BỒI DƯỠNG HỌC SINH CÓ NĂNG KHIẾU TOÁN HỌC Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ TỈNH PHÚ THỌ VỀ CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN

+ Bồi dưỡng học sinh có năng khiếu là nhiệm vụ quan trọng trong nhà trường. Chương trình giáo dục phổ thông của nước ta trong giai đoạn hiện nay theo định hướng phát triển năng lực người học. Trong đó yêu cầu cần đạt về phẩm chất và năng lực là “Bên cạnh việc hình thành, phát triển các năng lực cốt lõi, chương trình giáo dục phổ thông còn góp phần phát hiện, bồi dưỡng năng lực đặc biệt (năng khiếu) của học sinh”. Việc phát hiện, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước luôn là một nhiệm vụ quan trọng. Việc xây dựng chương trình môn Toán ở trung học cơ sở cần phải “Phù hợp với năng lực nhận thức của học sinh, điều kiện thực tế của giáo dục, nhà trường và xã hội, kế thừa và phát huy truyền thống giáo dục toán học của nước ta, tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển lâu dài” . + Chủ đề đường tròn ở lớp 9 có nhiều dạng toán, phong phú về nội dung, với nhiều kỹ thuật, liên quan đến các thao tác trí tuệ, thuận lợi cho việc bồi dưỡng HSG. Liên quan đến chủ đề đường tròn ở lớp 9 có thể kể đến những dạng toán sau: Toán chứng minh (các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác bằng nhau, tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp…); Toán dựng hình (quy về dựng điểm, đường thẳng, đường tròn, giao của hai quỹ tích…); Toán quỹ tích; tính toán độ dài, độ lớn góc; Toán cực trị hình học. Một số kĩ thuật liên quan đến giải toán Hình học lớp 9 thường được dùng có thể kể đến: Kĩ thuật dựng hình phụ, dựng hình tạm, kĩ thuật cắt, ghép, nối các hình; các kĩ thuật sáng tạo (điều chỉnh, loại bỏ, đảo ngược, kết hợp, thay thế, ứng dụng mới)... Đồng thời khi giải toán về đường tròn có thể cần huy động nhiều hoạt động trí tuệ như: Phân tích – tổng hợp, dự đoán, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá… Những kĩ thuật và những hoạt động trí tuệ kể trên rất cần thiết và thuận lợi cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9. + Đã có một số đề tài luận văn thạc sĩ sau về bồi dưỡng học sinh khá và giỏi môn Toán ở trường phổ thông, nhưng không có đề tài nghiên cứu nào về bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán học ở trung học cơ sở tỉnh Phú Thọ về chủ đề đường tròn. Có thể kể ra một số đề tài luận văn thạc sĩ sau về bồi dưỡng học sinh khá và giỏi môn Toán ở trường phổ thông, chẳng hạn các luận văn của các tác giả: Phạm Minh Phương (2005). Xây dựng các chuyên đề gợi mở kích thích và bồi dướng năng khiếu toán học cho học sinh hệ phương trình chuyên toán, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP HN. Nguyễn Văn Hiến (2006), Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh giỏi ở trường THCS qua chủ đề bất đẳng thức hình học phẳng, luận văn thạc sĩ trường ĐH Thái Nguyên. Lê Thị Hà Đông (2007), Rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình bậc 2 cho học sinh khá giỏi ở trường THCS, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP HN. Nguyễn Sơn Hà (2007), Vận dụng phương pháp đàm thoại phát hiện và GQVĐ trong dạy học bất đẳng thức cho HS khá giỏi, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP HN. Lại Thị Hằng (2008), Vận dụng phương pháp dạy học khám phá trong dạy học chứng minh bất đẳng thức cho học sinh khá giỏi ở trường THPT, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP HN.

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ

Hà NộiHọc sinhHọc sinh giỏiNhà xuất bảnGiá trị lớn nhấtTrung học cơ sởTrung học phổ thôngThực nghiệm sư phạmSách bài tập

Sách giáo khoa

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.2.1: So sánh kết quả khảo sát và thực nghiệm 95

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1 Tám loại hình thông minh của con người Nguồn

Hình 2 Văn bia được trưng bày tại Văn Miếu - Quốc Tử

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

+ Bồi dưỡng HS có năng khiếu là nhiệm vụ quan trọng trong nhà trường

Chương trình giáo dục phổ thông của nước ta trong giai đoạn hiện naytheo định hướng phát triển năng lực người học Trong đó yêu cầu cần đạt về

phẩm chất và năng lực là “Bên cạnh việc hình thành, phát triển các năng lực cốt lõi, chương trình giáo dục phổ thông còn góp phần phát hiện, bồi dưỡng năng lực đặc biệt (năng khiếu) của học sinh” (tr 7[ 5] Việc phát hiện, bồi

dưỡng nhân tài cho đất nước luôn là một nhiệm vụ quan trọng Việc xây dựng

chương trình môn Toán ở trung học cơ sở cần phải “Phù hợp với năng lực nhận thức của học sinh, điều kiện thực tế của giáo dục, nhà trường và xã hội,

kế thừa và phát huy truyền thống giáo dục toán học của nước ta, tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển lâu dài” [6].

+ Ch đ đ ủ ề ườ ng tròn l p 9 có nhi u d ng toán, phong phú ở ớ ề ạ

v n i dung, v i nhi u kỹ thu t, liên quan đ n các thao tác trí tu , ề ộ ớ ề ậ ế ệ thu n l i cho vi c ậ ợ ệ b i d ồ ưỡ ng HSG

Liên quan đ n ch đ đế ủ ề ường tròn l p 9 có th k đ n nh ngở ớ ể ể ế ữ

d ng toán sau: Toán ch ng minh (các đo n th ng b ng nhau, các tamạ ứ ạ ẳ ằgiác b ng nhau, t giác n i ti p, ngo i ti p…); Toán d ng hình (quy vằ ứ ộ ế ạ ế ự ề

d ng đi m, đự ể ường th ng, đẳ ường tròn, giao c a hai quỹ tích…); Toán quỹủtích; tính toán đ dài, đ l n góc; Toán c c tr hình h c ộ ộ ớ ự ị ọ

M t s kĩ thu t liên quan đ n gi i toán Hình h c l p 9 thộ ố ậ ế ả ọ ớ ường

được dùng có th k đ n: Kĩ thu t d ng hình ph , d ng hình t m, kĩể ể ế ậ ự ụ ự ạthu t c t, ghép, n i các hình; các kĩ thu t sáng t o (đi u ch nh, lo i b ,ậ ắ ố ậ ạ ề ỉ ạ ỏ

đ o ngả ược, k t h p, thay th , ng d ng m i) Đ ng th i khi gi i toánế ợ ế ứ ụ ớ ồ ờ ả

v đề ường tròn có th c n huy đ ng nhi u ho t đ ng trí tu nh : Phânể ầ ộ ề ạ ộ ệ ư

tích – t ng h p, d đoán, so sánh, đ c bi t hoá, khái quát hoá… Nh ng kĩổ ợ ự ặ ệ ữthu t và nh ng ho t đ ng trí tu k trên r t c n thi t và thu n l i choậ ữ ạ ộ ệ ể ấ ầ ế ậ ợ

vi c b i dệ ồ ưỡng HS gi i Toán l p 9.ỏ ớ

+ Đã có m t s đ tài lu n văn th c sĩ sau v b i d ộ ố ề ậ ạ ề ồ ưỡ ng HS khá và gi i môn Toán tr ỏ ở ườ ng ph thông, nh ng không có đ tài ổ ư ề nghiên c u nào v ứ ề bồi dưỡng HS có năng khiếu toán học ở trung học cơ

sở tỉnh Phú Thọ về chủ đề đường tròn.

Có th k ra m t s đ tài lu n văn th c sĩ sau v b i dể ể ộ ố ề ậ ạ ề ồ ưỡng HSkhá và gi i môn Toán trỏ ở ường ph thông, ch ng h n các lu n văn c aổ ẳ ạ ậ ủcác tác gi :ả

Phạm Minh Phương (2005) Xây dựng các chuyên đề gợi mở kích thích và bồi dướng năng khiếu toán học cho HS hệ phương trình chuyên toán, luận văn

thạc sĩ trường ĐHSP HN

Nguyễn Văn Hiến (2006), Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho HS giỏi ở trường THCS qua chủ đề bất đẳng thức hình học phẳng, luận văn thạc sĩ

trường ĐH Thái Nguyên

Lê Thị Hà Đông (2007), Rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình bậc 2 cho

HS khá giỏi ở trường THCS, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP HN.

Nguyễn Sơn Hà (2007), Vận dụng phương pháp đàm thoại phát hiện và GQVĐ trong dạy học bất đẳng thức cho HS khá giỏi, luận văn thạc sĩ trường

Nguyễn Minh Thu (2013), Phát triển TDST cho HS khá giỏi lớp 8 thông qua

DH chủ đề “giá trị lớn nhất, nhỏ nhất”, luận văn thạc sĩ trường ĐHGD

Mục đích nghiên cứu là đề xuất những biện pháp bồi dưỡng HS THCS

có năng khiếu môn Toán tỉnh Phú Thọ về chủ đề đường tròn, giúp các em

v n d ng đậ ụ ược các kỹ thu t gi i toán v ậ ả ề đường tròn, góp phần bồi dưỡnghiệu quả chủ đề này cho học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận về dạy học theo hướng bồi dưỡng HS có năngkhiếu về môn Toán

- Khảo sát thực trạng bồi dưỡng HS giỏi THCS tỉnh Phú Thọ về chủ đềđường tròn t i m t s trạ ộ ố ường THCS

- Đề xuất phương pháp bồi dưỡng HS có năng khiếu về môn Toán ởTHCS tỉnh Phú Thọ về chủ đề đường tròn

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệuquả của các biện pháp bồi dưỡng HS giỏi THCS tỉnh Phú Thọ về chủ đềđường tròn

4 Giả thuyết khoa học

Nếu giáo viên trang bị và hướng dẫn, làm mẫu các dạng toán vềđường tròn và HS được vận dụng tương tự trong những bài toán khác thì các

em sẽ giải toán chủ đề này tốt hơn, góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng

HS giỏi THCS

Các dạng toán, ví dụ đưa ra đều có dụng ý giáo viên hướng dẫn phântích, từ đó hình thành trí tuệ thông qua các hoạt động tư duy, học sinh có nănglực tốt giải toán về chủ đề đường tròn.

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Những biện pháp bồi dưỡng HS có năng khiếuToán;

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình bồi dưỡng HS giỏi THCS tỉnh PhúThọ về chủ đề đường tròn, chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên Hìnhhọc 9;

- Phạm vi nghiên cứu: N i dung và phộ ương pháp b i dồ ưỡng HS giỏiTHCS tỉnh Phú Thọ về chủ đề đường tròn

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Lí luận về phương pháp bồi dưỡngcho HỌC SINHG và các biện pháp phương pháp bồi dưỡng HS có năng khiếu

về môn Toán

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng bồi dưỡng HSgiỏi về chủ đề đường tròn t i m t s trạ ộ ố ường THCS Phú Th ọ

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm

để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp bồi dưỡng HS giỏiTHCS tỉnh Phú Thọ về chủ đề đường tròn

7 Đóng góp của luận văn

- Về mặt lí luận: Luận văn góp phần làm sáng tỏ phương pháp bồidưỡng có năng khiếu về môn Toán trong dạy học ch đ đủ ề ường tròn

- Về mặt thực tiễn: Đề xuất được một số biện pháp bồi dưỡng HS giỏi

về chủ đề đường tròn, góp phần nâng cao hiệu quả trong công tác bồi dưỡng

HS giỏi THCS

8 Cấu trúc của luận văn

Bao gồm mở đầu, kết luận và ba chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn v b i dề ồ ưỡng HS có năng khiếu về mônToán;

Chương 2: Biện pháp bồi dưỡng HS giỏi THCS tỉnh Phú Thọ về chủ đềđường tròn;

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN V B I D Ề Ồ ƯỠ NG H C SINH Ọ

CÓ NĂNG KHIẾU VỀ MÔN TOÁN

1.1 Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh

1.1.1 Lý thuyết đa trí tuệ của Howard Gardner

Năm 1983, tiến sĩ Howard Gardner – nhà tâm lý học nổi tiếng của Đại

học Harvard, đã xuất bản một cuốn sách có nhan đề “Cơ cấu trí khôn – Lý thuyết về nhiều dạng trí tuệ”, trong đó ông công bố các nghiên cứu và lý thuyết của mình về sự đa dạng của trí thông minh (Theory of Multiple Intelligences) [10].

Theo Gardner H (1983), trí thông minh (intelligence) “là khả năng giải quyết các vấn đề hoặc tạo ra các sản phẩm mà các giải pháp hay sản phẩm này có giá trị trong một hay nhiều môi trường văn hóa và trí thông minh cũng không thể chỉ được đo lường duy nhất qua chỉ số IQ.”

Theo Ông có tám loại trí thông minh:

(1) “Trí thông minh logic - toán học: Đây là vùng phải làm với logic, trừutượng, quy nạp, lập luận suy diễn, và những con số” [10]

(2) “Trí thông minh không gian: Đây là vùng phải làm việc với những tầmnhìn và phán đoán không gian” [10]

(3) “Trí thông minh vận động: Đây là vùng dành cho những chuyển động cơthể” [10]

(4) “Trí thông minh tương tác giao tiếp: Đây là khu vực phải làm việc với sựtương tác giữa người với người” [10]

(5) “Trí thông minh nội tâm: Đây là vùng phải làm việc hướng nội và phảnchiếu năng lực của chính chủ thể” [10]

(6) “Trí thông minh thiên nhiên: Bao gồm cả việc hiểu biết về thế giới tựnhiên như động thực vật, chú ý những đặc điểm của từng loài và phân loạichúng Nói chung, nó bao gồm cả việc quan sát sâu sắc về môi trường tựnhiên xung quanh và có khả năng để phân loại những thứ khác nhau tốt”[10]

(7) “Trí thông minh ngôn ngữ: Thể hiện bằng những từ ngữ, cách nói hoặcviết” [10]

(8) “Trí thông minh âm nhạc: Đây là vùng trí tuệ phải làm với các giai điệu,

Theo Gardner H (1983), “Lý thuyết của Gardner đã chỉ ra rằng mỗi người trong chúng ta đều tồn tại một vài kiểu thông minh trên, tuy nhiên, sẽ

có kiểu thông minh trội hơn trong mỗi người Bên cạnh đó, Gardner đã chỉ ra

rằng trong trường học thông thường chỉ đánh giá một HS thông qua hai loại trí thông minh là trí thông minh về ngôn ngữ và trí thông minh về logic/toán học và điều này là không chính xác Trường học đã bỏ rơi các em có thiên hướng học tập thông qua âm nhạc, vận động, thị giác, giao tiếp…đồng thời chèo lái tất cả mọi HS đi theo cùng một con đường và cùng chịu chung một

sự đánh giá và phán xét Nhiều HS đã có thể học tập tốt hơn nếu chúng được tiếp thu kiến thức bằng chính thế mạnh của chúng” [10].

Hình 1 Tám loại hình thông minh của con người Nguồn internet

1.1.2 Nhiệm vụ phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh

Chương trình giáo dục phổ thông (2018) ở nước ta đang theo định

hướng phát triển năng lực của người học “Giáo dục phải tập trung vào các nhu cầu phát triển HS từ cấp độ vĩ mô đến cấp độ vi mô, phải lấy HS làm đối tượng, làm trung tâm cho mọi tác động giáo dục Mặt khác, bên cạnh việc bồi dưỡng các năng lực về mọi mặt cho học sinh, phải tạo điều kiện, tạo tiềm lực

để HS có thể tự phát triển các năng lực của mình” (Nguyễn Minh Phương,

1996) [24]

Việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho HS ởtrường THCS được thực hiện ở tất cả các môn học trong nhà trường Đối vớimôn Toán, đây là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên, vìmôn Toán là môn học công cụ cho nhiều môn khoa học tự nhiên khác Phânmôn hình học ở THCS bước đầu cho HS làm quen với suy luận lôgic nên cónhiều điều kiện rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho họcsinh Chủ đề đường tròn trong hình học lớp 9 vừa phong phú, đa dạng, vừa sửdụng được nhiều phương pháp và kĩ thuật giải toán, có nhiều dạng toán khónên tạo ra được nhiều hứng thú học tập cho những HS có năng khiếu toán học

Môn Toán là “môn thể thao của trí tuệ” nên công việc của người GV

dạy toán là phải tổ chức cho HS rèn luyện các hoạt động trí tuệ ấy Có lẽ không

có môn học nào thuận lợi hơn môn toán, trong đó có môn hình học, đặc biệt làchủ đề về đường tròn, trong công việc khó khăn và đầy hứng thú này

Ở mỗi người có ý thức, sự hiểu biết, sự tiếp thu và sử dụng tri thứccàng tốt thì có thể sử dụng sự hiểu biết này trong tư duy và trong việc tiếp thu

tri thức mới càng tốt “Những biện pháp tác động đến sự phát triển trí lực của

HS đóng vai trò quan trọng trong giáo dục và đào tạo.” (Đoàn Văn Điều,

Hiện nay, khái niệm năng lực được sự quan tâm nhiều của các nhànghiên cứu Năng lực được hiểu theo nhiều cách khác nhau do sự lựa chọn

dấu hiệu khác nhau, tuy nhiên phần lớn các định nghĩa về năng lực trong cáctài liệu nước ngoài đều qui năng lực vào phạm trù khả năng.

Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh thế giới (OECD) quan niệm năng

lực là “khả năng đáp ứng một cách hiệu quả những yêu cầu phức hợp trong một bối cảnh cụ thể” [4], [12].

Chương trình giáo dục trung học của bang Québec, Canada năm 2004

xem năng lực là “một khả năng hành động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực”

Theo Từ điển Tiếng Việt, “năng lực là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao” [22].

Theo Đặng Thành Hưng (2012), "năng lực là thuộc tính cá nhân cho phép cá nhân thực hiện thành công hoạt động nhất định, đạt kết qủa mong muốn trong những điều kiện cụ thể" [17] Cũng theo đó, “năng lực nói chung

là tổ hợp các thuộc tính sinh học, tâm lí và xã hội của cá nhân cho phép cá nhân thực hiện thành công hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể và theo những yêu cầu cụ thể Thuộc tính đó thể hiện ở tổ hợp những hành động vật chất và tinh thần tương ứng với dạng hoạt động nhất định dựa vào những đặc điểm cá nhân (sinh học, tâm lí và giá trị

xã hội) được thực hiện tự giác và dẫn đến kết quả phù hợp với trình độ thực

tế và yêu cầu của hoạt động Năng lực là thuộc tính mới ở cá nhân chứ không đơn giản là sự gộp hay cộng lại của tri thức, kĩ năng và thái độ Có tất cả những yếu tố đó cá nhân chưa chắc đã có năng lực” [17].

Nói như vậy, chúng ta cần quan niệm rằng, năng lực đều dựa trên nềntảng trực tiếp tri thức, các kĩ năng, kĩ xảo và khả năng cảm nhận logic hoặc

phi logic Năng lực "hiểu" cấu thành từ tri thức Năng lực "hoạt động" chủ yếu cấu thành từ các kĩ năng, kĩ xảo Năng lực "cảm” xuất phát từ các chức

năng của xúc cảm và tình cảm được định hướng bởi thang giá trị nhất định(thái độ) Nhưng mọi thứ trên gộp lại chưa phải là năng lực Chúng phải trảiqua rèn luyện mới thành năng lực.

Như vậy, có thể quan niệm “năng lực là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hưng thú niềm tin, ý chí Năng lực của cá nhân được đánh giá qua phương thức và kết quả hoạt động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn đề của cuộc sống Quan niệm về năng lực như vậy có ưu điểm là dễ sử dụng, tiếp nối được những quan niệm trong dạy học trước đây (dạy kiến thức, kĩ năng, hình thành thái độ )” [17].

Theo Chương trình giáo dục phổ thông (2018): “Phân chia năng lựcthành hai nhóm năng lực: nhóm các năng lực chung và nhóm các năng lựcchuyên biệt” [5]

“Năng lực chung là năng lực cơ bản, thiết yếu để mọi cá nhân có thể

sống, làm việc và tham gia hiệu quả trong nhiều hoạt động và các bối cảnhkhác nhau của đời sống xã hội Các hoạt động giáo dục (bao gồm các mônhọc và hoạt động trải nghiệm sáng tạo), với khả năng khác nhau, nhưng đềuhướng tới mục tiêu hình thành và phát triển các năng lực chung của HS.Nhóm các năng lực chung bao gồm các năng lực: tự học, tự quản lí, giải quyếtvấn đề, sáng tạo, giao tiếp, hợp tác, sử dụng công nghệ thông tin và truyềnthông, sử dụng ngôn ngữ và tính toán” [5]

“Năng lực chuyên biệt là những năng lực được hình thành và phát

triển trên cơ sở các năng lực chung theo hướng chuyên sâu, riêng biệt trongcác loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cầnthiết cho những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu cao và sâu hơn củamột môn học/hoạt động nào đó Nhóm các năng lực chuyên biệt được hình

thành, phát triển, thông qua dạy học các bộ môn, đáp ứng yêu cầu riêng biệtcủa một lĩnh vực hoạt động”.

“Năng lực đặc thù môn học (của môn học nào) là năng lực mà môn học

(đó) có ưu thế hình thành và phát triển (do đặc điểm của môn học đó) Mộtnăng lực có thể là năng lực đặc thù của nhiều môn học khác nhau” [5]

Hiện nay, theo Chương trình giáo dục phổ thông (2018) nhằm hìnhthành và phát triển những năng lực chung chủ yếu sau: “Năng lực tự chủ và tựhọc; Năng lực giao tiếp và hợp tác; Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;Năng lực ngôn ngữ; Năng lực tính toán; Năng lực tìm hiểu tự nhiên và xã hội(gồm năng lực tìm hiểu tự nhiên và năng lực tìm hiểu xã hội); Năng lực côngnghệ; Năng lực tin học; Năng lực thẩm mĩ; Năng lực thể chất” [5]

“Việc đánh giá mức độ đạt được các yêu cầu về phẩm chất chủ yếu vànăng lực chung của HS từng cấp học được thực hiện thông qua nhận xét cácbiểu hiện chủ yếu của các thành tố trong từng phẩm chất và năng lực Từngcấp học, lớp học đều có những yêu cầu riêng, cao hơn và bao gồm cả nhữngyêu cầu đối với các cấp học, lớp học trước đó về từng thành tố của các phẩmchất, năng lực” [5]

1.1.3.2 Năng lực toán học

Khái niệm năng lực (literacy) trong Chương trình đánh giá HS toàncầu (PISA) bao hàm cả hai khái niệm kiến thức và kĩ năng PISA quan tâm tớibốn dạng năng lực; đọc hiểu, toán học, khoa học và giải quyết vẩn đề Theo

Lê Thị Mỹ Hà (2014): "Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân biết

lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học

trong nhiều ngữ cảnh”[12] Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các

khái niệm phương pháp, sự việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoáncác hiện tượng Nó giúp cho con người nhận ra vai trò của toán học trên thếgiới và đưa ra phán đoán và quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và

suy ngẫm" Theo Nguyễn Thị Phương Hoa (2014), "Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có tính xây dựng

và có hiểu biết" [14] Theo Trần Luận (2011), “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau" [19] Hai quan niệm đầu,

thuộc khuôn khổ chương trình đánh giá HS quốc tế PISA, cho thấy sự quantâm tới sự hiểu biết toán học và sự vận dụng nó trong đời sống Quan niệmthứ ba quan tâm nhiều hơn đến thuộc tính tâm lí của năng lực toán học, chưa

đề cao việc vận dụng toán học vào đời sống.

Có thể quan niệm về năng lực toán học như sau: Năng lực toán học làkhả năng hoàn thành hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy độngtổng hợp các kiến thức, kĩ năng về môn Toán và các thuộc tính cá nhân khácnhư tích cực, hứng thú, niềm tin ý chí

Theo Chương trình giáo dục phổ thông (2018) năng lực toán học baogồm một số năng lực thành phần sau:

“Năng lực thu thập và xử lí thông tin toán học (thu thập được các kiếnthức, thông tin có liên quan đến toán học, xử lí được thông tin và nhớ các kháiniệm, công thức, định lí, quy tắc trong môn Toán)” [5]

“Năng lực tính toán, giải toán (thực hiện các phép toán bằng số và cảbiến đổi các biểu thức đại số)” [5]

“Năng lực tư duy toán học (khả năng phân tích, tổng hợp, lập luận logic,phản biện và sáng tạo)” [5]

“Năng lực giao tiếp toán: Năng lực thể hiện quan điểm của HS trong

quá trình học toán, bao gồm năng lực giao tiếp về toán (đề cập đến quá trình

HS suy nghĩ, giải quyết vấn đề và HS nêu được lí do tại sao chọn phương án

đó để giải quyết bài toán); năng lực giao tiếp trong toán (đề cập đến việc HS

sử dụng ngôn ngữ, các kí hiệu và các biểu diễn toán học nào là hợp lí với vấn

đề đặt ra); năng lực giao tiếp với toán (đề cập đến việc HS sử dụng kiến thứctoán để giải quyết vấn đề theo cách hiểu của HS)” [5]

Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn (vận dụng toán vào đời sống,giải quyết các bài toán, vấn đề thực tiễn hay có nhiều tài liệu gọi tên là nănglực mô hình hoá toán học hay năng lực mô hình hoá)

Năng lực sáng tạo toán học (năng lực này thường có ở HS giỏi toán,các nhà toán học, là khả năng phát hiện, hiểu và kiến tạo được các câu trúc,quy luật toán học mới)

Thực tiễn cho thấy, năng lực về tính toán và giải toán, tư duy toán học

và sáng tạo toán học là những năng lực đã và đang được các thầy cô giáo dạyhọc môn Toán quan tâm; năng lực về thu thập và xứ lí thông tin toán học, giaotiếp toán học chưa được quan tâm thoả đáng; còn năng lực vận dụng toán họcvào thực tiễn của HS thì thực sự còn nhiều hạn chế

1.1.3.3.Về dạy học phát triển năng lực toán học

Trong dạy học môn Toán, dạy học hướng vào năng lực hay theohướng tiếp cận năng lực nghĩa là trong quá trình dạy học cần chú ý tới cácvấn đề sau:

Thứ nhất, năng lực phải được thể hiện qua kết quả công việc, đạt được

mục đích ở mức độ nào? Do đó, dạy học phát triển năng lực cần quan tâm tớihoạt động học và kết quả hoạt động học của HS trong quá trình học, vận dụngtoán học

Thứ hai, năng lực là sự hợp thành giữa kiến thức, kĩ năng, thái độ (hành

vi ứng xử) Do đó, dạy học theo hướng tiếp cận năng lực vừa phải chú trọng

trang bị kiến thức, kĩ năng cho HS; vừa phải hình thành thái độ hành vi ứng

xử đúng đắn cho HS

Thứ ba, kết quả công việc hay hoạt động thường là thước đo để đánh

giá năng lực của cá nhân làm ra nó hay chủ thể hoạt động Các hoạt động này

có thể là hoạt động giải toán, cũng có thể là các hoạt động vận dụng toán họcvào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn, trong các môn học khác

Theo khung đánh giá năng lực Toán học phổ thông của PISA

“T năm 2010, khi tham gia Ch ừ ươ ng trình đánh giá HS qu c t c a ố ế ủ các n ướ c OECD g i t t là PISA thì chúng ta đ ọ ắ ượ c tìm hi u và có th v n ể ể ậ

d ng khung đánh giá năng l c Toán h c c a PISA ụ ự ọ ủ ” [4]

“C p đ 1: Ghi nh , tái hi n ( Nh l i các đ i tấ ộ ớ ệ ớ ạ ố ượng, khái ni m,ệ

đ nh nghĩa và tính ch t toán h c; Th c hi n đị ấ ọ ự ệ ược m t cách làm quenộthu c; Áp d ng m t thu t toán tiêu chu n)” [4].ộ ụ ộ ậ ẩ

“C p đ 2: K t n i, tích h p ( K t n i, tích h p thông tin đ gi iấ ộ ế ố ợ ế ố ợ ể ảquy t các v n đ đ n gi n; T o nh ng k t n i trong các cách bi u đ tế ấ ề ơ ả ạ ữ ế ố ể ạkhác nhau; Đ c và gi i thích đọ ả ược các kí hi u và ngôn ng hình th cệ ữ ứ(toán h c) và hi u m i quan h c a chúng v i ngôn ng t nhiên)” [4].ọ ể ố ệ ủ ớ ữ ự

“C p đ 3: Khái quát hoá, toán h c hoá ( Nh n bi t n i dung toánấ ộ ọ ậ ế ộ

h c trongọ tình hu ng có v n đố ấ ề ph i gi i quy t; V n d ng ki n th cả ả ế ậ ụ ế ứtoán h c đ gi i quy t các v n đ th c ti n; Bi t phân tích, t ng h p,ọ ể ả ế ấ ề ự ễ ế ổ ợsuy lu n, l p lu n, khái quát hoá trong ch ng minh toán h c)” [4] ậ ậ ậ ứ ọ

1.2 Học sinh có năng khiếu và nhiệm vụ bồi dưỡng HS có năng khiếu về môn Toán cấp trung học cơ sở

1.2.1 Quan niệm về HS có năng khiếu

Theo từ điển Tâm lý học: “Năng khiếu là tập hợp những tư chất bẩmsinh, nét đặc trưng và tính chất đặc thù làm tiền đề bẩm sinh cho năng lực”.(Vũ Dũng, 2004) [7]

Theo Nguyễn Cảnh Toàn (1998): “Năng khiếu là năng lực còn tiềm

tàng về một hoạt động nào đó nhưng chưa bộc lộ ở thành tích cao vì chưa qua tập dượt, rèn luyện nên còn thiếu hiểu biết và chưa thành thạo trong lĩnh vực hoạt động đó” [30].

Thực tiễn cho thấy HS có năng khiếu thường có tính độc lập và tự giáccao, suy nghĩ nhanh nhậy hơn những HS khác; các em có xu hướng tìm bạnngang bằng năng lực, thường là hơn tuổi

1.2.2 Nhiệm vụ bồi dưỡng HS giỏi Toán cấp THCS

Quan niệm HSG là HS có trình độ cao, đáng được khâm phục hoặckhen ngợi trong một lĩnh vực (môn học); thông qua bồi dưỡng (người Thầy)học tập, rèn luyện, tập dượt những HS năng khiếu của nhà trường

Trong lịch sử Việt Nam, vị Tiến sĩ triều Lê có tên là Thân Nhân Trung(1418-1499) đã có câu nói nổi tiếng được lưu giữ trang trọng trên tấm bia tạiVăn Miếu - Quốc Tử Giám (Trường Đại học quốc gia đầu tiên của Việt Nam):

"Hiền tài là nguyên khí quốc gia, nguyên khí thịnh thì thế nước mạnh mà hưng thịnh, nguyên khí suy thì thế nước yếu mà thấp hèn", nói lên tầm quan

trọng của việc phát hiện và bồi dưỡng nhân tài cho đất nước

Hình 2 Văn bia được trưng bày tại Văn Miếu - Quốc Tử Giám ở Hà Nội.

Nguồn internet

Cố Thủ tướng Chính phủ Phạm Văn Đồng (1906 - 2000) cũng từng nhắc nhở

những người làm công tác giáo dục “Phải có ý thức phát hiện và bồi dưỡng

các em có năng khiếu về toán và các môn khác, đừng bỏ sót em nào, bỏ sót

sẽ rất uổng” (Dẫn theo [30]).

Thực hiện “Thông tư số 56/2011/TT-BGDĐT ngày 25 tháng 11 năm

2011 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo, hàng năm Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức hai kỳ thi: kỳ thi chọn HSG quốc gia trung học phổ thông (gọi tắt

là kỳ thi chọn HSG quốc gia) và kỳ thi chọn HS trung học phổ thông vào các đội tuyển quốc gia dự thi Olympic quốc tế và khu vực (gọi tắt là kỳ thi chọn đội tuyển Olympic)” [3].

Trong Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (2018), Bộ Giáo dục

và Đào tạo cũng ghi rõ: “Bên cạnh việc hình thành, phát triển các năng lực cốt lõi, chương trình giáo dục phổ thông còn góp phần phát hiện, bồi dưỡng năng lực đặc biệt (năng khiếu) của học sinh” [5].

Như vậy việc bồi dưỡng HS giỏi theo từng cấp: cấp trường, cấp cụm,cấp huyện/quận, cấp tỉnh/thành phố đến cấp quốc gia có tầm quan trọng

đặc biệt.

Hàng năm, vào đầu mỗi năm học, Bộ Giáo dục và Đào tạo thường rachỉ thị về nhiệm vụ chủ yếu trong năm học của Ngành Từ đó, Uỷ ban nhândân các tỉnh/ thành phố ra quyết định ban hành khung kế hoạch thời gian nămhọc đối với giáo dục mầm non, giáo dục phổ thông và giáo dục thường xuyêncủa tỉnh/ thành phố; các Sở/ Phòng Giáo dục và Đào tạo có công văn hướngdẫn thực hiện nhiệm vụ năm học cấp THPT/THCS, trong đó có nhiệm vụ bồidưỡng HS giỏi nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi HSG các cấp, các khối lớp HSđạt kết quả trong kỳ thi HS giỏi các lớp ở cấp quận/huyện sẽ được chọn lọcvào các đội tuyển HSG cấp tỉnh, cấp trường lên các cấp cao hơn

1.2.3 Biểu hiện về mặt toán học của HS có năng khiếu

Theo các tài liệu [7], [21], [30], những HS có năng khiếu về môn Toánthường có một số biểu hiện sau đây:

(1) Có khả năng thay đổi linh hoạt cách giải quyết vấn đề khi phù hợp vớiđiều kiện mới

Ví dụ 1.1 Sau khi giải được bài toán: “Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 3 và một điểm I cách O một khoảng bằng 5; dựng đường tròn tâm I cắt đường tròn (O) tại điểm A sao cho hai bán kính của hai đường tròn đi qua A vuông góc với nhau”, với HS có năng khiếu môn Toán các em có thể giải

được bài toán sau:

“Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 3 và một điểm I cách O một

khoảng bằng 5; dựng đường tròn tâm I cắt đường tròn (O) sao cho tại giao điểm của chúng hai tiếp tuyến của chúng vuông góc với nhau”.

(2) Có khả năng chuyển từ trừu tượng khái quát sang cụ thể và ngượclại từ cụ thể đến trừu tượng Chẳng hạn, với bài toán ở trên các em có thể giảibài toán tổng quát với đường tròn bán kính R và khoảng cách OI bất kì.

(3) Có khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các sự kiện theo hai hướngxuôi và ngược Ví dụ như tìm mối liên hệ giữa các cạnh tứ giác và đường trònnội tiếp trong nó, các em có thể tìm thấy kết quả: Điều kiện cần và đủ để một

tứ giác ngoại tiếp được một đường tròn là tổng hai cặp cạnh đối diện của nóphải bằng nhau

(4) Thích tìm tòi lời giải bài toán theo nhiều cách hoặc xem xét một vấn

đề theo nhiều khía cạnh khác nhau

Ví dụ 1.2 Khi giải bài toán “Cho nửa đường tròn đường kính AB với O

là trung điểm AB Trên hai tia tiếp tuyến Ax, By của đường tròn, cùng nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn đã cho có điểm C thuộc Ax và điểm D thuộc By thoả mãn AC + BD = CD Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho.” các em có thể nghĩ ra những cách đặt vấn đề để giải

quyết bài toán như sau:

Cách 1 Chứng minh khoảng cách từ O đến CD bằng bán kính OA, OB; Cách 2 Lấy điểm H thuộc đoạn CD sao cho CH = CA và chứng minh

Hình 1.1.1Cách 1a Kéo dài CO cắt tia đối của tia By tại K ta sẽ chứng minh đượchai tam giác DOK và DOC bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh,suy ra OB và OH là hai đường cao tương ứng bằng nhau

Hình 1.1.2

Cách 1b Kéo dài AH cắt tia By tại P ta sẽ chứng minh được DB = DH+ DP, suy ra tam giác HBP vuông ở H, dẫn đến H thuộc nửa đường tròn đãcho và được điều phải chứng minh

Hình 1.1.3(5) Các em có sự quan sát tinh tế, phát hiện nhanh ra các dấu hiệuchung và riêng, phát hiện ra những chỗ nút gỡ làm cho việc giải quyết vấn đềphát triển theo hướng hợp lý hơn, độc đáo hơn Ví dụ như cách 3 trong bàitoán trên các em đã biết lợi dụng chiều thuận:

Khi CP là tiếp tuyến của đường tròn thì dễ dàng thấy được

AC + BP = CP (1) Kết hợp với giả thiết AC + BD = AC (2).Trừ từng vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được: DP = AP – CD (3) Đẳng thức (3) chỉ xảy ra khi P trùng D, nếu không (3) sẽ mâu thuẫn vớibất đẳng thức tam giác

Hình 1.1.4(6) Có trí tưởng tượng phát triển, các em có khả năng hình dung ra cácbiến đổi của hình

Ví dụ 1.3 Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không cắt đường

tròn Tìm điểm M trên d sao cho hai tia tiếp tuyến từ M đến đường tròn tạovới nhau góc lớn nhất

Với bài này các em có thể hình dung được nếu M càng đi ra xa đườngtròn về cả hai chiều thì hai tiếp tuyến càng gần nhau, góc giữa chúng càngngày càng nhỏ đi Vậy để được góc lớn hơn, M càng phải tiến về phía gầnđường tròn nhất Đó là điểm hình chiếu vuông góc của O trên d Suy nghĩ nhưvậy là đúng; thật vậy:

Gọi A là một tiếp điểm của tiếp tuyến tại M đến đường tròn (O) Tamgiác vuông OAM có cạnh OA = R không đổi, góc AMO lớn nhất khi và chỉkhi OM ngắn nhất, khi M trùng với hình chiếu H của O trên d

Hình 1.1.5(7) Có khả năng suy luận sâu sắc có căn cứ rõ ràng, mạch lạc, tò mò,không muốn dừng lại ở việc làm theo khuân mẫu có sẵn hay ở những gì cònthắc mắc, hoài nghi Thông qua những ví dụ ở trên có thể minh chứng chođiều này.

1.3 Khảo sát thực trạng năng lực HS giỏi lớp 9 THCS t nh Phú Th ỉ ọ về chủ đề đường tròn

1.3.1 Tổ chức khảo sát

Để có thực trạng năng lực HS giỏi lớp 9 THCS t nh Phú Th ỉ ọ về chủ đềđường tròn chúng tôi dựa vào đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Phú Thọ trongmột số năm gần đây, soạn ra một đề kiểm tra 45 phút với ba bài toán có nộidung tương tự

Đối tượng khảo sát là 21 HS giỏi toán lớp 9 thuộc cụm ba trườngTHCS tỉnh Phú Thọ Đó là các trường:

Các giáo viên thống nhất cách chấm bài kiểm tra theo năng lực (xembảng kết quả ở dưới đây) và là người dạy thực nghiệm sư phạm, đánh giá kếtquả sau thực nghiệm sư phạm.

1.3.2 Đề bài kiểm tra và dụng ý (làm trong 45 phút)

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT

(Thời gian làm bài 45 phút)

A Đề bài

Câu 1 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (điểm M nằm trên nửa

đường tròn, M không trùng với A và B) Vẽ tiếp tuyến Ax trên nửa mặt phẳngchứa nửa đường tròn có bờ là đường kính Đường thẳng BM cắt tia Ax tại I;

tia phân giác của ·IAM

cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng

BE cắt AI tại H, cắt AM tại K

a) Chứng minh HF ⊥BI

.b) Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn O để chu vi ∆AMB

đạtgiá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?

Câu 2 Cho đường tròn (O;R), và AB=2R Trên tia tiếp tuyến Ax tại A của

đường tròn lấy điểm E và dựng tia tiếp tuyến EM của đường tròn (M là tiếpđiểm), dựng MP ⊥

AB, MQ vuông góc với AE Chứng minh rằng ba đường

AM, PQ, OE đồng quy

Câu 3 Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm Đường

tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I , tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại cácđiểm D, E, F

a) Tính độ dài đoạn DE

b) AI kéo dài cắt DE tại S Chứng minh rằng ∆IAB đồng dạng ∆EAS

B Hướng dẫn chấm và thang đánh giá

* Phân tích dụng ý của đề kiểm tra

Câu 1 Hướng dẫn

a) NL1a Đánh giá góc với đường tròn

Ta có ∆HAK

cân tại A nên AH = AK (1)

K là trực tâm của ∆AFB

Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3)

NL1b Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK

Mà AK ⊥IB

suy ra HF ⊥ IB

Hình 1.3.1b) Chu vi của ∆AMB C= ∆AMB =MA MB AB+ +

lớn nhất khi chỉ khi MA +

MB lớn nhất (vì AB không đổi)

MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB.

Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì C∆AMB đạt giá trị lớn nhất

Khi đó C∆AMB =MA MB AB AB+ + = 2+ AB= +(1 2)AB=2 (1R + 2)

Câu 2 Phân tích lời giải dụng ý ra đề

Hình 1.3.2

NL2a Đánh giá tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm, tính chất

đường nối tâm và giao điểm của hai tiếp tuyến với đường nối hai tiếp điểm,

OE đi qua trung điểm AM; PQ cũng qua trung điểm AM

NL2b Đánh giá được hình chữ nhật và tính chất hai đường chéo.

NL2c Ba đường thẳng AM, PQ, OE cùng đi qua trung điểm I của AM Vậy ba

đường thằng AM, PQ, OE đồng qui tại I (điều phải chứng minh)

Câu 3 Đánh giá sự hiểu biết về bộ ba số Pythagore, hiểu biết về đường tròn

nội tiếp tam giác vuông và năng lực tính toán, năng lực chứng minh của họcsinh

NL3a ; NL3b Câu (a) tính r = 2 cm rồi tính độ dài đoạn DE theo công thức

chiều cao tam giác vuông IEC

NL3c Câu (b) chứng minh rằng ∆IAB đồng dạng ∆EAS theo trường hợp góc

Đánh giá theo năng lực hiểu biết và kĩ năng:

Dưới đây là bảng đánh giá năng lực qua bài kiểm tra, mỗi năng lựctương ứng với một điểm

Vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Vận dụng chứng minh ba đường đồng qui 16/21

+ Về giáo viên bồi dưỡng không có một đề tài hay tài liệu biên soạn vềchủ đề đường tròn mang tính chuyên sâu; tâm lí chung cả của giáo viên và HSthường ngại học hình ngay từ lớp đầu cấp nói chung và chủ đề đường tròn nóiriêng.

+ Tâm lí HS cuối cấp ở THCS khi tham gia học bồi dưỡng HSG vềchủ đề đường tròn các em thấy khó, mang tâm lí đám đông, tính trừu tượngcao đòi hỏi tư duy lôgic nên khi học chủ đề này các em thường bỏ qua phầnkhó dẫn đến kết quả không cao

+ Về HS các em đã có những năng lực cơ bản tương đối tốt; nhưng cácphần, dạng bài trong chủ đề đường tròn tầm nhìn HSG thì các em gặp khókhăn, thường không giải quyết được; thống kê 07 năm trở lại đây các em dựthi HSG cấp huyện, tỉnh môn Toán nếu làm được câu về chủ đề đường tròn thì100% các em đều được giải ba trở lên

Môn Toán là môn th thao trí tu nên các th y cô giáo d y Toán r tể ệ ầ ạ ấ

có đi u ki n và c h i đ làm t t nhi m v b i dề ệ ơ ộ ể ố ệ ụ ồ ưỡng nh ng HS có năngữkhi u v môn Toán.ế ề

Th c t qua kh o sát cho th y nh ng HS gi i t i các trự ế ả ấ ữ ỏ ạ ường THCShuy n Yên L p nói riêng, t nh Phú Th nói chung đã có m t s năng l cệ ậ ỉ ọ ộ ố ự

c b n v ch đ đơ ả ề ủ ề ường tròn, nh ng còn thi u “ư ế t m nhìn, t m hi u ầ ầ ể

bi t ế ” Hy v ng nh ng bi n pháp trong chọ ữ ệ ương sau sẽ góp ph n kh cầ ắ

ph c ph n nào tình tr ng đó.ụ ầ ạ

Chương 2 BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS TỈNH PHÚ THỌ

VỀ CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN 2.1 Biện pháp 1 Trang b , b sung ị ổ cho HS những kiến thức về đường tròn và rèn luyện thêm những kĩ năng cần thiết, những tri thức ph ươ ng pháp, th pháp liên quan đ n các ủ ế dạng toán về đường tròn

2.1.1 Trang b , b sung ki n th c v đ ị ổ ế ứ ề ườ ng tròn

Trong quá trình gi i các bài toán SGK, SBT HS đã g p m t s triả ở ặ ộ ố

đường tròn;

- Phương pháp ch ng minh t giác n i ti p đứ ứ ộ ế ường tròn: Ch ngứminh t giác đó có hai góc đ i di n bù nhau ho c có hai góc b ng nhauứ ố ệ ặ ằcùng nhìn m t đo n; Ch ng minh d a vào phộ ạ ứ ự ương tích

- Phương pháp phân tích đi lên tìm cách ch ng minh ứ

Tuy nhiên đ i v i ố ớ HSG c n ph i trang b , b sung thêm m t s ki nầ ả ị ổ ộ ố ế

th c, kĩ năng nâng cao nh dứ ư ưới đây:

- Trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp một đường tròn thì hình vuông

có chu vi lớn nhất và diện tích cũng lớn nhất

- N u tam giác đ u ABC n i ti p đế ề ộ ế ường tròn thì v i m i đi m Mớ ọ ểthu c cung nh BC ta đ u có MA = MB + MC.ộ ỏ ề

- N u tam giác ABC n i ti p đế ộ ế ường tròn tâm O thì OA vuông góc v iớ

đo n n i hai chân đạ ố ường cao h t B và C c a tam giác.ạ ừ ủ

- Định lí Ptoleme: Tích các đường chéo của một tứ giác nội tiếp một

Tam giác BCP đồng dạng với tam giác BDA và bd = CP.f (2)Cộng vế với vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được: ac + bd = ef

Nh ng ki n th c, kĩ năng c n đữ ế ứ ầ ược b sung có th trang b b sung choổ ể ị ổ

HS thông qua nh ng bài toán Ch ng h n nh ng sau đây:ữ ẳ ạ ữ

Bài 1.1 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Lấy điểm M trên nửa

đường tròn và dựng MH vuông góc với AB Với vị trí nào của điểm M thìdiện tích tam giác AHM lớn nhất?

Hướng dẫn

Hình 2.1.1Đặt AH = x, ta có MH2 = x(2R – x) Gọi diện tích tam giác AHM là S, ta có

đó H là trung điểm OB

Vậy khi M có hình chiếu là trung điểm OB thì diện tích tam giác AHM lớn nhất

Bài 1.2 Cho đường tròn tâm O, bán kính R và AB là một đường kính của nó.

Trên tia tiếp tuyến Ax tại A của đường tròn lấy một điểm E và dựng tiếp tuyến

EM của đường tròn, M là tiếp điểm Dựng MP vuông góc với AB, MQ vuônggóc với AE Chứng minh rằng ba đường AM, PQ, OE đồng quy

Hướng dẫn

Hình 2.1.2Theo tính chất tiếp tuyến OE đi qua trung điểm AM; PQ cũng qua trung điểm

AM (do APMQ là hình chữ nhật) Suy ra điều phải chứng minh

Bài 1.3 Cho nửa đường tròn tâm O và AB là một đường kính của nó Trên

nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn dựng hai tia tiếp tuyến Ax, By củađường tròn và dựng một tiếp tuyến bất kì tại một điểm M của đường tròn lầnlượt cắt Ax, By tại các điểm E, F Dựng MH vuông góc với AB, MH cắt BEtại điểm I Chứng minh rằng I là trung điểm MH; từ đó suy ra ba đường AF,

Hình 2.1.3Chứng minh tương tự: AE đi qua trung điểm I của MH, dẫn đến ba đường AF,

BE, MN đồng quy tại I

Bài 1.4 (xem ví d 1.2 chụ ở ương 1) Cho nửa đường tròn đường kính AB với

O là trung điểm AB Trên hai tia tiếp tuyến Ax, By của đường tròn, cùng nửamặt phẳng bời AB với nửa đường tròn đã cho có điểm C thuộc Ax và điểm Bthuộc By thoả mãn AC + BD = CD Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến củanửa đường tròn đã cho

Hướng dẫn Cách 1 Dựng OH vuông góc với CD, ta chứng minh OH = OB.

Kéo dài CO cắt tia đối của tia By tại K ta sẽ chứng minh được hai tam giácDOK và DOC bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh, suy ra OB và

OH là hai đường cao tương ứng bằng nhau

Hình 2.1.4

Cách 2 Trên CD lấy điểm H sao cho CH = CA Ta chứng minh OH bằng bán

kính đường tròn

Kéo dài AH cắt tia By tại P ta sẽ chứng minh được DB = DH = DP, suy ra tamgiác HBP vuông ở H, dẫn đến H thuộc nửa đường tròn đã cho và được điềuphải chứng minh

Cách 3 Vẽ tiếp tuyến từ A đến nửa đường tròn đã cho, cắt tia By tại P và

Bài 1.5 Cho tam giác ABC vuông tại A, bên ngoài tam giác dựng hai nửa

đường tròn có đường kính AB, AC Một đường thẳng d quay quanh A cắt hainửa đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A) Xác định hai điểm M, N sao

cho chu vi tứ giác BCNM lớn nhất

Hướng dẫn

Hình 2.1.5

Tương tự ta có: z + t £ AC 2 dấu “=” xảy ra khi z = t.

Khi x = y thì điểm M là điểm chính giữa của cung AB, khi đó ∆ AMB vuôngcân dẫn đến ∠

MAB = 450 và ∠

CAN = 450 (vì M, A, N thẳng hàng) Khi đó

N là điểm chính giữa của cung AC

Vậy chu vi tứ giác BCNM lớn nhất khi M, N đồng thời là điểm chính giữacủa các cung AB, AC

2.1.2 Rèn luyện thêm những kĩ năng cần thiết, những tri thức ph ươ ng pháp, th pháp liên quan đ n các ủ ế dạng toán về đường tròn

Ngoài nh ng kĩ năng c b n đã đữ ơ ả ược trang b trong chị ương trình,

v i HSG giáo viên c n trang b thêm cho HS m t s ớ ầ ị ộ ố kĩ năng cần thiết,những tri thức phương pháp, th pháp liên quan đ n cácủ ế dạng toán vềđường tròn Đó là:

+ Nh n d ng b ba s Pythagore: (3;4;5),ậ ạ ộ ố (5;12;13), (6;8;10), (7;24;25)(8;15;17)…

+ Tam giác có ba góc không đ i thì chu vi, di n tích c a nó l n nh t, nhổ ệ ủ ớ ấ ỏ

nh t khi m t c nh c a nó l n nhât, nh nh t.ấ ộ ạ ủ ớ ỏ ấ

+ Kĩ thu t ghép, n i đo n th ng;ậ ố ạ ẳ

+ Kĩ thu t vẽ thêm hình ph ;ậ ụ

+ Kĩ thu t l t ngậ ậ ược v n đ , gi i bài toán ngấ ề ả ược

Bài 1.6 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B Một đường thẳng

d đi qua B cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D Xác định vị trí d

để độ dài CD lớn nhất

Hướng dẫn

Hình 2.1.6Gọi H và K là hình chiếu của O và O’ trên d, ta có CD = 2HK, nên CD dàinhất khi và chỉ khi HK dài nhất Với hình thang vuông OHKO’ ta luôn có HK

≤ OO’ nên HK dài nhất bằng OO’ Khi đó KH // OO’

Vậy khi d đi qua B và d // OO’ thì đoạn CD dài nhất

Bài 1.7 Cho hai đường tròn tâm (O) và (O’) cắt nhau ở A và B Một đường

thẳng d đi qua B cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D Xác định

vị trí d để chu vi ∆ACD lớn nhất

Hướng dẫn