ĐA CD21 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 230 239

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

HƯỚNG DẪN GIẢI

CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM (ĐỒNG QUY).

21.1 (h.21.8)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta phải chứng minh MN đi qua O , tức là phải chứng minh ba

điểm M O N, , thẳng hàng

Ta có: AOBCOD (g.c.g)

 OA OC và  A C 

( )

MOANOC c g c  MOA NOC  

Ta có MOA MOC  1800 (kề bù)

Do đó ba điểm M O N, , thẳng hàng, dẫn tới

ba đường thẳng AC BD, và MN đồng quy.

21.2 (h.21.9)

Gọi O là giao điểm của hai đương thẳng

BM và AC

Ta phải chứng minh DE đi qua O

Xét ABC vuông tại A, B 600  C 30 0

Ta có: BOC180o 4003001100

Do đó: CMO 1800 1100100 600

Điểm C nằm trên đường trung trực của MD và ME nên CD = CM = CE

Ta có A1A2 A3 A4 60 0 CEOCMO c c c  CEO CMO  600

Xét tam giác CDE cân tại C có

   2   2 600

Vậy tam giác CDE là tam giác đều CED 600

Vậy CED 600 CEO 600

, hai tia ED và EO trùng nhau dẫn tới ba điểm D, O, E thẳng hàng Do

đó ba đường thẳng BM, AC, và DE đồng quy

21.3

Gọi O là giao điểm của các tia Bx và Cy

Ta phải chứng minh đường thẳng AM đi qua O Vẽ

Tam giác BOC là tam giác đều nên BOC60 10  

Ta có tổng AMB AMC BMC  3600

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng” Page 1

Hình 21.8

O

N

Hình 21.9

E

D

C B

A O M

A

O

M

K H

 3600 1200 1200 1200  2

Từ (1) và (2) ta tính được MBO MCO  180 0

Mặt khác MBO HBO  180 0

Nên MCO HBO (cùng bù với MBO )

Ta có KCOHBO (cạnh huyền – góc nhọn)

MOK MOH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

  120 : 2 600 0

Do đó AMC KMO 1200600 1800.

Suy ra ba điểm A, M, O thẳng hàng,

dẫn tới ba đường thẳng AM, Bx, Cy đồng quy

21.4

Gọi O là giao điểm của hai tia Ax và By

Xét ABO có  A B nên OA = OB, 

suy ra điểm O nằm trên đường trung trực d của AB

Vậy các đường thẳng Ax, By và d đồng quy

21.5

Gọi M là trung điểm của OA

Xét tam giác AOB có F là trọng tâm nên đường thẳng

BF đi qua trung điểm M của AO

Xét tam giác AOC có G là trọng tâm nên đường thẳng

CG đi qua trung điểm M của AO

Do đó ba đường thẳng AO, BF, CG đồng quy tại

trung điểm M của AO

21.6

Hai đường thẳng AB và CD không song song nên

chúng cắt nhau tạo thành một góc Hai điểm M và N nằm trong góc đó, cùng cách đều hai đường thẳng này nên chúng nằm trên tia phân giác của góc này Suy ra ba đường thẳng AB, CD, và MN đồng quy tại đỉnh của góc

21.7

Xét tam giác ABC có hai đường phân giác AD, CE cắt nhau tại O nên BO là phân giác của góc ABC Đường thẳng xy đi qua B và vuông góc với BO nên xy là đường phân giác ngoài tại đỉnh B của góc ABD

d

O

A

O M

Gọi Ax là tia đối của tia AD.

Vì BAC 1200nên dễ thấy A1A2 A3 A4 60 0

Xét tam giác ADC có AE là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, CE là phân giác trong tại đỉnh C nên

DE là phân giác ngoài tại đỉnh D

Xét tam giác ABD có đường thẳng AC là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, đường thẳng xy là đường phân giác ngoài tại đỉnh B, đường thẳng DE là đường phân giác trong tại đỉnh D Do đó ba đường thẳng xy, DE, và AC đồng quy

21 8

Điểm F nằm trên đường trung trực của DM nên FD = FM

Suy ra tam giác FDM cân tại F do đó FB là đường phân giác ngoài tại tại đỉnh của của tam giác DEF Chứng minh tương tự ta được EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh của tam giác DEF

Xét tam giác DEF có hai đường phân giác ngoài cắt nhau tại A nên DA là đường phân giác của EDF (1)

Mặt khác AF  B FAC FCA FAH BAH    FAB  DBDAnên DB là đường phân giác ngoài của

góc D

Điểm B là giao điểm của hai đường phân giác ngoài tại đỉnh F và D của tam giác DEF nên EB là đường phân giác của góc DEF (2)

Chứng minh tương tự ta được FC là đường phân giác của góc DEF (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra AD, BE, CF đồng quy

 Lưu ý: Nếu bỏ điều kiện nhọn của tam giác ABC thì bài toán vẫn đúng

21.9 Xét tạm giác ABC vuông tại A, AH BC nên  BAH ACB ( cùng phụ với góc ABC)

Gọi M là giao điểm của AO và CK, N là giao điểm của AK và BO

Vì K là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ACH nên ACK BCK

Xét tam giác AMC có

 AMC  CM AO

Chứng minh tương tự ta đượcBN AK

Xét tam giác AOK có AD, BO và Cklaf ba đường cao nên đồng quy

21.10

Trên tia đối của tia AD lấy điểm K sao cho AK = BC

Xét tam giác ADC có góc KAC là góc ngoài nên KAC D ACB  900ACB

Mặt khác BCE900ACB KAC BCE

Ta có KACBCE c g c  C 1E

Vì C1C 2 900  E C  2 900

Gọi G là giao điểm của BE và CK

Xét tam giác GCE có E C  2 900 G 900  BECK

Chứng minh tương tự, ta có CF AB

Xét tam giác KBC có AD, BE, CF là ba đường cao nên chúng đồng quy

21.11

Tam giác EAB vuông tại E, A1 450nên là tam giác vuông cân.

Suy ra EA = EB, Tương tự ta có FA = FC

Từ F vẽ một đường thẳng vuông góc với CE cắt d tại G

Gọi K là giao điểm cả đường thẳng EG với BF

Ta có AF  G FCE ( Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

 GFCE g  AG FE

 GEEFB  AGE

Ta có AGE AEG 900 EF BKEF 90  0  EK BF

Xét tam giác EFG có CE, BF và d là ba đường cao do đó ba đường thẳng này đồng quy.1

21.12

Tam giác ABC vuông tại A, AH BC nên  BAH ACB (cùng phụ với góc ABC)

Ta có CAH ABC (cùng phụ với góc ACB)

Xét tam giác AFC có góc AFB là góc ngoài nên AF  B FAC FCA FAH BAH    FAB

Suy ra tam giác BAF cân tại B do đó đường phân giác của góc B đồng thời là đường trung trực của AF

Chứng minh tương tự ta được tam giác CAE cân tại C do đó đường phân giác của góc C cũng là đường trung trực của AE

Ta có d//AH mà AH vuông góc với EF nên d vuông góc với EF

Xét tam giác AEF có các đường phân giác của góc B, góc C cùng với đường thẳng d là ba đường trung trực nên chúng đồng quy

21.13

Ta có  E F  DH EK  HBDKCE BD CE  BD AD  D

   

ABC vuông tại A ABC ACB 900

Mặt khác, BAD CAD  900mà ACB CAD nên  ABC BAD

Do đó, DABcân  DB DA (2) 

Từ (1) và (2) suy ra DB = DC Vậy D là trung điểm của BC

Xét tam giác ABE vuông tại A có AE2 BE2 AB2 25 16 9   AE3cm

Xét tam giác AFC vuông tại A có AF2 CF2 AC2  402 62  4 AF=2cm

Suy ra F là trung điểm của AB

Xét tam giác ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy

21.14

Tam giác ABH vuông tại H, có HM là đường trung tuyến nên

1 2



Suy ra

1 2



(vì HM = DM)

Do đó tam giác DAB vuông tại D

Tam giác ABC có BD vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên là tam giác cân tại B

 1

Xét HAC và HABvuông tại H có

;

mà HD = HM nên AC = AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA do đó tam giác ABC đều

Trong tam giác đều ABC đường cao AH, đường trung tuyến CM cũng là đường phân giác Suy ra

AH, BD, CM đồng quy