Phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp trong giải phương trình vô tỷ đã chuyển đổi

Tuy nhiên ta lại dễ dàng nhẩm được nghiệm của phương trình, khi đó phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp sẽ phát huy vai trò của nó.. Bản chất của phương pháp này là lạm dụng đại lương

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP TRONG GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Có một lớp bài toán phương trình vô tỷ mà xét tính không thể giải quyết được nó khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa vì nó quá phức tạp và cũng không thể sử dụng phép ẩn phụ hóa vì không tìm được mối liên hệ hỗ trợ giữa các đại lượng Tuy nhiên ta lại dễ dàng nhẩm được nghiệm của phương trình, khi đó phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp sẽ phát huy vai trò của nó Bản chất của phương pháp này là lạm dụng đại lương liên hợp để làm xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích phương trình thành tích

• Cơ sở phương pháp Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x=x0hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành (x x P(x) 0− 0) = và P(x) 0= có thể vô nghiệm hoặc giải được

• Cách nhẩm nghiệm Ta thường thử các giá trị x0 để trong căn là bình phương hoặc lập phương của một số hữu tỷ

• Một số phép biến đổi nhân lượng liên hợp

• Một số kinh nghiệm xử sử dụng phương pháp nhân đại lượng liên hợp

+ Phương trình nhẩm được nghiệm hữu tỉ

+ Phương trình chứa nhiều căn thức cùng bậc

+ Phương trình chứa cả căn bậc hai và căn bậc ba

1 Nhân thêm lượng liên hợp

Từ đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình x 4 Ta có

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải phương trình x2+ − +x 2 x2 = 2 x 1( − + ) 1

Phân tích và lời giải

Nhẩm được x 1= là một nghiệm của phương trình đã cho, do đó ta dự đoán nhân

+ − + − là một biến đổi không có nghĩa

Vì vậy trước khi nhân lượng liên hợp ta cần chú ý đến biểu thức liên hợp đã khác 0 hay chưa Để xử lý dạng phương trình này ta cần xét các trường hợp để lượng liên hợp bằng 0 và khác 0 Cụ thể với ví dụ này ta xử lý như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 Nhận thấy x 1= là một

Với x 0 , khi đó phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có hai căn thức bậc hai, nếu biến đổi nâng lên lũy thừa thì sau hai lần phương trình thu được có bậc 8, do đó không nên sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải phương trình Nhẩm một số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có nghiệm

1

x

2

= , do đó khi phân tích phương trình thành tích sẽ có chứa nhân tử chung là 2x 1− Để

Phân tích và lời giải

Nhẩm được x 3 = là một nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử

chung là x 3 − Để ý ta lại thấy (10x 1+ −) (9x 4+ ) (= 3x 5− ) (− 2x 2− )= −x 3 Mặt khác

ta lại thấy với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định thì 10x 1+ + 9x 4+ 0 và

Ví dụ 5 Giải phương trình sau 3x2−5x 1+ − x2− =2 3 x( 2− − −x 1) x2−3x 4+

Phân tích và lời giải

Kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm x=2 nên ta sẽ cố

gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử (x 2− ) Ta có nhận xét rằng:

Điều kiện xác định của phương trình là

2 2 2

Phân tích và lời giải

Nhận thấy (2x 3+ ) (− x 1− = +) x 4 và không tồn tại x R để biểu thức 2x 3 + và

x 1− đồng thời bằng 0 Do đó ta sử dụng phép nhân lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân

tử chung x 4+ Từ đó ta có lời giải như sau

3 3

Nhận thấy ( 2 ) ( ) 2

x +3x 1+ − 5x 1+ =x −2x và không tồn tại x R để biểu thức 2

x +3x 1+ và 5x 1 + đồng thời bằng 0 Do đó ta sử dụng phép nhân lượng liên hợp để làm

xuất hiện nhân tử chung 2

x −2x Từ đó ta có lời giải như sau

2

2 2

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có hai căn thức bậc hai, ta có thể sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải phương trình Sau hai lần nâng lên lũy thừa ta thu được phương trình bậc bốn Nhẩm một số giá trị ta thấy x 3 = là một nghiệm, như vậy phương trình bậc bốn có

thể phân tích được Tuy nhiên với x 3 = là một nghiệm, ta dự đoán khi phân tích phương

trình thành tích sẽ có nhân tử chung là x 3 − Lại để ý thì thấy (2x 3− − = −) x x 3 và

2x 6− =2 x 3− , do đó ta sử dụng lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân chung x 3 − Ta

có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 3

2

 Phương trình đã cho tương đương với

 Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được x 3= là nghiệm duy

nhất

Ví dụ 9 Giải phương trình 2

3x 1+ − 6 x 3x− + −14x 8 0− =

Phân tích và lời giải

Nhẩm được x 5 = là nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử chung khi

viết phương trình thành tích là x 5 − Để ý ta thấy khi x 5 = thì 3x 1 4 0+ − = , do đó ta nhóm 3x 1 4+ − và nhân với lượng liên hợp là 3x 1 4+ + , cũng tương tự thì ta nhóm

6 x 1− − và nhân với lượng liên hợp là 6 x 1− + Từ đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là 1 x 6

Do đó từ phương trình trên ta được x 5 0− =  = x 5

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 5= là nghiệm duy nhất

Ví dụ 10 Giải phương trình x+ x 1+ + x2+ − = +x 1 2 2

Phân tích và lời giải

Nhẩm được x 1= là một nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử chung

2

x 1+ = 2; x + − = , từ đó ta thực hiện nhóm x 1x 1 1 + − 2 và 2

x + − −x 1 1, khi

x + − +x 1 1 Ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 02 x 5 1

Do đó từ phương trình trên ta được x 1 0− =  = x 1

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1= là nghiệm duy nhất của phương

trình

Ví dụ 11 Giải phương trình 3

2 3x 2 3 6 5x 16 0− − − + =

Phân tích và lời giải

Nhẩm được x= −2 là một nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử

chung khi phân tích phương trình thành tích là x 2+ Để ý rằng khi x= −2 thì 3

3x 2 2 0; 6 5x 4 0− + = − − = Khi đó sử dụng nhân đại lượng liên hợp để xử lý phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là 6 5x 0−  Phương trình đã cho

tương đương với

Phân tích và lời giải

Nhẩm được x 1= là một nghiệm của phương trình, do đó khi phân tích phương trình thành tích thì có chứa nhân tử chung là x 1− Với x 1= thì

3

5x 1− =2; 9 x− =2do đó ta thực hiện phép nhóm 5x 1 2− − và 3

9 x− =2 Từ đó ta

có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

Điều kiện xác định của phương trình là 2 x 3−   Phương trình đã cho tương

Phương trình đã cho có dạng cơ bản nên ta có thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa Sau bước nâng lên lũy thừa ta được một phương trình bậc 4, nếu ta nhẩm được nghiệm của phương trình bậc 4 thì xem như phương trình giải đươc Nhẩm được x=2 và x= −1

là hai nghiệm của phương trình, như vậy ta đã giải được phương trình bằng cách nâng lên lũy thừa Ta thử giải phương trình với phương pháp nhân lượng liên hợp xem sao Do phương trình có hai nghiệm là x=2 và x= −1 nên ta dự đoán khi phân tích phương trình

x 1 x 2+ − =x − −x 2 Giả sử ta cần

nhóm 5x 6 A+ − để khi nhân lượng liên hợp ta có

25x 6 A5x 6 A

5x 6 A

+ −+ − =

Từ đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là 5x 6 0 x 6

5+    − Phương trình

tương đương với

 −

x − − = x 2 0 x 1 x 2+ − =  = −0 x 1; x=2 Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của phương trình là S= − 1; 2

Ví dụ 16 Giải phương trình x2−4x 12+ =4 4 x− + 3x 16+

Phân tích và lời giải

Nhẩm được x 0 = và x 3 = là hai nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân

tử chung khi phân tích phương trình thành tích là x2 −3x Vì phương trình chứa hai căn

thức nên ta cầm phải tìm lương liên hợp cho hai căn thức nay Với căn thức 4 x− ta cần nhóm A ax b= + , khi đó do x 0 = và x 3 = là nghiệm của phương trình nên ta được

Điều kiện xác định của phương trình là 16 x 4

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S= 0; 3

2 Tách biểu thức thành tích các biểu thức liên hợp

Ta đã biết mục đích sử dụng phép nhân thêm một lương liên hợp đó là đưa

phương trình vô tỷ về dạng tích Tuy nhiên trong một số bài toán thì kỹ thuật nhân thêm đại lương liên hợp không đảm bảo cho mẫu số khác 0 hoặc việc giải quyết biểu thức còn lại trong phương trình tích gặp nhiều khó khăn Khi đó ta có thể lựa chọn phương án khác đó là tách một biểu thức thành tích các biểu thức liên hợp để thay thế

Ví dụ 1 Giải phương trình 2+ x 1− + 3x 5− =x

Phân tích và lời giải

Nhận thấy ( x 1− + 3x 5− )( 3x 5− − x 1− =) 2 x 2( − , do đó nếu ta thực hiện )

phương trình sẽ có nhân tử chung là x 2− Tuy nhiên một vấn đề nảy sinh ở đây là lương

liên hợp ta nhân vào chưa đảm bảo khác 0 Để khắc phục vấn đề này ta có thể xét hai

trường hợp 3x 5− − x 1− =0 và 3x 5− − x 1− 0 Nhưng thay vì thực hiện cách khác phục như trên ta có thể biến đổi theo cách ngược lại đó là

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

Do đó từ phương trình trên ta được x 2 0− =  = x 2

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của phương trình là S= 1; 2

Ví dụ 3 Giải phương trình x2−10x 14 2 2x 1+ = +

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có dạng cơ bản do đó ta có thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa, khi đó phương trình thu được có bậc bốn, tuy nhiên cách làm này có vẻ không hợp lý

vì ta không nhẩm được các nghiệm đẹp Do đó ta sẽ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, có điều khi liên hợp với một số cũng không hợp lý vì phương trình không nhẩm được nghiệm đẹp nên khả năng nhân tử chung sau liên hợp sẽ có bậc hai Vậy nên ta sẽ liên hợp với một biểu thức dạng ax b + Giả sử ta thực hiện phép nhóm và nhân nhân lượng liên

nhân tử chung thì hệ số của đa thức vế trái và tử thức ở vế phải tương ứng tỉ lệ với nhau

đó ta có biệt thức  =' a4+14a2+ Để thu được nghiệm b đẹp thì 1 ' phải là số hữu tỷ Chọn một số giá trị của a ta được khi a =  thì 1 '

4

 = Như vậy với a 1 = thì b = − và 5

với a = − thì b 31 = Ta thử giải bài toán với phép nhóm 2x 1+ − − (x 5)

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

Rõ ràng phương trình trên không xác định khi x 6 2 3= −

Do đó để khắc phục sai lầm trên thì thực hiện phép biến đổi ngược đó là phân tích vế trái thành tích sao cho có chứa nhân tử chung là 2x 1+ − − , như vậy sẽ tránh được (x 5)

xét nhiều trường hợp

Ví dụ 4 Giải phương trình 2 1 x( − ) x2+2x 1 2x 1 x− + + = 2

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho không nhẩm được nghiệm đẹp do đó ta dự đoán sau khi nhân lượng liên hợp thì nhân tử chung là một đa thức bậc hai Để ý rằng biểu thức trong căn có

dạng đa thức bậc hai và biểu thức ngoài căn cũng có bậc hai, do đó ta có thể nhóm liên hợp với một hằng số hoặc với một biểu thức có dạng ax b +

• Trước hết ta nhóm liên hợp với hằng số, giả sử ta thực hiện nhóm như sau

Điều này có nghĩa là ta nhóm liên hợp với a 2 =

• Nhóm lên hợp với biểu thức dạng ax b + , ta thực hiện như sau

Khi đó nhân tử chung của hai vế sẽ là (1 a x− 2) 2 +(2 2ab x b− ) − 2− và để xuất 1

hiện nhân tử chung trong vế phải thì ta cần có

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho không nhẩm được nghiệm đẹp, do đó ta dự đoán rằng nhân tử chung là một đa thức bậc hai có nghiệm vô tỉ Để tìm nhân tử chung cho phương trình ta viết lại phương trình như sau

Do x= −2 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S= −1 7 ;1+ 7

3 Một số kỹ thuật xử lý sau nhân lượng liên hợp

Để giải bài toán phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dung đại lương liên hợp ta thường biến đổi phương trình về dạng (x x A x− 0) ( )=0 hoặc

Nhẩm được x 0 = là một nghiệm của phương trình nên ta dự đoán nhân tử chung

ban đầu rồi mới kết luận tập nghiệm

• Một vấn đề đặt ra là khi nào ta sử dụng hệ tạm sau phép nhân liên hợp Thông thường

thì với phương trình có dạng f x( ) g x( )=ax b+ Một điều cần lưu ý đó là khi nhân

lượng liên hợp ta cần đảm bảo mẫu các biểu thức phải khác 0

Ví dụ 2 Giải phương trình 2 x2−7x 10+ = +x x2−12x 20+

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là

2 2

Điều kiện xác định của phương trình là x 4 0+ 

Nhận thấy 2x2+ + +x 9 2x2− +  với mọi x Do đó x 4 0x 1 0 + 

Để ý ta thấy ( 2 2 )( 2 2 ) 2

5x + +1 2x +1 5x + −1 2x +1 =3x và

5x + +1 2x +  do đó ta liến hành nhân lượng liên hợp như sau 1 0

Phương trình các định với mọi số thực x Phương trình đã cho tương đương với

Từ hệ phương trình trên ta được 4x2+ + =x 1 5x2+ 1 x2− =  = x 0 x 1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S= 0;1

Ví dụ 5 Giải phương trình: x x 2( + )+ x x 1( − ) =2 x2

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x −2 hoặc x −1

Để ý rằng x x 1( − −) x x 2( + ) , do đó phương trình đã cho tương đương với 0

Nhận xét Ngoài cách giải như trên ta có thể giải phương trình bằng cách sau

• Nếu x −1 ta chia cả hai vế cho x ta được x 2+ + x 1 2 x− =

Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm nghiệm của phương trình

• Nếu x −2, đặt t = −  và thay vào phương trình ta được x 2

Phân tích và lời giải

Nhẩm được x 1= là một nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử chung khi phân tích phương trình thành tích là x 1− Để ý rằng với x 1= thì

8x 1 3 0; 46 10x 6 0+ − = − − = Do đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là 1 x 46

−

  Phương trình đã cho tương đương với

Do đó ta sử dụng nhân lượng liên hợp để giải bài toán như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 5 Phương trình đã cho tương đương với

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 5=

Do đó phương trình (*) có nghiệm x 5= , thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= − 3; 5

Ví dụ 8 Giải phương trình 3 x2− + =1 x x3−2

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x3 2 Nhận thấy x 3= là nghiệm của phương trình và chú ý là khi x 3= thì 3 2

x − − =1 2 0 và 3

x − − =2 5 0, nên ta biến đổi phương trình như sau

Phân tích và lời giải

Ta dự đoán được nghiệm x= 1 và ta viết lại phương trình như sau

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x 5

3

 Ta nhận thấy x=2 là một nghiệm của phương trình Như vậy phương trình đã cho có thể phân tích được về dạng (x 2 Q x− ) ( )=0

Phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Nhẩm được x 1= là nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử chung là

2 33

 thì các đại lượng trong phương trình không cùng dấu với nhau

nên để chứng minh được phương trình vô nghiệm thì ta cần có những đánh giá hợp lí Tuy nhiên không phải khi nào đánh giá phương trình sau khi nhân lượng liên hợp vô nghiệm cũng dễ dàng cả

• Vấn đề đặt ra là có cách nào xử lý để khi nhân lượng liên hợp ta thu được phương trình sau có các đại lượng cùng dấu Chẳng hạn như phương trình trên, ta thấy đại lượng

− + thì ta cần thay nhóm 2− 5x 1− bằng nhóm 5x 1 2− − Điều này có

nghĩa là ta thực hiện thêm bớt để tạo ra nhóm 5x 1 2 5x 1− − − = 5x 1− ( 5x 1 2− − ) Bây giờ ta thử biến đổi phương trình theo ý đó xem sao?

2 33

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là 3 x 5  Nhẩm được x=4 là một nghiệm của phương trình do đó ta dự đoán nhân chung là x 4− Để ý rằng khi