Luận án tiến sĩ toán học một số dạng hàng đợi và các nguyên lý xử lý

Nghiên cứu về mạng hàng đợi, hai trong số các lớp bài toán vừa có ý nghĩa khoa học vừa có ý nghĩa thực tiễn đã và đang được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm là lớp bài toán nghiên cứ

NGUYỄN TRUNG DŨNG

MỘT SỐ DẠNG HÀNG ĐỢI VÀ CÁC NGUYÊN LÝ XỬ LÝ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018

NGUYỄN TRUNG DŨNG

MỘT SỐ DẠNG HÀNG ĐỢI VÀ CÁC NGUYÊN LÝ XỬ LÝ

Chuyên ngành: Cơ sở toán học cho tin học Mã số : 9460110

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 TS.NCVCC Nguyễn Hồng Hải

2 TS Trần Quang Vinh

Hà Nội - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các công trình nghiên cứu trong luận án này là của cá nhân tôi Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong các công trình nào khác Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ

Tác giả

Nguyễn Trung Dũng

LỜI CÁM ƠN

Luận án được nghiên cứu thực hiện tại Viện Công nghệ thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Quân sự/BQP và Bộ tư lệnh 86/BQP, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.Nguyễn Hồng Hải và TS.Trần Quang Vinh

Lời đầu tiên nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Hồng Hải và thầy giáo Trần Quang Vinh, những người thầy đã giúp

đỡ và đưa nghiên cứu sinh đến lĩnh vực nghiên cứu này Các thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, động viên, khuyến khích và chỉ dẫn giúp nghiên cứu sinh tiếp cận và đạt được thành công trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành bản luận án này

Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn tới Đảng ủy, chỉ huy Viện Công nghệ thông tin - Viện KH-CN Quân sự; Đảng ủy, chỉ huy BTL 86; các cán bộ Phòng Đào tạo - Viện KH-CN Quân sự; cán bộ phòng Toán ứng dụng

- Viện Công nghệ thông tin - Viện KH-CN Quân sự; cán bộ phòng Phần mềm

và CSDL – BTL 86 đã nhiệt tình ủng hộ, động viên kịp thời và hết lòng giúp

đỡ nghiên cứu sinh trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại đơn vị

Cuối cùng nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn toàn thể gia đình, những người luôn ở bên cạnh và dành cho nghiên cứu sinh những tình cảm và chia sẻ động viên giúp đỡ tinh thần những lúc khó khăn trong cuộc sống,

cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả

Nguyễn Trung Dũng

MỤC LỤC

Trang

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT V DANH MỤC CÁC BẢNG VIII DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ IX CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI

VÀ MẠNG HÀNG ĐỢI 5

1.1 Một số khái niệm xác suất có liên quan 6

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 6

1.1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 6

1.1.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 7

1.1.4 Một số đại lượng ngẫu nhiên quan trọng (thường dùng) 8

1.2 Quá trình Markov 10

1.2.1 Các định nghĩa và một số tính chất ban đầu 10

1.2.2 Xích Markov thời gian rời rạc 11

1.3 Lý thuyết hàng đợi và mạng hàng đợi 14

1.3.1 Hàng đợi 14

1.3.2 Mạng hàng đợi 18

1.4 Tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước về mạng hàng đợi 27

CHƯƠNG 2 MẠNG ĐA LỚP TỔNG QUÁT - THUẬT TOÁN PHÂN RÃ VÀ TỔNG HỢP 41

2.1 Phân rã mạng hàng đợi tổng quát thành các mạng thành phần 42

2.2 Tổng hợp mạng hàng đợi tổng quát theo các mạng thành phần 46

2.2.1 Luân chuyển job trong mạng hàng đợi tổng quát G/G/J trong bối cảnh job luân chuyển giữa các mạng thành phần 47

2.2.2 Xét trường hợp riêng – trong mạng chập không có sự luân chuyển dòng job giữa các mạng thành phần 65

2.3 Về một mô hình mạng hàng đợi cụ thể 68

2.3.1 Tập các mạng thành phần 69

2.3.2 Dòng job luân chuyển trong mạng hàng đợi tại bước n (n≥1) 70

2.4 Xây dựng chương trình tính toán lưu lượng dòng job luân chuyển

trong mạng hàng đợi 72

2.4.1 Nêu bài toán 73

2.4.3 Sơ đồ khối thuật toán tổng hợp mạng hàng đợi 75

2.4.4 Bộ số liệu thử nghiệm 76

2.4.5 Kết quả tính toán lưu lượng dòng job luân chuyển trong mạng 76

CHƯƠNG 3 ĐÁNH GIÁ QUÁ TRÌNH TRẠNG THÁI CỦA MẠNG HÀNG ĐỢI DẠNG TỔNG QUÁT 86

3.1 Trạng thái và phương trình chuyển trạng thái của mạng 88

3.1.1 Các định nghĩa, ký hiệu 89

3.1.2 Phương trình chuyển trạng thái của nút mạng 90

3.1.3 Phân phối xác suất chuyển trạng thái của nút mạng 92

3.2 Phân phối và tính chất của quá trình trạng thái 94

3.2.1 Phân phối xác suất của trạng thái tại nút mạng sau một bước 94

3.2.2 Phân phối xác suất của trạng thái tại các nút mạng sau k bước 96

3.2.3 Điều kiện để quá trình trạng thái nút mạng và mạng hàng đợi là Markov 97 3.3 Ứng dụng để tính các đặc trưng của mạng hàng đợi 107

3.3.1 Trung bình số job có trong nút mạng 107

3.3.2 Thông lượng của nút mạng 107

3.3.3 Xác suất vượt ngưỡng tại nút mạng 107

3.3.4 Trung bình số job có trong mạng hàng đợi 108

3.3.5 Thông lượng của mạng hàng đợi 108

3.3.6 Một phương pháp phân chia dòng job vào mạng hàng đợi 108

KẾT LUẬN 114

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 116

TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 Phụ lục 1 Ma trận xác suất định tuyến của các mạng thành phần và ma trận

xác suất chuyển job tại nút mạng giữa các mạng thành phần……… P1

Phụ lục 2 Chương trình phần mềm tính toán lưu lượng dòng job luân chuyển

trong mạng hàng đợi tổng quát……… P12

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

(2)

j n

A  : Số job thuộc loại 2 từ bên ngoài vào nút j trong khoảng thời

gian [ n−1, n] ( )

( , )

,

h l

i j

A t : Biến cố job chuyển từ nút i sang nút j trong mạng thành phần

( )h l, tại thời điểm t

p t : Xác suất định tuyến job chuyển từ nút i sang nút j trong mạng

chập tại thời điểm t

Q  : Ma trận xác suất chuyển trạng thái của quá trình trạng thái tại

nút j tại thời điểm n

s n : Xác suất chuyển job từ nút i trong mạng thành phần c ra

ngoài mạng hàng đợi c tại bước n

v n : Lưu lượng dòng job từ bên ngoài vào trong mạng thành phần c

tại nút i tại bước n

( )

i

v n : Véc tơ chỉ lưu lượng dòng job từ ngoài mạng hàng đợi vào nút

i trong mạng hàng đợi tại bước n

( )n

X  : Trạng thái mạng hàng đợi tại thời điểm n

( )

j n

X  : Số job có trong nút j tại thời điểm n và được gọi là trạng thái

nút j tại thời điểm n ( )

ij n

  : Số job từ nút i chuyển sang nút j tại thời điểm n

2 Danh mục các chữ viết tắt

DP: Ưu tiên phục vụ theo cơ chế động (Dynamic Priorities)

FCFS: Job vào trước được phục vụ trước (First-Come-First-Served) FIFO: Job vào trước ra trước (First-In-First-Out)

GPSS: Hệ thống mô phỏng các sự kiện rời rạc, được Geoffrey Gordon

(IBM), phát triển chính từ những năm 1960 (General Purpose Simulation System)

HTTP: Giao thức truyền tải siêu văn bản (HyperText Transfer Protocol) IS: Số lượng server vô hạn (Infinite Server)

JMT: Công cụ dùng để mô phỏng mạng hàng đợi sử dụng ngôn ngữ

lập trình Java (Java Modelling Tools)

Job: Công việc, Khách hàng (Job)

LCFS: Job vào sau được phục vụ trước (Last-Come-First-Served) OSI: Mô hình tham chiếu cho việc kết nối các hệ thống mở

(Reference model for Open Systems Interconnection)

RR: Thời gian phục vụ job của hàng đợi được phân chia thành các

đoạn thời gian và nếu tại cuối một đoạn thời gian mà job chưa được phục vụ xong, khi đó job sẽ quay về hàng chờ để được phục vụ tiếp (Round Robin)

SIRO: Job được lựa chọn phục vụ ngẫu nhiên (Service-In-Random- Order)

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang Bảng 2.1 Chỉ số hóa các mạng thành phần……… 69 Bảng 2.2 Lưu lượng dòng job luân chuyển trong mạng hàng đợi tổng quát 76 Bảng 2.3 Lưu lượng dòng job luân chuyển trong các mạng thành phần…… 77 Bảng 2.4 Lưu lượng dòng job luân chuyển giữa các mạng thành phần tại các nút 79

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Trang

Hình 1.1 Cấu trúc hàng đợi……… ……….15

Hình 2.1 Dòng job luân chuyển trong mạng tổng quát……… 44

Hình 2.2 Dòng job luân chuyển trong mạng thành phần………46

Hình 2.3 Sơ đồ khối thuật toán tổng hợp mạng hàng đợi……… 75

Hình 2.4 Biểu đồ lưu lượng dòng job trong mạng hàng đợi và ra khỏi mạng hàng đợi sau một bước tại nút 1……… 77

Hình 2.5 Biểu đồ lưu lượng dòng job trong mạng thành phần (1,1) và ra khỏi mạng (1,1) sau một bước……….79

Hình 2.6 Biểu đồ lưu lượng dòng job có trong mạng thành phần (1,1) và ra khỏi mạng (1,1) sau một bước tại nút 1……… 84

Hình 3.1 Mô hình mạng hàng đợi dạng tổng quát G/G/J……… 87

Hình 3.2 Lược đồ chuyển trạng thái của hàng đợi M/M/1/∞-FCFS……… 92

Hình 3.3 Lược đồ chuyển trạng thái của quá trình trạng thái tại nút mạng…94

MỞ ĐẦU

Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều mạng hàng đợi đã ra đời và được ứng dụng trong thực tế đời sống xã hội như hệ thống mạng viễn thông, hệ thống mạng máy tính, hệ thống dây chuyền sản xuất… Việc nghiên cứu, đánh giá hiệu năng hoạt động của các hệ thống này là một trong những bài toán quan trọng và phức tạp Để nghiên cứu, đánh giá hiệu năng hoạt động của hệ thống, chúng ta có thể áp dụng nhiều công cụ toán học khác nhau và một trong công cụ toán học quan trọng có thể sử dụng là lý thuyết hàng đợi và

lý thuyết mạng hàng đợi

Nghiên cứu về mạng hàng đợi, hai trong số các lớp bài toán vừa có ý nghĩa khoa học vừa có ý nghĩa thực tiễn đã và đang được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm là lớp bài toán nghiên cứu quá trình trạng thái của các nút mạng, quá trình trạng thái của mạng hàng đợi và lớp bài toán xác định quá trình dòng job luân chuyển trong mạng hàng đợi

Các kết quả nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước từ trước đến nay nhằm xác định phân phối xác suất của trạng thái mạng hàng đợi và các tham số hiệu năng khác của mạng… chỉ đạt được với mạng hàng đợi thỏa mãn điều kiện như dòng vào là dòng Poisson, thời gian phục vụ của các nút mạng các biến ngẫu nhiên có phân phối mũ, mạng hàng đợi hoạt động ở trạng thái cân bằng Đối với mạng hàng đợi với giả thiết dòng vào tổng quát, thời gian phục vụ của các nút mạng là các biến ngẫu nhiên có phân phối bất kỳ, các tác giả mới dừng lại ở việc xác định phân phối xác suất gần đúng của trạng thái mạng hàng đợi trong một số điều kiện nhất định

Có nhiều vấn đề kể cả từ thực tiễn cũng như từ lý thuyết đòi hỏi phải xét những mô hình mạng hàng đợi với những giả thiết rộng rãi hơn được đặt lên các cấu trúc của mạng hàng đợi như: giả thiết về dòng job từ bên ngoài vào mạng

phục vụ; giả thiết về thời gian phục vụ, giả thiết về cơ chế ưu tiên phục vụ; giả

thiết về cơ chế xây dựng ma trận xác suất định tuyến trong mạng hàng đợi…

* Xuất phát từ những vấn đề trên, luận án “Một số dạng hàng đợi và các nguyên lý xử lý” đặt ra mục tiêu:

Nghiên cứu các tính chất của các quá trình trạng thái tại nút mạng và mạng hàng đợi; Xác định các tham số hiệu năng của mạng; Xác định dòng job luân chuyển trong mạng

* Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của luận án là mạng hàng đợi dạng tổng quát

* Nội dung nghiên cứu chính:

- Nghiên cứu một số hàng đợi và mạng hàng đợi trong các công trình nghiên cứu đã được các tác giả trên thế giới công bố Dựa trên các công trình nghiên cứu của các tác giả trên thế giới từ đó phát hiện các vấn đề

mở trong các mô hình mạng hàng đợi đã được công bố

- Đề xuất mô hình mạng hàng đợi và giải quyết một số lớp bài toán có liên quan mô hình mạng hàng đợi đã đề xuất Tập trung vào hai lớp bài toán: Lớp bài toán xác định quá trình dòng job luân chuyển trong mạng hàng đợi và lớp bài toán liên quan đến các quá trình trạng thái tại các

nút mạng và của mạng hàng đợi

* Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:

Trong các mạng hiện nay như mạng viễn thông, mạng máy tính, dây chuyền sản xuất…thì bài toán đánh giá hoạt động của mạng thông qua việc xác định các tham số hiệu năng của mạng như phân phối xác suất của trạng thái mạng, thông lượng mạng, trung bình số job có trong mạng, trung bình thời gian phục vụ job, xác suất tắc nghẽn mạng…là bài toán phức tạp và lời giải của bài toán này sẽ phụ thuộc vào nhiều tham số và một số tham số quan trọng đó là lưu lượng dòng job vào mạng, dung lượng của mạng, năng lực

phục vụ của mạng, cơ chế luân chuyển job trong mạng, cơ chế dòng vào, cơ chế ưu tiên phục vụ Việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các tham số nêu trên

để tìm ra các đặc trưng của mạng cũng như tìm ra phương án điều chỉnh thích hợp nhằm đảm bảo chất lượng phục vụ của mạng và tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên của mạng là vấn đề luôn được đặt ra và cần phải giải quyết một cách hợp lý

Có một số phương pháp đã được sử dụng để xác định mối quan hệ của các đại lượng nói trên, trong đó phương pháp mô hình hóa phân tích theo lý thuyết hàng đợi là phương pháp tổng quát nhất Trong phương pháp mô hình hóa phân tích, lưu lượng dòng job vào mạng được mô tả dưới dạng các quá trình ngẫu nhiên, năng lực phục vụ của các nút mạng được mô tả bởi các biến ngẫu nhiên, cơ chế luân chuyển job trong mạng được mô tả bởi ma trận xác suất định tuyến và dựa vào lý thuyết hàng đợi để tính toán các đặc trưng của mạng Đặc biệt, trong mạng đa dịch vụ như mạng viễn thông, mạng máy tính với các yêu cầu khác nhau về chất lượng phục vụ, cơ chế dòng vào, cơ chế ưu tiên phục vụ thì sử dụng lý thuyết hàng đợi là một trong số cách tiếp cận có hiệu quả để giải quyết vấn đề

Bên cạnh các dạng hàng đợi đã được mô hình hóa và áp dụng trong thực

tế đời sống xã hội còn có nhiều dạng mô hình mạng hàng đợi đã được các nhà khoa học nghiên cứu đã và đang là những dạng mô hình mạng hàng đợi mang tính định hướng Với ý nghĩa đó, luận án tập trung nghiên cứu về dòng job luân chuyển trong mạng và nghiên cứu các quá trình trạng thái của mạng hàng đợi, từ đó tính toán một số đặc trưng hiệu năng của mạng

* Phương pháp nghiên cứu:

Sử dụng các phương pháp của lý thuyết hàng đợi và mạng hàng đợi, kết hợp với một số phương pháp của lý thuyết xác suất và thống kê toán học để

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI VÀ

MẠNG HÀNG ĐỢI

Hoạt động của mạng hàng đợi phụ thuộc vào rất nhiều tham số đầu vào, trong đó có một số tham số đầu vào quan trọng như dòng job từ bên ngoài vào mạng hàng đợi, cơ chế luân chuyển job trong mạng, năng lực phục vụ và cơ chế ưu tiên phục vụ job tại các nút của mạng Dòng job từ bên ngoài vào mạng

là các quá trình ngẫu nhiên, năng lực của các nút mạng được mô tả bởi các biến ngẫu nhiên thể hiện thời gian phục vụ, cơ chế luân chuyển job trong mạng được mô tả bởi ma trận xác suất định tuyến Hơn nữa, khi đánh giá hoạt động của mạng hàng đợi, chúng ta phải xác định nhiều tham số hiệu năng của mạng như phân phối xác suất của trạng thái nút mạng và trạng thái mạng hàng đợi, trung bình số job có trong nút mạng và có trong mạng, xác suất tắc nghẽn mạng, thông lượng của mạng…Như vậy để nghiên cứu về mạng hàng đợi, chúng ta phải nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến lý thuyết xác suất, lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết hàng đợi và lý thuyết mạng hàng đợi Nội dung chính của chương 1 trình bày về một số khái niệm xác suất, quá trình Markov; lý thuyết hàng đợi, mạng hàng đợi được dùng trong luận án; trình bày tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước về mạng hàng đợi, phát hiện một số vấn đề mở trong các mô hình mạng hàng đợi đã được công bố từ đó xác định các nội dung nghiên cứu trong luận án

Cấu trúc chương 1 gồm bốn phần chính:

1 Một số khái niệm xác suất có liên quan

2 Xích Markov thời gian rời rạc

3 Lý thuyết hàng đợi và mạng hàng đợi

4 Tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước về mạng hàng đợi

1.1 Một số khái niệm xác suất có liên quan

Trong mục này luận án trình bày về một số khái niệm xác suất cơ bản có liên quan đến luận án ([5], [10], [44])

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Xét không gian xác suất (,,P) và không gian đo ( ,) với  là trường Borel trên đường thẳng thực

-Định nghĩa 1.1

Mỗi ánh xạ đo được X: (,)→ ( ,) được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên một chiều (hoặc đôi khi người ta còn gọi là một biến ngẫu nhiên)

Để ký hiệu biến ngẫu nhiên, người ta có thể viết X() (với  ) hoặc viết X

1.1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2

Xét biến ngẫu nhiên X, với x  hàm số

F(x) = [X < x]

được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

Để ký hiệu hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X, người ta thường viết

FX(x) và để đơn giản người ta viết F(x)

Hàm phân phối F(x) có các tính chất sau:

(i) 0 < F(x) <1 x

(ii) Không giảm: x < y  F(x) < F(y)

(iii) Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm

Các phân phối đối với các loại biến ngẫu nhiên:

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1, x2 , , xn, }, khi đó hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là

Nếu tồn tại hàm f : →0, +) sao cho:

( )( )

1.1.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Giả sử X= X() là biến ngẫu nhiên

Đối với phương sai của biến ngẫu nhiên X đôi khi người ta còn ký hiệu là V Xar Người ta cũng có công thức tính phương sai khác là

( )

2 EX

DX = − E X

E X−E X được gọi là moment trung tâm bậc k (cấp k)

+ E X k được gọi là moment tuyệt đối bậc k

+ E X−EX k được gọi là moment trung tâm tuyệt đối bậc k

Nếu các đại lượng đó tồn tại

1.1.4 Một số đại lượng ngẫu nhiên quan trọng (thường dùng)

- Phân phối Poisson:

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số  (> 0)

và được ký hiệu là X ~ P() nếu X có miền giá trị S =  = {0, 1, 2,…} và

- Phân phối đều:

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều và được ký hiệu là X~U(a; b) nếu hàm mật độ của nó có dạng

Hàm phân phối đều có dạng

- Phân phối Gamma:

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối gama với các tham số , p (, p > 0) và được ký hiệu là X ~ G(, p) nếu hàm mật độ của nó có dạng

- Phân phối Erlang:

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Erlang với các tham số k, λ (λ>0, k  +) và được ký hiệu là X ~ Er(k,λ) nếu hàm mật độ của nó có dạng

1.2.1 Các định nghĩa và một số tính chất ban đầu

Định nghĩa 1.6 Quá trình ngẫu nhiên

Ánh xạ X   →: được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu   +

( + =0, +)) và với mỗi t  thì X t( ),  là một biến ngẫu nhiên

Nếu  là tập có lực lượng không quá đếm được, khi đó X t( ),  là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và nếu  là  0,T (T 0), khi đó X t( ), 

là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

Quá trình ngẫu nhiên thường được ký hiệu X t( ),  hoặc X t( ) hoặc X t( )

s t

s t

t t

không gian trạng thái E không quá đếm được, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa sau về tính Markov của quá trình X t( ):

1.2.2 Xích Markov thời gian rời rạc

- Ma trận xác suất chuyển trạng thái của xích Markov:

(i) ( )X n là dãy các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

(ii)  (0) là phân phối xác suất của trạng thái ban đầu

(iii) P n là ma trận xác suất chuyển trạng thái tại bước n

- Phân phối dừng và phân phối giới hạn của trạng thái xích Markov thuần nhất thời gian rời rạc:

Định lý 1.1 Giả sử  X n n=0,1, là xích Markov xác định trên không gian trạng thái hữu hạn E với ma trận xác suất chuyển trạng thái P=( )pij i j E, (i) Nếu P chính quy theo nghĩa: tồn tại n0 + sao cho

( ) ij ,

j j

j j

với điều kiện (1.15) thỏa mãn

j j

Định nghĩa 1.12 Ta nói rằng xích Markov có phân phối giới hạn nếu tồn

tại các giới hạn ( )

ij lim n ,

j j

1.3 Lý thuyết hàng đợi và mạng hàng đợi

Trong mục này luận án trình bày về các khái niệm cơ bản liên quan đến hàng đợi và mạng hàng đợi ([19], [20], [29], [32], [33], [34], [36], [47])

- Nếu chúng ta ký hiệu t t1, , ,2 t n−1, , t n là các thời điểm job đến hàng

đợi, khi đó T n: = −t n t n−1 là biến ngẫu nhiên biểu diễn thời gian giữa hai lần job đến liên tiếp thứ n −1 và n và với giả thiết các biến ngẫu nhiên T n = n( 1, 2, ) là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối

khi đó phân phối này được ký hiệu là A

- Nếu chúng ta ký hiệu X k là biến ngẫu nhiên biểu diễn thời gian phục

vụ xong job thứ k vào hàng đợi (k = 1,L và L là tổng số job đã vào hàng đợi) Giả thiết rằng các biến ngẫu nhiên X k(k= 1,L) là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối khi đó phân phối này được ký hiệu là B

Các ký hiệu sau thường được sử dụng đối với A và B như sau:

- M : Phân phối mũ

- E k,: Phân phối Erlang tham số k,

- D: Phân phối suy biến (nghĩa là thời gian phục vụ job là hằng số)

- G: Phân phối tổng quát

Cơ chế ưu tiên phục vụ:

Cơ chế ưu tiên phục vụ là một trong những yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến hoạt động của hàng đợi Các mô hình thực tế cũng như trong nghiên cứu

lý thuyết có một số cơ chế dòng vào và ưu tiên phục vụ thường được sử dụng

như sau:

- FIFO: Job đến trước thì ra trước

- FCFS: Job đến trước thì sẽ được phục vụ trước

- LCFS: Job đến sau thì sẽ được phục vụ trước

- SIRO: Job được lựa chọn phục vụ một cách ngẫu nhiên

- RR: Nếu thời gian phục vụ job của hàng đợi được phân chia thành các đoạn thời gian và nếu tại cuối một đoạn thời gian mà job chưa được phục vụ xong, khi đó job sẽ quay về hàng chờ (theo cơ chế

FCFS) để được phục vụ tiếp và hành động này sẽ được lặp lại cho đến khi job được phục vụ xong

- IS: Job vào hàng đợi không phải chờ đợi và ngay lập tức được phục vụ

Dòng job đến hàng

đợi

Dòng job ra khỏi hàng đợi Hàng chờ

Hình 1.1 Cấu trúc hàng đợi

Trạm 1

Trạm m

…

- DP: Việc lựa chọn job để phục vụ phụ thuộc vào sự ưu tiên phục vụ động mà sự ưu tiên phục vụ động này lại thay đổi theo thời gian

Một số tham số hiệu năng của hàng đợi: Với định nghĩa trạng thái của

hàng chờ là số job có trong hàng chờ và trạng thái của hàng đợi là số job có trong hàng đợi Khi đó chúng ta có một số tham số hiệu năng của hàng đợi: Phân phối xác suất của trạng thái hàng đợi và hàng chờ; thông lượng của hàng đợi; trung bình thời gian job ở trong hàng đợi và hàng chờ; trung bình số job

có trong hàng đợi và hàng chờ…

Định nghĩa 1.13 Hàng đợi được gọi là hoạt động cân bằng nếu tổng cường

độ dòng job vào hàng đợi bằng tổng cường độ dòng job ra khỏi hàng đợi

Một số hàng đợi quan trọng:

đợi có m trạm phục vụ; dòng job vào mạng là dòng Poisson có cường độ  (tức là thời gian giữa hai lần job đến liên tiếp là các biến

ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối mũ với tham số 1

  khi đó hàng đợi hoạt động cân

bằng và xác suất trạng thái ổn định của hàng đợi là:

0 0

, (1.22)

trong đó  , k



0 10

đợi có 1 trạm phục vụ; thời gian giữa hai lần job đến liên tiếp là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, có phân phối bất kỳ với kỳ vọng là 1

 (>0) và phương sai hữu hạn

2

A

 Thời gian phục vụ các

job của trạm phục vụ là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối,

có phân phối bất kỳ với kỳ vọng là 1

 (>0) và phương sai hữu hạn

2

B

 Kích thước hàng đợi là vô hạn và cơ chế ưu tiên phục vụ là job vào trước được phục vụ trước Sử dụng công thức xấp xỉ và với điều kiện  1

  khi đó hàng đợi hoạt động cân bằng và phân phối xác suất

gần đúng của trạng thái hàng đợi là:

1.3.2 Mạng hàng đợi

Mạng hàng đợi là một hệ thống gồm các nút mạng (trong đó mỗi nút mạng là một hàng đợi) được liên kết với nhau để phục vụ job theo nghĩa job sau khi được phục tại một nút mạng thì job sẽ đến một nút mạng khác để được phục vụ tiếp hoặc job sẽ ra ngoài mạng hàng đợi trong trường hợp job được phục vụ xong hoàn toàn (về mặt nguyên lý, job có thể quay trở lại chính nút

đó để được phục vụ tiếp)

Một mạng hàng đợi được gọi là mạng mở nếu job từ bên ngoài mạng hàng đợi có thể vào trong mạng hàng đợi và job ở trong mạng hàng đợi cũng có thể

ra khỏi mạng hàng đợi Một mạng hàng đợi được gọi là mạng đóng nếu tại bất

kỳ thời điểm nào khi có một job rời khỏi mạng hàng đợi thì ngay lập tức có một job vào trong mạng hàng đợi vì vậy về mặt lý thuyết có thể xem mạng đóng là mạng thỏa mãn điều kiện không có job vào mạng hàng đợi và không

có job ra khỏi mạng hàng đợi Một mạng hàng đợi được gọi là mạng nửa mở nếu job từ bên ngoài mạng hàng đợi chỉ được vào mạng hàng đợi nếu tổng số job có trong mạng hàng đợi nhỏ hơn K(K + là hằng số kỹ thuật) và job có trong mạng hàng đợi có thể ra khỏi mạng hàng đợi

Định nghĩa 1.14 Mạng hàng đợi được gọi là hoạt động cân bằng nếu tất

cả các nút của mạng hoạt động cân bằng

- m i: Số trạm (server) phục vụ song song có trong nút i

- i: Cường độ phục vụ của nút i

- 1

i

 : Trung bình thời gian phục vụ một job của nút i

- pij: Xác suất luân chuyển job từ nút i sang nút j (i j, = 0,N), trong

đó p0j là xác suất job từ bên ngoài mạng hàng đợi vào nút j và p i0

là xác suất job từ nút i ra ngoài mạng hàng đợi ( 0 ij

1

1

N i

1

1,

N ji j

Như vậy mạng hàng đợi đơn lớp có các đặc điểm sau:

- Thời gian giữa hai lần đến liên tiếp job từ bên ngoài vào mạng hàng đợi là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối

- kir(r= 1,R): Số job thuộc lớp r có trong nút i tại thời điểm quan sát

- Kr: Số job thuộc lớp r có trong mạng hàng đợi

- S =(S1 , ,S N): Trạng thái của mạng hàng đợi

- ir: Cường độ phục vụ job thuộc lớp r của nút i

- : Tổng cường độ dòng job từ bên ngoài vào mạng hàng đợi

- 0,ir: Cường độ dòng job từ bên ngoài mạng hàng đợi vào nút i và trở thành job thuộc lớp r

- ir: cường độ dòng job vào nút i và trở thành job thuộc lớp r

Với điều kiện mạng hàng đợi đa lớp ở trạng thái cân bằng, khi đó ta có công thức xác định cường độ dòng job vào các nút của mạng như sau:

Như vậy mạng hàng đợi đa lớp có các đặc điểm sau:

- Thời gian giữa hai lần đến liên tiếp của job từ bên ngoài vào mạng hàng đợi thuộc các lớp job khác nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập

có thể không cùng phân phối xác suất

- Các job thuộc cùng một lớp thì có cùng cơ chế luân chuyển job trong mạng hàng đợi, các job không thuộc cùng một lớp thì có thể không có cùng cơ chế luân chuyển job trong mạng hàng đợi (cơ chế luân chuyển job được đặc trưng bởi vecto xác suất job từ bên ngoài vào mạng hàng đợi ( )p0,i i=1,N với p0,i =( )p0,ir r=1,R và ma trận xác suất

- Trong một nút mạng, thời gian phục vụ các job thuộc cùng một lớp

là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối xác suất, thời gian phục vụ các job thuộc các lớp khác nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập có thể không cùng phân phối xác suất

Một số tham số hiệu năng hoạt động của mạng hàng đợi: Từ đặc điểm

của mạng hàng đợi đơn lớp và mạng hàng đợi đa lớp, khi đó chúng ta có một

số tham số hiệu năng hoạt động của mạng hàng đợi như: Phân phối xác suất của trạng thái nút mạng và mạng hàng đợi; xác suất tắc nghẽn mạng; thông lượng của nút mạng và mạng hàng đợi; trung bình thời gian job chờ tại các nút mạng; trung bình thời gian job ở trong nút mạng và mạng hàng đợi; trung bình

số job có trong nút mạng và mạng hàng đợi…

c Một số mạng hàng đợi quan trọng

- Mạng hàng đợi Jacson dạng mở ([28]):

Mạng Jackson là mạng phục vụ gồm J nút, mỗi một nút có một hoặc nhiều trạm phục vụ Dòng job vào mạng là dòng dòng Poisson với cường độ   0 Thời gian phục vụ Job là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với cường độ là 1

Job từ bên ngoài vào mạng và đến nút i với xác suất p 0i ( 0

1

1

J i i

( ) 0 0 (0) 0

0 1

i

i

x i

trạng thái cân bằng và mỗi một nút của mạng là một hàng đợi M/M/1/∞-FCFS

và phân phối xác suất của trạng thái mạng hàng đợi là:

i i x i i

 ) Job sau khi phục vụ xong tại nút i, với xác suất p job sẽ đến ij

nút j hoặc với xác suất 

=

−

j ij

p

1

phục vụ xong hoàn toàn) hoặc với xác suất pii job sẽ quay lại nút i để được phục vụ tiếp Tất cả các nút có cơ chế ưu tiên phục vụ là FCFS

Đối với mạng hàng đợi này thì bài toán xác định công thức chính xác về mặt toán học phân phối xác suất của trạng thái mạng hàng đợi là bài toán rất phức tạp và các tác giả sử dụng phương pháp xấp xỉ để tính phân phối xác

suất gần đúng của trạng thái mạng hàng đợi ([20], [48], [52]) Nếu trạng thái

của các nút mạng độc lập với nhau; ma trận



i i i

d Lý thuyết hàng đợi ứng dụng trong mạng viễn thông, mạng máy tính

Khi xem xét, đánh giá hoạt động của mạng viễn thông và mạng máy tính, chúng ta đặc biệt quan tâm đến yếu tố về lưu lượng dữ liệu truyền nhận trong mạng và dựa vào các công cụ toán học, trong đó công cụ toán học về lý thuyết xác suất và lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là hai công cụ toán học quan trọng

để xem xét và đánh giá hoạt động của mạng viễn thông Các đại lượng sau đây thường được xem xét trong quá trình đánh giá lưu lượng dữ liệu truyền nhận trong mạng viễn thông và mạng máy tính ([1], [23]):

- Tần xuất trung bình của lượng thông tin (dữ liệu) vào mạng viễn thông

và mạng máy tính (thường được ký hiệu là ) Ví dụ như số cuộc gọi đến trung bình trong một giây trong mạng điện thoại hoặc số gói dữ liệu phải truyền trong mạng chuyển mạch gói…

- Trung bình thời gian truyền dữ liệu trên một liên kết từ nguồn đến đích (thường được ký hiệu là T) Ví dụ như thời gian của một cuộc gọi điện thoại trong mạng điện thoại hoặc thời gian truyền một gói dữ liệu từ nguồn đến đích trong mạng chuyển mạch gói…

- Đại lượng  = T được gọi là cường độ truyền dữ liệu trên một liên kết

từ nguồn đến đích trong mạng viễn thông và mạng máy tính Ví dụ như trong mạng điện thoại, tín hiệu truyền là tín hiệu tương tự và cường độ

- Lý thuyết hàng đợi được sử dụng mỗi khi tài nguyên của mạng (ví dụ một liên kết giữa hai nút mạng, một phần tử của mạng được truy cập bởi các hots) bị chia sẻ bởi các yêu cầu (request) hoặc khi những yêu cầu đến với cường độ lớn hơn thời gian cần thiết để hoàn thành một trong các yêu cầu đó thì một danh sách chờ được tạo ra tại mỗi hàng đợi nhằm lưu trữ các yêu cầu này

- Lý thuyết hàng đợi được sử dụng để nghiên cứu, đánh giá các vấn đề phát sinh trong quá trình truyền thông tại các tầng của mạng viễn thông, mạng máy tính (các tầng này được tham chiếu bởi mô hình OSI) sau đây:

• Tầng vật lý: Hiện tượng khóa (blocking) xảy ra đối với một luồng lưu lượng (ví dụ một cuộc gọi) do những tài nguyên không sẵn có trong ít nhất một liên kết trên tuyến nối từ nguồn (nơi gửi) đến đích (nơi nhận)

• Tầng liên kết dữ liệu: Hàng đợi được tạo ra bởi những gói dữ liệu khác nhau cùng chia sẻ những tài nguyên truyền dẫn của một liên kết kết nối hai nút mạng liền kề

• Tầng mạng: Hàng đợi bị tác động và bị thay đổi do các yêu cầu định tuyến tại bộ xử lý tín hiệu tầng mạng

- Lý thuyết hàng đợi được sử dụng để nghiên cứu, đánh giá hiện tượng xếp hàng trong mạng viễn thông, mạng máy tính:

• Đối với mạng chuyển mạch kênh: Vì mạng chuyển mạch kênh có đặc trưng là việc chờ đợi một tài nguyên truyền dẫn rãnh rỗi là không

được phép đối với một cuộc gọi Như vậy nếu trường hợp tài nguyên truyền dẫn không sẵn có trên một liên kết trên đường nối từ nguồn đến đích, khi đó cuộc gọi sẽ bị chặn và bị xóa bỏ Lý thuyết hàng đợi cho phép xác định xác suất chặn cuộc gọi dưới các giả thiết về quá trình cuộc gọi đến

• Đối với mạng chuyển mạch gói: Hàng đợi trong mạng chuyển mạch gói có thể bị tác động tại những nút và những liên kết tại tầng tầng liên kết dữ liệu và tầng mạng trong mô hình OSI Tại tầng liên kết dữ liệu, thời gian chờ có thể được bỏ qua (trong giới hạn cho phép đối với những luồng truyền dẫn thời gian thực) nhưng việc bị mất các gói tin có thể xảy ra do bộ nhớ dùng để lưu trữ gói tin trong các nút

bị giới hạn Trong trường hợp này, lý thuyết hàng đợi được sử dụng

để nghiên cứu số liệu thống kê về số lượng gói tin trong hàng đợi hoặc số liệu thống kê về việc chờ đợi của một gói tin và một số mô hình hàng đợi phức tạp có thể được sử dụng để nghiên cứu về hiệu xuất của các nút trong quá trình chuyển các gói tin đầu vào trên các liên kết đầu ra sẵn có

1.4 Tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước về mạng hàng đợi

Đối với mạng hàng đợi, nghiên cứu quá trình trạng thái của các nút mạng

và quá trình trạng thái của mạng hàng đợi; xác định quá trình dòng job luân chuyển trong mạng hàng đợi là các lớp bài toán vừa có ý nghĩa khoa học vừa

có ý nghĩa thực tiễn đã và đang được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm Thông qua việc nghiên cứu các lớp bài toán này, cho phép chúng ta xác định các tham số hiệu năng của mạng, các điều kiện để mạng hoạt động cân bằng

và tối ưu hoạt động của mạng hàng đợi

1.4.1 Tình hình nghiên cứu trong nước

Một số tác giả trong nước đã ứng dụng lý thuyết hàng đợi vào việc giải quyết một số bài toán phát sinh trong mạng viễn thông và mạng máy tính

Trong [4], tác giả Nguyễn Hải Nam, Phan Thị Loan ứng dụng lý thuyết quy hoạch nguyên để giải bài toán tối ưu cơ chế ưu tiên phục vụ trong mạng hàng đợi đa lớp Kelly với giả thiết các nút mạng có năng lực không đồng nhất Các tác giả đã tiến hành xây dựng bài toán “cơ chế ưu tiên phục vụ” dẫn đến việc giải bài toán quy hoạch nguyên “0-1” đồng thời các tác giả xây dựng thuật toán giải bài toán quy hoạch nguyên này với ma trận hệ số có cấu trúc đặc biệt

Trong [6], tác giả Nguyễn Kim Quốc, Võ thanh Tú đã nghiên cứu nhằm đánh giá hiệu năng của các cơ chế quản lý hàng đợi tích cực dựa trên kích thước hàng đợi và tải nạp để phân lớp và ứng dụng các cơ chế thích nghi với môi trường mạng khác nhau

Trong [7], tác giả Huỳnh Quyết Thắng và Phùng Đình Vũ đã trình bày một phương pháp dự đoán hiệu năng của Web Service sử dụng các dữ liệu kiểm thử hiệu năng thu thập được, làm giàu dữ liệu hiệu năng bằng mô hình hàng đợi và sử dụng phương pháp phân tích hồi quy để đưa ra kết quả dự đoán kèm theo đánh giá khoảng tin cậy cho giá trị kỳ vọng

Trong [8], tác giả Lê Quyết Thắng, Võ Hoàng Tú, Mai Yến Trinh và Võ Thị Cẩm Tú đã ứng dụng mạng của các hàng đợi M/M/1 để mô hình hóa hệ