Tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức đến từ kì thi học sinh giỏi các cấp

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán các cấp, nội dung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất – giá trị nh

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán các cấp, nội dung về bất đẳng thức và

giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thi với các bài toán ngày càng hay và khó hơn Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh của các cấp học trong các năm gần đây

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Do bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều cần chứng minh

Trở lại bài toán Do a, b, c là các số nguyên dương nên biểu thức P được viết lại thành

3 3 16 16, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi = =a b c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

16, xẩy ra khi và chỉ khi = =a b c

theo cách khác sau đây

Do xyz 1 nên tồn tại các số dương m, n, p thỏa mãn == x np2 ; y=mp2 ; z= mn2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

c c Khi đó giả thiết trên trở thành (x 1 y 1+ )( + =) 4

Cũng từ trên ra được =a cx; b cy , thay vào biểu thức P ta được =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Từ (x 1 y 1+ )( + =) 4 ta được xy= −3 (x y+ ) Đặt = + t x y 0 và áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 1( + )2 

x y xy

4 nên suy ra − 

21

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6− 3

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 1, đạt được tại = =a b c

Bài 4 Với các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện

a b c 2abc 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức =P ab bc ca abc + + −

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Thành phố Hà Nội năm học 2018 – 2019

Lời giải

• Lời giải 1 Trong ba số a, b, c trên luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1

2,

hoặc cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1

2 Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a

+  +

4abc c 2ac 2bc

Kết hợp các kết quả trên ta được

8 , dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

1 4abc 2 ab bc ca 2 ab bc ca abc 2abc 1

Chứng minh tương tự như trên ta được abc 1

Do đó bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Nam Định năm học 2018 – 2019

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 1009 2019, đạt được tại

• Nhận xét Đây là một bài toán bất đẳng thức khó, lại không thể sử dụng các bất đẳng

thức quen thuộc để đánh giá Để chứng minh được bất đẳng thức trên ta phải thực hiện được các công việc như

+ Dự đoán điểm rơi để quy bài toán về chứng minh hai bất đẳng thức

A B A B với hai số A, B cùng dấu Để ý ta thấy

trong ba số a b; b c; c a− − − luôn tồn tại hai số cùng dấu Không mất tình tổng quát ta giả

sử hai số đó là − a b và − b c Khi đó áp dụng bất đẳng thức trên ta được

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Hải Dương năm học 2016 – 2017

Bài 12 Cho các số dương a, b,c thỏa mãn + + =a b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Do đó

Với các số dương x, y, z ta luôn có

Áp dụng kết quả câu a ta có các bất đẳng thức

+ +  + + +  + + +  +

x y z 2 xy; x y z 2 yz; x y z 2 zx

t 2 t

t 1 t 2 t 0

3 t 2 là một bất đẳng thức đúng Vậy ta có 

−

2 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2

2 , đạt được tại =x 2; y z 0 và các hoán vị = =

• Nhận xét Câu a của bài toán chính là gợi ý để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

Ngoài ra ta có thể tìm giá trị lớn nhất của P độc lập với gợi ý ở câu a như sau

Với ý thứ hai của câu b ta có thể trình bày cách khác như sau

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được

2

2 2

P

t 10

t t 22t

6t 2

12t 2 t 10 t 2 t 5 2 02

+ ++ +

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −4

2

x 1

a b 1 do x z

z c Nên ta có

b 1 a 1

1c

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Phú Thọ năm học 2017 – 2018

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn nhất của =biểu thức:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1

3 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi = = =x y z 1

Bài 18 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn + + =x y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1

6, dấu bằng xẩy ra tại (x; y; z) (= 0;1; 2) cùng các hoán

abc

Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì 3 ab bc ca= + +  abc( a+ b+ c )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1

Bài 20 Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn:

Bài 21 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + a b c 3

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Như vậy giá trị nhỏ nhất của S là 3 17

2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

2 2

Như vậy giá trị nhỏ nhất của S là 3 17

2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 23 Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho + + =a b c 6 Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do b nằm giữa a và b

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh xong

Bài 24 Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với mọi a, b, c là các số thực không âm thỏa

( + + )2  + + ( − )2+ ( − )2+ ( − )2

2 a b c 1 27abc 4a b c 4b c a 4c a b Hay 1 4ab a b ( + )+4bc b c( + +) 4ca c a( + )+3abc

Để ý đến giả thiết ta viết lại được bất đẳng thức trên thành

a b c 4ab a b 4bc b c 4ca c a 3abc Hay 3+ 3+ 3+  ( + )+ ( + +) ( + )

Biến đổi tương đương ta được abc(a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − )

Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đúng và dễ dàng chứng minh được

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1 hoặc

+ + 

2a b c a 2b c a b 2c 4Bất đẳng thức trên tương đương với + + + + + 

Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi =x y z =

Bài 26 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn + + =x y z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết của bài toán

Áp dụng một đánh giá quen thuộc ta có 4+ 4 + 4  ( 2+ 2 + 2)2

x y z 3 x y zKhi đó ta được ( 2+ 2+ 2) (2− 2+ 2 + 2)+ 

P

y 2z z 2x x 2y x y y z z x 2 xy zx yzLại áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =x y z 1

Bài 30 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Đăk Lăk năm học 2014 – 2015

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 31 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2+ 2+ 2+ = ( + )

Do đó ta viết lại được biểu thức P thành

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2, xấy ra tại = =a b c

Bài 32 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện 2+ 2+ 2 =

x y z 2 Tìm giá trị lớn nhất của:

x y z 1

được

Ta đi chứng minh bất đẳng thức xyz 2 x y z +  + +

Có hai cách để chứng minh bất đẳng thức xyz 2 x y z như sau +  + +

• Cách 1 Không mất tỉnh tổng quát ta giả sử z là số lớn nhất trong ba số x, y, z Khi

đó từ giả thiết của bài toán ta có = 2+ 2+ 2  2   2

2 x y z 3z z

3 Cũng từ giả thiết ta có 2 + 2+ 2 = ( + )2+ 2 = +

x y z 2 x y z 2 2xy Đặt = +a x y , khi đó ta có = 2+ 2−

2xy a z 2 Như vậy bất đẳng thức cần chứng minh trên trở thành

+  + +  2+ 2 +  +  2− + 3− + 

2xyz 4 2 x y z a z z 4 2a 2z za 2a z 2z 4 0 Xét ( )= 2 − + 3− +

( + + − )2   + + −   +  + +

x y z xyz 4 x y z xyz 2 2 xyz x y z

Như vậy với xyz 2 x y z ta được +  + + ( )

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi =x 0; y z 1 = =

Vậy giá trị lớn nhất của M là 1, xẩy ra tại =x 0; y z 1 và các hoán vị = =

Bài 33 Cho a, b, c là các số thực không âm, trong đó không có hao số nào đồng thời

bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2, xẩy ra khi =a b; c 0 hoặc các hoán vị =

• Lời giải 2 Không mất tính tổng quát ta giả sử   a b c 0 , khi đó ta có

Vậy phép chứng minh hoàn tất

Bài 35 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + =a b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

+ ++ +

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 22, xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1

Bài 36 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta có bất đẳng thức sau:

Đặt + =a b x;ab y khi đó với x, y dương ta có = x2 4y

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng 2( 2 − − ) ( − )

y x 2y 2 x y 1 Đến đây ta xét các trường hợp sau

• Trường hợp 1 Nếu y 1 thì ta có x2 Khi đó xy2− + y 1 2y2− + y 1 0 Do vậy

Điều này có nghĩa là bất đẳng thức cần chứng minh đúng

Vậy bài toán được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =a b 1

Bài 37 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn (a b b c c a+ )( + )( + )=10 Chứng minh rằng:

(a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)+12a b c2 2 2 30

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Bình Dương năm học 2015 – 2016

Lời giải

100 80abc 16a b c 12a b c 20a b c 40abc 502

20 a b c 2abc 1 30 20 abc 1 30 30

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi ( )( )( )

x yz 2x yz Do đó ta được

(x2+yz) (2 y3+z3) (= x2+yz x)( 2+yz y)( 3+z3)2xyz y( 2 +z2)(x2+yz )

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và để ý đến + + =x y z 1ta có

3 Bất đẳng thức trên được viết lại thành

Đến đây ta xét hai trường hợp sau

• Trường hợp 1 Nếu cả ba số x, y,a đều âm Khi đó áp dụng bất đẳng thức AM –

• Trường hợp 2 Nếu trong ba số x, y, a có một số âm, hai số dương Không mất

tổng quát ta giả sử x và y âm và a dương Đặt x1 = − x 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y a= =2x10 và x ya 11 = hay = =y a 3 2 và

2

Bài 42 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + =a b c 3 3

2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 a b c 9

4 a b c 4 a c 6 a b c 2 a b c

2 a b c 2 a c 3 a b c a b c

b ab bc ca 0 a b b c 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do  a b c Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn

Bài 43 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của =biểu thức:

Bài 44 Cho a, b, c là các số thực không âm trong đó không có hai số nào cùng bằng

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bài toán được chứng minh xong

Bài 45 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và + + =a b c 1 Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = =a b c

• Lời giải 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

( ) ( )

Do đó bất đẳng thức trên đúng Vậy bài toán được chứng minh xong

Bài 46 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + =a b c a + +b c

b c a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có (a2+b2)(b2 +c2)b2+ac Hoàn toàn tương tự ta thì được bất đẳng thức

( 2+ 2)( 2+ 2) (+ 2 + 2)( 2+ 2) (+ 2+ 2)( 2+ 2) 2+ 2+ +2 + +

Mà từ giả thiết ta được ab bc ca 3 Do vậy ta được + + 

(a2+b2)(b2 +c2) (+ b2+c2)(c2+a2) (+ c2+a2)(c2+a2)a2+b2 + +c2 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 3 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1

Bài 47 Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng:

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 12 Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2016 – 2017

ta được

Dễ thấy với ab 1 thì bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng 

Vậy bài toán phụ được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b hoặc

2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1

1 x216x 648x 108x 108 91x 273x 273x 91125x 375x 165x 17 0 5x 1 5x 17 0

Dễ thấy rằng bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi x 0

Do vậy ta có

+ + + +

Mặt khác với x, y là các số dương thì ta luôn có

16

2525t 400 1200t 1200t 400t 16 375t 1200t 1200t 384 0

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi =a 1; b 2; c 3 hoặc = = a= −1; b= −2; c= −3

Bài 53 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab bc ca 2abc 1 Chứng + + + =minh rằng:

Như vậy phép chứng minh sẽ kết thúc khi ta chỉ ra được + + 

2a 1 2b 1 2c 1 2 Biến đổi bất đẳng thức trên ta được

Do bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều cần chứng minh

Áp dụng hoàn toàn tương tự thì ta thu được

2 x y y z z x Như vậy phép chứng minh sẽ kết thúc khi

x y zy

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Bắc Ninh năm học 2016 – 2017

4 27 108 Vậy giá trị lớn nhất của T là 77

108 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 3

Bài 59 Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( + )+ ( + )+ ( + )  3+ 3+ +3

bc b c ca c a ab a b a b c 3 dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng thì ta lại có

Bài 61 Cho a, b, c là các số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Do các tổng +a b; b c; c a khác không nên từ giả thiết của bài toán ta suy ra trong + +

ba số a, b, c có duy nhất một số có thể bằng không Khi đó ta xét các trường hợp sau

• Trường hợp 1 Trong ba số a, b, c có một số bằng 0 Không mất tính tổng ta giả

sử =c 0 , khi đó ta viết lại biểu thức P và áp dụng bất đẳng thức AM – GM thì được

= a + b  a b =

Dấu bằng xẩy ra kh và chỉ khi =a b

• Trường hợp 2 Xét trường hợp các số a, b, c đều dương

Khi đó vì a là số thực dương nên ta có

2

b c c a a bĐẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 0 , điều này trái với giả thiết a, b, c là các

số thực dương Do vậy đẳng thức không xẩy ra Tức là ta

Kết hợp hai kết quả trên ta suy ra được giá trị nhỏ nhất của P là 2

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi =a b; c 0 và các hoán vị =

Bài 62 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2abc 1 Tìm giá trị + + + =nhỏ nhất của biểu thức:

Ta thấy rằng bất đẳng thức trên chính là bất đẳng thức Neibitz quen thuộc

Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn

Bài 62 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + =a b c 3 Chứng minh rằng:

Vậy bài toán được chứng minh xong Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1

Bài 64 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn + + =x y z 3 Chứng minh rằng:

Vậy phép chứng minh kết thúc Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =x y z 1

Bài 65 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + =a b c 3 Chứng minh rằng:

3 2 2 2 3

3 2 2 2 3

1 a b c ab bc ca abc 1 3 abc 3 a b c abc

a b c ab bc cac 3 abc 3 a b c

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

Vậy bài toán được chứng minh hoàn tất

Bài 66 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn (a b b c c a+ )( + )( + )=1 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức: = − + + − + + − +

a ab b b bc c c ca aP

Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có phép biến đổi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1

Do vậy ta suy ra được ab bc ca 3 + + 

Lại theo một bất đẳng thức quen thuộc thì

Vậy phép chứng minh kết thúc Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1

Bài 69 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

24a 4b c a 4b 4c 4a b 4c

Trích đề thi chọn HSG môn Toán THPT Tỉnh Quảng Bình năm học 2017 – 2018

Ta sẽ chứng minh + + 

34a 4b c a 4b 4c 4a b 4c Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh trên tương đương với

a b c4a 4b c a 4b 4c 4a b 4c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức thì ta có

Như vậy ta được 3 9  + =   6 

Dễ thấy rằng với  0 y 1 thì 3  2

12y 16y nên suy ra 3− 2− − 

12y 16y 20y 1 0

4t 9t 12t 18

4 nên suy ra  −

23T

4

x y z t xyzt

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, xẩy ra khi và chỉ khi = = =a b c 1

Bài 75 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 3 Tìm giá trị nhỏ nhất + + =của biểu thức:

a b c 3 ab bc ca 9 nên suy ra + + a b c 3 Hay