Tìm hiểu và nghiên cứu áp dụng phương pháp thăm dò điện đa cực mới vào thực tế

PGS.TS Vũ Đức Minh đã đề xuất phương pháp Thăm dò điện đa cực cải tiến The Improved Multi-electrode Electrical Sounding method – IMES [8, 9] vào năm 2010 với việc sử dụng hệ cực đo cải t

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trang 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trang 3

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Bộ môn Vật lý Địa cầu, Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa

học của PGS.TS Vũ Đức Minh

Học viên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Vũ Đức Minh đã cho

học viên được tham gia đề tài nghiên cứu khoa học của PGS, đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ học viên trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn Học viên

xin được gửi lời cảm ơn tới Ths Đỗ Anh Chung (Viện Sinh thái và Bảo vệ công

trình) đã giúp đỡ học viên trong quá trình thực địa

Trong thời gian qua học viên đã được Bộ môn Vật lý Địa cầu tạo điều kiện cho được làm quen và sử dụng thiết bị, máy móc của Bộ môn khi đi thực tế thu thập

số liệu

Trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn, học viên còn nhận được

sự quan tâm giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo của Bộ môn, Khoa Vật lý, Phòng Sau đại học, bạn bè đồng nghiệp Học viên xin được chân thành cảm ơn

Học viên

Nguyễn Thị Thoa

Trang 4

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP 3

THĂM DÒ ĐIỆN ĐA CỰC MỚI 3

1.1 Xây dựng hệ cực đo điện đa cực mới 3

1.2 Giới thiệu qui trình khảo sát, thu thập và xử lý số liệu của phương pháp Thăm dò điện đa cực mới 6

1.2.1 File điều khiển 6

1.2.2 Điều kiện tiếp đất 10

1.2.3 Thu thập số liệu thực địa 10

1.3 Phần mềm xử lý số liệu 11

CHƯƠNG 2: CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG BÃO HÒA THÔNG QUA THUẬT TOÁN NỘI SUY VÀ XÁC ĐỊNH ĐIỂM UỐN CỦA ĐƯỜNG CONG ĐIỆN TRỞ SUẤT 12

2.1 Tóm tắt cơ sở lý thuyết một số thuật toán nội suy 12

2.1.1 Phương pháp nội suy Polyfit 12

2.1.2 Phương pháp nội suy Lagrange 14

2.1.3 Phương pháp nội suy Spline 15

2.2 Tính toán thử nghiệm trên từng thuật toán 17

2.2.1 Sử dụng phương pháp nội suy Polyfit 17

2.2.2 Sử dụng phương pháp nội suy Lagrange 18

2.2.3 Sử dụng phương pháp nội suy Spline 19

2.3 So sánh các phương pháp và lựa chọn thuật toán 20

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ ÁP DỤNG THỬ NGHIỆM 21

3.1 Khu vực và đối tượng nghiên cứu 21

3.2 Phương pháp và nội dung nghiên cứu 21

3.3 Kết quả xác định đường bão hòa trên đập Đồng Mô 22

3.3.1 Sơ đồ các tuyến khảo sát 22

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 35

Trang 5

Danh mục bảng biểu

Bảng 1.1: Hệ cực đo đối xứng cải tiến 4Bảng 2.1: Giá trị đo đạc trên một tuyến theo chiều sâu 17Bảng 3.1: Kết quả đo đường bão hòa theo các ống Pizomet tại thời điểm khảo sát 23Bảng 3.2: Đường bão hòa trong thân đập Đồng Mô 32Hình 3.18: Sơ đồ vị trí đường bão hòa 32Bảng 3.3: Kết quả so sánh xác định đường bão hòa bằng pizomet và bằng phương pháp Trendline 33Bảng 3.4: Kết quả so sánh xác định đường bão hòa bằng pizomet và phương pháp nội suy Polyfit 34

Trang 6

Danh mục hình vẽ, đồ thị

Hình 2.1: Kết quả nội suy Polyfit và điểm uốn 18

Hình 2.2: Kết quả nội suy Lagrange 19

Hình 3.1: Sơ đồ các tuyến khảo sát tại pizomet A đập Đồng Mô 23

Hình 3.2: Kết quả ảnh điện 2D tuyến DMAT1 24

Hình 3.3: Đường cong giá trị ĐTS tại vị trí 54,5m của tuyến DMAT1 sử dụng Trendline 24

Hình 3.4: Đường cong giá trị ĐTS tại vị trí 54,5m của tuyến DMAT1 sử dụng Polyfit 25

Hình 3.17: Kết quả ảnh điện 2D tuyến ngang đập 31

Hình 3.18: Sơ đồ vị trí đường bão hòa 32

Trang 7

1

MỞ ĐẦU

Năm 2001, PGS.TS Vũ Đức Minh đã đề xuất thành công một hệ phương pháp mới, đó là các phương pháp Thăm dò điện cải tiến (The Improved Electrical Sounding method - IES), các phương pháp này đã được công bố trong nhiều bài báo trước đây [2, 5, 6, 15, 14]

Phương pháp Thăm dò điện đa cực (The Multi-electrode Resistivity Sounding method – MRS) hay còn gọi là phương pháp ảnh điện đa cực (The Multi-electrode Resistivity Imaging method - MRI) [12] có ưu điểm như: đo liên tục và thu được các số liệu trên cả tuyến, kết quả xử lý biểu diễn cho ngay các mặt cắt điện trở suất hay độ phân cực

PGS.TS Vũ Đức Minh đã đề xuất phương pháp Thăm dò điện đa cực cải tiến (The Improved Multi-electrode Electrical Sounding method – IMES) [8, 9] vào năm

2010 với việc sử dụng hệ cực đo cải tiến nhưng thiết lập file điều khiển quá trình đo như phương pháp Thăm dò điện đa cực truyền thống và áp dụng có hiệu quả nhất định, có nhiều ưu việt nổi bật, tuy nhiên cũng còn hạn chế là mới chỉ hoàn thiện ở khảo sát 1D

Để khai thác tối ưu các thiết bị hiện có và muốn phương pháp Thăm dò điện

đa cực thực sự đạt hiệu quả cao hơn trong việc nghiên cứu môi trường, PGS.TS Vũ Đức Minh đã nghiên cứu phát triển, tích hợp những ưu việt của các phương pháp MRS và các phương pháp IES để tạo ra phương pháp Thăm dò điện đa cực mới (The New Advanced Multi-electrode Electrical Sounding method - AMES) sẽ được trình bày tóm tắt trong luận văn này

Đa số các đập hồ chứa ở nước ta là đập đất và hầu hết không có hệ thống quan trắc đường bão hòa trong thân đập Mặt khác, đến nay do thời gian sử dụng lâu năm và tác động của biến đổi khí hậu nên các công trình đã bị xuống cấp nghiêm trọng

Trang 8

2

Đường bão hòa trong thân đập là vị trí bề mặt dòng thấm, luôn tồn tại và thay đổi theo mực nước hồ, phụ thuộc vào lớp đất được đắp trong thân đập… Khi mực nước thượng đập dâng cao sẽ dẫn đến việc dâng cao đường bão hòa, tăng gradient thấm trong thân đập, tăng áp lực nước hoặc giảm thể tích khối đất không bão hòa Việc đồng thời tăng áp lực nước và giảm thể tích khối đất không bão hòa, tăng gradient thấm trong thân đập dẫn đến sự suy giảm cường độ kháng cắt của đất Vì vậy, việc xác định được vị trí đường bão hòa tại một số thời điểm điển hình của mực nước hồ và so sánh với bản thiết kế ban đầu để kiểm tra và làm cơ sở nhận định, phân tích tình hình thấm trong thân đập, cũng như đánh giá sự ổn định,

an toàn của đập là một việc làm hết sức cần thiết

Với những lý do nêu trên, học viên đã mạnh dạn thực hiện đề tài “Tìm hiểu

và nghiên cứu áp dụng phương pháp Thăm dò điện đa cực mới vào thực tế” với

mục đích làm quen và góp phần nào đó vào việc áp dụng phương pháp Thăm dò điện đa cực mới để xác định vị trí đường bão hòa trong thân đập đất thông qua việc

sử dụng phương pháp nội suy đa thức

Cấu trúc của luận văn:

Mở đầu

Chương 1: Giới thiệu phương pháp Thăm dò điện đa cực mới

Chương 2: Cách xác định đường bão hòa thông qua thuật toán nội suy và xác định điểm uốn của đường cong điện trở suất

Chương 3: Kết quả áp dụng thử nghiệm

Kết luận và kiến nghị

Trang 9

3

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP

THĂM DÒ ĐIỆN ĐA CỰC MỚI

1.1 Xây dựng hệ cực đo điện đa cực mới [13]

Như ta đã biết, với các hệ cực đo cải tiến (1D) không những vẫn giữ được tất

cả các ưu điểm, mà còn có thể khắc phục được nhược điểm của các phương pháp đo sâu điện vi phân trước đây Các hệ cực đo này hoàn toàn tương tự như các hệ cực đo truyền thống (chỉ khác ở kích thước và hệ số hệ cực nên sẽ đo gối đầu tại mọi kích thước, trừ 2 kích thước đầu tiên và cuối cùng, đặc biệt đến một khoảng cách hệ cực nào đó thì vị trí của các điện cực phát trùng với vị trí của các điện cực thu trước đó), đồng thời đã sử dụng nguyên lý tương hỗ trong thăm dò điện nên bố trí cặp cực phát bên trong làm thu ngắn đường dây phát, đơn giản việc thi công thực địa và giảm chi phí cho quy trình đo đạc, đồng thời chống rò điện và bảo vệ an toàn lao động Mặt khác, các hệ cực đo cải tiến có ưu việt là tại mỗi điểm khảo sát chỉ cần sử dụng một loại hệ cực đo nào đó, giảm thiểu các phép đo mà ta vẫn có được tất cả thông tin về các loại đường cong khác nhau sau khi xử lý qua các phép biến đổi đại số đơn giản, như vậy lượng thông tin thu được sẽ tăng lên gấp bội

Đối với hệ cực đo đa cực (2D) thì các điện cực được cắm cùng một lúc trên tuyến nên không phải dịch chuyển nhiều lần như các hệ cực đo 1D; có thể đo đồng thời với nhiều loại hệ cực đo khác nhau; khoảng cách hệ cực là đều nên số liệu thu được cũng ở các độ sâu cách đều hơn làm tăng độ chi tiết của môi trường hơn khi khảo sát sâu so với hệ cực đo truyền thống tăng theo hệ số log

Từ những nhận xét ở trên, mục tiêu của chúng tôi là xây dựng được một hệ cực đo đa cực mới (gọi tắt là hệ cực đo đa cực MC) nhằm phát triển, tích hợp được những ưu việt của hệ cực đo đa cực truyền thống (2D) và các hệ cực đo cải tiến 1D

Trước hết chúng tôi phải tiến hành chuyển đổi từ hệ cực đo cải tiến 1D với khoảng cách hệ cực không đều thành hệ cực đo có khoảng cách hệ cực đều 1D để từ

đó có thể ghép thành hệ cực đo đa cực MC (2D)

Trang 10

4

Ta thấy với hệ cực đo cải tiến, với mỗi lần phát dòng AB ta thu được 2 giá trị hiệu thế từ M1N1 và M2N2, với quy luật chung là với các lần đo khác nhau luôn có

M1N1/AB và M2N2/AB là 1 giá trị không đổi (bảng 1.1)

Bảng 1.1: Hệ cực đo đối xứng cải tiến

Từ bảng 1.1 ta thấy: M1N1/AB = 5,6 và M2N2/AB = 8 Như vậy, với hệ cực

đo cải tiến khi tăng AB hay MN thì MN/AB luôn luôn không đổi mặc dù khoảng cách hệ cực đo tăng theo tỷ lệ log (không đều) Còn hệ cực đo đa cực có thể đo đồng thời với nhiều loại hệ cực khác nhau do file điều khiển quá trình đo mà các điện cực có thể thay đổi một cách linh hoạt và liên tục theo mục tiêu của người sử dụng; đo liên tiếp các điểm đo sâu với khoảng cách hệ cực đo tăng theo tỷ lệ luôn là

số tự nhiên (khoảng cách hệ cực đo là đều)

Để tích hợp được các ưu điểm trên, PGS.TS Vũ Đức Minh đề xuất hệ cực đo

đa cực MC có khoảng cách hệ cực đo là đều, với lần đo AB đầu tiên thì M1N1/AB =

a, và M2N2/AB = b (b > a) Lần đo thứ 2 các cực AB tăng và thay thế vào vị trí cực

M1N1, và M1N1 thay thế vị trí M2N2 trước đó Với lần đo thứ n thì AB sẽ ở vị trí cực

Mn-1Nn-1, M1N1 ở vị trí MnNn Trước mắt, lựa chọn hai hệ cực đo thỏa mãn các điều kiện nêu trên như sau:

Trang 11

5

M1N1/AB = 3 M1N1/AB = 5

M2N2/AB = 9 M2N2/AB = 15

Do đó hệ cực đo đa cực MC có đầy đủ tính chất của hệ cực đo cải tiến 1D và

hệ cực đo đa cực (2D) đã nói ở trên

Ví dụ, với hệ cực đo 1 đối xứng như sau:

M2N2 tại vị trí 23, 32), có thể biểu diễn như sơ đồ dưới đây:

Sau đó mở rộng AB (tại vị trí 26 và 29) ta sẽ có 2 lần đo với 2 khoảng cách

MN (M1N1 tại vị trí 23, 32 và M2N2 tại vị trí 14, 41), có thể biểu diễn như sơ đồ dưới đây:

Trên cơ sở này, chúng tôi tiến hành ghép nối, bố trí các cực sao cho có được

hệ cực đo đa cực MC trên nguyên tắc ghép các hệ cực đo điểm đo sâu riêng lẻ như

Trang 12

mở rộng khoảng cách của hệ cực phát và hệ cực thu, số giá trị thu được đối với mỗi

AB cố định; khác ở phần mềm xử lý số liệu Tất cả các điều này đều là cơ sở để xây dựng và được thể hiện trong file điều khiển quá trình đo tự động của phương pháp

Phương pháp AMES sử dụng thiết bị SuperSting R8/IP [7] của hãng Advanced Geosciences Inc (Mỹ) và tương ứng là hệ cực đo đa cực MC do chúng tôi đã đề xuất ở trên

Với qui trình này, chúng ta đặc biệt lưu ý đến các vấn đề sau:

1.2.1 File điều khiển

Trước hết, ta phải thiết lập các file điều khiển và cài đặt vào máy trước khi tiến hành công tác thực địa chứ không sử dụng file điều khiển được tạo từ phần mềm của nhà cung cấp

Ví dụ : Với một điểm đo sâu, file điều khiển có cấu trúc như sau:

Với máy đo 1 kênh

;A,B,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,channels

14,15,9,20,0,0,0,0,0,0,0,1

14,15,8,21,0,0,0,0,0,0,0,1

13,16,8,21,0,0,0,0,0,0,0,1

Trang 14

Channel là số kênh thu

Từ đó chúng tôi xây dựng file điều khiển cho hệ cực đo đa cực MC của phương pháp AMES như sau:

;Automatically created command file

Trang 16

1.2.2 Điều kiện tiếp đất

Trong các điều kiện tiếp đất khó khăn cần thiết phải sử dụng các biện pháp tiếp đất tốt hơn [1]

1.2.3 Thu thập số liệu thực địa

Việc kiểm tra, quá trình đo đạc tự động ngoài thực địa sau khi đã cài đặt đầy

đủ chế độ được tiến hành như đối với phương pháp MRS truyền thống Với mỗi khoảng cách cặp cực phát AB, ta thu hiệu điện thế ở cặp cực thu trong M1N1, cặp cực thu ngoài M2N2 (cấu hình đối xứng) và cặp cực thu trái M1M2, cặp cực thu phải

Trang 17

11

N1N2 (cấu hình lưỡng cực) Sau đó mở rộng cặp cực phát, quá trình thu cũng như trên và tiếp tục cho đến khi hết Lưu ý rằng, với cách bố trí như thế, khá nhiều các cực trên tuyến là trùng nhau nên tiết kiệm được thời gian đo

1.3 Phần mềm xử lý số liệu [13]

Sử dụng hệ phần mềm được xây dựng trên cơ sở cải tiến thuật toán xử lý, phân tích và minh giải số liệu của phương pháp Thăm dò điện cải tiến và kết hợp với phần mềm Res2D hay EarthImager 2D [11] của phương pháp Thăm dò điện đa cực truyền thống

Như vậy, đã xây dựng được phương pháp Thăm dò điện đa cực mới trên cơ sở tích hợp, phát triển được những ưu điểm của các phương pháp Thăm dò điện đa cực truyền thống và các phương pháp Thăm dò điện cải tiến

Trang 18

12

CHƯƠNG 2: CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG BÃO HÒA THÔNG QUA THUẬT TOÁN NỘI SUY VÀ XÁC ĐỊNH ĐIỂM UỐN CỦA ĐƯỜNG

CONG ĐIỆN TRỞ SUẤT

2.1 Tóm tắt cơ sở lý thuyết một số thuật toán nội suy

2.1.1 Phương pháp nội suy Polyfit [3, 4]

Thông thường trong một số l nh vực như kinh tế ch ng hạn, các đại lượng khảo sát thường không được cho dưới dạng hàm liên tục, mà là bảng các giá trị rời rạc Các phương pháp giải tích toán học thường tính toán với các hàm cho bởi các công thức, do đó không thể áp dụng trực tiếp để nghiên cứu các hàm cho dưới dạng rời rạc như thế này Cũng có khi ta biết rằng đại lượng y là một hàm của đại lượng

x, tức là y = f(x), nhưng ta không biết biểu thức hàm f(x) mà chỉ biết một số giá trị

yi tương ứng với các giá trị của x tại các điểm xi như trong bảng sau:

xi x0 x1 x2 xn-1 xn

yi y0 y1 y2 yn-1 yn

Thông thường thì x0 < x1 < x2 < < xn và các điểm này có thể phân bố cách đều hoặc không Mặc dầu ta chỉ biết các giá trị của y tại các điểm mốc xi, nhưng trong nhiều trường hợp ta cần tính toán với các giá trị y tại các vị trí khác của x

Bài toán nội suy là bài toán tìm giá trị gần đúng của y tại các điểm nằm giữa các giá trị x không có trong bảng trên Nếu cần tìm các giá trị gần đúng của y tại các điểm x nằm ngoài khoảng x0, xn] thì bài toán được gọi là bài toán ngoại suy Một

bộ n + 1 cặp các giá trị đã biết của x và y: (x0, y0), (x1, y1), , (xn, yn) được gọi là một mẫu quan sát, còn x0, x1, , xn được gọi là các điểm quan sát và y0, y1, , yn là các kết quả quan sát

Nếu ta biết rằng các cặp giá trị (x0, y0), (x1, y1), , (xn, yn) là thể hiện của một hàm f(x) nào đó, tức là ta biết rằng y = f(x) và như vậy tại các điểm xi, i = 0,

Trang 19

13

1, , n yi = f(xi) Trong trường hợp này ta đòi hỏi đa thức p(x) phải đi qua các điểm (xi, yi), i= 0, 1, , n

Bài toán nội suy bây giờ có thể phát biểu cụ thể hơn như sau:

Cho một mẫu quan sát gồm n 1 cặp các giá trị đã biết của x và y: (x0, y0), (x1, y1), ,(xn, yn) Hãy xây dựng một đa thức bậc m ≤ n

pm(x) = a0 + a1x1 + am-1xm-1 + amxm (1) sao cho pm(xi) = yi , i = 0, 1, , n (2)

Người ta gọi bài toán trên đây là bài toán nội suy đa thức, và đa thức pm(x) được gọi là đa thức nội suy

Định lý: Có duy nhất một đa thức có bậc không quá n và đi qua n 1 điểm

2 n

2 n n

n 1

2 1 1

n 0

2 0 0

xxxx1

x

xx1

x

xx1

a.a

a

(3)

Hay có thể biểu diễn gọn hơn dưới dạng ma trận

Y = V a Trong đó

n n

x x x x

x x

x

x x

x

2 2

1

2 1 1

0

2 0 0

1

Trang 20

14

det V = 



j n i

0(xj - xi)

Vì ta đã giả thiết các điểm xi và xj khác nhau, do đó định thức này khác 0 nên

hệ phương trình (3) có nghiệm duy nhất cho các ai, và như vậy đa thức pn(x) được xác định duy nhất (Nếu khi giải phương trình (3) mà ta nhận được an  0 thì đa thức này có bậc là n, khi an = 0 có bậc nhỏ hơn n)

Giả sử ta có các điểm quan sát x0, x1, xn với khoảng chia đều hoặc không đều và một dãy các giá trị quan sát y0, y1, yn

tưởng đơn giản đầu tiên là tìm một đa thức nội suy có bậc n (chính xác hơn là có bậc không quá n) sao cho trong đó các cặp (xi,yi) i = 0, 1, , n có vai trò bình đ ng Thí dụ ta tìm pn(x) có dạng

i j

01

Trang 21

15

và đa thức pn(x) có dạng

pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + + ynLn(x)

2.1.3 Phương pháp nội suy Spline [3]

Trong phần trước ta đã xét bài toán nội suy dùng đa thức và như đã thấy, các

đa thức nội suy thường có bậc là n, trong đó n 1 là số điểm quan sát Ta có thể nội suy bằng đa thức bậc m nhỏ hơn n, nhưng như vậy thì ta cũng chỉ dùng đến mẫu quan sát dựa trên m 1 điểm là (x0, y0), (x1, y1), ,(xm, ym) và như thế chỉ nội suy được giá trị của hàm tại các điểm x  [x0, xm] Điều này tỏ ra không được phù hợp với thực tế cho lắm Thật vậy, giả sử trong thực tế hàm f(x) là một đa thức bậc 3 nhưng vì ta không biết điều này nên phải dùng đa thức nội suy Theo một cách tự nhiên, ta ngh rằng nếu có càng nhiều thông tin thì ta càng giải quyết bài toán tốt hơn Ngh a là nếu có càng nhiều điểm quan sát thì kết quả của ta càng gần với thực

tế hơn Tuy nhiên nếu dùng đa thức nội suy như kiểu ta vừa khảo sát thì không có được như điều ta mong đợi Mặc dù dạng thật của đa thức là bậc 3, nhưng nếu dùng

5 điểm quan sát thì ta phải tính các hệ số đa thức bậc 4, 10 điểm thì ta phải tính toán với đa thức bậc 9, ngh a là càng dùng nhiều điểm thì ta càng đi xa thực tế hơn Phép nội suy đa thức còn có một nhược điểm nữa là số lượng phép tính cần thực hiện phụ thuộc rất nhiều vào cỡ của mẫu quan sát Trong kỹ thuật truyền thông

ch ng hạn, việc chuyển đổi một tín hiệu số có hàng ngàn điểm quan sát sang dạng tương tự là vấn đề thường gặp Thế nhưng chỉ cần nội suy đa thức cho 101 điểm quan sát ta đã phải dùng đến đa thức bậc 100, và việc dùng đa thức bậc

100 để tính toán cho các điểm còn lại là một việc tiêu tốn tài nguyên máy một cách quá lãng phí

Để tìm kiếm một cách nội suy gần với thực tế hơn, ta hãy bắt đầu bằng một thao tác đơn giản mà ta hay thực hiện hồi còn học phổ thông Khi vẽ một đồ thị hàm

số nào đó, đầu tiên ta vẽ các điểm rời rạc, và vẽ được càng nhiều điểm càng tốt Sau

đó ta dùng bút nối các điểm đó với nhau, nhưng ta không nối bằng thước kẻ, mà nối

Trang 22

16

bằng bút và sự quan sát bằng mắt sao cho các đoạn nối các điểm thành một đường mịn, không bị gãy khúc

Những người chuyên vẽ sơ đồ thiết kế dùng một thiết bị cơ học gọi là spline

để vẽ các đường cong đ p, có th m mỹ: người vẽ xác định tập hợp các điểm (nút) rồi bẻ cong một giải plastic hay thanh gỗ linh hoạt (spline) quanh chúng và lấy vết chúng để tạo thành một đường cong Nội suy spline về mặt toán học tương đương với tiến trình này và cho ra cùng một kết quả

Xét một mẫu quan sát (xi, yi), i = 0, 1, 2, , n trên đoạn a, b], trong đó a = x0

< x1 < < xn = b Theo nội suy thông thường thì ta phải tìm một đa thức bậc không quá n đi qua các điểm quan sát này Vấn đề này đưa về việc xác định n 1 hệ số của

đa thức nội suy Với nội suy Spline, thay vì xác định một đa thức cho cả đoạn a, b],

ta xác định n đa thức Sk(x), k = 0, 1, 2, , n−1, mỗi đa thức có bậc m (thường là m

= 2 hoặc 3) và xác định trên đoạn con xi, xi+1], rồi ghép chúng lại Ta có thể mở rộng miền xác định cho mỗi đa thức Sk(x) bằng cách gán giá trị 0 cho nó khi x [xk,

xk+1 Hàm nội suy Spline bậc m sẽ nhận được bằng cách ghép các đa thức trên mỗi đoạn con lại với nhau Như vậy giá trị của hàm nội suy Spline trên đoạn con xk,

xk+1 chính là giá trị của đa thức Sk(x) Lưu ý rằng nếu m 1 thì các đa thức Sk(x) không phải là đa thức nội suy trên đoạn xi, xi+1 , vì đa thức nội suy đi qua 2 điểm phải là đa thức bậc nhất D nhiên các đa thức phải thỏa mãn một số điều kiện sao cho chúng được xác định duy nhất và khi ghép chúng lại ta được một đường cong

"trơn tru" Hàm nội suy Spline trước hết phải là hàm nội suy, ngh a là nó đi qua các điểm quan sát Có thể thấy rằng để xác định mỗi đa thức con, ta cần xác định m + 1

hệ số Để xác định các hệ số này ta cần có m + 1 điều kiện ràng buộc về chúng Giá trị của đa thức tại hai đầu mút của khoảng con đã được xác định, như thế ta đã có hai điều kiện Số điều kiện còn thiếu là m 1−2 Ví dụ với m = 3 thì để xác định được hàm Spline ta cần có thêm 2n điều kiện Những điều kiện này có thể nhận được bằng cách đặt thêm giả thiết về sự tồn tại đạo hàm và giá trị của chúng tại các điểm mốc

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	2,03 MB