Tuyển chọn các bài toán số học trong các đề chuyên

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

LỜI NÓI ĐẦU

Trong các kì thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên trên toàn quốc thì các

bài toán về số học xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thi với các bài toán ngày càng hay và khó hơn Trong đó ngoài các bài toán có dạng khá quen thuộc thì cũng có nhiều bài toán rất mới mẻ Nhằm đáp ứng nhu cầu của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website

tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em tuyển chọn các bài toán

số học trong kì thi vào lớp 10 chuyên toán Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều

đề thi để viết chuyên đề này.

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập Hy vọng tuyển tập các bài toán

số học thi vào lớp 10 chuyên toán sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI TUYỂN

SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Trong các kì thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên trên toàn quốc thì

các bài tón về số học xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thi với các bài toánngày càng hay và khó hơn Trong đó ngoài các bài toán có dạng khá quen thuộcthì cũng có ngiều bài toán rất mới mẻ Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn

và giới thiệu một số bài toán số học được trích trong các đề thi tuyển sinh chuyêntoán các năm gần đây

Bài 1 Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn k24 và k216

là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2009 –

Do vậy từ các trường hợp trên suy ra để k24 và k216 là các số nguyên tố thì

k phải chia hết cho 5

Bài 2 Cho một tam giác có số đo ba cạnh là x, y, z nguyên thỏa mãn điều

kiện:

2x 3y 2z 4xy 2xz 20 0

Chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bình Định năm học 2009 –

2010

Lời giải

Ta có 2x23y22z24xy 2xz 20 0   Ta có x, y, z là các số nguyên dương nên từ

đẳng thức đã cho ta suy ra được y là số chẵn Đặt y 2k k N  � *

và thay vào điều kiện trên ta được

vô nghiệm Do đó để phương trình trên có nghiệm nguyên dương thì k 1 , suy

ra y 2 Thay k 1 vào biệt thức  ta được

Bài 3 Tìm số tự nhiên abc thoả mãn điều kiện abc a b 4c2

Mặt khác ta có



 2

2.5abc

không chia hết cho 3 nên

35 7 Vì ta có 0 a 4  và 1 3a 7 suy raM



a 2, khi đó c 6;b 1 Ta có số 216 thoả mãn yêu cầu bài toán.

Vậy số abc 216 là số cần tìm.

Bài 4 Cho ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện:

i) ap 1 chia hết cho q ii)  aq 1 chia hết cho p

pqa

2 p q

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2009 –

2 p q Bài toán được chứng minh xong

Bài 5 Tìm tất cả các cặp số nguyên  a;b

nghiệm đúng điều kiện

Bài 6 Tìm các số nguyên dương x, y, z thoả mãn điều kiện x3y3z Trong 2

3 trái với giả thiết  z;3 1

Đặt x y k ;x  2 2xy y 2t k;t Z2 � 

khi đó ta có



z kt

Do vậy 4t24x24xy 4y 2�3y24t24x24xy y 22t 2x y 2t 2x y      

Vì y nguyên tố nên ta được các trường hợp sau

Từ đó tìm được y 7 , thay vào ta được x 8;z 13.

Vậy các số nguyên dương x;y;z  8;7;13

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 7 Giả sử m và n là các số nguyên dương với n 1 Đặt S m n2 24m 4n Chứng minh rằng:

a) Nếu m n thì  mn222n S m n2  2 4

.b) Ta đi xét các trường hợp sau.

� Trường hợp 1 Nếu m n , khi đó theo như chứng minh trên ta được

nên S không thể là số chính phương

� Trường hợp 2 Nếu m n , khi đó ta được S m n 2 2 Lại có Smn 2 2

Khi đó ta được m n2 24m 4n m n  2 22mn 1 �4n 4m 2mn 1   , không tồn tại m

Giả sử tồn tại các bộ số a;b;c

gồm các chữ số trong hệ thập phân a, b, c đôi

một khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức ab b

c

Khi đó đẳng thức trên trở thành 10a b c   10c a b 

hay 2.5.c a– b  b a– c

Suy ra 5 là ước số của b a– c 

Do 5 nguyên tố và �1 a,b,c 9, lại có �� a c nên tađược b 5 hoặc a c 5  hoặc c a 5  Ta đi xét các trường hợp sau.

Trường hợp này tìm được a;b;c  6;5;2 , 9;5;1  

thỏa mãn yêu cầu bài toán

� Trường hợp 2 Với a c 5  ta được a c 5  nên      �  

2c 1 nên ta được 2c 1 3  hoặc 2c 1 9  vì c 0�

Trường hợp này tìm được a;b;c  6;4;1 , 9;8;4  

thỏa mãn yêu cầu bài toán

� Trường hợp 3 Với c a 5  ta được c a 5  nên

Vậy các bộ số thỏa bài toán là a;b;c  6;5;2 , 9;5;1 , 6;4;1 , 9;8;4      

Bài 9 Tìm tất cả các dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng bằng 2010.

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2010 –

là ước số của 2010 1.2.3.5.67 .

Nên suy ra y 1 � 2;3;5;6;10;15;30;67;134;201;335;402;670;1005;2010

.Hay ta được y�1;2;4;5;9;14;29;66;133;200;334;401;669;1004;2009

Đến đây ta có + Với y 1 ta có 2x 1 1005  �2x 1004 nên dãy số cần tìm là 1004, 1006.

+ Với y 2 ta có 2x 2 670  �2x 668 nên dãy số cần tìm là 668, 670, 672.

nên dãy số cần tìm là 120, 122,

124, 126, , 148

Vậy chỉ có 7 dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp như trên thoả điều kiện bài toán.

Bài 10 Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho a b chia hết cho 2 a b 12  .

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bình Định năm học 2010 –

ta suy ra được a 1 0  �a 1 , khi đó ta được b 1 m 1     2

được b 3 Do đó trong trường này ta được hai cặp số nguyên dương thỏa mãn

bài toán là a 2;b 1  và a 2;b 3  .

Vậy các cặp số nguyên dương  a;b

thỏa mãn yêu cầu bài toán là

� Nếu z 0 thì ta được x;y;z  x; x; 0 

với x là số nguyên bất kì thỏa mãn yêucầu bài toán

� Nếu z 0� thì từ các điều kiện trên ta có x2xy y 2 x y hay

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học

Từ phương trình trên suy ra 2t27t 0� �t 2t 7  �0 �0 t 3� � (do t��).

Mặt khác cũng theo phương trình trên thì Mt 7 nên ta được t 0 Suy ra

  

nên y 0

Do đó ta được x 1 Thử lại ta thấy    x;y  1;0

thoả mãn phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là    x;y  1;0

Bài 13 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p a2b2c với a, b, c là các số2

nguyên dương sao cho a4b4c4 chia hết cho p

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2011 –

Từ đó ta được ab c p 2M

hay c2ab pMMặt khác 1 a b c� � � nên 0 c�2ab c 2a2b2c2p Do đó c2ab 0 hay

� Nếu x, y, z đều không chia hết cho 3 thì x ;y ;z đều chia cho 3 dư 1 khi đó2 2 2



2 2

x y chia cho 3 dư 2 và 2

z chia cho 3 dư 1, điều này mâu thuẫn với x2 y2z2

Do đó trong hai số x, y tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 nên suy ra suy xy 3M

� Nếu x, y, z đều không chia hết cho 4 thì x ;y ;z đều chia cho 4 dư 1 hoặc dư 2 2 2

0 Khi đó xẩy ra các khả năng sau

+ Nếu x2y chia cho 4 dư 2 và 2 2

z chia cho 4 dư 1, điều này mâu thuẫn với

2 2 2

x y z Do đó trong hai số x, y tồn tại ít nhất một số chia hết cho 4 Do đó suy ra xy 4.M

+ Nếu x2y chia hết cho 8 và 2 2

z chia cho 8 dư 4, điều này mâu thuẫn với

2 2 2

x y z Do đó trong hai số x, y tồn tại ít nhất một số chia hết cho 4 Do đó suy raxy 4.M

Vì xy 3 và MM xy 4 Mà 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên ta được Mxy 12

Bài 15 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại cặp số nguyên  x;y

ta được 72 1 2y nên 2 y 5

Vậy p 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nhận xét Ngoài cách giải như trên ta còn có thể giải bằng cách xét các khả

năng của p: Với p chẵn không xẩy ra Với p 4k 1  khi đó ta được

 � 

2 2

Do đó ta được n2��5n 4 0� 1 n 4 hay n�1;2;3;4

Ta xét các trường hợp sau

11x

+ Với n 4 thì bất đẳng thức trên xẩy ra dấu bằng nên x1 x2x3x44

Vậy các bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là

+ Với n 1 thì ta được x1 1

+ Với n 3 thì ta được x1;x ;x2 3  2;3;6 , 2;6;3 , 3;2;6 , 3;6;2 , 6      ;2;3 , 6  ;3;2

.+ Với n 4 thì ta được  x ;x ;x ;x1 2 3 4  4;4;4;4

Bài 17 Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A n 2010 n 2011 n 2012       

làmột số chính phương

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học

+ Nếu n lẻ thì n 2010;n 2011    n 2011;n 2012    n 2010;n 2012  1

Do đó

để tích là số chính phương thì n 2001;n 2011;n 2012 là ba số chính phương  Nhưng n 2011;n 2012 là hai số nguyên liên tiếp nên không thể cùng là số chính phương

là các số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 18 Giả sử a và b là các số nguyên dương sao cho

Kí hiệu ��x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2011

– 2012

Lời giải

+ Nếu d 0 thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng.

+ Nếu d 0 Giả sử a dm;b dn  với m, n là các số nguyên dương.

Như vậy d là số nguyên không vượt quá a b , mà  ��a b �� là số nguyên lớn

nhất không vượt quá a b Do đó ta được  d���a b �� Bài toán được chứngminh

Bài 19 Ta tìm hai số nguyên dương x, y sao cho

� Với x y ta có z 1 Vậy mọi bộ ba số x;x;1

trong đó x là số nguyên dương tùy ý đều thỏa mãn

� Với x y , khi đó ta có x2 2 xy 2 nên   



2

1

� Với x y Khi đó giả sử bộ ba số nguyên dương x;y;z

thỏa mãn đề bài

Do đó ta có y x 22 xy 2M  

hay ��x xy 2 2 x y      ��Mxy 2 

nên 2 x y   xy 2   M  Suy ra tồn tại số k nguyên dương sao cho 2 x y   k xy 2   1

+ Với k 2� suy ra x y xy 2 �  nên x 1 y 1 3 0     �

, điều này vô lí

Bài 20 Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà

tổng của chúng chia hết cho 27

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hà Nội năm học

2011 – 2012

Lời giải

Ta chứng minh từ 5 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 3 số mà tổng củachúng chia hết cho 3 Thật vậy, mỗi số tự nhiên khi chia cho 3 thì có phần dư là

Từ 53 số tự nhiên đã cho chọn được 3 số mà tổng của chúng là a chia hết1

cho 3 Xét 50 số còn lại chọn được 3 số mà tổng là a chia hết cho 3 Lặp lại lập2

luận này từ 53 số ta chọn được 17 bộ số mà mỗi bộ số gồm 3 số có tổng lầnlượt là a ;a ; ;a sao cho mỗi tổng đều chia hết cho 3.1 2 17

Chứng minh tương tự nhận thấy từ 5 số tự nhiên bất kì mà mỗi số đềuchia hết cho 3 ta chọn được 3 số có tổng chia hết cho 9 Vậy từ 17 số

Bài 21 Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn 3x26y2 z2 3y z2 218x 6

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2011 –

+ Khi y 1

, ta được x 0;x 6 Suy ra  x;y;z  0;1;0 , 0; 1;0 , 6;1;0 , 6; 1;0        

lànghiệm của phương trình đã cho

+ Khi y 0 , ta được x 3 211

nên không có số nguyên x nào thỏa mãn

+ Khi y 2

, ta được x 3 23

nên không có số nguyên x nào thỏa mãn

� Với z 3, khi đó ta được x 3 211y28

Từ đó suy ra 11y2�8 nên y 0 Từ

đó suy ra không có số nguyên x nào thỏa mãn

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2011 –

và p2 1 2y 22 Lấy hiệu theo vế của hai đẳng thức đã cho ta được p p 1   2 y x y x 3      Suy ra ta được 2 y x y x p 4     M  

ta được 72 1 2y nên 2 y 5

Vậy p 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 23 Cho a, b, c là các số nguyên sao cho 2a b,2b c,2c a   đều là các số

không chia hết cho 27

Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học

Do đó ta được x và y cũng chia hết cho 3 Từ đó ta được 2a b;2b c;2c a cũng   chia hết cho 3.

Vậy a 0;b 1;c 2 là bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Bài 24 Tìm số nguyên dương n sao cho

k u4k 1 13v hoặc

k 13u ;4k 1 v Khi đó ta được 4k v 21, tương tự như trên

thì trường hợp này cũng không xẩy ra

Vậy không tìm được n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 25 Tìm tất cả các bộ hai số chính phương n;m

Từ phương trình trên suy ra số nguyên tố 101 là ước của y x hoặc y x

Lại do 103�n m 10  4 nên 32 x y 99�  � Do đó ta được 64 x y 200�   và

  �

0 y x 67

Suy ra y x 101;y x 11.d    Do đó x, y khác tính chắn lẻ và d là số lẻ.

Do 64 2x 101 11d�   nên 11d 37� Suy ra d 3� nên ta được d 1 hoặc d 3 .

+ Với d 1 thì x y 101;y x 11    suy ra   x;y   45;56

Bài 26 Tìm hai số nguyên a,b để a44b là số nguyên tố.4

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 –

2013

Lời giải

Ta có a44b4a22ab 2b 2 a22ab 2b 2

.Vì a22ab 2b 2�0;a22ab 2b 2�0

Do đó a44b nguyên tố khi và chỉ khi một thừa số là 1 còn thừa số kia là số4

nguyên tố Khi đó ta có các trường hợp sau

Bài 27 Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu như tổng bình phương

các ước dương của nó (kể cả 1 và n) đúng bằng n 3 2

a) Chứng minh rằng số 287 là một số điều hòa

b) Chứng minh rằng số n p (với p là một số nguyên tố) không thể là số 3điều hòa

c) Chứng minh rằng nếu số n p.q (với p và q là các số nguyên tố khác

nhau) là số điều hòa thì n 2 là một số chính phương

Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học

2012 – 2013

Lời giải

a) Dễ thấy 287 1.7.41 Ta có 287 3 2290284100

và 1 72 241 2872 284100

Suy ra 287 3 2  1 72 2 41 2872 2

nên 287 là số điều hòa

b) Giả sử n p là số điều hòa Vì p là số nguyên tố nên các ước dương của3

Bài 28 Tìm các số nguyên tố p sao cho 1 p p  2p3p4 là số hữu tỷ

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2013

 

Thử lại ta thấy với p 3 thì 1 p p  2p3p4 11 là số hữu tỉ.

Vậy p 3 là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 29 Với mỗi số nguyên dương n ta ký hiệu S là tổng của n số nguyên tố n

đầu tiên như sau

a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.

b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5 Với những giá trị nào của a thì M làlũy thừa của 5

Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học

Do vậy a 1 thì M là lũy thừa của 5.

Bài 31 Cho x, y là các số tự nhiên khác 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đặt k 2x nên k là số chẵn Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của A  36k5y

Dễ thấy A 11 khi  k 2;y 2  hay x 1;y 2  Ta chứng minh A 11 là giá trị nhỏnhất của A

Thật vậy, do A  36k5y

nên suy ra A 36 k5y hoặc A 5 y36k.

� Xét trường hợp A 36 k5y Khi đó ta thấyA 36 k5y luôn có chữ số tận cùng

là 1

Nếu A 11 và A có chữ số tận cùng là 1 nên A 1 hay 36k5y 1

+ Nếu y là số chẵn thì 36k �0 mod3 ;5  y �1 mod3 

nên 36k5y �2 mod3 

Mà 1 1 mod3�  

nên phương trình trên vô nghiệm

+ Nếu y là số lẻ thì 36k �0 mod4 ;5  y �1 mod4 

nên 36k5y �3 mod4 

Mà 1 1 mod 4�  

nên phương trình trên vô nghiệm

� Xét trường hợp A 5 y36k Ta thấy A 5 y36k có chữ số tận cùng là 9

Nếu A 11 và A có chữ số tận cùng là 9 nên A 9 hay 5y36k9

Dễ thấy 36 chia hết cho 3 và k y

5 không chia hết cho 3 nên 5y36k 9 không

chia hết cho 3

Do đó phương trình trình vô nghiệm

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 11 khi x 1;y 2  .

Bài 32 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương  a;b

ta có a b ab 2 �  �a 1 b 1 1 0     �

, điều này mâu thuẫn do a và b là các số nguyên dương Do vậy ta được k 1 .

Từ 2 a b   k ab 2 

ta có 2 a b   ab 2 �a 2 b 2     2

Giải phương trình này với điều kiện a và b nguyên dương được a 3;b 4 hoặc  a 4;b 3 Thử lại thấy chỉ có a 4;b 3 thỏa mãn đề bài.

Vậy bộ số nguyên dương    a;b  4;3

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 33 Giải phương trình nghiệm nguyên 5x28y220412

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2013

– 2014

Lời giải

Trước hết ta nhận thấy số chính phương khi chia cho 3 có thể dư 0 hoặc dư 1

Do đó tổng hai số chính phương chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả hai số cùng chia hết cho 3

+ Với y31, khi đó ta được x3 2;x3 2

+ Với y3 1, khi đó ta được x3 2;x3 2

  x;y  54;27 , 54; 27 , 54;27 , 54; 27        

Bài 34 Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số M a 2ab b 2 (với a, b

là số lẻ, trường hợp này cũng không xẩy ra

Do đó cả hai số a và b đều là số chẵn Khi đó M chia hết cho 4, từ đó suy ra M chia hết cho 20

b) Ta có a2ab b 2 a b  a3 Mb 53

nên a3b3 a3b 53MLại có a6a2a a 1 a 1 a2       2 M1 5

b 5

Suy ra a2M b a b 5   M

nên a 52M hay Ma 5 nên MM 25

Lại có 4 và 25 là hai số nguyên tố cùng nhau nên MM 100 hay chứ số hàng chục của M là 0

Bài 35 Tìm các bộ số tự nhiên a ;a ; ;a1 2 2014

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hà Nội năm học

Từ đó suy ra trong 2014 số chính phương a12014 ; a 2 22014 ; ; a2  201420142

có đúng 1 số nhận giá trị là 1 và các số còn lại nhận giá trị là 2014 Không mất tính tổng quát ta giả sử

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014 –

, nhưng 202 không chia hết cho 4, vô lý Do đó p 2.

+ Nếu 2q 1 5 thì   q 3 và r 41 đều là các số nguyên tố

+ Nếu 2q 1 9 thì   q 5 và r 23 đều là các số nguyên tố.

+ Nếu 2q 1 15  thì q 8 không là số nguyên tố.

Vậy tất cả các bộ ba số nguyên tố phải tìm là p;q;r  2;5;23 , 2;3;41  

và các hoán vị

Bài 37 Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a2ab b 2 c2 cd d 2

Đặt s a b c d    Giả sử s p là một số nguyên tố thì a b c  �d mod p 

Vậy s 1 và không là số nguyên tố nên s phải là hợp số.

Bài 38 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p 1 p 1    

chia hết cho 24

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014

chia hết cho 3Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p 1 p – 1   

chia hết cho 3Mặt khác vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ Suy ra p 1 và p 1 là hai

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau ta được p 1 p – 1   

chia hết cho 24

Bài 39 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x3y – 3xy – 3 03  .

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014

– 2015

Lời giảiBiến đổi phương trình đã cho ta có

3 (Trường hợp nàyloại)

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên       x;y  1;2 , 2;1 , 1; 1 , 1;1   

Bài 40 Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện 1 1 1 

a b c a) Chứng minh rằng a b không thể là số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng nếu c 1 thì a c và b c không đồng thời là số

nguyên tố

Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học

.Giả sử a b và b c đều là số nguyên tố  a a c nên a,a c  1

, tương tự ta có

b,b c  1

mà b a c a  M

nên suy ra Mb a Lập luận tương tự ta được Ma b

Do vậy ta được a b Suy ra a c b c 3c    nên không thể là số nguyên tố do



c 1.

Vậy c 1 thì a c và b c không đồng thời là số nguyên tố.

  t 1 t 2 t 3 t 4         9.10.11.12�t 8 �2x8�x 3

� Xét �y 1, khi đó 2 2x x1 2  x2 2  x3 2  x 4 2 5 x y

chia hết cho 5 và 11879.2xkhông chia hết cho 5 Nên trường hợp này không có nghiệm

Vậy ta tìm được    x;y  3;0

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 42 Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn x4x2y2 y 20 0 .

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2015

Với x20 ta có y2 y 20� y2 y 20 0 � y 5;y 4 thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là

  x;y  3;10 , 3; 11 , 3;10 , 3; 11 , 0; 5 , 0;4             

Bài 43 Tìm các số nguyên k để k48k323k226k 10 là số chính phương.

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2015

với m là một số nguyên Từ đó ta được m2 k 321�m k 3 m k 3       1

Vì m và k là các số nguyên nên m k 3  và m k 3  cũng là các số nguyen Từ

Giải các hệ trên ta được k 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy k 1 hoặc k 3 thì k48k323k226k 10 là số chính phương

Bài 44 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:

Bài 45 a) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho a b c 0   và ab bc ca 3 0    

b) Cho m là số nguyên, chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên a, b,

c khác 0 sao cho a b c 0   và ab bc ca 4m 0    thì cũng tồn tại các số nguyên

a', b', c' khác 0 sao cho a' b' c' 0   và a'b' b'c' c'a' m 0    .

c) Với k là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a, b, c khác 0 sao cho a b c 0   và ab bc ca  2   0   k .

Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học

Dễ thấy 0 chia hết cho 4 và 4 a '2b'2c'2  a b m' ' 2

không chia hết cho 4 Điều này dẫn đến mâu thuẫn Vậy trường hợp này không xẩy ra

Như vậy các số a ;b ;c như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.' ' '

c) Nếu a b c 0   và ab bc ca 2   k 0 thì tương tự câu a ta có

Dễ thấy 0 chia hết cho 4 và 4 a '2b'2c'2 a b' '2

không chia hết cho 4 Điều này dẫn đến mâu thuẫn Vậy trường hợp này không xẩy ra

� Trường hợp 2 Cả ba số a, b, c cùng chẵn Khi đó gọi p là số tự nhiên lớn

nhất sao cho cả ba số a, b, c cùng chia hết cho 2 Nghĩa làp

a a 2 ;b b 2 ;c c.2 với ' ' '

a ;b ;c là các số nguyên và có ít nhất một số lẻ Khi

đó ta được a2b2 c2 2k 1  �a'2b'2c 2'2 2p 2k �a'2b'2c'22k 2p 

Tương tự như trên ta được a ;b ;c khác 0 nên ' ' ' k 2p 2 � nên 2k 2p M4

Mà a ;b ;c khác 0 rong đó có ít nhất một số lẻ nên ' ' ' a'2b'2c'2 không chia hết

cho 4 Do đó trường hợp này cũng không xẩy ra

Vậy không tại các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 46 Tìm số tự nhiên bé nhất có bốn chữ số biết nó chia cho 7 được số dư 2

và bình phương của nó chia cho 11 được số dư là 3

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Đăk Lăk năm học 2015 –

Lại có x chia 7 dư 2 nên x 2 7 M nên  x 2 63 7 hay  MM x 61 7 Do đó ta được x 61

là bội chung của 7 và 11 nên ta được x 61 77k k N   � 

Vì 1000 x 9999��� �  1000 77k 61 9999 14 k 130

Mà x bé nhất nên ta chọn được k 14 suy ra x 77.14 61 1017  

� Trường hợp 2 Nếu x chia 11 dư 6 dư 5 suy ra  Mx 6 11 nên   Mx 5 11 11 hay

 M

x 5 11

Lại có x chia 7 dư 2 nên x 2 7 M nên x 2 7 7  M hay  Mx 5 7 Do đó ta được x 5 là

bội chung của 7 và 11 nên ta được x 5 77k k N   � 

Vì 1000 x 9999��� �  1000 77k 5 9999 14 k 129

Mà x bé nhất nên ta chọn được k 14 suy ra x 77.14 5 1073  

Vì 1073 1017 nên số phải tìm là 1017.

Bài 47 Cho dãy số tự nhiên 2; 6; 30; 210; được xác định như sau: Số hạng

thứ k bằng tích của k số nguyên tố đầu tiênk 1;2;3;  

Biết rằng có hai số hạng của dãy số đó có hiệu bằng 30000 Tìm hai số hạng đó

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015

– 2016

Lời giải