Dat van dé 1, Trong giai toán, đặc biệt là giải các bài toán dành cho học sinh giỏi, không ít trường hợp học sinh đã mắc phải một số sai lâm.. Người dạy toán, nhất là dạy học sinh giỏi
Trang 1Trao đồi về bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán THCS
Chúng tôi mong nhận được những ý kiến trao đổi của các thầy cô giáo và các em học sinh
MOT SO SAILAM CUA HQC SINH THCS KHI GIAI BAI TOAN CHO HOC SINH GIOI
I Dat van dé
1, Trong giai toán, đặc biệt là giải các bài toán dành cho học sinh giỏi, không ít trường hợp học sinh đã mắc phải một số sai lâm Nếu là sai lầm trong mot ky thi chọn học sinh giỏi, học sinh sẽ khó đạt kết quả cao
2 Người học toán, nhất là học sinh giỏi toán, ngoài việc học các kiến thức mới và luyện các
kỳ năng còn phải biết học từ chính các sai lâm của mình và của người khác
3 Người dạy toán, nhất là dạy học sinh giỏi toán, ngoài việc dạy các kiến thức mới và rèn các kỹ năng cho học sinh cần dành thời gian thích đáng cho việc phân tích các sai lam neu có của học sinh, từ đó giúp các em hiểu rõ nguyên nhân của sai lâm, sau này nếu gặp tình huống tương tự sẽ không mắc phải, đồng thời qua đó điều chỉnh việc dạy của chính mình
4 Chuyên đẻ này bàn về một số tinh hudng sai lam cua học sinh trung học cơ sở khi giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi, trong đó tập trung chủ yêu vào loại sai lầm vẻ kiến thức,
về suy luận
5 Các ví dụ trong chuyên đẻ này phần lớn được sưu tầm và chọn lọc từ các tạp chí toán và tài liệu tham khảo môn toán, một phân nhỏ là từ kinh nghiệm giảng dạy của cá nhân Chúng được trình bày theo câu trúc:
- Nêu đề bai;
- Đưa ra một lời giải sai;
- Phân tích nguyên nhân của sai lam;
- Trình bày một lời giải đúng;
- Đôi lời bàn vẻ việc đạy
Il Cac vi du
1 Nhóm bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biêu thức
Ví dụ 1.1)
* Đề bài: Cho A = xỶ - 3x + 5 Tìm A„„„ với x >2 ?
* Mot lời giải sai:
A =(x- 3/2} + 11⁄4 > 11/4 với Vx e R
Vậy A„„ = 11⁄4
* Nguyên nhân sai: Hiệu chưa đúng khái niệm
* Một lời giải dung: Voi x 2 2 thi (x-3/2) 2 1/2 => A 23 => => Amin = 3
* Lời bàn: Việc dạy khái niệm
Ví dụ 1.2)
* DE bai: Cho B= “> +2542) voix, ye R,#0 Tim Bui?
Trang 2# Một lời giải sai:
Đặt (x/y) + (y/x) =t=> B =-t-2=(L- 1/2) - 9/4=>B >- 9/4 với VLe R;
Vậy B„„ = - 9/4, đạt khi t- 1⁄2 =0 hay khi t =1⁄2
* Nguyên nhân sai: Hiểu chưa đúng khái niệm, xác định sai yêu câu, lỗi trình bày
* Loi bàn: Việc dạy khái niệm, cách trình bày
Ví dụ 1.3)
* Đề bài: Cho € = (xỶ - 1)(x? + 1) voi xe R Tìm C„„„ ?
# Một lời giải saI:
Có: (xÌ- l)>- l; (xÌ+l)> 1 với xe R=>C >(-l).(1)=-l với xe R
€C =- I khi x`=0 hay x =0 Vậy C„„„ = -I
* Nguyên nhân sai: Biến đôi BĐT sai
* Lời bàn: Việc dạy các phép biến đôi BĐT
Ví dụ 1.4)
* Dé bai: Cho D = (x + y)’ +(x + 1) +(y- x) voix, ye R TimD,,,?
# Một lời giải sai:
Đặt M =(x + l) vàN = (x + y} +(y- x}” với x, ye R
Có: D đạt min <=> đồng thời xảy ra M đạt min và N đạt min ?
Do => M„„¿„= M(-L) = 0
Khi đó N = (-I + y)} + (y + 1) = 2y” + 2 => => Nie = N(O) = 2
=>D>0+2; dấu bằng đạt khi x = -1; y = 0 Vay Dyin = 2
* Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận
# Một lời giải đúng: D = 3xỶ + 2x + 1 + 2y° Đáp số D„„„ = 2/3
* Loi ban: Việc dạy phép suy luận
Ví dụ 1.5)
* Đề bài: Tìm m e R để phương trình sau: xỶ + (m+l)x + 1 =0 (1) có tông bình phương các nghiệm nhỏ nhật ?
# Một lời giải sai:
- Thấy (1) có nghiệm <=> (m+l)” - 4 >0 <=> m > I hoặc m < -3 (*)
- Khi đó xạ” + x;” = = (m+l)” - 2 2 - 2 Dau bang dat <=> m = -1, nhung gid tri m = -1 không thoả mãn (*)
Vay 7m € R dé phuong trinh (1) có tông bình phương các nghiệm nhỏ nhất ?
* Nguyên nhân sai: Hiểu chưa đúng khái niệm
*x+.*.
Trang 3* Lời bàn: Việc dạy khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Ví dụ 1.6)
* Dé bai: Cho E= (+`+-)(y`+-L) voix, ye RY thay đổi /x + y = 1 Tìm E„„ 2
# Một lời giải sai: Có: (x°+ I/y*) = 2x/y > 0; (y+ 1/x*) 2 2y/x > 0 voi x, ye R* => E> 4 voi
x, yER*.E =4khixy= 1 Vay Eni =4
* Nguyên nhân sai: Hiệu chưa đúng khái niệm, không xem xét điều kiện của biến
# Một lời giải đúng: Từ giả thiết => 0 < xy < 1⁄4 Có E = (xy + l/xy)”
Biến đổi E = ((xy + 1/16xy) + 15/16xy) và dùng BĐT Côsi Đáp số E„„„= (17⁄4
* Lời bàn: Việc dạy bài toán cực trị của biểu thức nhiều biến, có điều kiện Rèn học sinh tính
cân thận
Ví dụ 1.7)
* Dé bai: Cho x, y,z € R/xÌ+ yŸ+ z” < 27 (*) Tìm E„„ với Ê = x+y+Z+Xy+yZ+ZX
# Một lời giải sai:
Dễ chứng minh được: xy + yZ + Zx <x”+ yÏ+ Z VOIX, y, ze R
Cùng với giả thiết (#) => xy + yz + zx < 27 ; dau bang xay ra <=> x = y=z
Lại chứng minh được 2{x + y + Z) < (xÌ+ yÌ+ z”) + 3 với x, y,z€ R
Cùng với giả thiết (#) => (x + y + Z) < 15: dấu bằng xảy ra <=> x = y=Z = l
Tir d6 suy ra F $27 + 15 = 42; dau bing xay ra <=> x =y=z=1
Vay Fain = 42
* Nguyên nhân sai: Hiệu chưa đúng khái niệm, không xem xét điều kiện của biến
# Một lời giải đúng: Chứng minh được các kết quả: xy + yz + Zzx <(xỶ+ yÌ+ ZÌ);
(x+y +z) $3(x°+ y' +z’); Dau bang cing xay ra khi x=y=z=3 Dap sé Fy, = 36
_* Lời bàn: Việc dạy bài toán cực trị của biêu thức nhiều biến, có điều kiện Rèn học sinh tính
cân thận
* Chú Ý: Có thể chuyền các bài toán trên thành các bài toán tìm giá trị lớnh nhất
2 Nhóm bài toán về phương trình
Vi du 2.1)
* Dé bai: Giải phương trình : AÍv`—3x+2 + Vie —4x43 =2V —Sx44 (1)
# Một lời giải sai:
- Điều kiện: x°-3x+2 20; x*-4x4+3 20; x°-Sxt4 20 <=>x <1 hoaic x 2 5
- Bién doi (1) <=> Jx=Dr-2 + JO-1hx-3) =2.(x=D(x=4)
<=> vx-lAx~2 + Vx-lAx-3 =2x-lAx-4 <=> ýx-2 + Ýx—3 =2Vx—4
bình phương 2 về và giải tiếp, tìm được x = -97/64, không thoả mãn điều kiện
Đáp số: Phương trình (1) vô nghiệm.
Trang 4# Nguyên nhân sai: Lỗi biến đôi phương trình
# Một lời giải đúng:
Sau khi đặt điều kiện và biển đổi (1) <=> v(«=l(x=2) + j(x=l(x=3) = 2, xết các trường hợp : x = l; x< l; x> Š§ Đáp số: Phương trình (1) có duy nhât nghiệm x = 1
* Lời bàn: Việc dạy phép biến đôi biêu thức có căn
Ví dụ 2.2)
* Dé bai: Giải phương trình: {3v-1 + Ÿx+1 = {-2x (l)
*# Một lời giải sai:
Điều kiện: WV xe R Lập phương 2 về của (1), được:
(l)<=> <=> 3.13x—1.Ÿc+1.({3x—1 + (+1) =-6x
<=> {4r-l.{Jv+1.j-2v =- 2x <=> (3x-l)(x+l)(-2x) = -8x°,
<=> x = 0 hoặc (3x-l)(x+l) = 4x” <=> x = 0 hoặc x = l
Vậy (1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = l
* Nguyên nhân sai: Lỗi biến đôi phương trình
# Một lời giải đúng:
Điều kiện: W x e R Lập phương 2 về của (1), được:
(1)<=> <=> 3.13x-!.Ÿx+1.({3x-I + Ÿx+l) =- 6x
=> ⁄A3:—I.Vx+1.4-2x =- 2x => (3x-l)(x+l)(-2x) = -8x°,
=> x = 0 hoặc (3x-l)(x+l) = 4x => x = () hoặc x = Ì
Thử lại, thấy x = I không thoả mãn (1) Vậy (1) có duy nhất nghiệm là x = 0
* Chú ý: Có thê xét : x =0 => là nghiệm; x>0 => VT>VP; x<0 => VT<VP
* Lời bàn: Việc dạy phép biến đôi phương trình
Ví dụ 2.3)
* Đề bài: Tìm các số thực m đề phương trình sau có đúng một nghiệm số thực:
my) =2(2m +l)x+ 3m +6
x+l
# Một lời giải sai: Điều kiện x # -l
Với điều kiện trên, (I1) <=> mx”-2(2m+l)x+3m+6 = 0 (2)
(1) có đúng l nghiệm <=> (2) có đúng l nghiệm xạ và xạ # -
<=> (2) có nghiệm kép xạ và xạ # -Ï Néu (2) c6 nghiém kép => (2m+1)’ - m(3m+6) = 0 <=> m= I
Với m = I, thử lại thay (2) có nghiệm kép xạ = 3 # -l
Vậy có duy nhất giá trị m = 1 thoả mãn phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thực
* Nguyên nhân sai: Hiệu chưa đúng khái niệm Lỗi suy luận
Trang 5# Một lời giải đúng:
Xét các trường hợp sau:
—2x+6
x#đ
- m=0: ph/tr (1) trở thành = 0, có đúng l nghiệm thực là x = 3
- m#0: Thấy mxỶ - 2(2m+l)x + 3m + 6 = 0 là phương trình bậc 2 có biệt thức
A’ = (2m+1)° - m(3m+6) = (m-L) => A' > 0 với mọi m => phương trình luôn có hai nghiệm x, =
3; xạ = (m+2)/m Khi đó đề (I) có đúng một nghiệm cần có: hoặc (m+2)/m = -l hoặc (m+2)/m
= 3<=> mì = - l hoặc m= l
Vay ph/trinh (1) có đúng I nghiệm <=> m = 0 hoặc m = - l hoặc m = l
* Lời bàn: Việc đạy phương trình bậc hai, ph/tr có tham số; dạy phép suy luận
Ví dụ 2.4)
# Đề bài: Tìm me R đẻ phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt:
(xỶỞ+x- 2)(xỶ - 2(m-l)x +mẺ-l)=0 (1)
# Một lời giải sai: Có (1) <=> xỶ + x - 2 = 0 (a) hoặc xỶ - 2(m-l)x + mỶ - =0 (b)
Thay (a) có 2 nghiệm phân biệt là x = l và x = -2 nên (I) có 4 nghiệm phân biệt <=> (b) có 2 nghiệm phân biệt <=> <=> m < 3/2
# Nguyên nhân sai: Hiệu chưa đúng vẻ tập nghiệm của phương trình; Lỗi suy luận
# Một lời giải đúng: Đáp số: m < 3/2 và m # l; -2 # 4/6
# Lời bàn: Dạy vẻ tập nghiệm của phương trình tích: phép suy luận
Ví dụ 2.5)
* Dé bai: Tim me R để phương trình sau vô nghiệm: Ì x°-3Ì + Ì x”-5Ỉ =m - 3 (1)
# Một lời giải sai:
Do (1) c6 VT 20 Vx e€ R nên (1) vô nghiệm <=> mì - 3 < Ú <=> mì < 3
# Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận
# Một lời giải đúng: Viết (1) <=> Ít - 3Í +Ì 5 -tÍ =m - 3 (2) với t= xÌ >0 Bằng việc xét 3 trường hợp: 0<t<3; 3<t<5; t>5, phá dâu | | , chứng minh được rằng (1) có nghiệm <=> (2) có nghiệm t 20 <=> m > Š Suy ra (l) vô nghiệm <=> m < 5,
* Chú ý: Nếu chứng minh Ì x°-3Ì +Ì x”-SỈ> 2 => (1) có nghiệm khi m > § rồi suy ra (1) vô nghiệm khi m < Š thì chưa đủ
* Lời bàn: Dạy phép suy luận
Ví dụ 2.6)
* Đề bài: Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: xỶ + y` + 27y =36+9y` (1)
# Một lời giải sai: Có (1) <=> xỶ + (y - 3) = 9 mà 9 = 1° + 2° = 3 + 0Ì nên xảy ra: (x”: (y-
3)y) © {(1*; 2°); (3° : O°)} Tir dé suy ra (x: y) = (1: 5) hoặc (x: y) = (3: 3)
* Nguyên nhân sai: Không xét hết các khả năng biêu diễn 9 thành dạng a”+b` (có chăng hạn: 9=6 +(-3)` ).
Trang 6# Một lời giải đúng: Có (1) <=> xỶ + (y - 3) =9 Do xỶ >0 nên (y-3)Ì <8 (ye N)
=> (y-3) < 2 => y < 5 => y€ {0; l; 2; 3; 4; 5} Từ đó tìm được x
Đáp số: có 3 cặp số tự nhiên (x; y) thoả mãn yebt là: (1; 2), (3; 3) và (6; 0)
* Lời bàn: Rèn kỹ năng kiêm soát và bao quát các khả năng khi giải toán;
3 Nhóm bài toán về phép biến đổi đồng nhất, giá trị của biêu thức
Ví dụ 3.1)
* Đề bài: Cho a, b, c# 0 thoả mãn; #*#?=€ -~ #+€=# _ == c a
Tính giá trị biểu thức P= (1+) +2)0#”)
# Một lời giải sai:
at+b<c b+c-a c+a=b
Từ giả thiết =>
+b+ thee t+bh+
=> 2 cx.< cae “ =>a=b=c=>P=8
* Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận
# Một lời giải đúng:
a+b+c _ a+b+c _ a+b+c
Từ giả thiết => => = =
=> a+b+c =O hoica=b=c
Từ đó suy ra P = -l hoặc P = 8
* Lời bàn: Dạy phép suy luận;
Ví dụ 3.2)
* Đề bài: Tìm x € Z /sao cho Q(x) = (xÍ+xÌ-3x-I)/(xÌ+x+l) € Z
- Có x”+x+l > 0 với WxeR Chia T(x) = (xÏ+xÌ`-3x-l) = (x”-I)(x+x+l) - 2x cho M(x) = (x°+x+1) duge du 1a 2x
Dé Q(x) € Z thi T(x) phai chia hét cho M(x) hay đa thức dư 2x phải bằng 0
<=> x = 0) Thử lại, thấy thoả mãn
* Nguyên nhân sai: Nhằm lẫn khái niệm: đa thức chia hết cho đa thức (thương chưa chắc là
số nguyên, ví dụ x+2 chia hết cho 3(x+2) nhưng thương là 1/3 £ Z) và số nguyên chia hết cho số nguyên (thương luôn là số nguyên)
* Một lời giải đúng:
Có Q(x) = (x”-l) + 2x/(xÌ+x+L) Giả sử có x 6 Z để Q(x) € Z, vì x €Z nên x”-l €Z: 2x €Z;
x'+x+l eZ do đó Q(x) €Z <=> 2x/(xÌ+x+l) eZ <=> 2x chia hết cho (x*+x+l) <=> 2(x7+x+1) -
2xŸ - 2 chia hết cho (x*+x+l)
=> 2 chia hết cho (xÌ+x+l) => (x°+x4+1) = 1 hoặc (x°+x4+1) = 2 (do x°+x+1>0 Vx € R)
Trang 7Giải, tìm được x = 0 hoặc x = -l Thử lại thay x = 0 va x = -l thoả mãn yêu cầu
Dap sé: x=0; x=-l
* Lời bàn: Dạy phép chia đa thức; giá trị của biêu thức
Ví dụ 3.3)
* Đề bài: Tìm xe R để A = 2007 + Teal c Z2
# Một lời giải sai:
3
*x+l
<=> (\x+l) = I hoặc 3 Đáp số: x=0; x =4
Điều kiện: x >0 Có A e Z<=> € Z <=> 3 chia hét cho (Vx +1)
* Nguyén nhan sai: Nham lan tap hgp s6 trong phép chia; ngd nhan (Vx +1) € Z
# Một lời giải đúng:
Điều kiện: © x >0 Có (+ ( X +l) > 1 Vx >0 => -zÈ— <3 Vx >0, do đó A 6 Z<=> -— € Z ) Veal X Vol
x+l
<=> đa S723) —==— € {l;2; 3} Đáp sô: x =0: x = l/⁄4:x= Đáps 4
* Chú ý: Có thê giải bằng cách dùng các suy luận số học
* Lời bàn: Dạy phép chia đa thức: giá trị của biêu thức
Ví dụ 3.4)
* Dé bai: Cho x ER / A =x + (I/x) € Z Ching minh: A, = x" + (1/x") ZVne N
# Một lời giải sai:
Từ giả thiét => (x°+1)/x € Z => (x’+1) chia hết cho x => | chia hét cho x
=> x= ‡ l Với x = Ì =>A,„,=2VneN; với x = -l => A„= 2 Vn = 2m và Á„= - 2 Yn = 2m+] Suy ra A, € Z Vne N
* Nguyên nhân sai: Nhằm lẫn tap sé (ngo nhan x €Z) Tir (x°+1)/x € Z => (x°+1) chia hét cho x chỉ đúng khi x e Z Ví dụ: với x =(3+x/5)/2 eZ nhưng (x”+l)/x = 3e Z
# Một lời giải đúng:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n (sử dụng công thức truy chứng
Ansi = A.Ag - Apt)
* Lời bàn: Dạy phép chia; giá trị của biêu thức
Ví dụ 3.5)
* Dé bai: Tim me Z/ a= Vm’ +m+23 € Q
*MOt 101 giai sai:
Tira =Vm' +m+23 => a’ = (m’+m+23) Do m eZ nên ae Z => ae Z*
Ta c6:a°=(m’+m+23)<=>a°=(m+ 1/2)'+91/4<=>(a+me+ 1/2)(a-m-1/2)=9 1/4=(13/2)(7/2)
Trang 8Do a,m €Z nén atm €Z, suy ra chỉ có 4 khả năng:
((a+m+l/2); (a-m-1/2)) € {(13/2; 7/2); (7/2; 13/2); (-13/2; -7/2); (-7/2; -13/2)}
Giải và tìm được m = Iva m = -2 Thử lại, thấy thoả mãn Đáp số: m = 1; m = -2
* Nguyên nhân sai:
Không xét hết các khả năng biểu diễn 91/4 thành tích hai phân số ( chăng hạn 91/4=(91/2).(1/2) .)
# Một lời giải đúng:
Có => a 6 Z° Từ a =Vm +m+23 => (2a+2m+l)(2a-2m-L) = 91
vì a, me Z nên (2a ‡ 2m + l) eZ, mà: (2a+2m+l) + (2a-2m-l) = 4a > 0 và (2a+2m+l)(2a-2m-l)
= 9] >0 nên (2a+2m+l) và (2a-2m-I) đều e Z”
Do chỉ có 2 cách phân tích 91 thành tích 2 số nguyên dương là 91 = 91.1 = 13.7 suy ra ((2a+2m+l): (2a-2m-l)) {(91; 1); (1:91); (13: 7): (7: 13)}
Giải, thử lại
Đáp số: m = -23; m = -2; m= l; m = 22 (ứng với a = 23; a = 5; a =5; a = 23)
* Lời bàn: Rèn kỹ năng kiêm soát và bao quát các khả năng khi giải toán;
4 Nhóm bài toán hình học
Ví dụ 4.1)
* Đề bài: Cho tam giác ABC có hai phân giác BD và CE cắt nhau tại I Biết rang ID = IE, tìm mối liên hệ giữa số đo các góc: ABC và ACB
# Một lời giải sai:
Vé 1H 1 AB, IKL AC (hinh vé) => IH = IK
=> AIHE = AIKD => /EH = IDK
=> A+(B/2)= A+(€/2) (tính chất góc ngoài của
tam giác)
=> (B/2)= (C/2)
=> ABC = ACB
Cc
* Nguyên nhân sai: Lời giải phụ thuộc vào hình vẻ, lỗi không xét hết các khả năng về vị trí của các điềm H và K
# Một lời giải đúng: Có 4 khả năng vẻ vị trí của H, K ứng với 4 trường hợp hình vẽ
- THỊ: He BE, K e CD, xem chitng minh trén => ABC = ACB
- TrH2: He AE,Ke AD, chứng minh như TrH | => ABC = ACB.
Trang 9- TrH3: H € BE, K € AD, ching minh duge: A+(C/2)= C+(B/2) => A=(B+C)/2, ma A+B+C=180° => ABC + ACB = 120°
- TH4: He AE, Ke CD, ching minh nhu TrH 3, duge: ABC + ACB = 120°
# Lời bàn: Rèn các tác phong khi giải bài toán hình học: cân thận; xem lời giải có phụ thuộc
hay không vào các yếu tố có trong bài toán (vị trí các điểm, đường ., số đo các độ dài, góc .);
xét đủ các khả năng có thê về vị trí
Ví dụ 4.2)
* Đề bài: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R) Từ một điểm M chạy trên cung nhỏ BC dựng các đường thăng MH, MK lân lượt vuông góc với AB, AC (H, K là chân các đường vuông góc) Tìm vị trí điểm M đề độ dài HK là lớn nhất
# Một lời giải sai:
Thấy AHMK là tứ giác nội tiếp, đường tròn (AHMK) :
có đường kính AM, suy ra
HK s AM (1) Mặt khác, trong đường tròn (O;:R) ta
lại có AM < 2R (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HK <2R Dấu bằng xảy ra <=>
AM = 2R <=> AM đi qua O <=> M đối xứng với A
Vậy HK lớn nhất và bằng 2R khi M đối xứng với A ¡w
qua O
# Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận: Từ HK < AM < 2R => HK„„, = 2R là sai vì
HK = AM <=> HAK = 90°, điều này mâu thuẫn với giả thiết AABC nhọn
# Một lời giải đúng:
Từ giả thiết dễ chứng minh được AMBC đồng dạng với AMHK, suy ra (HK/BC) = (MH/MB) Mà MH <MB, suy ra HK < BC
Dau bang xay ra <=> MH = MB <=>MB L AB <=> AM đi qua O
Vay HK lớn nhất và bằng BC khi M đối xứng với A qua O
* Chú ý: Nếu thay giả thiết "AABC nhọn" bằng giả thiết "AABCT, lời giải đúng trên liệu còn đúng không 2 2 2
* Lời bàn: Dạy bài toán cực trị hình học; phép suy luận
Ví dụ 4.3) (liên quan đến ví dụ 4.2)
* Dé bài: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R) Từ một điểm M chạy trên cung BC không chứa điểm A dựng các đường thăng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC (H, K là chân các đường vuông góc) Tìm vị trí điểm M đề độ dài HK là lớn nhật
# Một lời giải sai:
Trang 10Từ giả thiết, dé chứng minh được AMBC A
đông dạng với AMHK, suy ra (HK/BC) =
(MH/MB) Mà MH <MB nên HK < BC
Dau bang xay ra <=> MH = MB
<=> MB 1 AB <=> AM di qua O
, * B Cc
* Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận: "Dấu bằng xảy ra <=> MH = MB" chỉ đúng khi O nằm trong góc BAC Tit giả thiết không thê suy ra luôn có điều này ? !
*# Một lời giải đúng: Xét 3 trường hợp:
- Nếu O nằm trong góc BAC giải như lời giải đúng ở trên
- Nếu O nằm ngoài góc øAC và AC > AB (O gần AC hơn AB), gọi N, P lần lượt là điểm đối
xứng của M qua AB, AC, chứng minh được NP = 2HK, góc wAP=2 8AC Từ đó suy ra HK lớn
nhat <=> NP Ién nhat <=> AN lớn nhat <=> AM lớn nhât <=> AM = AC <=> M trùng với C
Khi đó HK = AC.sinA
- Nếu O nằm ngoài góc BAC và AC < AB (O gan AB hơn AC), chứng minh như trên, được
HK lớn nhat <=> M trùng với B Khi đó HK = AB.sinA
_ #* Lời bàn: Rèn các tác phong khi giải bài toán hình học: cần thận; xét đủ các khả năng có thê
về quan hệ giữa các yêu tô trong bài
Ví dụ 4.4)
* Dé bài: Cho đường tròn (O; R) với đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa cung AB, lây điểm M bất kỳ trên đoạn CO (M khác C và O) Gọi I, K lân lượt là hình chiêu vuông góc M trên AB, AC; H là hình chiêu vuông góc của I trên OK Ching minh 3 diem A, M, H thăng hàng
# Một lời giải sai: