Các dạng toán và phương pháp giải toán Hình học 6

Đường thẳng: a, Điểm: - Điểm là một khái niệm cơ bản của hình học, ta không định nghĩa điểm mà chỉ hình dung nó, chẳng hạn bằng một hạt bụi rất nhỏ, một chấm mực trên mặt giấy,.... c, Qu

ÔN TẬP HÌNH HỌC.

CHƯƠNG I: ĐOẠN THẲNG.

1 Điểm Đường thẳng:

a, Điểm:

- Điểm là một khái niệm cơ bản của hình học, ta không định nghĩa điểm mà chỉ hình dung nó,

chẳng hạn bằng một hạt bụi rất nhỏ, một chấm mực trên mặt giấy,

- Hai điểm không trùng nhau là hai điểm phân biệt

- Bất cứ một hình hình học nào cũng đều là một tập hợp các điểm Người ta gọi tên điểm bằng

các chữ cái in hoa

b, Đường thẳng:

- Đường thẳng là một khái niệm cơ bản, ta không định nghĩa mà chỉ hình dung đường thẳng qua

hình ảnh thực tế như một sợi chỉ căng thẳng, vết bút chì vạch theo cạnh thước,

- Đường thẳng cũng là tập hợp các điểm

- Đường thẳng không bị giới hạn về cả hai phía Người ta đặt tên đường thẳng bằng một chữ

thường, hoặc hai chữ thường, hoặc hai điểm bất kì thuộc đường thẳng

c, Quan hệ giữa điểm và đường thẳng: (được diễn tả bằng một trong các cách sau)

+ Điểm A thuộc đường thẳng a, kí hiệu AÎ a+ Điểm A nằm trên đường thẳng a

+ Đường thẳng a chứa điểm A

+ Đường thẳng a đi qua điểm A

+ Điểm B không thuộc đường thẳng a, kí hiệu B+ Điểm B không nằm trên đường thẳng a.+ Đường thẳng a không chứa điểm B

+ Đường thẳng a không đi qua điểm B

- Khi ba điểm cùng thuộc một đường thẳng, ta nói là ba điểm thẳng hàng Khi ba điểm không

cùng thuộc bất kì đường thẳng nào, ta nói chúng không thẳng hàng

- Trong 3 điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại

Với 3 điểm thẳng hàng A, B, C ta có thể nói:

a B

+ Điểm B nằm giữa hai điểm A và C

+ Hai điểm A và B nằm cùng phía đối với điểm C, Hai điểm B và C nằm cùng phía đối

với điểm A

+ Hai điểm A và C nằm khác phía đối với điểm B

- Nhận xét: Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B

d, Đường thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song:

Hai đường thẳng a, b bất kì có thể:

a B

A

+ Trùng nhau: có vô số điểm chung.

+ Cắt nhau: chỉ có 1 điểm chung - điểm chung đó gọi là giao điểm

+ Song song: không có điểm chung nào

- Chú ý:

+ Hai đường thẳng không trùng nhau còn được gọi là hai đường thẳng phân biệt.

+ Khi có nhiều đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm ta nói chúng đồng quy tại điểm đó.

+ Khi có nhiều đường thẳng nhưng trong đó không có hai đường thẳng nào song song và không

có ba đường thẳng nào đồng quy, ta nói các đường thẳng này đôi một cắt nhau hoặc cắt nhau từng đôi một.

2 Tia:

- Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là một tia gốc O,còn gọi là một nửa đường thẳng gốc O

- Khi đọc (hay viết) tên một tia, phải đọc (hay viết) tên gốc trước

- Hai tia chung gốc và tạo thành một đường thẳng gọi là hai tia đối nhau

- Chú ý:

+ Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau

+ Hai tia Ox, Oy đối nhau Nếu điểm A thuộc tia Ox và điểm B thuộc tia Oy thì điểm O nằm giữahai điểm A và B

- Hai tia trùng nhau có cùng gốc và có một điểm chung khác gốc

- Hai tia không trùng nhau còn được gọi là hai tia phân biệt

3 Đoạn thẳng:

- Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B Các điểm A,

B gọi là hai mút (hoặc hai đầu) đoạn thẳng AB

CÁC DẠNG TOÁN DẠNG : 1 Tìm số đường thẳng đi qua n điểm cho trước mà không có 3 điểm nào thẳng hàng:

- Qua 1 điểm kẻ đến n-1 điểm còn lại ta có n-1 đường thẳng, làm như vậy với n điểm ta cón.(n-1) đường thẳng Vì các đường thẳng xuất hiện 2 lần nên số đường thẳng tạo ra là n.(n-1):2

Dạng 2: Qua n điểm trong đó có m điểm thẳng hàng có bao nhiêu đường thẳng?

- Qua n điểm có n.(n-1):2 đường thẳng Qua m điểm không thẳng hàng có m.(m-1):2 đườngthẳng, Vì qua m điểm thẳng hàng chỉ có 1 đường thẳng nên số đường thẳng giảm đi là: m.(m-1):2-1 đường thẳng

- Vậy số đường thẳng cần tìm là: n.(n-1):2-[m.(m-1):2-1]

Dạng 3: Tìm số điểm tạo bởi n đường thẳng cắt nhau mà không có 3 đường thẳng đồng quy.

Qua n đường thẳng cắt nhau có n.(n-1):2 giao điểm

Dạng 4: Cho n điểm tìm số đoạn thẳng tạo thành từ n điểm trên( không phân biệt thẳng hàng).

Số đoạn thẳng tạo ra là : n.(n-1):2

Chú ý bài toán ngược: VD cho số đoạn thẳng tạo ra là 21 đoạn thẳng, tìm số điểm.

Dạng 5: Tính số đường chéo, số tam giác tạo ra từ n điểm không có 3 điểm thẳng hàng.

Số tam giác là: n(n-1)(n-2):6 và số đường chéo là n(n-1):2-n

Dạng 6: Chứng minh một điểm nằm giữa 2 điểm

- Nếu OA và OB là hai tia đối nhau thì O nằm giữa A và B

- Nếu OA và OB là hai tia trung nhau và OA<OB thì A nằm giữa O,B

- Nếu MA+MB=AB thì M nằm giữa

- Nếu M thuộc đoạn thẳng AB thì M nằm giữa

Dạng 7: Tính độ dài 1 đoạn thẳng

- Chỉ ra điểm nào nằm giữa

- Viết biểu thức MA+MB=AB rồi thay số

Dạng 8:Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng.

- Chỉ ra điểm nằm giữa

- Chỉ ra 2 độ dài bằng nhau

Dạng 9: Cho độ dài AB Gọi M là điểm nằm trong AB, P và Q lần lượt là trung điểm AM và

MB, Tính PQ?

- Chỉ ra mối quan hệ các điểm nằm giữa

- AM+MB=AB, suy ra AP+PM+MQ+QB=AB, hay 2(QM+MP)=AB, suy ra QP=AB:2

BÀI TẬP:

Bài 1 a) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau: Các điểm A, M, N nằm trên đường thẳng d Các điểm

B, C không nằm trên đường thẳng d

b) Ghi kí hiệu theo các diễn đạt ở câu a

B

HE

DC

Bài 3 Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, biết rằng điểm M không nằm giữa hai điểm N và P,

điểm N không nằm giữa hai điểm M và P Hỏi điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Giải thích

Bài 4 Nhìn hình vẽ trả lời các câu hỏi sau:

a) Những điểm nào thẳng hàng?

b) Điểm nào nằm giữa hai điểm?

c) Hai điểm nào nằm cùng phía đối với điểm thứ ba?d) Điểm nào không thẳng hàng với hai điểm E, H?

Bài 5 Vẽ năm đường thẳng sao cho số giao điểm của chúng lần lượt là 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

giao điểm

Bài 6 a) Cho 5 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm, ta

kẻ một đường thẳng Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?

b) Cũng như câu hỏi trên đối với n điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng c) Cho n điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm trong nđiểm đó ta kẻ một đường thẳng Biết rằng có 66 đường thẳng Tìm n

Bài 7 Cho đường thẳng xy, A, B, C thuộc xy theo thứ tự đó, điểm O không thuộc đường thẳng

xy

a) Vẽ các tia OA, OB, OC

b) Kể tên những tia đối nhau trong hình vẽ

c) Kể tên các tia trùng nhau trong hình vẽ

d) Tia Ax và By có phải là hai tia đối nhau không?

Bài 8 Cho hình vẽ:

a) Kể tên tất cả các tia (phân biệt)

b) Kể tên những tia đối nhau

c) Kể tên những tia trùng nhau

d) Tia EB và tia ED có đối nhau không? Vì sao?

e) Tia ED và tia DA có đối nhau không? Vì sao?

Bài 9 Trên đường thẳng xy, cho bốn điểm M, N, P, Q theo thứ tự đó

a) Kể tên tất cả các tia được xác định trên đường thẳng xy

b) Kể tên tất cả các cặp tia đối nhau

c) Kể tên tất cả các tia trùng nhau

Bài 10 Trên đường thẳng xy lấy điểm A và B (phân biệt) Qua B vẽ đường thẳng pq và qua A vẽ

đường thẳng mn sao cho pq cắt mn tại C

a) Vẽ hình theo diễn đạt trên

b) Trong hình vẽ đó có tất cả bao nhiêu tia?

c) Qua B vẽ đường thẳng uv cắt AC tại điểm I nằm giữa A, C Kể tên các tia đối nhau,các tia trùng nhau trên đường thẳng mn.

d) Hai tia CI và Am có trùng nhau không? Giải thích

Bài 11 Trên đường thẳng a, vẽ năm điểm A, B, C, D, E Có mấy đoạn thẳng tất cả?

a) Hãy kể tên các đoạn thẳng ấy

b) Các cặp đoạn thẳng nào không có điểm chung?

c) Các đoạn thẳng nào có chung đoạn thẳng BD?

Bài 12 Vẽ sáu đoạn thẳng sao cho mỗi đoạn thẳng cắt đúng ba đoạn thẳng khác.

Bài 13 Cho ba điểm C, O, D thẳng hàng và điểm C không nằm giữa O và D Cho biết CD =

10cm, OC = 7cm Tính OD

Bài 14 Cho AI = 1,8cm; BI = 2,2cm; AB = 2cm

Ba điểm A, B, I có thẳng hàng không? Vì sao?

Bài 15 Trên tia Ox, xác định điểm A sao cho OA = 5cm; OB = 10cm

a) Giải thích vì sao ta có thể làm được như vậy?

b) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại

a) Vẽ tia AM, tia QA

b) Vẽ đoạn NA, đường thẳng AP

c) Viết tên hai tia đối nhau gốc N và hai tia trùng nhau gốc N

d) Có tất cả mấy đoạn thẳng trên hình vẽ? kể tên?

Bài 2: Cho 4 điểm A,B,C,D không có 3 điểm nào thẳng hàng Vẽ đường thẳng AB, tia AC, tia

DB, đoạn BC, điểm N nằm giữa B và C Điểm K thuộc tia DB sao cho K không nằm giữ D và B

Bài 3: Vẽ M,N,P không thẳng hàng Vẽ tia MN và MP.

a) Tia Mx cắt đường thẳng NP tại H nằm giữa NP.

b) Tia My cắt đường thẳng NP tại K nằm ngoài NP

c) Đường thẳng a đi qua K và trung điểm I của đoạn MN

Bài 4: Trên tia Ox lấy OA=3cm, OB=6cm.

a) Điểm nào nằm giữa, vì sao?

b) So sánh OA và AB

c) Điểm A có là trung điểm OB không? Tại sao?

Bài 5: Trên Ox lấy OA=7cm, OB=3cm.

a) Tính AB

b) Trên tia đối Ox vẽ OC=3cm,Điểm O có là trung điểm BC không vì sao?

Bài 6: Cho AB=6cm, vẽ M nằm giữa AB sao cho AM=2cm, C là trung điểm MB.

a) Tính MB

b) Chứng minh M là trung điểm AC

Bài 7: Trên AC=7cm lấy BC=3cm.

a) Tính AB

b) Trên tia đối tia BA lấy D sao cho DB=6cm so sánh BC và CD

c) Điểm D có là trung điểm BD không?

Bài 8: Trên đường thẳng xy lấy theo thứ tự A,B,C sao cho AB=6cm, AC=8cm,

a) Tính BC

b) M là trung điểm AB, So sánh MC và AB

Bài 9: Trên Ox lấy OA=7cm, OB=3cm.

a) Tính AB

b) Trên tia Ox lấy OC=5cm Trong 3 điểm A,B,C điểm nào nằm giữa? Tính BC,CA?

c) C là trung điểm đoạn nào?

Bài 10: Trên đoạn thẳng AB=12cm lấy C sao cho AC=6cm

a) Điểm C có là trung điểm AB?

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC,CB tính MN

Bài 11: Cho đoạn thẳng AC=20cm Trên AB lấy điểm C bất kì, gọi M,N lần lượt là trung điểm

AC,CB Tính MN?

Bài 12: Cho đoạn thẳng AB dài 8cm,lấy điểm M sao cho AM = 4cm.

a.Tính độ dài đoạn thẳng MB

b.Điểm M có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không ?vì sao?

c.Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = 4cm.So sánh MK với AB

Bài 13: Cho tia Ox ,trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 8cm,AB = 2cm.Tính độ dài

đoạn thẳng OB

Bài 14: Cho đoạn thẳng AB dài 5cm.Điểm B nằm giữa hai điểm A và C sao cho BC = 3cm.

a.Tính AB.

b.Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao BD = 5cm.So sánh AB và CD

Bài 15:

a) Qua 20 điểm không có 3 điểm thẳng hàng có bao nhiêu đường thẳng?

b) Qua 50 điểm trong đó có 10 điểm thẳng hàng có bao nhiêu đường thẳng?

c) Biết qua 2 điểm nối lại thành 1 đoạn thẳng, có tất cả 42 đoạn thẳng, hỏi có bao nhiêu điểm?

d) Cho 40 đường thẳng cắt nhau không có 3 đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm?

Bài 16: Cho đoạn thẳng AA0 goi A1 là trung điểm AA0, A2 la trung điểm AA1……Tính AA0/

AA1+ AA0/ AA2+…… AA0/ AA9

CHƯƠNG II: GÓC.

1 Nửa mặt phẳng:

a, Mặt phẳng:

- Một mặt bàn, mặt bảng, một tờ giấy trải rộng cho ta hình ảnh của mặt phẳng

- Mặt phẳng không bị hạn chế về mọi phía

b, Nửa mặt phẳng:

- Hình gồm đường thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a được gọi là một nửa mặtphẳng bờ a

- Hai nửa mặt phẳng có chung bờ gọi là hai nửa mặt phẳng đối nhau

- Bất kì đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau

- Mỗi góc có một số đo xác định, lớn hơn 0 và không vượt quá 1800 Số đo của góc bẹt là 1800

- Hai góc bằng nhau nếu số đo của chúng bằng nhau Trong hai góc không bằng nhau thì góc nào

có số đo lớn hơn là góc lớn hơn

- Góc vuông là góc có số đo bằng 900 Số đo của góc vuông còn được kí hiệu là 1v

- Góc nhọn là góc có số đo lớn hơn 00 và nhỏ hơn 900

- Góc tù là góc có số đo lớn hơn 900 và nhỏ hơn 1800

- Chú ý: Đơn vị đo góc là độ, phút, giây: 10 = 60' ; 1' = 60''

- Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳngđối nhau có bờ là đường thẳng chứa cạnh chung.

- Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng 900

- Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 1800

- Hai góc kề bù là hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau (hai góc có 1 cạnh chung và 2 cạnh còn lại là

2 tia đối nhau)

3 Tia phân giác của góc:

- Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằngnhau

4 Đường tròn:

- Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí hiệu (O;R)

- Với mọi điểm M nằm trong mặt phẳng thì:

+ Nếu OM < R: điểm M nằm trong đường tròn

+ Nếu OM = R: điểm M nằm trên (thuộc) đường tròn

+ Nếu OM > R: điểm M nằm ngoài đường tròn

- Hình tròn: là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong đường trònđó

- Cung, dây cung, đường kính:

+ Hai điểm A, B nằm trên đường tròn chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cungtròn (cung) Hai điểm A, B là hai mút của cung

+ Đoạn thẳng AB gọi là một dây cung

+ Dây cung đi qua tâm là đường kính

- Đường kính dài gấp đôi bán kính và là dây cung lớn nhất

- Ví dụ: Trên đường thẳng xy, lấy ba điểm A, B, C Điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

Sai lầm thường gặp: Một số em lấy thứ tự khi viết "A, B, C" để trả lời B nằm giữa A và C

=> Cần xem xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra

- Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có một đường thẳng duy nhất, tên đường thẳng duy nhất đó

có thể là AB hoặc BC hoặc AC Nhưng với 3 điểm thẳng hàng ta có 3 đoạn thẳng khác nhau là

AB, BC, AC

- Không vội vàng kết luận vị trí tương đối giữa một đoạn thẳng và đường thẳng nếu như chưa xéttất cả các trường hợp vị trí hai đầu mút của đoạn thẳng đó đối với đường thẳng cho trước

CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh tia nằm giữa 2 tia

- Nếu M thuộc Ox, N thuộc Oy mà MN cắt Oz thì Oz nằm giữa

- Nếu Ox và Oy là hai tia đối nhau thì mọi tia đều nằm giữa

- Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox vẽ xOz=m xOy=n, nếu n>m thì Oz nằm giữa

- Nếu xOz+zOy=xOy thì Oz nằm giữa

- Nếu Ox và Oy nằm trên 2 nửa mặt phẳng bờ Oz thì Oz nằm giữa

- Nếu Oz là tia phân giác góc xOy thì Oz nằm giữa

- Nếu hai  x0y và  x0z kề nhau mà:

x0y +  x0z 1800 thì tia 0x nằm giữa hai tia 0y và 0z

x0y +  x0z > 1800 thì tia đối của tia 0x nằm giữa hai tia 0y và 0z

Dạng 2: Tính số đo góc:

- Chứng minh tia nằm giữa

- Viết hệ thức góc rồi thay số

Chú ý: góc vuông=90 0 , góc nhọn<90 0 , góc tù>90 0 , góc bẹt=180, hai góc phụ nhau, bù nhau…

Dạng 3: Chứng minh phân giác.

- Chỉ ra tia nằm giữa

- Chỉ ra hai góc bằng nhau

Ví dụ 1:Trên cùng một nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Oa xác định ba tia: Ob, Oc, Od

sao cho  aOb = 200,  aOc = 500,  aOd = 800 Hỏi tia Oc có là tia phân giác của  b0dkhông ? Vì sao

Bài giải

c b a O

Vì  aOb và  aOc cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oa

mà  aOb <  aOc ( 200< 500 ) nên tia Ob nằm giữa hai tia Oa và Oc ta có :

aOb +  bOc =  aOc

200 +  bOc = 500  bOc = 500 - 200   bOc = 300

Vì  aOc và  aOd cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oa

mà  aOc <  aOd ( 500< 800 ) Nên tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Od ta có :

aOc +  cOd =  aOd

500 +  cOd = 800   cOd = 800 - 500   cOd = 300

Vì  aOb và  aOd cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oa

mà  aOb <  aOd ( 200< 800 ) nên tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Od ta có:

aOb +  bOd =  aOd

200 +  bOd = 800  bOd = 800 - 200  bOd = 600

Vì  bOc +  cOd = 300 + 300 = 600, mà  bOd = 600

ta có  bOc +  cOd =  bOd  tia Oc nằm giữa hai tia Ob và Od (1)

Mặt khác  bOc =  cOd = 300 (2)

Từ (1) và (2) ta có tia Oc là tia phân giác của  bOd

Ví dụ 2 : Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia 0A , vẽ hai tia 0B và 0C sao cho  B0A

Vì  A0B và  A0C cùng thuộc một nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia 0A mà

C0A <  B0A ( 550< 1450 ) nên tia 0C nằm giữa hai tia 0A và 0B

Ta có :  A0C +  C0B =  A0B

Vì tia 0y là tia phân giác của  x0z nên : Tia 0y nằm giữa hai tia 0x và 0z

  x0y +  y0z =  x0z (1)

Vì 0y là tia phân giác của  x0z nên  x0y =  y0z (2)

Từ (1) và (2), ta có 2  x0y =  x0z Vậy  x0y =

1

2 x0z

Ví dụ 4: Cho đường thẳng a , lấy điểm ba điểm A; B; C theo thứ tự đó trên đường thẳng a Trên

hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a , kẻ hai tia Bx và By sao cho