Chập liên kết với biến đổi fourier phân thứ và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1... Seminar, b

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS TS Nguyễn Minh Tuấn

2 GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2019

Tæi xin oan ¥y l  tr¼nh nghi¶n tæi d÷îi sü h÷îng

Vîi t§t láng bi¸t ìn s¥u m¼nh, tæi xin ÷ñ gûi líi ìn

Seminar, bi»t nhí nhúng þ ki¸n ânggâp v trao êi khoa hå trong

sèng

Líi ìn ii

1.1 Cì sð lþ thuy¸t h m delta 11

1.1.1 ành ngh¾a h m delta 11

1.1.2 t½nh h§t h m delta 13

1.2 Bi¸n êi Fourier ph¥n thù 15

1.2.1 ành ngh¾a bi¸n êi Fourier ph¥n thù 15

1.2.2 Ph²p t½nh to¡n tû têng qu¡t 21

1.2.3 Bi¸n êi Fourier ph¥n thù trong m°t ph¯ng thíi gian-tn sè 23

1.3 ànhlþ hv  hªp li¶nk¸tvîibi¸nêi Fourierph¥n thù 27

1.4 Ùng döng 32

1.4.2 Lå tèi ÷u trong mi·n Fourier ph¥n thù 35

1.4.3 L§y m¨u v  khæi ph t½n hi»u 36

2 Chªp li¶n k¸t vîi bi¸n êi Fourier ph¥n thù 42 2.1 Chªp khæng h m trång 42

2.1.1 ành lþ hªp 42

2.1.2 t½nh h§t b£n 43

2.1.3 B§t ¯ng Young v  ¤i sè Wiener 44

2.2 Chªp h m trång d¤ng hirp 46

2.3 Chªp h m trång li¶n quan ¸n h m Gauss v  h m Hermite 53

2.3.1 ành lþ hªp 53

2.3.2 t½nh h§t b£n 55

2.3.3 Chùng minh 56

2.3.4 B§t ¯ng hªp d¤ng Young 60

3 Ùng döng 67 3.1 lîp ph÷ìng tr¼nh h ph¥n d¤ng hªp 67

3.1.1 ph÷ìng tr¼nh h ph¥n d¤ng hªp 68

3.1.2 Ph÷ìng tr¼nh h ph¥n vîi nh¥n Hermite 75

3.2 L§y m¨u v  khæi ph t½n hi»u d£i tn bà h°n trong mi·n Fourier ph¥n thù 80

3.2.1 ành lþ l§y m¨u 80

3.2.2 Mæ phäng 84

3.3 Lå nh¥n trong mi·n Fourier ph¥n thù 86

3.3.1 Lå nh¥n trong mi·n Fourier ph¥n thù 86

K¸t luªn luªn ¡n 92

N Tªp sè tü nhi¶n

F RF T Bi¸n êi Fourier ph¥n thù

R |f(x)| p dx
1/p

1 Têng quan v· v§n · nghi¶n v  lþ do hån · t i

xû lþ t½n hi»u tn sè phö thuë thíi gian v  xû lþ t½n hi»u

nhúng k¸t qu£ ¢ v· hªp bi¸n êi Fourier, gi£ tªp trung

mi·n h½nh tuy¸n t½nh Trong [43℄, gi£ sû döng d¤ng têng

Fourier ph¥n thù, lå nhi¹u trong mi·n Fourier ph¥n thù.

ho hªp n y, so s¡nh vîi hªp ¢ çngthíi sû döng hªp

th֒ng

Ki¸n hu©n bà

D¢y h m {f k } ∞ k=1 hëi tö ¸n h m f trong S(R) n¸u

÷ñ k½ hi»u bði S ′ (R) N¸u hT, ϕi kþ hi»u gi¡ trà T ëng l¶n ϕ

hT k , ϕi → hT, ϕi vîi måi ϕ ∈ S(R).

δ : ϕ ∈ S(R) 7→ δ(ϕ) := ϕ(0) ∈ C

hδ, ϕi =

Z ∞

δ ∗ (x)ϕ(x)dx.

Do â, tø nay trð i, khi hóng tæi · ¸n h m delta δ th¼ nâ

f ′ (x n ) 6= 0 Chóng ta thu ÷ñ t½nh h§t d÷îi ¥y nh÷ mët h» qu£

• H m delta l  ¤o h m h m b÷î nh£y Heaviside

dH

dx = δ(x), trong â

 dx.

 dx

g(u)e iux du, (1.3)

minh trong khæng gian h m gi£m nhanh hwartz (tham kh£o [24℄) v 

F α [φ n ](x) = e −inα φ n (x),

T ëng to¡n tû F α l¶n h m f ta ÷ñ

f α := F α [f ] = F α

" ∞ X

1 − e −2iα

) exp

tr÷íng hñp sin α 6= 0, l  α / ∈ πZ Biºu di¹n h ph¥n thu ÷ñ l 

(F α f ) (p) = f (p) n¸u α = 0 v  (F α f ) (p) = f (−p) n¸u α = ±π i·u

lim

biºu di¹n h ph¥n óng tr¶n to n o¤n |α| ≤ π Tr÷íng hñp |α| > π

i(x 2 + p 2 ) 2

 , c α =

r

1 − i cot α 2π

vîi α / ∈ πZ; K α (x, p) = δ (x − p) vîi α ∈ 2πZ; v K α (x, p) = δ (x + p)

vîi α ∈ π + 2πZ

α = ±π, nâ trð th nh to¡n tû h®n l´ (F π f ) (p) = f (−p) Vîi α = π/2

v  α = −π/2 bi¸n êi Fourier ph¥n thù ln l÷ñt trð th nh bi¸n êi

1 K α (p, x) = K α (x, p) (èi xùng o)

2 K −α (p, x) = K α (p, x) (li¶n hñp

Nh÷ vªy, n¸u h m f (x) ∈ L 2 (R) th¼ £nh h m n y qua bi¸n êi

f (x) F α [f ](p)

1

q

1+i tan α 2π exp(−i p 2 2 tan α) δ(x − x 0 ) q

1−i cot α 2π exp[ 2 i p 2 cot α − 2px 0 csc α + x 2 0 cot α

× exp[− 1 2 csc 2 α p 2 χ+2pγ cos α−χγ χ 2 +cot 2 α 2 sin 2 α ]



= − i sin α e

ph¥n thù l  gi£i quy¸t ÷ñ b i to¡n li¶n quan ¸n t½n hi»u tn



x ∗ 

t − τ 2



B¥y gií, n¸u W x (t, f ) l  ph¥n phèi Wigner x(t) th¼ ph¥n phèi

W X α (u, v) = W x (u cos α − v sin α, u sin α + v cos α)

i·u n y h¿ ra r¬ng W X α (u, v) l  ph²p quay ph¥n phèi Wigner t½n

{R φ [W x (t, f )]}(t α ) = |x α (t α )| 2 ,

hi·uW x (t, f ) l¶n mët t¤ovîi thíigian mëtgâ φ = α Chóng

thù

x(t) = exp[iπ(χt 2 + 2ξt)] (1.19)

X α (u) =

s

1 + i tan α

1 + χ tan α exp{iπ[u 2 (χ − tan α) + 2uξ sec α − ξ 2 tan φ]/[1 + χ tan α]}.

W x (t, f ) = δ (f − χt − ξ) ,

t mët gâ b¬ng arctan ξ (H¼nh 1.3) Ph¥n phèi Wigner h m x(t) = exp(i2πξt) l W x (t, f ) = δ (f − ξ), ÷ñ biºudi¹n bði mët÷íng ngang

H¼nh 1.3: Ph¥n phèi Wigner h m hirp x(t) = exp[iπ(χt 2 + 2ξt)]

x(t) = exp[iπ(t 2 + t)]

g ∈ L 1 (R) khæng suy ra ÷ñ f g ∈ L 1 (R), nh÷ng l¤i âng èi vîi ph²p

L 1 (R) ∗ L 1 (R) ⊆ L 1 (R)

vîi p > 1 Thay v o â, hóng ta k¸t qu£ b£n d÷îi ¥y, ÷ñ gåi

mët sè l¾nh nh÷ thi¸t k¸ bë lå v  khæi ph t½n hi»u [8℄ Tuy vªy,

z(t) = (x ⊗ y)(t) =

Z ∞

−∞ x(τ )y(t − τ)dτ (1.21)

Z α (u) = |sec α| e −i u2 2 tan α Z ∞

X α (v)Y [(u − v) csc α] e −i v2 2 cot α dv,

z(t) = (x ∗ y) (t) =

r

1 − i cot α 2π e

y(tθτ ) =

Z ∞

−∞

Y α (u)K α (u, τ )K α ∗ (u, t)du

F α (f ◦ g) (u) = X α (u)Y α (u).

gi£ hóng tæi nhªn th§y r¬ng mi·nW ∩ L 1 (R) L 2 (R)) l 

s¡nh:

t¤i x 0 , y 0 ∈ L 1 (R) sao ho Fx 0 = x, Fy 0 = y. Tø â hóng ta

z = Fx 0 · Fy 0 = F(x 0 ∗ y 0 ). D¹ d ng º h¿ ra r¬ng n¸u f ∈

W ∩ L 1 (R) th¼ (F 2 f )(u) = f (−u) := ˇ f (u) ho hu kh­p u ∈ R (vîi

Z π/2 (u) = (Fz)(u) thº ÷ñ l  hªp dò ÷ñ biºu di¹n

(Fz)(u) = (x 0 ∗ y 0 )(−u) = ˇx 0 ∗ ˇy 0

(u)

= (F 2 x 0 ∗ F 2 y 0 )(u) = (Fx ∗ Fy)(u),

l  biºu (2) trong [3℄ Tuy nhi¶n, n¸u khæng gi£ thi¸t x, y ∈

W ∩ L 1 (R), biºu di¹n (2), (4) v  (8) trong [3℄ thº khæng

h nhi¹u trongmi·n Fourier ph¥n thù gâ α bði h¼nh hi¸u ph¥n phèi

nhau l  mi·n vîi α = 0, α = π/4, α = π/2

v  nhi¹u tròng l§p nhau trong mi·nthíi gian v  tn sè H¼nh 1.8b v 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Trong nhi·u ùng döng t¸, t½n hi»u gè bà suy bi¸n bði h»

hi»n

y = H (x) + n,

b

x = G(y) N¸u H l  mæ h¼nh suy bi¸n b§t bi¸n v  x, n l  qu¡ tr¼nh

nâi hung khæng b§t bi¸n v  do â khæng thº biºu di¹n bði mët hªp.

Bi¸n êi Fourier xung s δ (t) = +∞ P

n=−∞ δ(t − nT ) l 

F [s δ (t)] (f ) =

√ 2π T

ành lþ l§y m¨u Shannon-Nyquist ln u ti¶n ÷ñ giîi thi»u v  ùng

khæi tø m¨u ·u x(nT ) bði æng

t½n hi»u d£i tn bà h°n theo ngh¾aFourier ph¥n thù ÷ñ ành ngh¾a

X α (u) = 0, |u| > Ω h ,

h°n vîi gâ β, β 6= ±α + nπ trong â n l  sè nguy¶n b§t ký Nh÷ vªy,

h°n

thù vîi gâ α 6= π/2 n o â V¼ v y, x¥y düng ành lþ l§y m¨u ho

d£i tn Ω h v  α 6= nπ vîi måi sè nguy¶n n, sû döng bi¸n êi Fourier

x(t) =

r

1 + i cot α 2π e

F α [x] (u) e −iau 2 e iut csc α du.

ành lþ 1.4.3 Cho f (t) l  mët t½n hi»u N¸u e −iat f (t) l  t½n hi»u

thù

Chªp li¶n k¸t vîi bi¸n

Z

R

f (u)g(s − u)du (2.1)

l  li¶n k¸t vîi F α ¯ng nh¥n tû hâa

F α [f ⋆

g]( √ 2x) = F α [f ](x)F α [g](x). (2.2)

√ π

Z

R f (u)g(s − u)×

) d( √ s

R F (u)G(s − u)du = E ch−2 √ (s)

π H(s),

L p (R), E ch−1 g ∈ L q (R). B§t ¯ng hªp Young ho bi¸n êi Fourier

h¿ ra H ∈ L r (R) (tham kh£o [6, 7℄) i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi h = c(π) −1/2 E ch−2 H ∈ L r (R) v¼ E ch−2 l  h m li¶n v  bà h°n ·u tr¶n R

vîi |E ch−2 (x)| = 1 vîi måi x Chóng tæi vøa ho n th nh hùng minh ho

n¸u f ∈ L p (R) v  g ∈ L q (R), n y ành mët h m sè

F α g ∈ L 1 (R) nh÷ mong muèn Hìn núa, t½nh giao ho¡n v  t½nh

Vîi méi α ∈ R ành, hóng ta kþ hi»u tªp W α := n

gian W α Thªt vªy, gi£ sû F, G ∈ W α Tçn t¤i f, g ∈ L 1 (R) sao ho

F = F α f, G = F α g ành lþ 2.3.5 h¿ ra f ⋆

F α g ∈ L 1 (R) Sû döng ¯ng

ành ngh¾a 2.2.1 To¡n tû hªp ⊙ ÷ñ ành ngh¾a bði

Nâi f ⊙ g ành mët h m sè trong khæng gian L 1 (R),

v  ph²p êi bi¸n sè s − u + 1/2ab = v, hóng ta



s − u + 1

2ab

 duds

ψ(x) F α [f ] (x) F α [g] (x)

) ds

= F α

( c

√ 2π

Z ∞

−∞

ab ]f (u) × g



s − u + 1

2ab

 du

) (x) = F α [f ⊙ g] (x).

h(s) = m · f
∗ n + · g +

(s) 1 m(s) .

c

√ 2π .

nh¥n f vîi hirp(m), hªp vîi h m g ¢ ÷ñ l m tr¹ pha (1/ab)v 

2π)

h(s) = n − · f
∗ m · g +

(s) 1

n − (s) .

c

√ 2π .

hªp vîi h m g ¢ ÷ñ l m tr¹ pha (1/ab) v  nh¥n vîi hirp m,

2π)

Nâi f ⊗ g ành mët h m sè thuë khæng gian L 1 (R),

ành ngh¾abði(2.6) v (2.9) l  bà h°n trong khænggian L 1 (R) D÷îi gâ

F α [f ⊕ g] (x) = η(x) F α [f ] (x) F α [g] (x). (2.14)

Nâi f ⊕ g ành mët h m thuë khæng gian L 1 (R),

Nâi f ⊖ g ành mët h m sè thuë khæng gian L 1 (R),

hªp (2.12), (2.15) thäa m¢n t½nh h§t giao ho¡n, ph¥n phèi v k¸t

Nhªn x²t 2.3.1 (a) Cè ành h m f ∈ L 1 (R) v  sû döng b§t ¯ng

1

√ 2π

Sû döng (2.21) vîi k = 1/2, ta

η(x)F α [f ] (x) F α [g] (x)

= e − 1 2 x 2 −iax 2

× √ c 2π

Z

R

× √ c 2π

= F α



−abc π

= F α [f ⊕ g] (x).

R

× f(u)g(v)φ n (s − u − v)dudv

) ds

φ n (x)F α [f ] (x)F −α [g] (x) = e inα

√

1 − i cot α

√ 2π

√

1 + cot 2 α 2π

√

1 + cot 2 α 2π × Z

√

1 + cot 2 α 2π

1 2π |sin α|

= F α [f ⊚ g] (x),

Trong phn n y, hóng tæi tr¼nh b y hùng minh b§t ¯ng hªp

r

dµ 2 (y)

 1 r

v  (Ω 2 , µ 2 ) Kþ hi»u 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ l  tham sè thäa m¢n

kþ hi»u hªp ⊕, ⊖, ⊚, ⊘ Chóng tæi s³ hùng minh hai t½nh h§tgçm:

kf ⊛ gk r ≤ C 1 kfk p kgk q , vîif ∈ L p (R), g ∈ L q (R); (2.23)

kf ⊛ gk s ≤ C 2 kfk 1 kgk 1 vîi måi s ≥ 1, v f, g ∈ L 1 (R), (2.24)

h(s) := −abc

π ZZ

E ch (u).E ch (v).[E ch (s)] −1 E gd (s − u − v)×

= kE gd k s

Z

f(u) ... x 2

k, f ∈ L 1 (R) Chúng tổi kỵ hiằu K (x) l bián ời Fourier ph¥n thù

M(x) = λ + θ(x)K α (x),

l b hn v liản dn tợi... class="text_page_counter">Trang 89

trong mi·n Fourier ph¥n thù.

x(t) = sin (0.6πt) e −it 2

Bi vẳ... (0.6t) l tẵn hiằu vợi d£i tn bà h°n ë rëng d£i

bà h°n ë rởng 0.6 sin miÃn Fourier phƠn thự vợi cot α = 2