Ung dung suy luan qui nap trong giai Toan

Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giác khi một cạnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

KHOA TOÁN

=================

BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

ỨNG DỤNG SUY LUẬN QUY NẠP TRONG

GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Người thực hiện : Nguyễn Xuân Nam Lớp : Toán K4 – Bắc Giang

Giáo viên hướng dẫn : Th.S NGUYỄN VĂN HÀ

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

I) SUY LUẬN TOÁN HỌC

1) Suy luận là gì?

Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra mệnh đề mới Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận Mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả

Ký hiệu: X1, X2, , Xn ⇒Y

Nếu X1, X2, , Xn ⇒ Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ quả logic

Ký hiệu suy luận logic:

X1 ,X2 , ,X n

Y

2) Suy diễn

Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các qui tắc logic

- Quy tắc kết luận: X Y X,

Y

⇒

- Quy tắc kết luận ngược: X Y Y,

X

⇒

- Quy tắc bắc cầu: X Y Y, Z

⇒

- Quy tắc đảo đề: X Y

⇒

⇒

- Quy tắc hoán vị tiền đề: ( )

- Quy tắc ghép tiền đề: X (Y Z)

∧ ⇒

- X Y Z

⇒ ∧

⇒

⇒ ∧

⇒

3) Suy luận quy nạp:

Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn Đặc trưng của suy luận quy nạp là không

có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai, có tính ước đoán

Vd: 4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

10 = 7 + 3

Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố a) Quy nạp không hoàn toàn :

Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp

cụ thể đã được xet đến Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

Sơ đồ:

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là B A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là 1 số phần tử của A Kết luận: Mọi phần tử của A là B

b) Phép tương tự:

Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tương đó Kết luận của phép tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và

nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d

B có thuộc tính a, b, c

Kết luận : B có thuộc tính d

c) Phép khái quát hóa:

Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có chứa đối tượng này Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là

nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

c) Phép đặc biệt hóa:

Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng,

có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0;Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đền nó

II) Hai phương pháp chứng minh toán học

1) Phương pháp chứng minh tổng hợp:

Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh

đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh

Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận

Sơ đồ: A ⇒ B ⇒ C ⇒ ⇒ Y ⇒ X

Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lôgíc của A;

C là hệ quả lôgíc của B; ; X là hệ quả lôgíc của Y

Vai trò và ý nghĩa:

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn là đột ngột, không tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng nào

đó thì nó phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông

2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên:

Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng

minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó

Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận.

Sơ đồ: X ⇐Y ⇐ ⇐ B ⇐ A

Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgíc của X ; ;

A là tiền đề lôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước;

Vai trò và ý nghĩa:

+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận

+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rát dài dòng vì thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác nhau làm tiền đề logic của nó

+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán

ở trường phổ thông

Ví dụ: Bài toán

“ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước sau 12 giờ thì đầy

bể Biết rằng lượng nước mỗi giờ chảy vào bể của vòi 1 gấp 1, 5 lần lượng nước của vòi 2 chảy vào bể Hỏi sau mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?”

3) Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống :

Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi xuống là phương pháp

chứng minh suy diễn đi từ điều cần tìm đến điều đã biết nào đó

Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận.

Sơ đồ: X ⇒ Y ⇒ B ⇒ A

Trong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh; Y là hệ quả lôgíc của X ; ; A là hệ quả lôgíc của B và A là mệnh đề đã biết nào đó Nếu A sai thì X sai Nếu A đúng thì X có thể đúng có thể sai Lúc này chúng ta phải dùng phương pháp tổng hợp đi từ A tới X

Phần II: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC

Ví dụ 1: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

Hd:

cần tìm

hình bình hành

∆ HAI ) Do đó suy ra H, M, I thẳng hàng.

Ví dụ 2: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

Hd:

- Dự đoán :

Vậy ta có thể dự đoán rằng: Điểm cố định

MEBF' là 2 hình vuông và tứ giác ME'DF' là hình chữ nhật

của E'F'

của E'F'.

K A

H

M O

I

A

C F

E

F' d

Ví dụ 3: Dự đoán kết quả bài toán và cho lời giải của nó:

1 điểm cố định."

Hd:

đường cao hạ từ C xuống AB

Vậy dự đoán điểm cố định

Chứng minh:

BAM∧ = BHM∧ 1.

Ví dụ 4: Dự đoán kết quả và cho lời giải bài toán sau:

Hd:

- Dự đoán :

A

B

C

H2

H3

H

M

B1

C1

M1

M2

A

B O

x

y y'

K

I E

F

Khi B≡O: A ≡ E với E ∈ Ox và OE = k Vậy điểm cố định nằm trên đường

của góc bù với góc đã cho

Dự đoán điểm cố định chính là giao điểm K của 2 đường thẳng trên

- Chứng minh:

cố định

Ví dụ 5: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

chuyển động trên xx', yy' với cùng vận tốc Chứng minh rằng ở mọi thời điểm thì

Hd:

- Xét trường hợp đặc biệt:

N ≡ B và OA = OB

Có 2 trường hợp xảy ra:

điểm cần tìm

- Xét trường hợp tổng quát:

≡ A, N ≡ B và OA > OB

Ta có bài toán sau:

điểm cố định ''

chuyển động ở cùng trong 1 nửa mặt phẳng hoặc ở 2 nửa mặt phẳng khác nhau

A

B

M

N

O x

x' y

y'

A

B

M

x

x' y

y' E

C

Ta chứng minh rằng điểm C là giao của 2 đường trung trực này là điểm cố

Ví dụ 6: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

Hd:

phải nằm trên đường trung trực của đoạn

AB

Chứng minh:

Do đó đường thẳng d luôn đi qua 1 điểm cố định là điểm giữa của nửa

Ví dụ 7: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

vuông nói trên

Chứng minh rằng:

Hd:

C

D

d

I

a) Ba điểm A, N, E thẳng hàng:

B, N, P thẳng hàng

Ví dụ 8: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

Hd:

A

B

M

N

M

P Q

- Xét vị trí đặc biệt d // O 1 O 2:

- Chứng minh:

nên suy ra:

cv( AOcv( AMN)

1

∆

∆ O2) = AOAM

1 = AOAN

2 = O OMN

dt( AOdt( AMN)

1

∆

∆ O2) = AM

AO

2 1

AO

2 2 2

của 2 đường tròn đã cho

Ví dụ 9: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

vân tốc góc) Chứng minh rằng:

Hd:

- Dự đoán:

- Chứng minh:

chắn 1 cung có số đo bằng góc ở tâm chắn nửa cung đó)

hàng

N

A

B

M

P Q

I J

b) Đường trung trực MN luôn đi qua 1 điểm cố định:

- Dự đoán:

I, J lần lượt là trung điểm của EF, PQ thì dễ thấy IJ chính là đường trung trực của

- Chứng minh:

trung bình của hình thang đó

Ví dụ 10: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

'' Trong mặt phẳng cho k đường thẳng đôi 1 cắt nhau, nhưng không có 3 đường thẳng nào đồng qui Tính số phần mặt phẳng mà k đường thẳng trên đã chia ra''

Hd:

Gọi N(k) là số miền mặt phẳng chia ra bởi k đường thẳng thoả mãn điều kiện đầu bài Ta có:

N(1) = 2; N(2) = 4 = 2 + 2; N(3) = 7 = 4 + 3; N(4) = 11 = 7 + 4; Do đó

ta dự đoán rằng: N(k) = N(k-1) + k

Chứng minh:

Giả thiết rằng (k-1) đường thẳng chia mặt phẳng thành N(k-1) miền Nếu ta

kẻ thêm đường thứ k thì đường này bị mỗi đường thẳng trên cắt ở 1 điểm, tạo thành (k-1) điểm phân biệt trên đó

Ta thấy (k-1) điểm này xác lập trên đường thẳng thứ k này là k phần, mỗi phần trên đó là 1 đoạn thẳng hoặc nửa đường thẳng

Ứng với mỗi phần xác lập thêm đúng 1 miền mới, tức là ta có thêm k miền mới Do đó suy ra: N(k) = N(k-1) + k

Ta đi tính N(k) theo k như sau:

N(1) = 2

N(2) = [2] + 2

N(3) = [2 + 2] + 3

2

Ví dụ 11: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

'' Tìm số giao điểm của các đường chéo trong 1 đa giác lồi n-cạnh Biết rằng không có 3 đường chéo nào đồng qui tại 1 điểm khác đỉnh nằm trong đa giác'' Hd:

- Với n = 4: Tứ giác thoả mãn điều kiện có số giao điểm S = 1

- Với n = 5: Ngũ giác thoả mãn điều kiện có số giao điểm S = 5

- Với n = 6: Lục giác thoả mãn điều kiện có số giao điểm S = 15

- Xét trường hợp tổng quát với n-giác:

Qua các trường hợp cụ thể n = 4, 5, 6 ta thấy khi số đỉnh của đa giác tăng lên 1 đỉnh thì số giao điểm của các đường chéo tăng lên 1 cách rất đột ngột Phải chăng không có qui luật ? Quay trở về suy nghĩ thêm trên trường hợp n = 4 ta thấy:

Cứ 1 bộ 4 đỉnh của 1 đa giác lồi n-cạnh cho ta 1 giao điểm duy nhất của 2 đường chéo

Ngược lại với mỗi giao điểm của 2 đường chéo trong đa giác vì không có 3 đường chéo nào đồng qui tại điểm đó, nên nó chỉ là giao điểm của 2 đường chéo nào đó Do đó có 1 bộ 4 đỉnh của đa giác xác định giao điểm đó

Như vậy có tương ứng 1-1 giữa 1 giao điểm của các đường chéo của đa giác với 1 bộ 4 đỉnh của đa giác lồi n-cạnh Vì thế suy ra số giao điểm của các đường chéo trong đa giác lồi n-cạnh bằng tổ hợp chập 4 của n phần tử:

C4

n = n n ( -1)(n - 2)(n - 3)

4

Ví dụ 12: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:

Hd:

A

O

M E

D

Ví dụ 13:

Cho DABC cố định Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho chân ba đường vuông góc hạ từ M tới ba đường thẳng chứa cạnh của tam giác thẳng hàng

Hd:

- Dự đoán:

Dễ thấy ba điểm A, B, C thuộc tập hợp cần tìm (Vì chân 3 đường vuông góc

hạ từ 3 đỉnh tam giác xuống các cạnh có 2 chân trùng với chính đỉnh đó)

Do vậy ta có thể dự đoán tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn ngoại tiếp DABC

Ví dụ 14:

Cho cung tròn AmB cố định và điểm M di động trên cung đó Kéo dài AM

về phía M và đặt MN = BN Tìm tập hợp những điểm N?

Hd:

- Lấy C điểm chính giữa của cung lớn »AB Kéo dài dây AC về phía C và lấy D sao cho CD = CB

Do đó ∆CBD cân tại D Þ µACB = 2.ADB (1) và µµ DBA = 90 o

- Dễ thấy ∆MBN cân tại M Þ µAMB = 2.ANB (2) µ

Từ (1) và (2) suy ra µADB = ANB Þ Bốn điểm A, B, N, D cùng nằm trên µ

C

D

- Chứng minh:

+ Phần thuận:

Với 3 chân đường vuông góc hạ từ M tới 3

cạnh tam giác là P, Q, R đã thẳng hàng Hãy chứng

minh rằng tứ giác ABCM nội tiếp

+ Phần đảo:

Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường tròn ngoại

tiếp ∆ABC (Tứ giác ABCM là nội tiếp) Hãy

chứng minh rằng 3 chân đường vuông góc hạ từ M

tới 3 cạnh tam giác là P, Q, R sẽ thẳng hàng

A

M P

Q

R

một đường tròn Mà theo trên đã có µDBA = 90 , nên suy ra µo DNA = 90 Vậy tập o hợp điểm N nằm trên đường tròn qua A, B với đường kính AD

Chú ý:

Dễ thấy ∆MBN cân tại M Þ µAMB = 2.ANB µ

Mà điểm M nằm trên cung lớn »AB, tức là M nằm trên cung chứa góc vẽ

trên đoạn AB với 1 góc không đổi α

Vậy tập hợp N nằm trên cung chứa góc vẽ trên đoạn AB với 1 góc không đổi

Ví dụ 15: Cho điểmMchuyển động trên đoạn thẳng AB cố định cho trước Dựng hai hình vuông liên tiếp cạnh MA, MB: AMPQ và BMEF ở về cùng một phía của nửa mặt phẳng bờ AB Gọi N là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông trên

a) Tìm tập hợp điểm N

b) Đường MN luôn đi qua một điểm cố định

Hd:

a) Ta có: ANM∧ = 450 ( Vì góc nội tiếp chắn 1

4 đường tròn thứ nhất )

ENM∧ = 1350 ( Vì góc nội tiếp chắn 34 đường tròn thứ hai )

⇒ ENA∧ = ANM∧ + ENM∧ = 450 + 1350 = 1800 Vậy 3 điểm A, N, E thẳng hàng

Ta có: ANP∧ = 900 ( Vì góc nội tiếp chắn 21 đường tròn thứ nhất )

⇒ PN ⊥ AN

ANM∧ = 450, MNB∧ = 450 ⇒ ANM∧ + MNB∧ = 900 ⇒ BN ⊥ AN

Vậy ta suy ra 3 điểm B, N, P thẳng hàng

Mà hai điểm A, B cố định nên tập điểm N chạy trên nửa đường tròn đường kính AB (Vì góc ANB∧ = 900 )

b)

Dễ thấy ANM∧ = 450, MNB∧ = 450, suy ra NM là phân giác của góc ANB∧ và điểm N chạy trên nửa đường tròn đường kính AB (Vì góc ANB∧ = 900)

Do đó suy ra MN sẽ đi qua điểm cố định là điểm giữa của nửa đường tròn đối xứng với nửa đường tròn trên qua AB

M

N

P Q

Ví dụ 16:

Trong mặt phẳng cho một điểm M di động trên nửa đường tròn đường kính

AB cố định Gọi N là điểm đối xứng với của B qua trung điểm I của dây MA Tìm quỹ tích của điểm N

Hd

- Dự đoán:

Khi M ≡ A: N ≡ C (C đối xứng của B qua A)

Khi M ≡ B: N ≡ A

Vậy dự đoán tập hợp N là đường tròn tâm O’ với đường kính AC (O’ là điểm đối xứng của O qua A)

- Chứng minh:

Ta có tứ giác ABMN là hình bình hành suy ra tứ giác OMNO’ là hình bình hành Suy ra O’N = OM

Ta suy ra được tập hợp cần tìm là đường tròn tâm O’ bán kính R

Ví dụ 17:

Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng AB cố định và một điểm M di động trên đoạn AB Người ta dựng hai hình vuông liên tiếp cạnh MA, MB ở về cùng một phía của đoạn thẳng AB Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông trên?

Hd:

+ Phần thuận:

Gọi I là trung điểm của đoạn nối tâm 2 hình vuông cạnh AM, BM Chứng minh rằng I thuộc đường trung bình EF của ∆CAB vuông cân tại C

Dễ thấy tứ giác COMO’ là hình chữ nhật ta suy ra điều cần chứng minh

+ Phần đảo:

Lấy I là điểm bất kỳ thuộc EF nối CI cắt AB tại M Qua I dựng đường thẳng cắt hai cạnh CA, CB tại O và O’ sao cho I là trung điểm của OO’ Chứng minh

C

M

I O

O’

- Dự đoán:

Khi M ≡ A: O ≡ A, O’ ≡ C (∆CAB

vuông cân tại C) và I ≡ E (E trung điểm của

AC)

Khi M ≡ B: O’ ≡ B, O ≡ C và I ≡ F (F

trung điểm của BC)

Vậy dự đoán tập hợp I là đường trung

bình của ∆CAB

- Chứng minh:

O

I

M N

O’

C