Điện động lực học. Tập 1, Phần 1 Điện động lực học không tương đối tính

Các đại lượng này nói chung là những hàm của tọa độ và thời gian , tuy VẬV chúng không biến th iên m ột cách bất kỳ m à tuân Iheo những qui luật xác định.. Ví dụ, định hiậl Couloinb th

' j i ■ ’

-K-"■K

'G iá o t r ìn h n à y đ u ợ c v i é t d ự a t r ê n c ơ s ỏ c á c b à i g iả n g v è Đ i ệ n đ ộ n g l ự c h ọ c c h o sin h

Đè đọc được phìỉn I cùa giáo t r ìn h người đọc căn biét những kiến thức cơ bàn vẽ

g iả i t íc h v e c t ơ N h ữ n g k iế n t h ứ c v ề g iả i t í c h t e n x ơ c à n d ù n g c h o p h à n I I đ ư ợ c v iỂ t k è m

t h e ơ n ộ i d u n g c ù a g i á o t r in h Đ è t h u ặ o t iệ n c h o v i ệ c tr a c ử u , ỏ c u ỗ i s á c h c ó b ả n g tó iỊi tâ t

2 G iá o tr ìn h đ ư ợ c x â y d ự n g m ộ t c á c h h ệ th ố n g v à đ ầ y đ ủ c á c c h u ơ n g c ủ a m ôn Diệm đ ộ n g - l ự c h ọ c , b á t đ à u t ừ Đ i ệ n đ ộ n g l ự c h ọ c c á c m ò i t r ư ờ n g đ ứ n g y ê n v à k é t th ú c

x ìn g Đ i ệ n đ ộ n g lự c h ọ c c á c m ô i t r ư ờ n g c h u y ê n đ ộ n g

3 T r o n g m ỗ i c h ư ơ n g đ ẽ u c h ú ý c h u ẫ n b ị c á c k iế n t h ứ c c ơ b ả n v ề lý th u y ế t tr ư ờ n g tiệ n t ù v è đ ịn h t ín h c ũ n g n h ư đ ịn h lu ợ n g n h à m p h ụ c v ụ c h o v ò n g v ậ t lý c h u y ê n đ è.

4 G iá o t r ìn h n à y c ó t h ề sử d ụ n g là m t à i liệ u th a iĩi k h ả o c h o s in h v iêQ c á c n g à n h

h ọ c c ơ b â n v à n g h iê n c ứ u s ìn h c ả c n g à n h h ữ u q u a n

C u ố i c ù n g t á c g iả x in c h â n th à n h c á m ơ n đ ồ n g c h í N g u y ê n H o à n g P h ư ơ n g , đ ồ n g c h i gu^yèn K h a s g C u ò n g v à c á c đ ô n g c h i t r e n g b ộ ;n ô n V ậ t l ý lý t h u y é t tr ư ờ n g Đ ạ i ' h ọ c T ồ n g

ọ p H à n ộ i đ ã g ó p n h iS u ý k iế n q u ý b áu t r o n g v i ệ c x â y d ự n g n ộ i d u n g c u ố n sá ch n à y )ậ c b i ệ t đ ô n g c h í N g u y ề n H o à n g P h ư o n g đ ã v i ẽ t c h o p h ă n p h ụ lụ c « V è c á c p h u o n g

h áp b i è u th ị n g u y ê n ly t ư ơ n g đ ồ i q u a c á c p h ư ơ n g t r in h t r ư ờ n g đ i ệ n từ » n h â m n â n g c a o

inh hiệQ dịi cùa giáo trình.

N G U Y Ễ N V Ă N T H Ỏ A

PHẦN í

D l ậ t ĐỘNG LỰC HỌC KHÔNG TƯƠNG Đ ố l TÍNH

■ Cho đến nay chúng ta đã biết trong thiên n h i é n lòn lại bốn d ạ n g tương tác

;ơ bản: lương lác m ạnh, tương lác yếu, lương lảc hắp dẫn và tương tác điện lừ

^ự't’ li.ưniị> tác inạiili clủ xiiấl hiện ở khoảng cách ](r*®/jỉ, ở khoảiifỊí cách nhỏ han

chúng mạnh hơn lương tác điện từ khoẵng 1 0 0 lần, ở khoảng cách xa liơn

*húnj4 lầu như bâng kliông Vi vậy tương tác, mạnh chỉ lòn tại giữa các hạt cơ

■ bâtn vàđóni- vai trò cluì yếu Irong viéc lạo thành hạl nhân Tương tác yếu cỉủ

^nãit hièn trong quá Irình chuyễn hóa l ác hạt CO' bản Khi các liạl rời xa nhau, lực nà7 không còn đóng vai trò gì nfra Tương tác hăị) dẫn trong thế giới vi mô Uiy là tirơng tác lầm xa nhưng lại rất nhỏ 80 V('ri tirơng lác điện lừ tìối với Meicttróa tươDịí tác hẩp dẫn yếu hơn tương tác điện lừ khoảng 10^^ lầii Vì vày tư(;)i'ig :ác' liấ Ị ) dẫn cliỉ đóng vai trò quan trọng trong tiiiên văn họf và vũ trụ liỌ(

mà !llià.

0’ khoáng cách lớn liơn kich thước của hạt nliân nhưng lại iiliỏ hơn kích thiirỏvc trong (hiẻii văn lương tác điện lừ đóng vai Irò chủ yếu Lực điện lừ có kliiii Iiíing đirii kliiỄii cliuyềii động của các liạl licli dÌỊMi và vứi mộl điện iượiig^ nhò CIU vật ticli điện có tliễ l)ức xạ một năng lirọiiỊ^ điộii từ đánfj kề vào Irong

k h ò n y gian, vi v(iy các (ịuy luậl điện từ đưọc iri)g dụiig rấl rộng rãi Iroii^í khoa liọ( ; ỊcỸ lliuậl liiện đại Từ kỹ lliuậl diều khiễn các liạl lich diện trang các mủy uổc đến phương pháp giir piasma nóng đễ điều kliiền phân *ửn<í nliièt liacb

tử lk'v tluiật điện đến điện lử học, lừ sự lạo Ihành các vành đai bứt: xạ của trái đấli (đ^n sự bức xạ điện lừ của các siéu sao, không đàu là không Ihấy các iiiện lượng điệ n từ Vi vậy nghiéii cứu về điện tử là rất quan Irọng đẽ hièu bit’í các quy luíìt

i ủ a lU' nhiên.

c ư ờ n g đ ộ t n r ờ n q d i ệ n n,, veclơ c ả m ứ i ụ i đ i ệ n D, v ec tơ ciTỜntỊ đ ộ t r i r ò n g t ừ 11

và vectơ câm ứng từ B Các đại lượng này nói chung là những hàm của tọa độ

và thời gian , tuy VẬV chúng không biến th iên m ột cách bất kỳ m à tuân Iheo những

qui luật xác định Các quy luật nàv đư ợc phái biêu dưới dạng các phương Irinli Maxwell mà chúng ta sẽ nghiẻn cứu sau này.

Lần đàu tiên các đinh luật điẻn lừ đ ir o c thiết lập dưứi dạng các ỉiệ thức cỏ iiên quan đến các điẽm khác nhau của không gian Ví dụ, định hiậl Couloinb thiết lập lực tác dụng giữa các điện tích đặt ở các điễm khác nhau trong khòng gian ; định luật Ohm xác định hệ thức giữa các đại lượng liên quan đến một đoạn dây (iẫn có độ dái xác địnli v.v

Các phương trinh Maxwell phát bièu các định luật điện lừ dmVi dạng các

hệ Ihửc líén quan đển rnột diễm của không gian và thời gian Vi vậy, đê thu dỊrực

|)hương trinh Maxwell la cần phải pliảt biễu các định luật điện lử ở tại một điềm

của kliòng gian, tức là viết các định luật ấy dưới dạnfỉ vi phân.

Các đại lư ợ n g e và ỊJI g ọ i là các h ệ s ổ đ i ệ n t h ầ m và l ừ t h ằ m Các hệ s ổ niiỴ n ó i

chun^ là các hàm của tọa dộ, thời gian và cirờng độ trường điện từ ; tuy nhiên đề đơn giản, tronị* giáo Irinh nàj’ (trừ những mục đặc biệt sẽ nói riêng) ta giả tliiết

6 và |i là các hằng số.

Trong hệ đơn vỊ Gauss càc đại lượng điện đo bằng CGSE và cácđại lưựnf{

từ đo bằng CGSM Trong hệ đơn vị này thử nguyên của các đại lirợng E , D ,H , B nhu Iihau, còn các đại lượng e và (a không có thứ nguyên Như vậy Irorig chân không vectơ D lrú')g với vectơ E, vectơ B Irùng với vectơ H Tuy nhiên khi đó nhièu đơn vị đo hrờng của các đại lượng điện lừ trờ nên suy biến và không được

sử dụng trọng thực tế Hệ đơn vị được sử dụng trong thực lể ià hệ SI, hệ này

chinh là hộ MKSA (tẵ đirọc hựp Iv hỏa, tr(*n cn' S(V đổ các đni liirrng điện tử (ĩirợo

đobằnff nii-t (m), kỉlôiiain {k-Ịi), Ịiiăiiixt-c) và A m p v r t (A).

'I rong hệ SI A m p è r e ià cmVn^ độ của (lònfỊ điện không đôi chạy qua hai

s»/i (iàj' dẫn song song có độ (iài vò hạn và liết diện khòiig đáng ke đạt cách Iihau ljn ờ Irong chân khòng và lác độnjĩ lén nhau một lực bằng 2 1 (r^ N cw to n Irên

m ộl mí‘t.

Mặt kliác nếu ta coi dòng điện / sinh"ra là do sự liiay đôi điện iưựng q

trong mộl khoảng kliỏng gian nào đó theo Ihừi gian, tức là

( o , thi rõ ràng điện lưọTig có thử nguvên là l s r c

Như vậy một dòng điộn có cường độ là I.l chảv trong 1 Sfc thi cho ta

m ội điện lirợiig bằng 1 l.sec hay là 1 C o u h in b (C).

§ 2 ĐỊNIỊ LUẬT COULOMB, PHƯƠNT, TRÌNH ^íAX^VELL I

ỉ Đ ị n h luật Coulomb

Bịnli luũt Coulomb xác định lực F lác đọng tưong liỏ giữa hai điện lich

đi^m 7 và ({' nẳm troiig một mòi tmvờng đồng nhấl cb hệ sổ điện lliàin e

Trên cơ sử Iv lliuv^t trường quá trinh tưong tác giũa hai điện lich 7 vá l ị '

I'(ỏ tliê giải Ihícli nliir Síiu :

BỊnli luậl Coulomb được phảt bièu đối với các điện tích điêm Tuy nhiên bi^ii

gọi là vectơ cảm ứng điện Đối với điện tỉch điêm la có

D = ^4n n r4 - - ■ ’ (2.B) Biều thức (2.6) chứng* tỏ rằng veclơ cảm ửng điện chỉ phụ Ihuộc vào sự phân bố điện tich Irong khônịT gian mà không phụ thuộc vào môi trường Trong chân không cũníỉ nhir trong mói trường, ở những khoảng cách như nhau đến các điện lích điềm, vectơ cảm ứng điện (hay còn gọi là vectơ điện cảm) có những giá trị nhir nhau.

Còng Ihức (2.6) và (2.3) chứng tỏ rằng cảm ứng điện đo bằng Conlomb trên

2 Địah Inệt t la h di«n Gause

Chúng ta tinh Ihỏng lượng cùa vectcy điện cảm D qua mộl mặt kín s bổt

kỳ bao quanh điện tich q, lức là tim đại lượng

N = ( ) D ÍÍS ÍÍS = n f/6’ , » (2.1 0)

Thay (2.6) vào (2.10) la được

ở đây d S ’ ià hinh chiếu của dS lẻn mặt phẳng vuòng gổc với r Mặt khác ta biết

phần tử mặt vuông góc vứi vecto’ bán kíiili r và chắn phằn tử gỏc khối (/Q bằng

N ếu chúng ta có một tập họp các điện lích điêm Ợi thi vectơ điện cảm D

sẽ bẳng tông các v eclơ điện cảm D i do các điện tích riêng biệt gây nên

Bi^ii phát bỉ^ii trên đirực suy ra từ thực nghiệm và gọ i là tn ju y ê n lị] ch ồ n q c h ố t

Hệ quả toán học của ngiiyẻn lý cluiiifí chái ở đây là phưong Irinli điện độiig lực học được Ihiết lập đ ối với vecto' điện cảm D phíii là phương trinh tuyến tínli- Như vậy thông lượng cùa vecíơ điện cảm D qua mộl rnặt k h ép kin s trang

đó có chứa các diện tich í]ỉ bằng

.V = ( ) D(/S = ( ) D ids = ^ r/i ^ (2.16)

Bièu thức (2.16) được pliíil biếu như sau :

Thõng lưựng của veclơ điện cảm qua một mặt khép kin bằng tỏng đại

số cảc điện tícli nằm Irong mặt đó và tliưừng đư ọc gọi ỉà định iv lĩnh điện (ìauss.

2 Phưcrng t r ỉ n h M a x w e l l I

Nếu tập liựp cáo điện tich 7i phân bổ một cách lién tục trong không gian thi mật độ cùa cliúng cỏ Ihè viết như sau

lin, ^ = 4 - AV-^0 AV d V

(2.17) Nếu tập hợp các điện licli í/i phân bố khỏng liên tục trong không ^ian vá là các điện lich điềm thì m;ĩit độ điện lích sê bằng oo ở những đi?m có điện tích vả bằng không ở tất cả các điSm khác Khi đó ta có Ihề biều diễn mật độ điện ticli dưới dạng hàm della

t ứ c là thông lirọnịị của v cc tơ D qua m ộ l m ặl khép kín s bằng lích phân Giỉa VD

th e o thẽ tic h V bị mạt iS' bao bọc.

Thay (2.23) vào (2.22) !a đưọ'f

V

Bẳng thức (2.24) đúng với híil kỳ Ihế tích V nào đirợc chọn, vi vậy hàm ở tronịỊ

lích phân cũng phải bẳng khòiig Tử đó suy ra

Hé lỉiức này là một trong Iiliững pliirơng Irìiih Maxwell (phương trinh I) Từ hẻ thức này la suy ra: nếu p = 0 Irong th(ì tích F nào đó, thi theo công thức (2.23) Ihõng iưọng của vecUv điộn cảm D qua mặt s bao bọc the lícli V" đã clio, sẽ bâng không Điều đố chứng tỏ rằng, đường sức cila D khỏng bốt đău mà cũng không

kểt, thúc ở Irong Ihe lích V, hay nói cách khác, trong lh& (ich y khòng cố nguòn

của vectơ D Nếu thôiig lưọng (ủa veclo' D qua mặt Ẳ' lớn hơn khòng thì đường

s ú c của p sẽ bắt đầu ở troiig lliẽ tích V ; theo (2.25) Ihi điều đỏ có nghĩa là trong Ihẽ tír.h V có nguòn cùa vcclơ D và nguồn là dương p > 0 Cũng lý luận tương ÍIỈ’ như vậy, nếu Ihỏiig lưọng của vectơ D qua niìit *s nhỏ hơn khỏng thì iiỊiịuồn của vectơ D trong thề tích V’ sẽ là âm, p <: 0 Do đỏ la có lliế kết luận rằng inỳl (Jộ điện tích p là iiẸíuòn của veclo' diện cảni D.

§ 3 BỊÍ^H L U Ậ T I)ỜN(i 1’()ÀN IM:ẦK, PHƯƠNCr THÌNH MAXWELL II

1 P h ư ơ n g I r l n h l i ê n t ụ c

Trẻn cơ s ả Ihựo nghiệm người la suy ra định luật bảo toàn điện lích; định

luật này được pliál bièn Iibii' sau; Sự biến lliiêii của điện lưọTig (Ị náo đó trong

m ột thê lích V' cho trưỏc trong một đơn vị Ihừi gian, sẽ sinh ra mỏl dòng điộii chảy qua mạt s bao lfie l.cli V vứi cưừhg độ bằiig

dt

/ = ( ) j í / s , <7= ọdV, (3.2)

j là m ậ t itộ (ỉòng điện, p là m ậ t độ đ iệ n tích Dấu trừ trong công Ihức (;5.1) chứng lỏ rẳn?, nếu điện lượng q Irong thễ tich V giảm đi thì dòng điện sẽ chảy

ra ngoài mặl s, tức là cỏ chiều ciương.

Thay (3.2) vào (3.1) và áp dụng định lý Gauss đổi với veclơ j ta có

V

Vì đẳng thức (3.3) đúng với bấl kỳ Ihề tich V được chọn, nên bièu Ihức ở trong

tích phân cũng phải bằng không

(3.4)

Phươn^ị trinh (ẩM) là biều (hức toáh học của định luật bảo loàn điện lich viếl

dưới dạng vi phân và được gọi là phiỉơn<j tr in h liên tục đối vỏ! điện tích.

2 D ò n g điện dịch

Đối với dòng điện không đồi,-mật độ'điện tích p tại mỗi điêm của khoảng không gian đã cho khòng phụ thuộc vào thời gian, vi vậy phirơng trình lién lục (.'5.4) có dạng sau

Plurơnfỉ Irinh (3.Õ) chửng (ỏ rẳng đườnp sức của dòng điện khơng đồi» không cỏ dii^m xuất phát và đ iím cuối cùng Nhũng đường sức đó hoíỊc knép kiii, hoặc đi ra xa vô cực.

Trong trường họp dòng điện biến đòi, đường sức của veclo' j không phải

của chúng bát đầu và kết thúc h hai bản của tụ điện, nơi mật độ điện tích biến

đôi theo Ihời gian.

Vì mật độ dòng điện j liên quan đến sự chuyền động của các điện tích nên

ta gọi là dòng (tiện dẫn Mặl kliác giữa hai bản cua tụ điện không có điện lích

chuyẽn động, vì vùy không có dòng điện dẫn Nhưng trong klii đó dồiiịí điện vẫn

cíuivẽii vân liên lục ờ Ironịỉ m ạ c l i ; do đ ỏ ta cần phiíi giả tỉiiếl rằng giữ a hai bản

của tụ điện có một quá trìnli nào (Jó tương đirơng vói sự có mặt của dòng điện dẫn.

Ta nói giữa hai bản của tụ điện có tồn tại dòng đ iệh dịch, dòng điện này

kliép kín dòng điện dẫn trong mạch.

Bề thu đưực biễu thức toán học của dòiìg điên dịch ta lẩy đạo hàm llieo Ihời gian liai vế của phương trinh Maxwell I

làm Iiliiệni v ụ k h é p kín d ò n g điệ n dẫn và g ọ i là m ậ t độ (ỉỏrìỊỊ điện dịch.

3 ừ í n h l a ậ t d ó n g toAn p h à n, ph ưo r a g t r ỉ n h M a x w e l l II.

Tiong Inrờng liợp dòng điện khòng đôi, định luật dòng toàn phần đưọc phát biêu như sau :

Lưu thông ciìa vectư cưừiig độ trường từ H dọc theo một vòng khép kín bằng tồng đại số cỉia các đòng điện chảy xuyên qua vòng khép kín đó.

Về mặl toán học định luật dòng toàn phần đirợc viết dưới dạng sau

ở đây, I là lổng đại số của các dòng điện chảy xuyén qua vòng khép kin I Tích ỵ

phân vòng lẫy theo qui tắc vặn đinh ốc Ihuậii so vói chiều của dòng toàn pliần.

Nếu vòng khép kin ỉ không bao quanh mộl dòng điện nào cả thì lích |)hí&n

(3.'Í2) tất nhiên sẽ bằng khỏn ^; còn nếu vòng kin / bao quanh một lập liựp c:ác dòiig điện /k thi biều thức sẽ được viếl dưứi dạng sau

ờ đày, (is là pliìĩn lử của mặt Ắ’ đưọc l)d0 bời vòng kín /.

Nếu các (lòng điện ly phân bổ khòiig liỗn tục trong vòng kín / và là cíác

(iòug dạng SỌ'Ì, (hi mậl độ dòng điện /k sẽ bằng oo ử cúc điễm dòng chảy qua wà háng khòng èr ,lâì cả CÚI' điêm khác Khi đỏ ta v ó Ihễ biêu diễn mật độ dùng điể>n dưới dạng hàm delta, lưưiig lự như ử (2,18)

| j l = ^ / , 8 ( r - r O , ' ( 3 1 5 )

k

ử đây, Tk là veclơ bán kinh cíía các điễm mà cúc dòng điện lỵ cẳt mặt s *

Trong cả hai trường hựp (3.14) và (3.15), dòng điộn toàn phàn phải bằnig lícii phân của mật độ dòng điện Iheo diện tícli i do vòng kín / bao quanlli,

vì vẠy

j í / s / =

Hệ Ihửc (3.2()) là một trong nhĩrng phương trinh Maxwell (phương trình II)

P h ư ơ n g trình này là biều thức toán học của định luật dòng loàn phần viết dưới dạng vi phân, Như trên ta đã biếl định luật dòng toàn phẫn dược phát biễu đối vứi dòng điện kliòng đồi và vì vậy pliương trinh (3.20) éũiig clil đúng vủ'i dòng điệu kliông đôi.

Bối V(Vi dòng điện biến đôi như ta đã biết, ngoài (ỉòng điện dẫn còn có (Ỉòiỉg diện dịch, dòng điện này thtio Maxweli cũng gây ra xung quanh nó inộl Irườiig tir xoáy nhir đòng điện dẫn và vi vậy phương trình (3.20) căn đirợc tỏng quúl liỏa dưới dạny sau

d ầ u và điềm kết thúc Do lính chấl liên ụn- của đường sức từ nên số đường sức

đi vào J)ên trong mội mặt kín 6' hẩt kỳ nào đó phải bằng sổ đường sức đi ra kliồi mặl kín áy Xhư vẶy số đưừng sức tông cộng đi qua niộl mặt kín nào đó

sẽ ỉiằng khỏng

Trường từ lòn tại xung quanh và bên trong các vật nliiềm từ là do sụv cỏ mặt của các dòng điện vi mỏ bên trong vật gây ra Trường từ lòng cộng của cảc dòng điện vi mỏ ấy lạo tliành trường từ chung của VẶỊ nhiễm từ Vì biễu tìhức (4.1) đúng với Irường của mỗi dòng điện vi mò, nêti theo nguyên lỶ chòng chất

nó cũng đúng vứi trường của toàn tliễ vật iihiốm từ Biễu thức (4.1) có Ihễí áp dụng cho trường họ'j) tòng quát kiiỏng kề Irườiig sinh ra do các dòng điện hay các v;U nhiếni Ixr Vứi Ý nghĩa rộng rãi như vẠy biêu thức này được gọi là nguỉyôn K’ về lính liên tục của lừ thòng.

Áp dụng định lý Gauss, đối với vế trái của (4.1) ta được

V

* ở đây, V là lliẽ tích giới hạn bửi mặt s.

Vi (4.2) đúng với bẩt kỳ thê lích V nào đưực chọn, nên ta có

Ilệ thức (4.3) là biễu (hức toán học của nguyên iý V Ế tinh liên lục củai tử thông viết dưới dạng vi phân và là niột Iroiig nìiững phương trinh Maxwell (phuờng trình III).

So sánh (4.3) với (2.25) ta dễ dàng thăy sir khác nhau giữa Irường từ và Invờng điện Đường sức ciìa vectư- D có nguòn, nguòn của chúng là các điện tích

tự do v à ch ú n g chí liôn tục ở n h ữ n g chỗ không c ỏ CÍU' điộn tich áy tõn lại.

tìưừng sức của veclơ B không có nguBn và chúng liên lục ở bẫt kỳ chỗ n à o

§ 5 BỊNH LUẬT PARADAY - PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL IV

Nếu qua một mặt s giới hạn bởi một khimg dây cỏ sự biến thiên của lừ Uiông theo thời gian, thì trong khung dây đó sẽ xuất hiện một sức diện đ ộ n g

Sức điện động cảtíi ửng ổ có thề xem như lưu thông của véctơ trường điện tlteo v ồ n g dây dẫn /

\

Tlieo (2.8) sức điện động (5.2) dirợc đo bằng Vuỉt

Ảp dụng định lý Stokes (lối với vế Irái của (5.7) và chú Ỷ rằng mặt lich phân s khổng phụ ihuộc vào thời gian, fa có

Hệ thức (5.9) là biễu thức toán học của định luật

cảm ứng Paraclay viết dưới dạng vi pliân và là một Irong

những phương trình Maxwell (phương trinh IV).

Dấu trừ ở vế phải (Õ.9) chỉ ra rằng' tốc độ biến

đồi của vectơ cảni ứng từ và sức điện động cảm ứng

trong vòng kín tạo thành hệ vặn đinh ốc trái chiều

Đây là hai phương trình co bản nhất của Irirờng điện lừ, được xây dựng

và phái triên dựa trên định iuịit dòng toàn phaii và định luật cảm ứng điện từ Paraday.

Khi trinh bày hệ thống phưong li-ình Maxwell ngưừi La Ihưừng kề thêm cả hai phương trinh sau

Hai phương Irình này cũng là hai plurơng trinh cơ l)ản mà ta đã khảo sát

ở các đoạn trên Thụx ra hai phương trinh sau này cũng có thê rút ra từ hai phương trình (6.1) và (6.2) Lấy dive hai vế của phương trình (6.1) ta được

ở đây f là hàm chỉ phụ thuộc vào tọa độ, không phụ thuộc vào thời gian.

Chúng ta giả thiết rằng ở thời điẽm t nào đỏ, coi như thời diếm ban dầu,

Irưừng chưa dược thành lỳp ờ trong khoảng kliỏiig f4Ìan đã cho, nghĩa là p s 0,

D ơ, ụ D SE u, do đó f ( x , y, ?)=:() Vi rằng f không phụ thuộc vào Ihừi gian nên

nếu nó bẳng không tại một Ihời điếm t nào đ ó thi nó cũng phải bẳng không tại tất cả các thời điếm khác

f ( x , y, z ) = t).

Khi phương írình (6.5) có dạng y D = p.

Tức là chúng ta thu được phương (rinh ((5.3) Tương lự như ử trên lấv dive ha

vế của phương Irìnli (ÍỈ.2), sử dụng ‘đâiig thức ụ (v X E) = 0 ta được

Ụ

lìrđ ỏ ) suy ra y B ~ l\.v, IJ, z ) (G.(i)

Gững 1; lý luận hoiin toàn lirong tự nliư Irén chúng ta lliẩy rằng f { x , g , z) Ythẳi hằng

khôngg ở tại líít cả các lliòi điem Do đó ụB = 0, lức là la lliu được phương trinh (G.4).

Nlnr vá}', nểii kê-đến ý nghĩa vật lý ciỉa Irưừng điện từ, chúng la c ó sáu phimirng Iriiili (lộc lựp (íi.l) và (6.2) với l õ ấn sd E, D, B, H, j Đẽ xúc định IT) ẫn

số đ ó ó ta cần 1)0 siin<> vin hệ Ihống ((5.1) và (6.2) chin phưưng trinh sau

D = D (E), B = B (H), j = j (E) (6.7)

Các pliưưiiịí trinh đỏ gọi là các p h ư ơ n tị trìn h ìièn hệ Các pliirơng triiili

liên hhộ ((i.7) cho phép la loại Irừ cácần số D, B, j ra khỏi liệ tliổng(6.1) và (6.2) Khi đđó cliúng ta còn sáu phương trình vứi sáu ần số E và H.

Như vậy, nếu kễ cả các phiiưiif> Irinli (6.3) và (6.4) chúng la có hệ các phươơng Irinli Maxwell sau

đưạcrc tiến liànli nliư sau ; giả thử có hai n g h iệm khác nhau, vì phương trinh

Maxxwell ià luyến tính nên hiệu của hai nghiệm đó cũng phải là nghiệm của pliương Irinhh Maxwcll với cảc điều kiện ban đầu, các điều kiện biẻn bằng không và điện tích bẳng không.

Từ đó sử bièu lliức nỉỉng lượng của trường điện lừ và định luật bảo toàivi năng lượng mà la sè thu được ỏ' Ịị 9, chúng ta kết liùin rằng hiệu của hai nghiiệm 4ó phải bằng không Điều đó có nghĩa là hai nghiệm đó phải trùng nhau, hay nỏi một cách khác, khi thỏa mãn những điều kiện trên các phương tdnli Maxĩwell có một ngliiém duy nhẩt (xem cliửng minh ở §12).

§ 7 CÁC PHƯƠNG TOỈNH LIÊN HỆ

Các hiện lượng điện lừ ờ trong châii khộrig cũng như ở trong mòi trưởng đưọrc xác dịnh bởi cúc pìiưưng triníi Maxwell (6.8) — (6.11) trong đó các đại hrợing D, E, B, H, j^đirực iiên hệ vửr nhau bởi các phương trinh (6.12^ Dạng cụ

thễ của các phirơng trinh này phu thuộc vào tính chăt của mỏi trirờng Trong chân không chúng cỏ dạng

Chúng ta sẽ xét các mồi trường trong đó các vectơ D và E, B và H, j và E

song song với nhau Các môi trường như vậy gọi là các môi trirờng đ ẳ n y hỉiớng-

Các đại lượng 6x và [Xi gọi là hệ số điện th ă m tư ơntị đ ố i và hệ số từ t h ầ m

tương đối củạ môi Irường.

Nói chung hé số điện thằm tương đối 6r luỏn luôn lớn hơn 1 Bổi với phần lớn các chát, hệ số từ thầm tưong đối (JL, OK 1 ; các cliất có |ir ]> 1 gọi là cảcchất

t h u ậ n i ừ , cảc c iiấ l c ó Ịir < ; 1 g ọ i là các Chat l ự i h ị c h t ừ , cúc cliỉit c ó > 1 gọi là

cảc chỗt sắt từ.

Dựa vào độj[dẫn điện ơ người la chia các chất ra làm hai loại : các chất

dẫn đ iện và các chất cách điệ/i Trong nhieu M i toán của lỶ thuyỂt trưừug điện

từ với độ chỉnh xác cho trưởc người ta có thê sử dụng kliái niệm các chấl dẫn điện lỷ tưảng (ơ -♦ o ) và các chấl cácli điện lý tưởng (ơ - ♦ 0) thay cho các chăt dẫn điện và cảc chíít cách điện có lliực Khoảng giữa cảc chăt dẫn điện và các

cliát cách điện là các cliất bán diĩn điện, các c.-hầt này chúng ta sẽ ỉé t ở

chương VII.

Các tlíam số v ĩ m ỏ ‘e, ạ, ơ Irong phẫn lớn các trirờng liợp có thễ coi n^ư

không phụ tliuộc vàe cường độ cụa Irườiig .

Khi đó các hệ Ihức (7.4) là tuyến tính và do đó các môi trưừng tương ứng

được gọi là các inôì trư ờ n g t u y ể n tính.

T u y n h iê n cũ n g c ó nh iều môi I rư ờ n g I ro n g đ ó c á c th a m sổ e, |JI, a p h ụ th u ộc

vào cường độ của Inrờng Chúng đirợc gọi là các m ôi Inrở nq p h i t u y ỉ n

D = e(E)E ; B = ^(H)H ; j = ơ(E)E (7.6)

' Tinh chất phi tuyến của nhiều mỏi trường đirợc biêu hiện rổ rệl ở trong

trường mạnh Ví dụ đối với các điện môi e(E) la cỏ thẽ phân licli ra chuỗi Taylor như sau'

Khi đ ó hệ thức (7.6a) và các điện môi đã cho Irở Ihànli tuyến tinh.

Tương tự nhir vậy la cũng có thế tuyến linh hỏa các hệ Ihức (7.6b) và (7.6c) trong trường điện và trirờng lừ đủ yếu.

2 Các m ớ i trưồrng k h ố n g đ ẳ n g hưórng

ở m ục trên chúng ta đ ã nói về các môi trường đẳng hướng, tính chất của

các mòi trường này đối với Irường điện từ là như nhau theo mọi phương Thay một trong những hộ thức vectơ (7.4), vi dụ (D = eE) bằng ba hệ thửc vỏ hướng

= e f i ^ , D y ~ s E y , D z = e E z , >• ( 7 9 )

la thăy rằng cúc hinli ciũếu của veclơ D chỉ pỉtụ thuộc vào các hinh chiếu cùng

; tèn của vectơ E.

! của trường điện từ Các môi trường đó gọi Jà các mòi trường không đẳng hướng

, hay d ị Aướ/ííy.|Nếu tính dị hướng xuất hiện trong trường điện, thay cho (7,9)

i ta c ỏ

Mỗi hinh chiếu của vectơ D ở đây phụ Ihuộc vào ba hình cliiếu của vectơ

E Rõ ràng trong tnrờng hạp này òác vectơ D và E khống song song với nhau.

Nếu ta ký hiệu các chi' số X, y , z là 1, 2, 3 ta có thê viết (7.10) dưới dạng

tenxơ n h ư sau :

= e“Piỉp, a = 1, 2, 3 ■ (7.11)

ỏ ’ vế phải (7.11) có hai chỉ sỉí fi, một trên, mộl dtrửi Các ch ĩ 8Ò' đi thành đôinhir

vậy gọi là chỉ sỗ câm và theo quv ước la bỏ các dấu lỗng tíiili theo chúnị đê

cho biếu thức được gọn ỏ ’ đây, lấy tồng Iheo p từ 1 đến 3.

Đại lượng

g i i g i2 e i3 ^

■ 31 g32 g33

(7.12)

là t e n x ơ d iện t h h n của mỏi trirờng dị hướng đã cho.

Tương tự như trên, la có Ihê làm đối vói các phưong trinh khác của (7.4)

Các đại lượng Ịi.“P và ơ “P lương ửng tíọi là ieiixơ t ừ Ihằin và Icn x ơ d(ẫn f

đ i ệ n của môi trường đẵ cho.

§8 CÁC BĨỀU KIỆN BIÊN

Các đại lirợng vò hưởng e, |a, ơ th a n rg ia vào các phiKMig Irìnli Maxweill (6.8) — ((ÌJ2) đặc trưng cho tinh chất của mồi Inrỏng và tropf> trường họ'j) riêing

Nlnrníỉ Irong trường hợp mà la iiíỉliiỏn c:iij các hàm (các vcíirr điện và lìừ) lại không liên lục Irẻn biên giòi giừa liai mòi triròng (Iroiig khoảng kliòrifỊ ''iaan

mà la lăy lích phân) Đễ khắc pliục kỉiỏ khăn đó chiin^i la làm như sau: ( ìiă lh iỉế t

rằng ihav cho các biên giởi mà ở đỏ £, a, a biốn Ihi^n Iiíiảy vọt, la có i-ác biêẻii

CỊÌỚÌ lồn tại các lớp mỏng chiiyèn liếp sao cho ử đó các (lại lưựng e, a, ơ bifôn Ihiên rấl nhanh nhưng vẫn CÒII liên lục Khi đó các định Iv loán học kê trên ccó

/ \

thè sử dụng đirợc Sau khi thirc hiện các Ịihép hiến đồi cần thiết, chúng ta cho các lờp m òng chuyễn tiếp Irên tiến đến kliỏng, và thu đưực các điều kiện biên mong muốn.

1 Đ i è n k i ệ n b i ê n đ ố i v ớ i t h à n h p h ầ n p h á p t n y é n c ủ a T e c t ơ c ả m ứ n g tír.

Điều kièn này rúl ra lử phương trình Maxwell III

Chúng ta xẻt một hình trụ đả niiiS (hình 4) cất mặt biên

giữa hai môi trường (k ý hiệu hằng chĩ s6 1 và 2) Các

đáy của hinh trụ có diện lích -Si và Ẳ'2 nằm song song

vái mặt biên ciìa hai mỏi trường, niện lích mặt cắt giữa

hình trụ và mặl biẻn của hai mỏi trường ký hiệu là Sg.

Diện tích xung quanh rủa hình tVụ là Ẵ' 3 và chiếu cao

(8.3)-Vì ta đẩ cliọii liinh trụ điỉ nhỏ sao cho sự biến lliiên của B trong quá trinh

lấy lícli phân theo Sị và ‘S'2

ciía B ở môi trưởng 2.

Tương Ịự như vậy ta cỏ

(8.5)

ở fflây ni là véctơ pháp luyến đơn vị của mặt Si và liịB là Ihành phần pháp tuyến

củai B ở mỏi (rường 1.

Theo địnli lỶ về giá trị triing binh ta có tliẽ tính tích phân theo

của vectơ cường độ trườníỉ tù" H là gián đoạn trên biên gi i g iũ a l)ai môi Iruờing.

Cuổi củng^ ta nhíịn thấy rằng điều kiệii biên (8.‘J) có thê viết dứới dạing vectơ nhụ; sau.

ở đây <Ị là điệ n líc h nằm Ir o n g liiiih Irụ.

Cho h - >0, Ihay cho (8.9) la điw c

ở đây q là điện licli ở Irẻn mặt ố„ Nếu gọi 0, = qỊS„ là mạt độ điện tích mặặt,

từ (8.13) la suy ra

'M

Như vậy thànli phần pháp luyến của vectơ D bị íỊÌáii đoạn trong Inrờpg hợp khi trên mặt phân chia hai mỏi trirờno có các điện licli mặt Các điộn ticli niỊil này gâv ra inrờng điện và làm cho v eclơ D không còt> lién lục nữa Bieu ki(}n biẻii (8.14) cỏ th í viết dưứi dạng veclơ như sau

cắt vuông góc với niặl biên của hai môi Irườiig (ký hiệu

chì số 1 Tà 2) ; giao luyến củạ liai mặt là /„; la cho / 1 và

/ 2 song song với l o ; hai cạnh kia của hinl) chữ nhậl là

Nhu- vậy Irên biên giữa liai mỏi Irường Ihànli phần tiếp tuyến của vectơ cường độ trường diện là liên lục Tuy nhiẻn Ihànli phần tiếp tuyến của vectơ điện cảni lại íỊián đoạn Bieu kiện biên (8.24) cỏ th? viết dưới dạng vectơ như sau

Ta có tliề viếl cho đieu kiện bién đòi vời Ihành phần liếp luyến của véctơ cường

độ IruỲrníí từ như sau

Cần cliii ý rằiig js = 7g|j là mật độ (ỉòn^ điẹn m ặlchảy theo plnrơng vuònf> góc với phường của riiành plian liếp tuyến của véc-to' cường độ trườnịí lừ.

Nếu mật độ dòng diện mặt j's = (I, thì Ihánli phần tiếp tuyến của cườnị4

■ Bề thu đ n ợ c tliíinh phần pháp tiiyến cỉia v ectơ mật độ dòn^ điện la đi từ

plhưong Irìnli liên tục

ơt

b ằ n g pliưoiiịỊi p h á p l ư ơ n g tự Iilur ở m ục 1 v.ì 2 đ ổ i v ở i llià n h phầii |)liá|)

imyến ciía vccto' ciini ửiig lừ và cảm ứng điện la :hu được

j'- n — ./[n — - > (o o i'))

ở đây ơ., !;'| ni;)l độ điện tich mặt Nliư vẠy Ihánli phầii pháp tiiyếiì của vtecUy mậl độ đòng (ii(Mi cliỉ <*iiui (lo;.»!i khi (rẻn biên ^iói "iiia hai mói trirừng Cíỏ m;it độ vii^ii tích mM lliay đòi llieo thởi gian.

•Đi^u kiọn (‘ó lliẻ' viỉ‘1 dirởi dạriíí vertơ Iilnr san

§í) MẬT B ộ VÀ DÒNG NĂNG L(J-Ợ’NG CỦA THƯỞNd DIỆN TỪ

Bp s o sánh những hộ qiiả cíìa pliưong (rinh Maxvvell với Unrc nghiệm ta cần biếl biều tiiức năng lượng của Irirờng điện tử Bế thu đirợc biễn ttìức đỏ chúng la liến liành như sau :

Njiân hai vế của phưong t r Ì Ị i l i (6.8) vởi E vii hai vế của plnrong trìiili (6.9) vói H và cộng các kếl qiiả tlin đưọ(' Iheo lừng vể ta có

ờ đây đại iirọng w =

gọi là m ậ t đ ộ nănq lượỉìỊi ciìa Inrờiig diện lử

Ị^ọi là vectơ lììật độ (ìòtvị nữìựi lượn(j liav Oectơ Pnụntiiiy.

cỏ th? xem như cồng suất ủn trường điện E lliực lũện đfíi vửị dòng điện dẫn j

tronjJ lli? tích V đã cho.

Như vậy lừ phxrơng Irìnli (9.3) la ró lliè phảt hiề\\ đ ịn h luật bản tnàn

ỉiăn<i ỉượrtỊỊ của trường điện tử nhu sau : Sự (hay đòi nàng lượng trường điện l ử

ở trong một Ihề tich F nào đ ổ Irong một đơn vị thời gian bằng cổng suất do trướng điện thực hién đối vói dòng điện dẫn Iron^í th í tích V đó và dòĩig năng lượng rhảy qua mặt s bao thê tich V.

Nếu trong thê tích V khồn^ c ó dòng điện dẫn j — 0, lừ (9.2), (9.5) và (9.6)

ở đ ây Ỵ là m ật độ khối lư ự n g, V là tốc độ dòng chảy của khối lượng.

Dựa vào sự tưưng lự giữa (íl.cS) và (9.9) ta đặt

N h ư vộy năng iượng của trường điện lừ chảy vứi vân tốc V Thực' n^Ịhiệin chứng

tỏ rằng trong chân khỏng năng lưạng trưừng điện lừ chuyền động với vụn tõc

không đòi í; = c ~ 3 ỈU® inỊsec.

§ 10 L ự c TÁC DỤNG TRONG TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

thi hàm năng lirựng (10.1) cũng thay đổi một lượng s \ v Ta gọi là biền p h á n

ỏ ’ đây F là lực, đòi khi còn gọi là ỉự c trọiuj độiụi trong trường điện lừ-

Sử dụng công Ihửc giải tích v e tlơ

ta có lliễ biến đòi hai sổ liạng đâu dưởi dẩu tích phân (10.9) như sau

(Dv)£a + (Bv)//« = v(Dfi«) - (v»)/ía + v(B/í«) - (vB)«« =

= v (l)£ « + B H ) - ọÉa.

Thay vào (10.9) ta được

t \ = p£„ + (j X B)„ + — (D X B)a - v ( D £ a + B / / j | dv. (lO.llU)

Áp dụng định lý Gauss đổi vứi lich phân cuối cùiig trong vế pliải (10.10) la dược

(i

(pE + [ j X B ] ) a d V + [D X B]aíỉV - ( ) ( D E a + B H a ) d S (10.11) Nếu ta mở rộng mặt ố’ sao cho Irường điện lừ trên mặt đó tiến đến khỏng

và biêu thức dưới dẵu tích Ị)hân inặl Irong (10.11) uũng liến đến khóng bặc cao

h o n hai, tlii tích pliâii mặl đó c ỏ thè đặt bằng khỏng Như vậy

đ ặ c trưng cho sự tưang lác giữa điện tich và trường điện từ Ta gọi F l là lực

L o r e n tx và biếu Ihức dưới dáu lich phân của (lư 15) là m ậ t độ lực L o r e n ti £l

(chỉ phụ thuộc vào trường điện lừ, nên (a gọi là lực đ iện từ Tương ứng ta có

Nhân hữu hướng veclơ bán kính r với (11.3), tức là với phưưng trinh

Hệ thức (11.9) cỏ thê viết dưới dạng sau

.d dt

trong đó M<; là m ổm en x u n g lư ợng cơ học eủa điện lích

Như vụy ( ll.ỉ) ) có thễ xem như bici! Ihúv loán học của đ ịn h lùật ỉ)ão toàn inôinen

xiiny lirợny của t-rườiig điện lừ.

2 Áp 8 u ă t đ i ệ n t ừ.

Nếu írường điện lừ có xung lượng thi khi Iruyền lới inộl vật nào dó, nó

sẽ tác động lên vậl và gày ra một ÚỊ) suất lên vật đó.

Áp suất này có Ihẽ tín h đượi; n h ờ hè lliúc

ở đây g là áp suăt của trường điện từ Nếu trường diện lừ truyền hoàn toàn

xung lượng cho vật thế (vật tliỗ hẩp thụ lioàri toàn sóng điện từ) thi phương Irình (11.13) cho la nghiệm

Như vậy áp suất của trường điện từ trong trư.ừiig liợp này về trị số bằng mật độ năng lượng của trường.

Trường hợp phản xạ toài) phăn, xung lượng của trường đổi đấu; như vậy trườ^ng điện từ truyền cho vật llie niột xung lirợng lứn gấ p hai lần Irường hợp

hấp thụ hoàn toàn, NẾU trường điện lừ phảii xạ trẻn mặt vật thê với mộl góc nào

dỏ thi ta chỉ xét thành phần pháp tuyến vời mạt đó Cũng có UiỄ xét lương lự

trong trường họp trường điện từ không phản xạ hoiỊe không hấp ihụ hoàn toàn

trên vậl thê.

§12 TÍNH ĐƠN TRỊ CŨA CÁC NGHIỆM CỦA HỆ CÁC PHƯONG TRÌNH

MAXWELL

Đê chứng minh tính đơn trị của các nghiệm của hộ các phương trình

Maxwell chúng ta làm như sau ;

1 Xét một khoảng khòng gian lũru hạn được bao bọc bởi một mặt ắ’ khép

kin và chửng minh rằng liệ các phưong Irình Max.well cho la một nghiệm duy

nhẩl vỏ’i những điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho Irước Đieụ đ ó có nghĩa

là trường điện từ là hoàn toàn xúc định lại hìil kỳ mộl thời điêm nào và tại bất

kỳ một điếm nào trong khoảng thời gian và không gian đã cho khi ịjiá IrỊ của trưừng tại Ihừi điễm ban đầu và trên biên là xác địiili.

Đề làm đi^u đó chúng ta già thiếl ngược lại, nghĩa là giả thiểt rằng h(ộ các

p hương trinh M axwell có liai hệ nghiệm khác nhau E i , Hi và Eị- IỈ2 cùng thỏa

mun các đieii kiện ]ian đ:lu và đỉèii kiện hién Do các phương trình là ttuyến tinh nên hiệu của cúc nghiệm Ẽ3 = Ei — E2 và Hs = Hj — H2 cíing phải Ihòai mSn các phương trinh Maxwell vứi các điều kiệii bo sung sau đây :

a) Trường lạ bííng khòng Khi đị> la có

jj = ơEi, Ì 2 = ơEỉ và 8 0 đó suy ra js = ji — j2 = ơEs.

b) ở thời điẽm t = 0 tại mọi điếm của Ihê lích V các đại lưọng Ei v à E2,

Hi và H2 'CÓ cảc giả trị nlnr nhau, nghĩa là tại thời điêm t = 0, tại m ọúdiẽm củ a V

lạ oỏ E3 = 0, H3 = 0’.

c) Trong loàn bộ thời pian từ t — [ì đến t = ti tại mọi điếm của niiỊỊt s

các lliànỉi phần liếp tuyến của vecto' Es ỉioặc ciía vectrr H3 đều bằng kliỏng (do

N h ư thế tại một tliời điễni bất kỳ trong khoảng thừi gian đỏ

cỏ thễ hoặc giảm hoặc khôiig đôi, Giả thử là không đòi Nhưng khi í = 0

Iheo đicu kiện b) năng lượng W3 cìia trường Ea, H3 băng khòng nén nó phải bằng không Irong loàn klioáiig th(Vi giíiii lừ í = 0 đến t = íi( n íu ig lưọ'iig Ws cuiig

không Ihề giảm vì nếu ^n’ảni Ihi theo điều kiện b) niíng lưọng VVs sẽ mang giá Irị âin, trái với (12.4)).

Năiiịí lưọ'i;g W s = 0 trong loàn khoảng tliừi gian từ t — 0 đến t = ti chl

c ó thễ xằy ra khi E3 và H3 bầng khòng lại mọi điễai ciìa thề lích r tìiều đó có ngliĩa là hai liộ nghiệm Ei, Hi và E2, H2 của bài toán ban đầu đã giâ llnết là khác nhau pliải đòng I i l i ấ t với nlĩau Như vậy, định lý linli đơn IrỊ đã được chứng minh,

2 Bễ xét khoảng kiiỏii" íỊÌaii vô hạn cliúng ta nhàn thấy rằng chứng minh

ả 'phầii 1) c ỏ tliỄ đ ư ợ c lặ p lọi l ư ơ n g tự CỈIÍ cíìn thay đ iề u kiện c) M n g điều kiện

ở vỏ hạn Điều kiện đó là

Khi (12.5) được thực hiện llii chúng ta cỏ điềii kiện (12.2) và phương

Irinỉi (112.3), tìr phirơng iKÌnh đ ó suy ra đ ư ợ c tính đ a n Irị của các nghiệm của hộ

các ph ư ơ n g trìnli Maxwell Tuy nhiên điều kiện (12.5) chĩ có lliẽ dùng cho trirờng hợp trường điện tử không đòi không ứng dụiig đư ợc cho Irirờng, đién lừ biến thiên, cliẳng hạn như chúng ta sẽ Ihấy ở § 41 trường bức xạ của dao động tử lại

vò hạn giảm lỷ lệ nghịch với Lậc riliất cùa khoảng cách R, Trong trường hợp

này đi^u kiện (12,5) không đ ư ợ c thực liiện.

Tuy vậy klii xét trường bức xạ chúng la có thễ giới hạn ỏ' các bài loản sau (ìiả sử clio đến Ihưi điẽni / = 0 trưòng ở bẻii ngoài một miền không gian hữu hạn nào đố là khòng đôi và tliỏa mãn điều kiện (12.Õ) Sau đỏ trong khoảng thừi gian lừ í == 0 đển í = z’ cơ xày ra những nhiễu loạn nào đó và xuất hiện trường bức xạ truyền đi với vận lỗc c Do đó nếu líít cả các đrện lích và dòng

điện tập trung trong hình cầu s cỏ bán kinh Ro hữu hạn, thì ờ bên ngoài hìph

cầu cỏ bản kính = iỉo + ct trường sẽ giũ- nguyên giá t.rị, khỏng Lị nhiễu loạn cho đến thời điễm t, nghĩa là sẽ thỏa mãn điều kiện (12,5).

Như vậy, Irong trượng hợp này trẻn cơ sở cụa những điều đẵ chứng minh,

trường tại inột íliời điếm bấl kỳ t > r đ ư ợ c xảc đỉnh một cách đơn Irị, nếu cho

Inrức các giả trỊ ban đău của các vectơ E và H tại mọi điêm của không gian vào

lú c t , t h ỏ a m ã n b ẫ l đ ẳ n g th ứ c í ’ ^ < í.

BÀI TẬP

1 Một vật có độ dẫn ơ và độ điện thầm s Tại thòi điêm / = 0 mật độ điện tích khổi của vật là p = P o

Tìm p tại thòi đièm bất kỳ.

hay là £ i , = Eịt Hi, = iĨ2t

Như Tậy, đề dòng năng lượng đi qua biên không bị tiêu hao tbì các thành phàn

Trường điện tìr tĩn h là trirờng thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Các đại lượng điện từ không biến đối theo thời gian, lức là đạo hàm riêng của

các đại lượng đó iheo thời gian bằng khòng.

b) Các điện ticli không chuyên động, tức là mật độ dòng điện j = 0.

Với các điều, kiện n h u Y ậ y , các phương trinh điện từ ró thê chia làm hai

nhóm riẻng biệt, không phụ thuộc lẫn nhau>:

i; Nhóm các phương trinh của írướng điện tĩnh

vỏri các điều kiện biên

2 Nhóm các phương trinh của trường từ tĩnh

với các điều kiện bién

/Í2n — ỉh n = 0 H 2 t - H u = 0 (13.4) Bổi với írường điện Ihì H = 0 và đối với trường lừ thì E = 0 do đó

Tccta mật độ dòng năng lượng của trường điện từ tĩnh bẳng không

n = E X H = 0.

Trong khi đó năng lượng của trường điện từ tĩnh nói chung khác không Vậy

đối với trirờnịí điện tử tĩnh, năng lượng là tĩnh tại, không được Iruyền đi trong

không gian.

Từ các phưưng trình (13.1) la thấy rẫng Inrờníỉ điện tĩnh có íinh chất

v e c lư E không liân tục mà bị gián đoạn tại những điêm có mật độ điện tích

khảc không.

Từ các phương trình (13.3) la thấy rẳng trường từ lĩnh cũng cỏ tỉnh chối

Ihế Vectơ B liên tục tại mọi điẽm trong không gian Bường sức cùa B và do đó

của H là những đư ờng khép kín N ếu chúng ta lấy tích phân dọc Iheo đường sức

k h é p kin của H

" H d l = ( v X H) d s ,

thì theo (13.31)) tích pliâii đó phui bằng khỏng

Trường lừ tĩnh mỏ tả bằng cúc phương trinh (13.3) luòn luôn bằng khòng, hay nói cách khác, các phương trình (13.3) cliưa đủ đễ mỏ lả trường lừ tĩnh.

Đê mô tả được đày đủ Irưừng từ lĩnh (Irưỏ-ng H =4= 0) thi tích phân (] 3.5),

pliải khác khòng tức là đường súc tủa H khòng kliép kin mặc dù đư ò n g sức cùa

B là luôn luôn khép kin tlieo phương trình (13.3a).

Đicu đủ có nghĩa là Ihay cho phương trinh lién liệ (13.3c) ta có phương Irink

Trong đỏ Mg là mộl veclơ không đôi theo thừi giai) Sự xuiíl liiộn số hiạng

M„ (rong (13.7) chứng lỏ mòi Irường tự phúl sinh ra trường từ pliụ ngay cả khi

khônỄf cỏ Irưừng lừ ngoài lác dụng lên chủng Trong Irưừng từ lĩnh các mòi

tnrửiig đỏ gọi là n u m c h â m v ĩn h cừ u Khi khỏPịí có nam chũm vĩnh cửu trư-ờng

2, T h é V ô hưórng c ủa t r ư ờ n g đ i ệ n l ừ t inh.

Một trường veclơ mà rỏla của nỏ bầng không gọi là Inròng thố Trường điện lĩnh và trường lừ tĩnh là một trường Ihế vì

Tử (13.11) ta suy ra

x ẻ t hai điễm bấl kỳ 'A , B Irong trường tĩnh (hinh 6)

Đối vời trường tĩnh ta có

đi, chi’ phụ thuộc vào vị lii của diễm đầu và điềm cuối.

Tương tự như vặy ta cũng cỏ thề lý luận đối với trường từ tĩnh.

đỏ-Đề thuận tiện trong tinh toán, đối với mỗi bài loán cụ thề người ta đưa

thêm vào các điều kiện phụ gọi là (ìỉều kiện chuầiì Sau khi đã lấy chuSn, điện

thế ở mọi điẽm được xác địn^I một cách đơn trị Thông thường người fa cho fp

Bối với các điện môi và từ môi đòng nhỉit, lử các phirong Irlnh (13.9) và

■' (13,14) la thu đ irợc phương Irinh l ’oisson cho tlic”đi<’.i) vã thế lử

Trên biôn của hai điộn môi thế đir^n phải thỏa màn oác đií^ii kiộn

\ d/i / í \ à / i / 2

suy ra lừ lính chẩt hừú hạn của Irường điện tại.biẻn.

Tương tự như vậy, Irén biên ciìa hai tử mỏi, Uiế lừ phải thỏa mãn các

Từ cảc công thức (13.21) — (1 3.23) ta thẩy rằng việc (Ịưa vào khái niộm từ

tich làm cho cảc phương trinh trirờng điện lĩnh và lrườnfỊ lừ tĩnh 'JÓ dạng hoàn

toàn giống nhau Biết hệ phương trình này ta có th? suy ra hẹ phnơn^ frìnli kia

bằng phép biến đôi sau đây

gọi là phép biến (ĩềi đổ i ngẫu.

Nlur v ậ y bằn g p h é p b iế n đ ồ i đ ố i n g ẫ u , l ấ i cả cấc kết q u ả tliu đ ư ọ c k hi

nghiên cứu trường điện tĩnh trong các điện mòi đều áp dụng đ ư ợ c cho Irinrng

từ tĩnh của eảc nam châm vĩnh cửu.

Tuy nhiên giữa từ lích và điện tích có những điềm khác nhau càn bân :

Điện lich-có thề tòn tại một cách lự do, trái lại lừ tích chỉ lòn tại ở trạng Ihái

liên kết Chúng la xét một nam châm vĩnh cửu trong khoảng không gian V Tử

lich toiin phần Irống thê tich V theo (13.10) là

Nhiv vậy lừ tích loàn phần của nam châm vĩnh cửu hao giờ cũng bằng

khỏng, hay nói cách khác lừ tích lự do toàn phần của nỏ không tòn tại Vì vỳy

khi nói đến lừ tích lự do ta phải hiểu đó là các mật độ từ tích tại lừng điếm của nam châni vĩnh cửu.

Chúng ta ịíiâ Ihiếl rằng, nam châm vĩnh cửu được từ hóa đ^u Iropg loàn

bộ Ihễ tích eủa nỏ lức ià Mg = cọnst, khi đỏ

Điều đó có nghĩa là mật độ từ tích khối trong nam châm vĩnh cửu bằng

không, hay nói cách khác lừ tích lập trung tvên mặt của nam châm Bặc biệt, nến