Tài liệu hình họa ( dùng cho sinh viên ngành kỹ thuật )

Đây là tài liệu do tôi sưu tầm từ một trường đại học. Bao gồm toàn bộ lý thuyết về các vấn đề trong hình họa cũng như cách dựng hình họa. Có thể nói hình họa là một bộ môn theo nhiều bạn sinh viên nhận xét rằng rất là khó nên tôi hi họng tài liệu của mình sẽ giúp đỡ các bạn phần nào

ĐIỂM

I Điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

1 Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu trong không gian

Hình 2.1 Trong không gian lấy hai mặt phẳng hình chiếu Π1 và Π2 vuông góc với nhau (hình 2.1):

- Π1 vị trí thẳng đứng gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng, Π2 vị trí nằm ngang gọi

là mặt phẳng hình chiếu bằng

- Giao tuyến x của Π1 và Π2 gọi là trục hình chiếu

- Hướng chiếu thẳng góc lên Π1 gọi là hướng chiếu đứng, hướng chiếu thẳng góc lên Π2 gọi là hướng chiếu bằng

- Π1 và Π2 chia không gian ra làm bốn góc phần tư, tên gọi qui ước I, II, III, IV như hình 2.1

- Trục hình chiếu x chia Π1 và Π2 ra làm hai nửa:

+ Π1: Nửa trên và nửa dưới

+ Π2: Nửa trước và nửa sau

- Qui ước:

+ Mặt phẳng chứa trục x và chia đôi góc phần tư I và góc phần tư III gọi là mặt phẳng phân giác thứ nhất

+ Mặt phẳng chứa trục x và chia đôi góc phần tư II và góc phần tư IV gọi là mặt phẳng phân giác thứ hai

2 Biểu diễn điểm trong không gian của hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

Hình 2.2 Giả sử trong không gian của bốn góc phần tư I, II, III, IV tương ứng có bốn điểm A,

B, C, D tại các vị trí như hình 2.2 Chiếu các điểm này lên:

- Mặt phẳng hình chiếu Π1 được các hình chiếu đứng A1, B1 ,C1, D1

- Mặt phẳng hình chiếu Π2 được các hình chiếu bằng A2, B2 ,C2, D2

Các cặp hình chiếu A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2, D1 và D2 có hình chiếu trên trục hình chiếu x tương ứng là các điểm Ax, Bx, Cx, Dx

Các khoảng cách AA2, BB2, CC2, DD2 gọi là độ cao của các điểm A, B, C, D tương ứng

Các khoảng cách AA1, BB1, CC1, DD1 gọi là độ xa của các điểm A, B, C, D tương ứng

3 Lập đồ thức

Hình 2.3 Nếu giữ nguyên Π1 rồi quay Π2 quanh trục hình chiếu x về sao cho nửa trước của Π2

trùng với nửa dưới Π1, nửa sau của Π2 trùng với nửa trên của Π1 Khi đó Π2≡Π1 tạo thành một mặt phẳng, các hình chiếu đứng A1,B1,C1,D1 và các hình chiếu bằng A2, B2,

C2, D2 cùng trên một mặt phẳng Π2≡Π1 biểu diễn các điểm A, B, C, D (hình 2.3) Trong đó:

- Mặt phẳng được tạo thành do Π 2 ≡ Π 1 gọi là mặt phẳng đồ thức.

- Khoảng cách từ hình chiếu đứng của một điểm đến trục hình chiếu (A1Ax, B1Bx,

C1Cx, D1Dx) biểu diễn độ cao của điểm đó.

- Khoảng cách từ hình chiếu bằng của một điểm đến trục chiếu (A2Ax, B2Bx, C2Cx,

D2Dx) biểu diễn độ xa của điểm đó.

- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm nằm trên cùng một đường gióng vuông góc với trục hình chiếu (A1A2⊥x, B1B2⊥x, C1C2⊥x, D1D2⊥x)

Vậy: Một cặp hai hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm biểu diễn trên

mặt phẳng đồ thức, là đồ thức của điểm đó trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu.

Qui ước:

* Điểm trong không gian phía trên Π2 có độ cao dương (trên đồ thức điểm này có hình chiếu đứng phía trên trục hình chiếu) Điểm trong không gian phía dưới Π2 có độ cao

âm (trên đồ thức điểm này có hình chiếu đứng phía dưới trục hình chiếu)

* Điểm trong không gian phía trước Π1 có độ xa dương (trên đồ thức điểm này có hình chiếu bằng phía dưới trục hình chiếu) Điểm trong không gian phía sau Π1 có độ xa âm (trên đồ thức điểm này có hình chiếu bằng phía trên trục hình chiếu)

Ví dụ ứng dụng: Cho điểm A có đồ thức như hình vẽ (hình 2.4) Hãy dựng đồ thức

của điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng Π1?

Hình 2.4 Hình 2.5

Tóm tắt biện luận:

- A1Ax >0 (A1 phía trên trục hình chiếu x) →A nằm phía trên Π2

- A2Ax <0 (A2 phía trên trục hình chiếu x) →A nằm phía sau Π1

Vậy điểm A trong không gian góc phần tư II Suy ra điểm B phải dựng nằm trong góc phần tư I, hai điểm A và B nằm cùng trên một mặt phẳng vuông góc với trục chiếu x Có:

- B1Bx = A1Ax và cùng dấu

- B2Bx = A2Ax và trái dấu

- A và B cùng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với trục chiếu x Do đó đồ thức của A và B cùng nằm trên một đường gióng

Tóm tắt cách dựng:

Từ các nhận xét trên ta dựng điểm B như sau:

- B1≡A1 và qua B1 dựng đường gióng vuông góc với trục x được Bx≡Ax

- Lấy Bx làm tâm quay cung tròn bán kính A2Ax sao cho cắt đường gióng qua

B1Bx tại vị trí có độ xa B2Bx dương (hình 2.4)

II Điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

1 Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu trong không gian

Hình 2.6

Trong không gian lấy ba mặt phẳng hình chiếu Π1,Π2,Π3 vuông góc với nhau từng đôi một (hình 2.6) :

- Các mặt phẳng hình chiếu Π1,Π2 đã được trình bày trong phần 2.1, mặt phẳng hình chiếu Π3 nằm bên phải gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh

- Các giao tuyến x=Π1∩Π2, y=Π2∩Π3, z=Π1∩Π3 gọi là các trục hình chiếu

- Không gian các bài toán hình học họa hình giới hạn trong bốn góc phần tư bên trái của Π3

- Qui ước: Các trục hình chiếu x, y, z có chiều dương, âm như hình 2.6.

2 Biểu diễn điểm trong không gian của hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

Hình 2.7 Giả sử các điểm A, B, C, D trong không gian các góc phần tư của hệ thống như hình 2.7 Chiếu các điểm này lên Π1, Π2, Π3:

- Các hình chiếu đứng A1,B1,C1,D1 trên Π1 và các hình chiếu bằng A2,B2,C2,D2

trên Π2 đã được trình bày trong phần 2.1.2

- Các hình chiếu A3, B3, C3, D3trên Π3 gọi là hình chiếu cạnh của các điểm A,

B, C, D tương ứng

- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hình chiếu cạnh Π3 gọi là độ xa cạnh của điểm đó (AA3, BB3, CC3, DD3 )

- Các cặp hình chiếu A2và A3, B2 và B3, C2 và C3, D2 và D3 có hình chiếu lên trục hình chiếu y tương ứng là Ay, By, Cy, Dy

- Các cặp hình chiếu A1 và A3, B1 và B3, C1 và C3, D1và D3 có hình chiếu lên trục hình chiếu z tương ứng là Az, Bz, Cz, Dz

3 Xây dựng đồ thức

Hình 2.8

Giữ nguyên Π1, quay Π2 như đã làm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu và quay

Π3 quanh trục hình chiếu z sao cho nửa sau của nó trùng với Π1 Ba mặt phẳng hình chiếu Π1≡ Π2≡ Π3 tạo thành một mặt phẳng đồ thức (hình 2.8) Trên đó:

- Bán trục ₊yO xem như bị tước làm đôi Một nửa của ₊yO theo nửa trước của

Π2 trùng với bán trục -zO, một nửa theo nửa trước của Π3 nằm sang phải của trục z

- Bán trục -Oy xem như bị tước làm đôi Một nửa theo nửa sau của Π2 trùng với bán trục ₊zO, và một nửa theo nửa sau của Π3 trùng lên bán trục ₊xO

- Khi các bán trục +Oy và – Oy bị tước ra thì các điểm Ay,By,Cy,Dy nằm trên chúng cũng được xem là bị tước làm đôi cùng với trục hình chiếu mang nó theo Π2 và Π3 trùng lên Π1 thành mặt phẳng đồ thức (Π1≡ Π2≡ Π3)

- Các hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh của các điểm A,B,C,D được biểu diễn trên mặt phẳng đồ thức theo các tính chất sau:

1 Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm nằm trên cùng một đường gióng vuông góc với trục hình chiếu x

2 Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một điểm nằm trên cùng một đường gióng vuông góc với trục hình chiếu z.

3 Khoảng cách từ hình chiếu cạnh của một điểm đến trục hình chiếu z, bằng khoảng cách từ hình chiếu bằng của điểm đó đến trục hình chiếu x

Vậy: Một tập ba hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh của một điểm biểu diễn trên mặt phẳng đồ thức, là đồ thức của điểm đó trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu.

Một điểm trong không gian có tọa độ x,y,z Trên đồ thức:

- Giá trị x bằng độ xa cạnh (ví dụ: OAx)

- Giá trị y bằng độ xa (ví dụ: OAy)

- Giá tri z bằng độ cao (ví dụ: OAz)

Ví dụ ứng dụng : Dựng đồ thức của điểm H(30,-20,35)?

+ x - y

- z + y

+ z

+ y

O

Hy = -20

Hx = 30

Hình 2.9

Cách dựng (hình 2.9):

- Dựng Hx= 20, Hy= -20, Hz= 35 ( một trong hai Hy = -20 Hy còn lại dựng bằng cách quay cung tròn tâm O, bán kính R=O Hy, OHy=-20 )

- Qua Hx dựng đường gióng vuông góc với trục x, qua Hz dựng đường gióng vuông góc với trục z Giao điểm của hai đường là hình chiếu đứng H1

- Qua Hy trên bán trục -Oy≡+Oz dựng đường gióng vuông góc với bán trục –Oy Đường này cắt đường gióng qua H1Hx tại hình chiếu bằng

H2.

- Qua Hy nằm trên bán trục -Oy nằm ngang dựng một đường gióng vuông góc với bán trục –Oy mang nó, đường này cắt đường gióng qua H1Hz tại hình chiếu cạnh H3 Tập các hình chiếu H1,H2,H3 là đồ thức của điểm H phải dựng

Câu hỏi ôn tập:

1 Nêu cách xây dựng và tính chất đồ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu?

2 Trình tự lập đồ thức của điểm?

3 Trình bày phương pháp tìm hình chiếu thứ ba?

4 Bài tập: 1 - 7 (Bài tập Hình họa – Đoàn Hiền – NXB Giáo dục).

A ĐƯỜNG THẲNG

I Đường thẳng có vị trí bất kỳ trong không gian các mặt phẳng hình chiếu

Hình chiếu của đường thẳng d lên Π1 là d1, lên Π2 là đường thẳng d2 (theo tính chất ) Do vậy trên mặt phẳng đồ thức Π1≡Π2 đường thẳng d được biểu diễn bởi một cặp hai hình chiếu đứng d1 và hình chiếu bằng d2 Ví dụ hình 3.1 là đồ thức biểu diễn đường thẳng d

Mặt khác yếu tố hình học xác định một đường thẳng trong không gian là hai điểm phân biệt Do vậy đồ thức của hai điểm phân biệt A và B là đồ thức của một đường thẳng qua hai điểm AB Trong đó hình chiếu đứng là đường thẳng qua A1B1, hình chiếu bằng là đường thẳng qua A2B2 (hình 3.2 )

Tóm lại:

- Hai hình chiếu đứng và bằng của một đường thẳng trên mặt phẳng đồ thức là

đồ thức của đường thẳng đó.

- Đồ thức của hai điểm phân biệt là đồ thức của một đường thẳng qua hai điểm phân biệt đó

II Các đường thẳng có vị trí đặc biệt với các mặt phẳng hình chiếu

1 Đường thẳng đồng mức

Đường thẳng chỉ song song với một mặt phẳng hình chiếu được gọi là đường đồng mức

a Đường mặt

Đường thẳng chỉ song song với mặt phẳng hình chiếu đứng gọi là đường mặt (hình 3.3)

Mọi điểm trên cùng một đường mặt có độ xa bằng nhau (cùng mức độ xa)

Hình 3.3 Hình 3.4 Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.4):

- Hình chiếu bằng là một đường thẳng song song với trục hình chiếu.

- Hình chiếu đứng là đường thẳng hợp với trục hình chiếu một góc (góc α) bằng góc của đường mặt với mặt phẳng hình chiếu bằng.

Ví dụ đường mặt d (hình 3.3 và hình 3.4): d2//x ; ∠(d, Π2) = ∠(d1,x) = α

b Đường bằng

Đường thẳng chỉ song song với mặt phẳng hình chiếu bằng gọi là đường bằng (hình 3.5)

Mọi điểm trên cùng một đường bằng có độ cao bằng nhau (cùng mức độ cao)

Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.6):

- Hình chiếu đứng là một đường thẳng song song với trục hình chiếu.

- Hình chiếu bằng là đường thẳng hợp với trục hình chiếu một góc (góc β ) bằng góc của đường bằng với mặt phẳng hình chiếu đứng.

Ví dụ đường bằng g (hình 3.5 và hình 3.6): g1//x ; ∠(g, Π1) = ∠(g2,x) = β

c Đường cạnh

Đường thẳng chỉ song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh gọi là đường cạnh (hình 3.7)

Mọi điểm trên cùng một đường cạnh có độ xa cạnh bằng nhau (cùng mức xa cạnh)

Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.8): Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh là những thẳng vuông góc với trục hình chiếu

E1

E

F

F1

E2

F2

x

y

z

Fy

Ey

F3

E3

Ez

Fz

Ex Fx

2 Đường thẳng chiếu

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu gọi là đường thẳng chiếu.

a Đường thẳng chiếu đứng:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng gọi là đường thẳng chiếu đứng (hình 3.9)

Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.10:

- Hình chiếu đứng bị suy biến thành một điểm.

- Hình chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu.

b Đường thẳng chiếu bằng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng gọi là đường thẳng chiếu bằng (hình 3.11)

Hình 3.11 Hình 3.12 Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.12).:

- Hình chiếu bằng bị suy biến thành một điểm.

- Hình chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu

c Đường thẳng chiếu cạnh

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh gọi là đường thẳng chiếu cạnh (hình 3.13)

f

f2

f1

x

fy

f3

fz

Trên mặt phẳng đồ thức: Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng là những đường thẳng song song với trục hình chiếu (hình 3.14).

III Điểm thuộc đường thẳng

Mệnh đề 1: Trong không gian nếu một điểm thuộc một đường thẳng, thì trên mặt

phẳng đồ thức, các hình chiếu của điểm phải thuộc hình chiếu cùng tên với hình chiếu của đường thẳng.

Mệnh đề 2: Nếu đồ thức của một điểm và đồ thức của một đường thẳng không phải

là đường cạnh thỏa mãn điều kiện:

Hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng, thì đồ thức này biểu diễn điểm thuộc đường thẳng trong không gian (hình 3.15).

d2

d1

A1

A2

AX

Hình 3.15

Mệnh đề 3: Trên mặt phẳng đồ thức nếu một điểm E và một đường cạnh AB thỏa mãn

các điều kiện: E 1 ∈A 1 B 1 , E 2 ∈A 2 B 2 , A 1 B 1 /B 1 E 1 = A 2 B 2 /B 2 E 2 thì trong không gian điểm E thuộc đường cạnh AB.

Bài toán ví dụ ứng dụng: Cho đường thẳng IJ và hình chiếu đứng K1 của điểm K Hãy dựng K2 để K∈IJ (hình 3.16)

Cách dựng (hình 3.17):

- Qua I1, K1, J1 dựng các tia chiếu song song phương t, và qua I2, J2 dựng các tia chiếu song song phương g (t và g bất kỳ), sao cho các tia chiếu theo phương t và g cắt nhau

Các tia qua I1 và I2 cắt nhau tại I', các tia qua J1 và J2 cắt nhau tại J' Đường thẳng qua I'J' cắt tia chiếu qua K1 tại K'

- Qua K' dựng tia chiếu phương g tia này cắt I2J2 tại K2

K2 là hình chiếu bằng phải dựng của điểm K

VI Vết của đường thẳng

1 Các khái niệm về vết của đường thẳng

- Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng gọi là vết đứng, ký hiệu

là M

- Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng gọi là vết bằng, ký hiệu

là N

d

M

N

Hình 3.18

1 Dựng vết cho một đường thẳng

1 Trường hợp đường thẳng không phải là đường cạnh:

Ví dụ đường thẳng d trong hình 3.19 :

Hình 3.19

d1

d2 M2 Mx

M1 M

N2 N N1 Nx

Hình 3.20

Tóm tắt biện luận:

- Vết đứng M∈Π1→ M1≡M→ M2Mx= 0 → M2≡Mx

- Vết bằng N∈Π2→N2≡N→ N1Nx= 0 → N1≡Nx

- Mặt khác N1∈d1 và M1∈d1, N2∈d2 và M2∈d2 Từ đó suy ra d1∩x=N1 , và

d2∩x = M2 (hình 3.20)

Tóm tắt cách dựng:

- Hình chiếu bằng d2∩x tại M2≡Mx Qua Mx dựng đường gióng vuông góc với trục hình chiếu x, đường này cắt hình chiếu đứng d1 tại

M1≡ M

- Hình chiếu đứng d1∩x tại N1≡Nx Qua Nx dựng đường gióng vuông góc với trục hình chiếu x, đường này cắt hình chiếu bằng d2 tại

N2≡ N

M và N là các vết của d

N 1 N x

M 2 M x

M 1 M

N 2 N

d1

d 2

Hình 3.21

Lưu ý : Các trường hợp đường thẳng có vị trí đặc biệt (trừ trường hợp

đường cạnh) đều được suy từ cách dựng trên

2 Trường hợp đường thẳng là đường cạnh:

Ví dụ : Dựng vết đứng và vết bằng cho đường cạnh EF như hình 3.22 ?

- Ta có N1≡Nx≡M2≡Mx (hình 3.23)

- Từ N1, M2 và các dữ kiện đầu bài dựng được vết đứng M và vết bằng N như hình 3.24

E1

F1

E2

F2

x N1 Nx M2 Mx

Hình 3.24

V Một số mệnh đề về vị trí tương đối của hai đường thẳng

1 Hai đường thẳng cắt nhau

Mệnh đề 1: Trong không gian, nếu hai đường thẳng cắt nhau, thì trên đồ thức các

hình chiếu cùng tên của chúng cũng phải đôi một cắt nhau, và giao điểm của các hình

chiếu cùng tên đó nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu (hình

3.25 và hình 3.26)

Mệnh đề 2: Trên đồ thức, nếu các hình chiếu cùng tên của hai đường thẳng trong đó

không có đường nào là đường cạnh mà đôi một cắt nhau, và giao điểm của các hình chiếu cùng tên đó nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu, thì trong không gian hai đường thẳng đó cắt nhau.

2 Hai đường thẳng song song

Mệnh đề 1: Trong không gian nếu hai đường thẳng song song, thì trên đồ thức các

hình chiếu cùng tên của chúng cũng phải đôi một song song với nhau (các hình 3.27,

hình 3.28)

1

f 2

e 2

x

x

Mệnh đề 2: Trên đồ thức, nếu các hình chiếu cùng tên của hai đường thẳng không

phải là đường cạnh, đôi một song song với nhau, thì trong không gian hai đường thẳng đó song song với nhau.

3 Hai đường thẳng vuông góc

Mệnh đề 1: Trong không gian, nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau, mà trong đó

có ít nhất một đường thẳng song song với môt mặt phẳng hình chiếu nào đó, thì hình chiếu của chúng trên mặt phẳng hình chiếu đó phải vuông góc với nhau.

ví dụ 1: a ⊥b và a//Π1 → a1⊥b1 (hình 3.29)

ví dụ 2: e ⊥f và e// Π2 →e2⊥f2 (hình 3.30)

ví dụ 3: h⊥g, h// Π1 và g// Π1 →h1⊥g1 (hình 3.31)

Mệnh đề 2: Trên đồ thức, nếu các hình chiếu cùng tên của hai đường thẳng trên một

mặt phẳng hình chiếu nào đó vuông góc với nhau, và ít nhất một trong hai đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu đó, thì trong không gian hai đường thẳng đó vuông góc với nhau

Ví dụ 1: Đồ thức của các đường thẳng a và b trong hình 3.29 có hình chiếu bằng a2//x, suy ra trong không gian đường thẳng a// Π1 Mặt khác a1⊥b1 Vậy trong không gian đường thẳng a⊥b

Ví du 2: Đồ thức của các đường thẳng e và f trong hình 3.30 có hình chiếu đứng e1//x, nên suy ra trong không gian đường thẳng e song song Π2 Mặt khác e2⊥f2 Vậy trong không gian e ⊥f

Bài toán ví dụ ứng dụng: Cho hai đường thẳng a và b (hình 3.32) Hãy dựng đường

vuông góc chung k của a và b?