CASIO chuong 2 1 thu thuat CASIO giai phuong trinh vo ty bui the viet

CHƯƠNG 2 : THỦ THUẬT CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Tác giả : Bùi Thế Việt Phương trình vô tỷ PTVT là dạng toán hầu như lúc nào cũng xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia.. Từ hệ phương t

CHƯƠNG 2 : THỦ THUẬT CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

(Tác giả : Bùi Thế Việt)

Phương trình vô tỷ (PTVT) là dạng toán hầu như lúc nào cũng xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia Từ hệ phương trình vô tỷ, hoặc một phương trình logarit, lũy thừa, … chúng ta cũng có thể đưa về PTVT để giải quyết Do đó rất có thể, PTVT sẽ là câu để phân loại học sinh khá giỏi

Trong chương này, chúng ta chia PTVT thành các dạng toán điển hình như một căn thức, nhiều căn thức, căn bậc n, … Mỗi dạng toán đều có thủ thuật CASIO đặc trưng, do đó nó sẽ hỗ trợ chúng ta tư duy tìm lời giải một cách nhanh chóng và thuận tiện nhất

DẠNG 1 : PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ MỘT CĂN THỨC

Đây là một dạng toán đã từng xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc Gia 2015 Rất nhiều học sinh cảm thấy khó khăn khi giải quyết nó Tuy nhiên, với CASIO thì đây chỉ là một dạng toán cơ bản và đơn giản, khi mà các thủ thuật CASIO dưới đây có thể hỗ trợ chúng ta tư duy một cách tối

đa nhất

Lưu ý : Đây là bản thảo của Bùi Thế Việt viết cho nhà xuất bản Vì nhiều lý do nên bản thảo

này không được phát hành sách Có tất cả 5 chương trong cuốn sách, mỗi chương 4 – 5 dạng, mỗi dạng có rất nhiều chuyên đề nên vô cùng dài Bạn đọc nào quan tâm có thể liên hệ Bùi Thế Việt qua :

- Facebook : Bùi Thế Việt - facebook.com/viet.alexander.7

- Group : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia - facebook.com/viet.alexander.7

vài bước đơn giản Hơn nữa, bước đặt ẩn phụ trong thủ thuật chỉ là ở trên nháp thôi nên tốc độ làm bài và tư duy của chúng ta được cải thiện đáng kể

Lưu ý : Thủ thuật này hầu như áp dụng cho dạng toán ax b

Vì vậy, sử dụng thủ thuật CASIO, ta có thể dễ dàng phân tích nhân tử Ap t q t z t     

Vậy điều gì sảy ra nếu ta thay ngược t ax b vào biểu thức trên ? Khi đó :

 Phân tích nhân tử biểu thức theo t

 Trả lại t ax b trong từng nhân tử

 Rút gọn và đưa ra lời giải

C – THỰC HIỆN

Ví dụ 1 : Giải phương trình :

2

2x 7x 2 x x 2   0Hướng dẫn :

dễ theo dõi hơn, mặc dù trình bày có thể hơi tắt một chút

Ví dụ 2 : Giải phương trình :

2

2x 2x 1  x 3x 2

Hướng dẫn :

 Làm việc với hệ số nhỏ

 Phân tích nhân tử trực tiếp căn thức nên dễ dàng đánh giá loại nghiệm

 Sau khi sử dụng thủ thuật khử căn thức phải loại nghiệm, còn với thủ thuật đặt ẩn phụ thì

là dấu tương đương, không cần loại nghiệm

Để hình dung rõ hơn lợi ích của thủ thuật này, chúng ta thử đến với bài toán sau :

Ví dụ 4 : Giải phương trình : [1.10.1-6][2.1.1-4]

3x 6x 8x 1 2 x  x 1 x 2 0Hướng dẫn :

2 2

Nhận xét : Bạn đọc có thể so sánh cách làm này với Ví dụ 6 – Bài đọc thêm 1.10.1 để thấy được sự tiện lợi của thủ thuật đặt ẩn phụ

Ví dụ 5 : Giải phương trình :

3

7x  7 4x 1 2x 1 2 Hướng dẫn :

1

81

Bước 4 : Hướng 1 : Chia khoảng để đánh giá Đặt 2  2 

Ax 3x 3  x 2x x 1 thì : Nếu

2 2

Tuy nhiên, cách làm này quá lớn và mạnh nên chúng ta sẽ nghĩ tới điểm rơi đẹp hơn

Lấy điểm rơi t0 1 và làm tương tự thủ thuật đánh giá phương trình bậc 6 (bài đọc thêm 1.10.2) :

Do đó, chúng ta vẫn phải đánh giá x23x 3 x22x x 1  Vì vậy, tạm thời chúng ta sử dụng hướng 1 cho bài toán này Nếu bạn đọc gặp bài tương tự mà thấy khó khăn quá, hãy sử dụng phương pháp đánh giá S.O.S vì nó rất mạnh

Nhận xét : Tại sao phải chia khoảng cho 3

2 nữa ? Bởi vì nếu chỉ có 1 x 2  Ax 1 2x 3   

nhưng chưa chắc x 1 2x 3      0 x 1,2 Vì vậy, chúng ta đánh giá thêm 3

Bước 4 : Hướng 1 : Chia khoảng để đánh giá Đặt 2  

Ax   x 3 x 1 x 2 thì : Nếu

Nhận xét : Tôi (Bùi Thế Việt) sinh năm 1997, do đó tôi cũng đã từng trong kỳ thi THPT Quốc Gia

2015 Khi nhìn vào nhân tử 2  

x   x 3 x 1 x 2 0 thì cái đầu tiên tôi nghĩ đến không phải là

chia khoảng để đánh giá như trên mà là tách thành tổng các bình phương S.O.S Trong nháp, tôi cũng đặt t và đánh giá được 2   x 2 2 3 2 2 2

 Phần 1 : Thủ thuật tìm nhân tử chứa căn

 Phần 2 : Thủ thuật chia biểu thức bằng CASIO

B – Ý TƯỞNG

Xét phương trình : f x     g x h x 0 Khi đó nhân tử của nó là  h x ux v 

Nếu phương trình f x     g x h x 0 có 2 nghiệm A và B thì

   Từ đó ta có thể tìm được U, V bằng cách giải HPT trên

Tóm lại : Thủ thuật tìm nhân tử :

Bước 1 : Tìm các nghiệm (nếu có) phương trình f x     g x h x 0

Bước 2 : Ta sẽ tìm nhân tử có dạng  h x ux v  Xét các trường hợp sau :

2

A BV

Ví dụ minh họa : Xét phương trình 4x2  x 4 3x 2x2  3 0

Phương trình 4x2   x 4 3x 2x2 3 0 có nghiệm duy nhất A 1.236067977

Phương trình 4x2   x 4 3x 2x2 3 0 có nghiệm duy nhất B3.236067977

Giả sử

2 2

4x x 4 3x 2x 3

U V 2x 32x 3 x 1

A 2A 1 B 2B 1 1u

PT x 3x 1 4x 1 x 3x 1 x 4x 4 0 x 3x 1 4x 1 0

2x5

Bước 4 : Ta lấy 2

v  3A  1 uA1 Nhân tử là  2 

  

F BFB

1x23x x 1 x 0

5 173x x 1 2x 2 0 x

23x x 1 2x 1 0 9 61

A, BB,C

Vậy chúng ta có nhiều cách làm cho bài

toán này Ví dụ, ta lấy A, B4 x2 3x 3 3x 7  Ta được :

 Vậy là cứ có nghiệm lẻ vô tỷ thì

sẽ tìm được nhân tử Tuy nhiên, đối với phương trình có nghiệm hữu tỷ thì khác bởi vì phương trình sau khi đổi dấu chưa chắc đã có nghiệm hữu tỷ :

Ví dụ 7 : Giải phương trình : 10x2  2 x2 9x 4  3x2 1 0

Hướng dẫn :

Bước 1 : PT 2  2  2

10x  2 x 9x 4 3x  1 0 có nghiệm duy nhất x 1

Bước 2 : PT 2  2  2

10x  2 x 9x 4 3x  1 0 có 2 nghiệm xấu A0.458741617, B 14.4873 22 86 

Bước 3 : Sử dụng bổ đề ở bài 2.1.6, ta thấy phương trình ban đầu có nghiệm kép, do đó có nhân

tử chứa nghiệm bội kép là 2 3x2 1 3x 1 

Bước 4 : Chia biểu thức ta được :

Nhận xét : Để tìm hiểu chi tiết hơn thì bạn đọc có thể tham khảo ở bài 2.1.6 - Thủ thuật giải

phương trình nghiệm bội

Tuy nhiên, có một số phương trình không có nghiệm bội nhưng đổi dấu vẫn không có nghiệm nguyên

Ví dụ 8 : Giải phương trình :

2x 1

22x 1

1x

1x

1x

Cách 1 : [Phân Tích Thành Nhân Tử] Dễ thấy x 1 không phải nghiệm của bài toán

Vậy x 1 Ta có :

1 14x 2x x 1 2x 1 2x 1 0

Kết luận : x 1

Cách 4 : [Khảo Sát Hàm Số] TH1 :

4

1x2

Nhận xét : Để hiểu rõ hơn về cách tư duy nhân liên hợp hoặc đánh giá, bạn đọc có thể tham khảo

Bước 3 : Ta dễ dàng tìm được nhân tử là  2 

1 2x 2x 1 Ta cần chia biểu thức :

2 2

Bước 4 : Vào MODE 2 : CMPLX

Trong Mode này, môi trường là số phức nên khi CALC

cho X 1000 , ta không phải quan tâm đến ĐKXĐ nữa

Ví dụ 10 : Giải phương trình : 4 3  2  3 2

x 5x 2x 10  3x 4x 5  x x  4 0Hướng dẫn :

Bước 1 : Sử dụng CASIO, ta tìm được nhân tử của phương trình là   x3 x2  4 2x 2 

Bước 2 : Vào MODE 2 : CMPLX, viết biểu thức trên,

CALC cho X 1000 và lưu vào A ta được :

A 1002001 31543747.27i 

Bước 2 : Vào MODE 2 : CMPLX, viết biểu thức trên,

CALC cho X 1000 và lưu vào A ta được :

A 1002001 31543747.27i Bước 3 : Ta có   2

Bước 1 : PT 3  2 3 2

2x  x 2 x x  1 11 0 có nghiệm duy nhất x 1Bước 2 : PT 3  2 3 2

2x  x 2 x x  1 11 0 vô nghiệm Bước 3 : Ta có thể lấy đại nhân tử  x3x2 1 ax b  miễn sao cho nhân tử này chứa nghiệm

x 1 Ví dụ, ta lấy  x3 x2  1 1 Tuy nhiên  x3x2 1 1 x3 x2 1 1 x x 12  

Nó vẫn chứa nghiệm x 0 nên để loại x , ta lấy nhân tử 2

x 4x 6x 3x 7  x 2x  2x 3x 7 0 Bài toán được giải quyết

Nhận xét : Vậy liệu bài toán có nhân tử không chứa phân thức không ?

Nếu bạn đọc muốn tìm hiểu chuyên sâu hơn, chúng ta cần biết rằng bài toán này còn có nghiệm

phức là x 1 11i

2 2

  (tìm nghiệm phức này bằng phương pháp Newton – Rapshon trong MODE 2)

Nghiệm này của phương trình 2

x   x 3 0 nên ta cần tìm nhân tử  x3 x2  1 ax b  sao cho nhân tử này chứa nghiệm x 1 và 3 2  2

x x  1 ax b chứa nhân tử x2 x 3 Khi đó ta được a 1  x3 2 

Nhận xét : Để tìm nhân tử hữu tỷ một cách nhanh gọn hơn, tôi có kinh nghiệm tìm như sau :

 PTVT một căn thức ax b có nghiệm xx0 thì có nhân tử  ax b k

 PTVT một căn thức x2 ax b có nghiệm x x 0 thì có nhân tử  x2 ax b  x k hoặc

 x2ax b  x t

Ví dụ 12 : Giải phương trình :

2 2

Ví dụ 13 : Giải phương trình : 4 3 2  3  2

x 2x x   x 1 x 2 x 1

Bước 1 : PT 2x3   x 2 x2 4x2 3x 1 0 có nghiệm duy nhất x  2

Bước 2 : PT 2x3   x 2 x2 4x2 3x 1 0 có 2 nghiệm vô tỷ x 1.

x

063862947506121.23

 

  

Bước 3 : Nhân tử sẽ có dạng  2 

4x 3x 1 2x k   Thế x 2 ta được k 1 Bước 4 : Chia biểu thức :

BÀI 2.1.3 : THỦ THUẬT TÌM HÀM ĐẶC TRƯNG

A – GIỚI THIỆU

Hàm đặc trưng là một phương pháp điển hình và thường gặp trong các bài tập về PTVT và HPT Phương pháp này kết hợp các kiến thức của THPT như khảo sát hàm số, tính chất hàm đơn điệu, … nên rất phù hợp trong đề thi THPT Quốc Gia Thủ thuật này sẽ giúp bạn đọc có phương pháp tìm hàm đặc trưng nhanh gọn bằng CASIO

B – Ý TƯỞNG

Chúng ta cần biểu diễn một phương trình vô tỷ g x     h x k x 0 về dạng f X   f Y

với X,Y là biểu thức ẩn x Ví dụ như :

Giả sử x3 9x24x 1 2x2 3 2x2  1 f u x   f v x    (*) Bài toán có hàm đặc trưng nếu

tìm được f x , u x , v x  thỏa mãn điều kiện trên Ta có :

Bước 1 : Tìm nhân tử  h x ax b 

Bước 2 : Tách g x  theo h x , đồng thời thêm bớt một lượng k h x  

Bước 1 : Sử dụng thủ thuật tìm nhân tử, ta được nhân tử là  x 3 x 1   

Bước 1 : Sử dụng thủ thuật tìm nhân tử, ta được nhân tử là  2 

x   x 1 2x 2Bước 2 : Ta có : PT4 2x 3 x   2 kx2   x 1 x2   x 1 6 x2x 1 k x 2  x 1

Bước 3 : Thế x2   x 1 2x 2 ta được :

4 2x 3 x k x  x 1  2x 2 6 2x 2 k 2x 2Bước 4 : Cho x 0 hoặc x 1 hoặc x 2 , ta đều được :

Ví dụ như bài toán trên, chúng ta có thể sử dụng thủ thuật khử căn thức hoặc phân tích thành nhân tử

thỏa mãn ĐKXĐ và thỏa mãn bài toán

3x 1 1 x 2x3x 1 1 1 x 2x 1

 thì điều kiện của t là gì ?

Đây là câu hỏi của rất nhiều bạn Có bạn thì cho rằng t là đại diện cho 1 x 2x  2 và 3x 1 nên t phải thỏa mãn điều kiện của 1 x 2x  2 và 3x 1 Do đó t0 ??? Thật là sai lầm

Hàm đặc trưng được đặt ra để cho 1 x 2x  2 và 3x 1 thỏa mãn nó Ta có thế lấy điều kiện là

Nếu ta lấy t0 thì 1 x 2x  2 0 là đúng nhưng chưa chắc 3x 1 0 

Điều này lý giải vì sao mặc dù    

Cho x 3   k 6 Chứng tỏ không tìm được k Ta

nên giải bài toán bằng phương pháp khác

B – Ý TƯỞNG

Biểu thức cần liên hợp của PTVT là nhân tử mà chúng ta tìm được ở bài 2.1.2 Do đó, giả sử PTVT có dạng f x     g x h x 0 mà nhân tử là  h x ax b  thì ta cần nhân liên hợp :

Bước 2 : Nhân liên hợp :

3

2 2

Bước 3 : Nhân liên hợp :

 Lời giải : ĐKXĐ : 4

x5

Bước 4 : Nhân liên hợp :

Bước 5 : Ta thấy

2 2

2

5x 18x 114x 2 3x 3

2 4

2

2 4

Bước 3 : Nhân tử  x2   x 1 x Khi đó :

Lời giải : Ta luôn có

2 2

2 2

Bước 1 : PT

2 3

2 3

Bước 3 : Lấy nhân tử  x3 2 5 Khi đó :

x  2 5 x  2 5  x 3 x 3x 9Bước 4 : Nhân liên hợp :

B – Ý TƯỞNG

Trước hết, chúng ta cần biết các nghiệm của PTVT :

     

f x g x h x 0Điều này giúp chúng ta có thể hình dung đồ thị của hàm số f x     g x h x như thế nào, khi nào nó âm, khi nào nó dương, đổi dấu ra sao, …

Ví dụ minh họa : Giải phương trình :

x 2x 2x 3x 1  x 1 x x 4x 3 0Bước 1 : Sử dụng CASIO, ta thấy PTVT có nghiệm duy nhất x 2

Ngoài ra ĐKXĐ của bài toán là x 1 5

Bước 2 : Thành thử bằng CASIO ta thấy f x x4 2x3 2x23x 1 x 1  x4 x2 4x 3 có

bảng xét dấu như sau :

Nhìn vào bảng xét dấu, ta biết được rằng :

Khi x 2 thì x4 x2 4x 3 5 Vậy nhóm nhân tử  4 2 

k 1 Khi tăng k lên, có vẻ như đồ thị

Tóm lại lấy k 2 là tuyệt vời

Nhận xét : Đánh giá là một phương pháp khó Hy vọng ví dụ trên giúp bạn đọc tìm thấy được sự thú vị từ phương pháp này Chuyên đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về đánh giá trong PTVT một căn thức Nhưng trước tiên, chúng ta cần biết đến công cụ TABLE của CASIO

TABLE

 Vị trí : Trong MODE 7 : TABLE

 Chức năng : CALC hàng loạt để tính giá trị biểu thức cho trước

 Cách sử dụng :

o Bước 1 : Vào Mode 7 : TABLE

o Bước 2 : Máy hiện f X  Nhập biểu thức cần tính theo ẩn X Ấn =

o Bước 3 : Máy hiện Start? Nhập giá trị bắt đầu tính của X Ấn =

o Bước 4 : Máy hiện End? Nhập giá trị kết thúc tính của X Ấn =

o Bước 5 : Máy hiện Step? Nhập giá trị bước đếm của X Ấn =

o Bước 6 : Máy hiện bảng giá trị của f X  tại các giá trị liên tiếp của X

 Ví dụ minh họa : Nhập biểu thức f X X42X32X2 3X 1 X 1  X4X24X 3

o Cột bên cạnh là cột giá trị của X

o Cột ngoài cùng là giá trị của F(X) tại X tương ứng

o Vậy ta có thể sử dụng TABLE như một công cụ để vẽ đồ thị hàm số

o Ngoài ra, với máy VINACAL, chúng ta có thể tạo bảng cho cùng lúc 2 biểu thức là f(x) và g(x) Cài đặt ở Shift MOD EDown5

 Lưu ý : Số phần tử tối đa cho bảng một chiều (chỉ có F(x)) là 30, còn với bảng hai chiều là

Bước 1 : PT x3 4x25x 7 x 2  2x2 1 có nghiệm

duy nhất x 1

Phương trình đổi dấu có nghiệm rất lẻ

Bước 2 : Thành thử bằng CASIO để lập bảng xét dấu :

 Ta cần tìm k sao cho f x  và g x  luôn cùng dấu

Bước 3 : Tạo bảng với Start0.7,End 2,Step 0.1  cho hai hàm số ta được :

k 0

Ngay khi x 0.8 thì f x  và g x  đã

trái dấu rồi Chúng ta thử tăng k 1

k 1

Trường hợp này cũng vậy Có vẻ như

đồ thị càng kéo dãn theo trục Oy

Chúng ta thử giảm k xuống

k 1

Đồ thị hàm số dần dần dãn ra theo trục

Ox

Vậy ta cần giảm k xuống nữa, tới khi nào

thỏa mãn điều kiện f x  và g x  luôn

cùng dấu là bài toán được giải quyết

k 4

Thử lại thấy thỏa mãn Vậy ta có thể đánh giá với k 4

Bước 5 : Đánh giá nốt trường hợp còn lại : x 1

Bước 1 : PT

3 2

Đặt

2 3 2

Ta tìm k sao cho f x  và g x  luôn cùng dấu

Bước 3 : Tạo bảng với Start 1.5,End 1,Step 0.2  cho hai hàm số ta được :

k 0 Loại vì khi x 1.3 thì f x  và g x  đã

trái dấu rồi

k 1 Khi tăng k, 2 đồ thị có xu hướng dãn theo

trục Oy nên càng làm f x  và g x  đã trái dấu

Ví dụ 3 : Giải phương trình : 5   2

x 41 x 1 2x  1 0Hướng dẫn :

Bước 1 : PT 5   2

x 41 x 1 2x  1 0 có nghiệm duy nhất x 2.Bước 2 : Lập bảng xét dấu : F x x541x 1  2x21

Ta tìm k sao cho f x  và g x  luôn cùng dấu

Bước 3 : Tạo bảng với Start 5,End 4,Step 0.5  cho hai hàm số ta được :

k 0

Ta thấy f x  và g x  cùng dấu khi x 1Nếu tinh ý một chút, từ bài toán ta có được  5    5

x 41 x 1   0 41 x 1Vậy bài toán được giải quyết

Nếu   2 x 1 thì        

 

2

2 5

 Ta tìm k sao cho f x  và g x  luôn cùng dấu

Bước 3 : Tạo bảng với Start 1.4,End 5,Step 0.2   cho hai hàm số ta được :

k 0 Loại vì khi x 1.6 thì f x  và g x 

trái dấu

k 1 Loại vì khi x 1.6 thì f x  và g x 

trái dấu

Đồ thị có xu hướng dãn theo trục tung

2

2 2 2

  (thỏa mãn ĐKXĐ)

Có một phương pháp rất hay để đánh giá những trường hợp khó xử như này, đó là sử dụng Bất Đẳng Thức Trong bài toán này, ta cần một BĐT để khử 3x3 1, đó là BĐT tiếp tuyến :

Khi áp dụng BĐT trên trong bài toán này, chúng ta thấy rằng :

x x 1 03x 1 0

B – Ý TƯỞNG

Trước hết, chúng ta cần biết một bổ đề về nghiệm bội :

Bổ đề : Xét phương trình f x 0 có nghiệm x k bội n Khi đó ta có :

 

x k

f xlim 0 m 1,n 1

Bước 1 : Tìm nghiệm PT có 2 nghiệm là x 2 và x 1

Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội x 2 Ta thấy rằng :

Vậy chứng tỏ phương trình ban đầu không có nghiệm bội x 2

Kiểm tra nghiệm bội x 1 Ta thấy rằng :

x 15x 9x 5x 1 5x 14x 17 x x 1 45

Vậy phương trình có nghiệm bội ba x 1

Nhận xét : Để kiểm tra nghiệm bội của một phương trình, chúng ta cần phải tính lim Cách tìm