ĐỀ 1 Thi vào lớp 10 THPT: thành phố Hà Nội Năm học 2015 – 2016 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm). Cho hai biểu: và + với x > 0, x ≠ 4 1)Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9. 2) Rút gọn biểu thức Q. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Trang 1Ngày soạn:
Ngày dạy:
Buổi 20
I Mục tiêu
- Nắm được các kiến thức cơ bản của chương trình toán THCS
- Rèn kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học trong chương trình để giải các bài toán trong các đề ôn luyện
- Phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh
II Luyện đề
Đề 15
Câu I Cho
M
với x≥0,x≠1
1 Rút gọn biểu thức M;
2 Tính giá trị của M khi x = 9
Câu II Giải phương trình và hệ phương trình sau:
1
4 3 2 2 0
x − x + =
2
3 1
x y
x y
+ =
− =
Câu III Cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng y = mx – 2
1 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B;
2 Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B Tìm m sao cho
2 2
1 2 2 1 2014
x x +x x =
Câu IV Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa cung
AB Điểm M thuộc cung AC Hạ MH⊥AB
tại H, AC cắt MH tại K; MB cắt AC tại
E Hạ EI⊥AB
tại I
1 Chứng minh BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp;
2 Chứng minh AK.AC = AM2;
3 Cho R = 5cm, tính giá trị của tổng S = AE.AC + BE.BM;
4 Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung AC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC thuộc một đường thẳng cố định
Câu V Cho a, b > 0, a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Đáp án
Trang 2Câu I 1
1
x M
x x
=
2
3 M=
13
Câu II 1 x∈ −{ 1;1;− 2; 2 }
2 (x = 1; y = 1)
Câu III 1 Xét phương trình:
Ta có
2 8 0
m
với mọi m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
Do đó với mọi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
2 Theo hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2 2
x x
+ = −
Do vậy
2 2
1 2 2 1 2014 1 2( 1 2) 2014 2( ) 2014
x x +x x = ⇔ x x x +x = ⇔ − − =m
Suy ra m = 1007
Câu IV
1
suy ra tứ giác BHKC nội tiếp
AMB AIE 90= = o
suy ra tứ giác AMEI nội tiếp
2
(g-g)
AH AK
AC AB
⇒
Suy ra AK.AC = AH.AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB ta có AH.AB = AM2
Vậy AK.AC = AM2
3 Có
BIE BMA(g-g)
AC AB
Vậy AE.AC + BE.BM = BI.BA + AI.AB = AB(AI + IB) = AB2 = 100 (cm2)
4 Vì tứ giác AMEI nội tiếp nên
Tứ giác BCEI nội tiếp nên điểm
M, C, I, O thuộc một đường tròn Như vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC
Trang 3đi qua hai điểm cố định là O và C Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC thuộc đường trung trực của OC cố định
Câu V
a b ab+ = + ab = +ab
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: a b+ ≥2 ab⇒ ≥1 2 ab.
Do đó 1 4ab≥
mà ab > 0 suy ra
ab ≥ ⇒ ab ≥
Suy ra S 9≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b =
1 2
Vậy min S = 9 khi a = b =
1 2
III Bài tập về nhà
Đề 16
Câu I Cho
1
: 1
P
với x > 0
1 Rút gọn P;
2 Tìm x để P =
13 3
Câu II.Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong việc Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được
1
4
công việc Tính thời gian mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc
Câu III 1 Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 2 1−
và 2 1+
2 Cho phương trình:
a) Giải phương trình khi m = - 4;
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt
Câu IV Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn Qua A kẻ hai
tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là hai tiếp điểm) Một đường thẳng d đi qua
A cắt đường tròn (O; R) tại B, C (AB < AC) Gọi I là trung điểm của BC
1 Chứng minh: 5 điểm A, M, O, N, I thuộc một đường tròn
2 Chứng minh: AM2 = AB.AC;
3 Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E Chứng minh rằng IE //MC;
4 Chứng minh rằng: Khi đường thẳng d quay quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC thuộc một đường tròn cố định
Trang 4Câu V Cho đường thẳng d: y = (m2 + 1)x + 4 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng d lớn nhất
Đáp án
Câu I 1
1
x x P
x
=
2
x x
x
Suy ra
1 2
1
9
x = x =
Câu II.Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong toàn bộ công việc là x (giờ),
thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ), (x, y > 16)
Ta có hệ phương trình:
16
4
x y
x y
+ =
+ =
Giải hệ phương trình này được (x = 24; y = 48) thỏa mãn điều kiện của ẩn
Câu III 1 Có S = 2 1− + 2 1 2 2;+ = P=( 2 1− )( 2 1+ =) 1
Phương trình cần lập là
2 2 2 1 0
x − x+ =
2.Xét phương trình:
a) Khi m = - 4, phương trình (1) có dạng: ( x−2) ( x2 +2x) = ⇔ ∈0 x {2;0; 2 − }
b) Phương trình (1)
2
2 0
x
− =
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác
2 Điều đó có được khi
Câu IV 1 Có
AMO ANO AIO 90 = = = o Suy ra A, M, O, I, N thuộc một đường tròn
Trang 52 Có
(cùng bằng
1 2
sđ
¼ MB
), ·MAC
chung nên AMB ACM (g-g)
suy ra
2
3 Vì 5 điểm A, M, O, I, N thuộc một đường tròn nên
MNI = MAI
Do BE // AM nên
IBE = MAI
Do đó
INE = IBE
suy ra BINE là tứ giác nội tiếp nên
BIE = BNE
Mà
BNE = BCM
(cùng chắn
¼ MB
) suy ra
4 Gọi K là trung điểm của AO suy ra K cố định;
1
IK = OA 2
không đổi G thuộc MI, 1
GI = MI
3
Kẻ GH // IK
(H MK).∈
Theo định lí Ta-lét thì
suy
ra H cố định và
HG= IK= AO
không đổi
Vậy G thuộc đường tròn
1 H; OA 3
Câu V Ta có m2 + 1 > 0 ∀m.
Cho x = 0, ta có y = 4, d cắt Oy tại B(0; 4)
Cho y = 0 suy ra
( 2 )
2
4
m +1 x + 4=0,x
m +1
−
=
, d cắt Ox tại
A
2
4
;0
m +1
−
Do đó
2
4
m +1
Hạ OH ⊥
AB
ta có:
( 2 )2
4 2
Suy ra
2
4 2
16
=
Mà
4 2
nên
2
suy ra OH≤ 8.
Dấu đẳng thức xảy ra khi m = 0 Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Buổi 21
Trang 6I Mục tiêu
- Nắm được các kiến thức cơ bản của chương trình toán THCS
- Rèn kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học trong chương trình để giải các bài toán trong các đề ôn luyện
- Phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh
II Luyện đề
Đề 17
Câu I Cho
với x 0, x ≥ ≠ 25.
1 Rút gọn biểu thức M;
2 Tính giá trị của M khi
Câu II.Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Quãng đường AB dài 100km Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 30 phút Tính vận tốc của mỗi xe
Câu III
1 Giải hệ phương trình
2 Cho phương trình:
4 2
a) Giải phương trình khi m = – 1;
b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
Câu IV Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường tròn tâm
O đường kính MC cắt BC tại E Nối BM cắt đường tròn (O) tại N Nối AN cắt đường tròn (O) tại D Lấy I đối xứng với M qua A; lấy K đối xứng với M qua E
1 Chứng minh BANC là tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh CA là phân giác của góc BCD
3 Chứng minh ABED là hình thang
4 Tìm vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ nhất
Câu V Tìm x sao cho
2013 2013
Đáp án
Câu I 1
x 1
x 2
−
= +
2
Khi đó M = 0
Trang 7Câu II Gọi vận tốc xe thứ nhất là x (km/h) với x > 20, thì vận tốc xe thứ hai là x –
10 (km/h)
Ta có phương trình:
x 10 − x = 2
−
Giải phương trình này được 1 2
x =50,x = −40
(loại) Vậy vận tốc xe thứ nhất là 50 km/h, vận tốc xe thứ hai là 40 km/h
Câu III 1 (x = 2; y = 2).
2 a) x = ± 3.
b) Đặt t = x2(t 0 ≥ )
Ta có
2
t −2t + m - 2 = 0 (2)
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm phân biệt t1> 0, t2> 0
Muốn vậy thì
1 2
1 2
' 1 m 2 0
3 m 0
m 2 0
t t m 2 0
∆ = − + >
− >
Câu IV.
1 Có ·MNC 90= o
nên
BAC BNC 90 = = o
Suy ra BANC là tứ giác nội tiếp
2 Tứ giác BANC nội tiếp suy ra
mà
(cùng chắn
¼ MD của đường tròn (O)) Suy ra
3 Các tứ giác CBAN và CEDN nội tiếp nên
(cùng bù với·CND
) Do
đó ED // AB, suy ra ABED là hình thang
4 I và M đối xứng với nhau qua A nên ∆BMI cân tại B suy ra
Có
·MEC 90 ;ME = EK= o
nên BC là trung trực của MK Do đó ∆BMC = ∆BKC, suy ra
Trang 8· ·
Do đó
BIC BKC 180+ = o
; suy ra IBKC là tứ giác nội tiếp Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK đi qua hai điểm cố định B và C Gọi r là bán kính của đường
tròn này ta có 2r BC≥
(quan hệ giữa dây và đường kính) do đó r nhỏ nhất bằng
BC 2
khi BC là đường kình đường tròn Khi đó
BIC 90=
nên I trùng A do đó M ≡
A Câu V Với n, m ∈N*
, n > m Xét số a: 0 < a < 1 Ta có:
n m m n m
a −a =a (a − −1)
Mà 0 < a < 1
n m m m n m
a − 1; a 0 a (a − 1) 0
Do đó
n m
a <a (*)
Xét
2013 2013
Dễ thấy x = 3 và x = 2 thỏa mãn (1)
Nếu x > 3 thì x – 2 > 1
2013
x
⇒ − >
còn
2013
x− >
Vế trái > 1
Nếu x < 2 thì
3 1
x− >
nên
2013
x− >
còn
2013
x− >
Vế trái > 1
0 < 3 - x < 1 và 0 < x – 2 < 1 nên theo (*) ta có:
2013 2013
x− = −x < −x
2013 2013
x− = −x < −x
Do đó
2013 2013
x 3− + −x 2 < − + − =3 x x 2 1
Vậy x∈{ }3;2
III Bài tập về nhà
Đề 18
Câu I Cho
:
x M
+
với
0; 9
x≥ x≠
1 Rút gọn biểu thức M;
2 Tìm x sao cho
6
x
M =
Câu II.Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để chở hết 60 tấn hàng Lúc sắp khởi hành
có 3 xe phải điều đi làm việc khác Vì vậy, mỗi xe phải chở thêm một tấn hàng nữa
Trang 9mới hết số hàng đó Tính số xe lúc đầu của đội biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở
là bằng nhau
Câu III 1 Giải hệ phương trình:
2 2
x + y = 3
x + y = 5
2 Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: y = mx – m + 1 Tìm m sao cho đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung
Câu IV Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định (AB không qua O) Điểm M
thuộc cung lớn AB của đường tròn Gọi I là trung điểm dây AB Vẽ đường tròn (O’) qua M, tiếp xúc với AB tại A Tia MI cắt đường tròn (O’) tại N, cắt đường tròn (O; R) tại C
1 Chứng minh AN // BC;
2 Chứng minh ∆INB ｓ
∆IBM;
3 Chứng minh BI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBN;
4 Chứng minh rằng: bốn điểm A, B, N, O thuộc một đường tròn khi AB = R 3.
Câu V Cho a + b + c + ab + ac + bc = 6 và a, b, c > 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
Đáp án
Câu I 1
3
x + 3
2 M =
3
x
+
= 0
phương trình vô nghiệm hoặc x =3
suy ra x = 9 (loại)
Vậy không có giá trị nào của x để M = 6
x
Câu II Gọi số xe lúc đầu của đội là x ( x N x∈ *, >3
)
Lúc đầu mỗi xe phải chở:
60
x
(tấn) Lúc sau, mỗi xe phải chở
60 3
x−
(tấn) Ta có phương trình:
2
x − x = ⇔ − − =
−
Trang 10Giải phương trình này được x1 =15;x2 = −12
(loại)
Số xe lúc đầu là: 15 chiếc
Câu III 1 Hệ phương trình tương đương với
= −
Giải (4) được 1 2
x = x =
Hệ phương trình có hai nghiệm
(x=1;y=2);(x=2;y=1)
2 Xét phương trình:
(1) Để d cắt (P) tại 2điểm phân biệt ở hai phía của trục tung thì (1) phải có nghiệm trái dấu Muốn vậy
0
c
a <
hay m− < ⇒ <1 0 m 1
Câu IV (h.53)
1 Có
NAB AMN=
(cùng bằng
1 2
sđ »AN
)
Mà
AMC =ABC ⇒NAB ABC= ⇒
AN // BC
2 ∆IAN = ∆IBC
(g – c – g) ⇒IN =IC
Do đó ANBC là hình bình hành nên
NB // AC, suy ra
INB MCA=
Mà
MCA MBA=
(cùng chắn »MA
) nên
INB MBA=
Lại có ·MIB
chung suy ra ∆INB ｓ∆IBM
(g – g)
Trang 113 Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBN, ta có
2
NMB= NKB
Do ∆INBｓ ∆IBM
nên
IBN =NMB
Vì vậy
2
IBN = NKB
Tam giác KBN cân tại K nên
NKB+ KBN =
Do đó
2.IBN +2.KBN =180 ⇒IBN KBN+ =90 ⇒KB⊥BI
Vậy BI là tiếp tuyến của đường tròn tâm K
4 Vì tứ giác ANBC là hình bình hành nên
ANB ACB=
Bốn điểm A, B, O, N thuộc một đương tròn khi
·AOB ANB=·
suy ra
·AOB ACB=·
Mặt khác
2
AMB= AOB
nên
2
AMB= ACB
Tứ giác AMBC nội tiếp nên
180
AMB ACB+ =
suy ra
Từ đó có
·AOB=1200
Vì I là trung điểm AB nênOI ⊥ AB
và
IOA IOB=
Do đó
IOA=
suy ra
.sin 60
2
R
AI OA= =
Mà AB = 2.AI nên AB = R 3
Câu V Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có:
3
4 2
a
Tương tự
c + ≥ a + ≥
Do đó:
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c ab ac bc
b + c + a ≥ + + − − −
Lại có
(a b− ) + −(b c) + −(c a) ≥0⇒2(a2 + + −b2 c2 ab ac bc− − ) 0≥
a b c ab bc ac
Vậy:
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b + c + a ≥ + +
(1)
Trang 12Mặt khác:
(a−1) + −(b 1) + −(c 1) ≥ ⇒0 a + + ≥b c 2(a b c+ + −) 3
(2) Theo chứng minh trên
2 2 2
2a +2b +2c ≥2(ab ac bc+ + )
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
2 2 2 3(a + +b c ) 2(≥ a b c ab ac bc+ + + + + ) 3 9− =
Do đó:
2 2 2 3
(4)
Từ (1) và (4)
3 3 3
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy min P = 3 khi a = b = c = 1
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Buổi 22
I Mục tiêu
- Nắm được các kiến thức cơ bản của chương trình toán THCS
- Rèn kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học trong chương trình để giải các bài toán trong các đề ôn luyện
- Phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh
II Luyện đề
Đề 19
Câu I 1 M = 1
x
x +
2
1
2
a
a
≤ ≤
≠
Câu II Chiều dài mảnh đất là 8m, chiều rộng mảnh đất là 6m.
Câu III 1 a) x = 1 hoặc x = 3.
b) m ∈
1 3;
3
−
Trang 13
2 (x; y) ∈
÷ ÷
Câu IV.( h 54)
1 Có
BOH BEH+ = + =
, suy ra BOHE là tứ giác nội tiếp
2 ∆AOH ｓ
2
AO AH
AE AB
3 Có
45 , 2
45 2
BEC = BOC =
Do đó EI là phân giác của ·AEB
Suy ra
1 3
EB IB
EA = IA=
Vì vậy tan
3
BAE =
4 Ta có DO là trung tuyến của tam giác DAB Mặt khác OH = OA tan
·
3
R OAH =
, suy ra OH =
1 3
DO Do đó H là trọng tâm tam giác DAB nên AK là trung tuyến tam giác ABD suy ra KB = KD Do đó OK ⊥BD
Câu V (h 55)
Trang 14Gọi (O; R) là đường tròn qua B; C tiếp xúc với Ax tại M Ta chứng minh ·BMC
là góc lớn nhất Thật vậy, giả sử N khác M; N∈
Ax Có OM ⊥
Ax tại M nên OM < ON suy
ra N ở ngoài đường tròn (O; R)
Nối NB; NC Có
BEC BMC=
mà
BEC BNC ECN= +
, do đó
BEC BNC>
BMC BNC
⇒ >
Ta có
AMB ACM=
; ·MAC
chung nên ∆ABM ｓ∆AMC
, suy ra
AM AB
AM AB AC
Do đó AM = 2
III Bài tập về nhà
Đề 20
Câu I Cho M =
:
x
+
(với
0; 4)
x≥ x≠
1 Rút gọn biểu thức M
2 Tìm x để M =
4 5
3 So sánh M và M2
Câu II Cho hệ phương trình
x y
+ =
1 Giải hệ phương trình khi m = 0;
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) mà y = |x|
Câu III Cho hàm số
2
1 2
y = − x
có đồ thị là parabol (P), đường thẳng d có hệ số góc
k và đi qua điểm (0; - 2)
1 Viết phương trình đường thẳng d;
2 Chứng minh rằng khi k thay đổi, đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
Câu IV.Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn Gọi M
và N là điểm chính giữa các cung nhỏ AC và BC Nối MN cắt AC tại I Hạ ND ⊥
AC Gọi E là trung điểm của BC Dựng hình bình hành ADEF
1 Tính ·MIC
;
2 Chứng minh DN là tiếp tuyền của đường tròn (O; R);
3 Chứng minh F thuộc đường tròn (O; R);
Trang 154 Cho
, R = 10cm Tính thể tích hình tạo thành khi cho ∆ABC
quay một vòng quanh AB
Câu V Cho a > 0, b > 0 và a2 + b2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
S = ab + 2(a + b)
Đáp án
Câu I 1
1 2
x M
x
+
= +
2 x = 9
3 Ta có: M > 0 Xét 1 – M =
x
M
+
⇒ < <
Do đó: M – M2 = M(1 – M) > 0
2
⇒ >
Câu II 1 x = - 2, y = 1
2 m
3 1
7 3
Câu III 1 Phương trình đường thẳng d: y = kx + b Vì d đi qua H(0; - 2) nên:
Vậy d: y = kx – 2
2 Xét phương trình
1
Phương trình (1) có
2
∆ = + >
với mọi k Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu IV
Trang 161
2
MIA=
(sđ»MA
+ sđ»CN
) =
1 4
sđ »AB
=
·
2 Có
NC =NB⇒ON ⊥BC
tại E Lại có:
·ACB=90o ⇒·DCE=90 o
Mà ( )
NC CD gt⊥ ⇒
CEND là hình chữ nhật ⇒DN ⊥ON
tại N⇒
DN là tiếp tuyến của (O)
3 Theo tính chất hình chữ nhật có:
EDC NCD=
Mà
EDC F= ⇒ =F DCN ⇒ +F ACN =
ON // AC (cùng vuông góc với CB)
⇒
N, E, O, F thẳng hàng Suy ra ACNF là tứ giác nội tiếp ⇒
F ∈
(O)
4 Hạ CK⊥
AB Tam giác ABC có
A 30 C 90= =
nên
B 60=
Do đó ∆OBC
là tam
giác đều, suy ra
Khi quay ∆ABC một vòng quanh AB có hai hình nón tạo thành: hình nón đỉnh A và hình nón đỉnh B cùng có tâm hình tròn đáy là K, bán kính CK Gọi thể tích hình tạo thành là V, ta có:
π
Câu V Vì
2 2
+
Mặt khác
2a +2b ≥ + +a b 2ab⇒ +(a b) ≤2(a +b ) 2= ⇒ + ≤a b 2
Do đó
1
2
≤ +
Dấu “=” xảy ra khi
1
2
= =
Vậy maxS=
1
2 2
2 +
khi
1
2
= =