Đường thẳng song song với mặt phẳng phần 1

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 1.. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành.. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khong cùng nằm trên một mặt phẳng có tâm lần lượt là O

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng  P :

 d và  P có 2 điểm chung  d  P

 d và  P không có điểm chung  d// P

 d và  P có 1 điểm chung  d và  P cắt nhau

2 Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng

 

 

/ /







 



(*)

 Hai đường thẳng a và b chéo nhau trong không gian thì tồn tại một mặt phẳng  P đi qua a và

 P //b

Chú ý: Từ (*) ta có tính chất

 

 

   

/ /









3 Các ví dụ và bài tập điển hình

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm của tam giác ABD Lấy điểm M trên đoạn BC sao cho

2

MB MC Lấy điểm K trên đoạn BD sao cho BK3KD Chứng minh rằng:

a) MG //ACD 

b) CK //AMG 

Lời giải:

a) Lấy điểm N là trung điểm đoạn AD Do G là trọng tâm

tam giác ABD nên B , G và N thẳng hàng và 2

3

BG

BN 

3

BG BM

BN  BC 

Theo định lý Thales ta được MG // CN (1)

Ta nhận thấy CNACD (2) và MGACD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MG //ACD 

b) Lấy điểm L là trung điểm của đoạn BD

Do Do G là trọng tâm tam giác ABD nên A , G và L thẳng hàng hay điểm L nằm trong mặt phẳng

AMG 

Từ đó suy ra MLAMG (1)

Dễ thấy:

 CKAMG (2)

3

BL BM

BK  BC  , từ đây theo định lý Thales

ta được ML // KC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra KC //AMG 

Ví dụ 2.Cho hình chóp S ABC có G là trọng tâm của tam giác ABC Gọi M , N nằm trên đoạn SA sao cho

SMMNNA A là điểm đối xứng của A qua G Chứng minh rằng: '

a) MG //SBC 

b) NG //CA M ' 

Lời giải:

a) Lấy điểm D là trung điểm của đoạn BC Dễ thấy

DBC SBC SDSBC (1)

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên A , G , D

thẳng hàng và 2

3

AG

AD  Suy ra 2

3

AN AG

AM  AD 

Theo định lý Thales ta được MG // SD (2)

Dễ thấy MGSBC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MG //SBC 

b) Vì A là điểm đối xứng của A qua G nên '

1

AG

AA  (1) Dễ thấy 1

2

AN

AM  (2) và NGSBC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra NG //CA M ' 

Ví dụ 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB

CD và SA Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác SBC Chứng minh rằng:

a) SB //MNP và SC // MNP 

b) G G1 2//SAC 

Lời giải:

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD

Ta có MP // SB và MPMNP

Suy ra SB //MNP 

Ta có OP // SC và OPMNP

Suy ra SC //MNP 

b) Gọi I là trung điểm của BC

Do G1, G2 là trọng tâm nên 1 1

3

IG

IA 

và 2 1

3

IG

IS 

Suy ra 1 2 1

3

IG IG

IA  IS  hay G G1 2// SA

Mà SA nằm trong mặt phẳng SAC  nên G G1 2//SAC 

Ví dụ 4 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khong cùng nằm trên một mặt phẳng có tâm lần lượt là O

và O '

a) Chứng minh rằng OO song song với mặt phẳng ' ADF và mặt phẳng  BCE 

3

AM  AE và 1

3

BN  BD Chứng minh

MN //CDPE 

Lời giải:

a) Ta có: OO là đường trung bình của tam giác '

ACE nên OO // EC '

Mà EC nằm trong mặt phẳng BCE nên 

'

OO //BCE 

Tương tự, OO // DF nên ' OO //' ADF 

b) Trong mặt phẳng ABCD , AN cắt CD tại G 

Ta có:

3

NB NA

ND NG

   (1)

Mặt khác 1

3

AM

ME  (giả thiết) (2)

Từ (1) và (2) suy ra NA AM

NE  ME nên MN // EG

Ví dụ 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang Đáy lớn AD2BC Gọi G là trọng tâm tam giác

SCD , O là giao điểm của AC và BD M là trung điểm của SD Lấy I trên đoạn SC sao cho 2

3

SI  SC Chứng minh:

a) OG //SBC 

b) MC //SAB 

c) SA //BID 

Lời giải:

3

DG

DH  (1)

Do BC // AD nên OD AD 2

3

OD BD

  (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2

3

DG OD

DH  BD 

Theo định lý Thales ta được

OG // BH , mà BHSBC

nên OG //SBC 

b) Gọi N là trung điểm SA

2

NM BC AD Vậy NMCB là hình bình hành

Suy ra CM // BN

Mà BNSAB nên CM //SAB 

3

3

CI CS

  (3)

2

3

CO CA

  (4)

Từ (3) và (4) suy ra 1

3

CO CI

CA CS 

Theo định lý Thales ta được OI // SA Mà OIBID nên SA //BID 

Ví dụ 6. Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của SA

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và  SBC 

b) Tim giao điểm của SB và mặt phẳng MDC 

Lời giải:

a) Hai mặt phẳng SAD và  SBC đã có chung điểm S 

Ta có: BC // AD mà ADSAD

Suy ra BC //SAD Mặt phẳng  SBC chứa BC 

Vậy mặt phẳng SAD cắt mặt phẳng  SBC theo giao tuyến 

St // AD // BC

b) Ta có: AB // CD

Suy ra AB //MDC  Mặt phẳng SAB chứa 

AB sẽ cắt mặt phẳng MDC theo giao tuyến Mx // AB // CD  Trong mặt phẳng SAB gọi N là giao điểm của Mx và SB thì 

N là giao điểm của SB và mặt phẳng MDC 

Ví dụ 7. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Lấy điểm M trên SD

Tìm giao điểm N của SC và ABM 

Gọi K là giao điểm của AM và BN Chứng minh khi M thay đổi trên SD thì SK luôn luôn song song với

mặt phẳng cố định

Lời giải:

a) Ta có CD // AB mà ABABM Suy ra CD //ABM 

Mặt phẳng SCD chứa CD Mặt phẳng  SCD và mặt phẳng 

MAB có điểm chung là M 

Vậy SCD  MABMt // AB

Trong mặt phẳng SCD , N MtSC thì N SCABM

b) Hiển nhiên SSAD  SBC (1)

Mặt khác: KAM K SAD (2)

Và KBN K SBC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra SKSAD  SBC

Hai mặt phẳng SAD và  SBC chứa hai đường thẳng 

AD // BC nên giao tuyến SK // AD // BC

Do SK // AD mà ADABCD nên SK song song mặt

phẳng cố định ABCD 

Vậy điểm K di động trên đường thẳng cố định đi qua S và

song song với mặt phẳng ABCD 

- Còn nữa -