) Các cách viết phương trình đường thẳng

Cách 1: Đường thẳng d qua Mo(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương u = (a; b; c):

- Có phương trình tham số là: 















ct z

z

bt y

y

at x

x

0

- Nếu abc  0 thì d có phương trình chính tắc là:

c

z z b

y y a

x









Cách 2: Từ giả thiết tìm hai điểm phân biệt A, B mà đường thẳng d đi qua Cách 3: Đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng Nếu đường thẳng d thuộc hai

mặt phẳng phân biệt (), () có vectơ pháp tuyến là n1, n2 và có phương trình lần lượt là: Ax + By + Cz + D = 0; A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì d gồm các điểm M(x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình: 



















0 ' ' ' '

0

D z C y B x A

D Cz By Ax

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: u [n1 ,n2 ]

IV Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M0(x0; y0; z0) và

mp(): Ax + By + Cz + D = 0 thì:    0 0 0

0 ; Ax 2By 2Cz 2 D

d M

V Góc trong không gian

VI.1 Góc giữa hai đường thẳng: Nếu đường thẳng  có VTCP u ( ; ; )a b c và đường thẳng '

 có VTCP ' ' '

' ( ; ; )

u  a b c thì:

     

2 2 2 '2 '2 '2 '

.

.

u u aa bb cc

a b c a b c

u u







VI.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng  có VTCP

( ; ; )

u a b c và mặt phẳng () có VTPT n ( ; ; )A B C thì:

 

.

u n Aa Bb Cc

u n

u n A B C a b c

 

 

 

VI.3 Góc giữa hai mặt phẳng: Nếu mặt phẳng () có VTPT n ( ; ; )A B C và mặt phẳng () có VTPT '  ' ' '

; ;

n  A B C

thì:

   

2 2 2 '2 '2 '2 '

.

.

n n AA BB CC

n n

A B C A B C

n n











VI Một số bất đẳng thức cơ bản

Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ trong không gian, ta cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình đề cực trị xảy ra Khi đó ta cần khai

thác được các đại lượng không đổi (Đoạn thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng,…) để áp dụng các bất đẳng thức hình học cơ bản sao cho phù hợp với bài toán

CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN

YẾU TỐ CỰC TRỊ

I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN

YẾU TỐ CỰC TRỊ

Bài Toán 1: Viết phương trình mặt phẳng

() đi qua điểm A cho trước và cách M cho

trước một khoảng lớn nhất

H A

α

M

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi MA, theo các bước:

Bước 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ()

Bước 2: Ta có d(M, ()) = MH  MA (không đổi) Vậy d(M, ()) lớn nhất là

MA khi H  A hay () là mặt phẳng qua A và vuông góc với MA

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng () qua A và vuông góc với MA.

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz Phương trình mặt phẳng (): ax + by + cz + 5

= 0 đi qua điểm A(1; 0; -2) và cách điểm M(2; 1; 1) một khoảng lớn nhất Khi

đó a + b + c nhỏ nhất bằng?

Bài giải:

+) Ta có MA    ( 1; 1; 3)

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ()

+) Ta có d(M, ()) = MH  MA = 11 Vậy d(M, ()) lớn nhất là 11 khi H 

A hay () là mặt phẳng qua A và vuông góc với MA

+) Mặt phẳng () qua A(1; 0; -2), có một véctơ pháp tuyến n  (1;1;3) có phương trình là: x + y + 3z + 5 = 0

 Chọn đáp án D.

Bài Toán 2: Viết phương trình mặt

phẳng () chứa đường thẳng d và

cách M cho trước một khoảng lớn

nhất

d

M

H

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo các bước:

Bước 1: Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên d, H là hình chiếu vuông góc

của M trên ()

Bước 2: Ta có d(M, ()) = MH  MN (không đổi) Vậy d(M, ()) lớn nhất là

MN khi H  N hay () là mặt phẳng qua N và vuông góc với MN

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng () qua N và vuông góc với MN.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 5; 3) và đường thẳng d:

2

2 1

2





x

Gọi () là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ M đến () lớn nhất Khi đó () đi qua điểm nào?

A A(1; 1; 0) B B(1; 1; 1) C C(-1; 1; 0) D D(0; 1; 1)

Bài giải:

+) Gọi N(2a + 1; a; 2a + 2) thuộc d  MN  (2a 1;a 5;2a 1)

N là hình chiếu vuông góc của M trên d khi MN                            u d  (2;1;2)

 2(2a – 1) + a – 5 + 2(2a – 1) =

0  a = 1  N(3; 1; 4)

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên () Ta có d(M, ()) = MH  MN

= 3 2 Vậy d(M, ()) lớn nhất là 3 2 khi H  N hay () là mặt phẳng qua N

và vuông góc với MN

+) Mặt phẳng () qua N(3; 1; 4), có một véctơ pháp tuyến n   (1; 4;1) có phương trình là: x – 4y + z – 3 = 0

 Chọn đáp án A.

Bài Toán 3: Viết phương trình mặt phẳng ()

đi qua M, song với d và cách d một khoảng lớn

nhất

α

d

M

N

H

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo các bước:

Bước 1: Tìm N là hình chiếu vuông góc của M trên d, gọi H là hình chiếu vuông

góc của N trên () Ta có d(d, ()) = d(N, ()) = NH  MN (không đổi)

Bước 2: Vậy d(d, ()) lớn nhất là MN khi H  M hay () là mặt phẳng qua M

và vuông góc với MN

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng () qua M và vuông góc với MN.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; -1; 4) và đường

x y z

 Biết mặt phẳng (P) có phương trình x + ay + bz + c =

0 là mặt phẳng đi qua M và cách  một khoảng lớn nhất Tính T = a + b + c?

Bài giải:

+) Gọi N(a + 1; -a - 2; 3a) thuộc d  MN  ( ;a a  1;3a 4)



N là hình chiếu vuông góc của M trên d khi MN u d  (1; 1;3) 

 

 a + a + 1 + 3(3a – 4) = 0  a =

1  N(2; -3; 3)

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên () Ta có d(d, ()) = d(N, ()) =

NH  MN = 6 Vậy d(d, ()) lớn nhất là 6 khi H  M hay () là mặt phẳng qua M và vuông góc với MN

+) Mặt phẳng () qua N(2; -3; 3), có một véctơ pháp tuyến n    (1; 2; 1) có phương trình là: x – 2y – z – 5 = 0

 Chọn đáp án C.

Bài Toán 4: Viết phương trình mặt phẳng (Q)

chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P)

một góc nhỏ nhất

H A

B

d

Hướng dẫn:

Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.

Bước 1: Gọi  = (Q)(P), A = d(P), lấy điểm B trên d khác A.

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (P), M là hình chiếu vuông

góc của H trên 

Bước 3: Ta có: tanBMHˆ BH BH

  (không đổi) Vậy góc giữa (Q) và (P) là góc BMHˆ nhỏ nhất khi tan BMHˆ nhỏ nhất khi M  A hay (Q) là mặt phẳng có một VTPT là nu u; d  n u P; d ;u d



    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

         

Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng: cos(( ),( )) .

.

n n

P Q

n n



 

 

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz Cho đường thẳng d:

2 1

2 1

x











Gọi (Q)

là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất Khi đó mặt phẳng (Q) đi qua điểm nào?

A (1; -1; 1) B (1; 1; -1) C (-1; 1; -1) D (-1; -1; 0)

Bài giải:

+) Lấy hai điểm trên d là: A(1; -2; 0), B(0; -1; 2)

+) Giả sử mặt phẳng (Q) chứa d có một VTPT là: n ( ; ; )A B C



, với A2 + B2 + C2

> 0 Vì mặt phẳng (Q) qua A(1; -2; 0) nên (Q): Ax + By + Cz – A + 2B = 0, mặt khác qua B(0; -1; 2) nên A = B + 2C  n (B 2 ; ; )C B C

+) Gọi  là góc giữa (Q) và (Oxy), khi đó:

2 2

.

cos

  

 

 

 

 

 

Khi đó  nhỏ nhất  cos lớn nhất  f(t) = 2t2 + 4t + 5 nhỏ nhất  t = -1  B

= -C, ta chọn B = -1, C = 1  A = 1 Vậy (Q): x – y + z – 3 = 0

 Chọn đáp án A.

Bài Toán 5: Viết phương trình mặt phẳng

(P) chứa đường thẳng d và tạo với đường

thẳng d’ (d’ không song song với d) một

góc lớn nhất

d'

d

H A

B

Hướng dẫn:

Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.

Bước 1: Lấy điểm A cố định trên d, kẻ đường thẳng  qua A song song với d’,

lấy điểm B cố định trên  khác A

Bước 2: Gọi H, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên (P), d

Bước 3: Ta góc giữa d’ và (P) là góc BAHˆ : sinBAHˆ BH BM

  (không đổi) Vậy góc giữa d’ và (P) là góc BAHˆ lớn nhất khi sin BAHˆ lớn nhất khi H  M hay (P) là mặt phẳng qua M vuông góc với BM

Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng.

' '

'

sin( ',( )) cos( , )

.

u n

u n

 

 

 

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz Mặt phẳng (P): ax + by + cz – 7 = 0 chứa

đường thẳng d: x2 1y11z2 2 và tạo với đường thẳng d’: x112y z11 một góc lớn nhất Tính a + b + c?

Bài giải:

Bài giải:

+) Lấy hai điểm trên d là: A(1; -1; 2), B(3; 0; 4)

+) Giả sử mặt phẳng (P) chứa d có một VTPT là: n ( ; ; )A B C , với A2 + B2 + C2 >

0 Vì mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 2) nên (P): Ax + By + Cz – A + B - 2C = 0, mặt khác qua B(3; 0; 4) nên B = -2A - 2C  n (A; 2 A 2 ; )   C C

+) Gọi  là góc giữa (P) và d’, khi đó: