hướng dẫn giải phương trình đường thẳng dạng 1

Hiện nay tình trạng dịch bệnh lan tràn việc học trực tuyến càng trở nên cấp thiết hơn . Thực tế việc học trực tuyến đã thể hiện nhiều vai trò trước đây , nhưng qua dịp này mới thấy tầm quan trọng và sự cần thiết của nó hơn bao giờ hết . Trong quá trình học tập càng trở nên cấp thiết với các em đặc biệt là các em học sinh cuối cấp tôi xin cung cấp những tài liệu trực liên quan đến việc ôn tập của các em đối với những môn cơ bản hi vọng góp phần chung tay với tất cả các bạn giáo viên , các bạn học sinh và các độc giả quan tâm xây dựng hệ thống câu hỏi bổ ích và gắn liền quá trình ôn tập kiến thức ,ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia cũng như các hình thức bổ xung kiến thức khác.

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A – KIẾN THỨC CHUNG

Định nghĩa :

Phương trình ttham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương

1 2 3

( ; ; )

a a a a ,a  0

0 1

0 2

0 3

(t R)

 







  

 Nếu a1, a2 , a3 đều khác không Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau:

Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là :

0 0

A x B y C z D





 với A B C A B C1, , ,1 1 2, 2, 2 thỏa A12B12C12 0, A22B22 C22 0

1 Vị Trí tương đối của hai đường thẳng:

Chương trình cơ bản Chương trình nâng cao 1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng

' ' 1 1

' '

'

o o

o

  

 





 

Movà d’có vtcp 'u

đi qua Mo’

 u, 'u

cùng phương

 d // d’ 0

' '

u ku

 











 

 d ≡ d’ 0

' '

u ku

 









 u, 'u

Không cùng phương

' '

' ' '

o







 d chéo d’Hệ Ptrình (I) vô nghiệm

 d cắt d’ Hệ Ptrình (I) có một nghiệm

1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng

' ' 1 1

' '

'

o o

o

  

 





 

qua Movà d’có vtcp 'u

đi qua Mo’

 (d) / / (d’) 

[ , ']=0

Mo '

u u d











 

  

 (d) ≡ (d’)  0

[ , ']=0

u u d









  

 (d) cắt (d’) 

' 0

, ' 0 , ' o 0

u u

u u M M

  





 





 



 

 (d) chéo (d’) 

'

0 0

u u M M

 

 

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Trong Kg Oxyz cho   :Ax By Cz D    0 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

d qua M(x0;y0;z0) có vtcp a( ; ; )a a a1 2 3

và  :Ax By Cz D    có vtpt 0 n( ; ; )A B C

Trang 2

và

1 2

0 3 :

o o

 





 



  



Phương trình

A x a t B y a t C z a t D (1)

 P.trình (1) vô nghiệm thì d // (α)

 P.trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)

 P trình (1) cóvôsốnghiệm thìd thuộc(α)

Đặc biệt :

( d )  ( )  a n,

  cùng phưong

 (d) cắt (α)  .a n   0

 (d) // (α) 

0 ( )

a n









 

 (d) nằm trên mp(α) 

0 ( )

a n









 

3 Khoảng cách :

 Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi côngthức

Ax

d M

 Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d)

Phương pháp 1 :

 Lập ptmp( ) đi qua M và vuông góc với d

 Tìm tọa độ giao điểm H của mp( ) và d

 d(M, d) =MH

 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Phương pháp 1:

d đi qua M(x0;y0;z0); cóvtcp a( ; ; )a a a1 2 3

d’qua M’(x’0;y’0;z’0) ; vtcp a ' ( ' ; ' ; ' ) a a a1 2 3

 Lập ptmp( ) chứa d và song song với d’

 d(d,d’)= d(M’,( ))

 Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d) Phương pháp 2 :

( d đi qua M0 có vtcp u

 ) 0

[M , ]

d M

u

 

 



 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau Phương pháp 2:

d đi qua M(x0;y0;z0); cóvtcp a( ; ; )a a a1 2 3 d’qua M’(x’0;y’0;z’0) ; vtcpa' ( ' ; ' ; ' ) a a a1 2 3



[ , '] ' ( , ')

[ , ']

hop day

d

S

a a



 

  

 

4 Góc giữa hai đường thẳng:

 Góc giữa hai đường thẳng

() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP a( ; ; )a a a1 2 3

(’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' ( ' ; ' ; ' ) a a a1 2 3

1 1 2 2 3 3

os os( , ')

 

5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

() đi qua M0 có VTCP a

 , mp(α) có VTPT n( ; ; )A B C



Gọi  là góc hợp bởi () và mp(α)

Trang 3

1 2 3

Aa +Ba +Ca sin os( , )

 

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÌM VTCP, CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

0 : 2

x











  

 Vectơ nào dưới đây là vecto

chỉ phương của đường thẳng d ?

A u  1; 0; 1 

B u  0; 0; 2

C u  0; 1; 2

D u  0; 1; 1 

Hướng dẫn giải Chọn D

Dễ thấy vectơ chỉ phương của d là u 0; 1; 1 



Câu 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :2x y z    và điểm 3 0 A1; 2;1 

Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với  P

là:

A

2

1

 





   

  

1 2

 





   

  

1 2

1

 





   

  

1 2

1 3

 





   

  

Hướng dẫn giải Chọn C

Đường thẳng :

qua 1; 2;1 VTCP P 2; 1;1

A n





 



1 2

1

 





    

  

Câu 3. Trong không gian Oxyz , tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d :

x y z



A u  7; 4; 5   B u  5; 4; 7   C u  4;5; 7  D u  7;4; 5 

d :

x y z

 có một vectơ chỉ phương là u  7;4; 5 

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng

:

đi qua những điểm nào sau đây?

A A  2;2;0

B B2;2;0

C C  3;0;3

D D3;0;3

Ta có

3 2 0 2 3

1

nên đường thẳng d đi qua điểm D

Trang 4

Câu 5 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

:

 Điểm nào sau đây không thuộc

đường thẳng d ?

A Q  1;0; 5 

B M  2;1;3 C N2; 1; 3  

D P5; 2; 1  

Hướng dẫn giải Chọn B

Nhận xét N P Q, , thuộc đường thẳng d

Tọa độ điểm M không thuộc đường thẳng d

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A1;1;1

; B  1;1;0

; C1;3;2

Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ a

 nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?

A a    1;1;0

D a  1;1;0

Hướng dẫn giải Chọn A

Trung điểm BC có tọa độ I0; 2;1

nên trung tuyến từ A có một vectơ chỉ phương là

 1;1;0

AI  

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng

 P có vectơ pháp tuyến n Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A d song song với  P thì u cùng phương với n.B d vuông góc với  P thì u vuông góc với n

C u vuông góc với n thì d song song với  P D u không vuông góc với n thì d cắt  P .

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;3; 1 ,  B1; 2;4 Phương trình đường

thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB .

A

x y z

2 3

1 5

 





 



  

C

1 2

4 5

 





 



  

x y z



 1; 1;5

AB   

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận AB    1; 1;5

làm vectơ chỉ phương là :

x y z

 .

Vậy đáp án D không phải là phương trình đường thẳng AB .

Trang 5

 Điểm nào dưới đây

không thuộc ?d

A N1;0;1. B F3; 4;5 

C M0; 2;1. D E2; 2;3 

Thay tọa độ điểm E2; 2;3  vào

2 1 2 3 1

d     

 thỏa mãn nên loại A

Thay tọa độ điểm N1;0;1

vào

1 1 0 1 1

d      

 thỏa mãn nên loại

B

Thay tọa độ điểm F3; 4;5 

vào

3 1 4 5 1

d     

 thỏa mãn nên loại

C

Thay tọa độ điểm M0;2;1 vào d 0 11 221 12  không thỏa mãn nên chọn

D

Câu 10. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : 1 1 2

 Véctơ nào sau đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng  d

?

A u   d  2;3;1

B u  d  1;1; 2

C u  d 2; 3;1 

 2; 3; 1

d

d     

  suy ra u  d 2; 3;1 



2

2 2

 





 



  

 Phương trình chính tắc

của đường thẳng d là:

A

x y z

B

x y z

C

x y z

D

x y z



Đường thẳng

2

2 2

 





 



  

 đi qua điểm A  1; 2; 4

và có vectơ chỉ phương là u  1;1;2

nên

có phương trình chính tắc là:

x y z

Trang 6

Câu 12 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  d

có phương trình chính tắc là

x y z

Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng  d

?

A u  5; 1;6 

B u  3; 4;2 

C u    5;1; 6 

D u  3; 4; 2

Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1

 





 



  

 Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ

phương của d ?

A n   1; 2;1

B n  1;2;1

D n    1;2;1

Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d ta có vectơ chỉ phương của d là n    1;2;1

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng

0

x







 



 

 Tìm một vec tơ chỉ phương

của đường thẳng d

A u  (0;1;1). B u  (0;1; 1) C u  (0;2; 1) D u  (0;2;0).

Dễ thấy d có một vec tơ chỉ phương là u  (0;1; 1)

1 2

5 3

 









  

 Trong các vecto sau, vecto nào là một

vecto chỉ phương của đường thẳng d

A a  1 1;3;5

B a  1 2;3;3

C a   3  2;0;3

D a  1  2;3;3.

Ta dễ thấy u d a3   2;0;3

 

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

Điểm nào trong các điểm dưới đây nằm trên đường thẳng d ?

A N1; 1;2 . B M3; 2; 2

C P5; 2; 4. D Q1;0;0.

Thay tọa độ các điểm Q1;0;0

, N1; 1;2 

, M3;2;2, P5; 2; 4

vào phương trình : 1 1

Trang 7

Dễ thấy chỉ có điểm M3; 2; 2

thỏa mãn phương trình của d

 

3

2

z

 





 



 

 Một vectơ chỉ phương

của d là

A u    1; 2; 2. B u   1; 2;0. C u  3;1; 2. D u   1; 2;2.

Một vectơ chỉ phương của d là u   1; 2;0

Câu 18 Trong không gian Oxy

cho tam giác ABC có A2;3;3

, phương trình đường trung tuyến kẻ từ

B là

x y z

  , phương trình đường phân giác trong góc C là

x y z

Biết rằng um n; ; 1 

là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB Tính giá trị biểu thức

2 2

T m n

Gọi M là trung điểm AC Trung tuyến BM có phương trình

x y z

3 ;3 2 ;2 

M  m  m  m  C4 2 ;3 4 ;1 2 m  m  m

Vì C nằm trên đường phân giác trong góc C nên

   m0  C4;3;1

Gọi A là điểm đối xứng của A qua phân giác trong góc C , khi đó A2 4 ;5 2 ;1 2 a  a  a

và

ABC

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng chứa phân giác trong góc C là u  2; 1; 1  

Ta có AA u . 0

 

4 2a 2 2 1a 2a 2 1 0

          a0 A2;5;1BM

Suy ra A B  B2;5;1  AB0; 2; 2 

2 0; 1;1

  là một véc tơ của đường thẳng AB Vậy T m2n2 2

Câu 19 Cho hai điểm A4;1;0

, B2; 1;2  Trong các vectơ sau, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

A u6;0;2. B u2;2;0. C u1;1; 1 . D u3;0; 1 .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có AB    2; 2; 2

1;1; 1

 u 

Câu 20 Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng

:

 Khi đó vectơ chỉ phương của

đường thẳng d có tọa độ là:

Trang 8

A 4;2;1

B 4;2; 1 

C 4; 2; 1  

D 4; 2;1 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là 4; 2; 1 

Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình

3

z

Véc tơ nào dưới đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d ?

A u  3; 2;3

B u  1; 2;3

C u  3; 2;0

D u  3; 2;1

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u  3; 2;1 .

Câu 22. Cho đường thẳng

1

x y z

Tìm vectơ chỉ phương của ?d

A u  2; 2; 0

B u  2; 1; 2

C u  1; 6; 0

D u  2; 6; 2

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u  2; 1; 2  .

Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình :

d

thì nó có một vectơ chỉ phương là ua b c; ; 

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

 P : 4x z   Vec-tơ nào dưới đây là một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng d ?3 0

A u  4;1; 3. B u  4;1; 1 

C u  4; 1; 3 

D u  4; 0; 1 

Do d  P

nên vec-tơ chỉ phương của đường thẳng d là vec-tơ pháp tuyến của  P

Suy ra một một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng d là u n   P 4; 0; 1 

Câu 24 Trong không gian Oxyz cho

1 :

Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng d là.

A u  0; 1; 0

B u  1; 2; 1

C u  1; 0; 1

D u  2; 0; 1

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng

2

5 3

 





 



  

có vectơ chỉ phương là:

A a    2;1;5

B a  2; 4;6

C a  1; 2;3

Trang 9

Vec tơ chỉ phương của đường thẳng d là u  1; 2; 3 

hay u     1; 2;3

Câu 26 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A0; 1; 2  

và B2; 2; 2 Vectơ a

nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

A a  2;1;0

B a  2;3;4

C a    2;1;0

D a  2;3;0

Ta có: AB 2;3; 4

nên đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là a  2;3;4

Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;2

, B3; 2;0  Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:

A u  2; 4; 2 

B u  2; 4; 2 

C u    1; 2;1 D u  1; 2; 1 

Ta có: AB 2; 4; 2  

2 1; 2;1

 

Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x 2y z  và đường thẳng0

1 :

 Gọi  là một đường thẳng chứa trong  P , cắt và vuông góc với d Vectơ

 ;1; 

u a b là một vectơ chỉ phương của  Tính tổng S a b 

Mặt phẳng  P

có vectơ pháp tuyến n P 2; 2;1 

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u d 1;2; 1 

Ta có  n u  P; d 0;3;6 3 0;1;2  3 0;1;2 

Nên  có vectơ chỉ phương là u  0;1; 2

Vậy

0 2

a b









  S  2

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : 2x y z   1 0 và

 Q x:  2y z  5 0

Khi đó, giao tuyến của  P

và  Q

có một vectơ chỉ phương là

A u    1;3; 5 

B u  1;3;5. C u   1; 2;1. D u  2;1; 1 

Có  2;1; 1 

P

n và 1; 2;1 



Q

Khi đó, vectơ chỉ phương của giao tuyến của  P

và  Q

là:

 

; 1;3;5

  



 

   

P Q

u n n

Câu 30 Cho hai đường thẳng

1

2

2 6







 



  

:

Khẳng định nào sau là đúng ?

Trang 10

C d , 1 d chéo nhau.2 D d1 //d 2

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 1 a  1 2; 4;6

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 2 a  2 1; 2;3

, lấy điểm M1;0;3d2

Vì a 1 2 a2

và điểm Md1 nên hai đường thẳng d và 1 d song song.2

:

  Một vec tơ chỉ phương của đường

thẳng d là:

A u  2 1;0;1

B u  3 2; 1; 3  

C u 1 2; 1;3 



D u   4  2; 1;3 .

Câu 32 Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương của đường thẳng

2

1

z







   

 

A m  2; 1;1 

B n     2; 1;0. C v  2; 1;0 

D u  2;1;1.

Dựa vào hệ số trước t trong phương trình tham số của đường thẳng  ta có một vectơ chỉ phương là a  2;1;0

nên ta chọn đáp án B vì vectơ n     2; 1;0

cùng phương với a



 Đường thẳng d có một vector chỉ

phương là

A u 1 2; 3;4 



B u  4 1; 2; 4

C u 2 1; 2;0 D u  3 2; 3;0 

Đường thẳng d có phương trình chính tắc

:x x y y z z

d

có một vector chỉ phương

là ua b c; ; 

Câu 34 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P x:  2y 3z 2 0 Đường thẳng d vuông góc với

mặt phẳng  P

có một vectơ chỉ phương là

A u    3 1; 3; 2

B u   1 1; 2; 2

C u   2 1; 2; 3

D u  4 1; 2;3

Ta có  P x:  2y 3z 2 0 , suy ra một VTPT của  P là u   2 1; 2; 3.

Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  ( 2; 2; 1), B1; 2; 3  và đường thẳng

:

 Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng  qua A, vuông góc với d

đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,27 MB