CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG MÔN TOÁN: LỚP 10 THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH.
Trang 1"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page
II/ Các bài tập quan trọng
Dạng 3: Tìm điểm M E có yếu tố tam giác – diện tích
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip , : 2 2 1
x y
E và điểm C 2;0 Tìm các điểm A B, E , biết rằng A B, đối xứng qua trục hoành và ABC đều
Giải:
E có a2 ;b 1 c 4 1 3
Giả sử A x y ; ; A B đối xứng với nhau qua trục hoành , B x ;y
Do C 2;0 OxCACB ABC cân tại C
Để ABC đều thì AB ACAB2 AC2
x y
A E x y
Từ 1 , 2 ta có hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
7
4
7
x
x
x
x y x
TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – TIẾT 2
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
MÔN TOÁN: LỚP 10
THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH
Trang 2Do A B, C loại cặp nghiệm x y; 2;0
Vậy có 2 cặp điểm A B, thỏa mãn: 2 4 3; ; 2; 4 3
*) Cách 2: Lấy điểm H sao cho CH AB H; Ox
3
2
CH AB CH d C AB
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip , : 2 2 1
x y
E Tìm tọa độ các điểm A B, E sao cho OAB
cân tại O và có diện tích lớn nhất ( A B, có hoành độ dương)?
Giải:
E có a2 ;b 1 c 3
Do OAB cân tại O x x; A, B 0 A B, đối xứng với nhau qua Ox
Giả sử A x y ; B x ;y x0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB
max
;
OAB
Theo bất đẳng thức Cô-si:
2 2
x y y y
Dấu “=” xảy ra
2 2
thay vào E ta được:
2 2
2
2
x x
Vậy có 2 cặp nghiệm A B, thỏa mãn: 2; 2 ; 2; 2
Trang 3Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip , : 2 2 1
x y
E và điểm A 3; 0 Tìm tọa độ các điểm B C, E
sao cho ABC vuông cân tại A và B có tung độ dương?
Giải:
E có a3 ;b 1 c 2 2
Tam giác ABC vuông cân tại AB C, đối xứng qua Ox
Giả sử B x y ; y0C x ;y
Mặt khác 2 2 1 2 32 1
x
2
2
Vậy có 1 cặp điểm B C, thỏa mãn: 12 3; ; 12; 3
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip , : 2 2 1
16 5
x y
E và A 5; 1 ; B 1;1 Tìm điểm M E sao cho diện tích MAB đạt giá trị lớn nhất?
Giải:
E có a4 ;b 5 c 11
Gọi ; 2 2 1 1
16 5
x y
M x y E
2 2
4; 2
AB
Trang 4
Gọi H là hình chiếu của M trên ABMH d M AB ;
2 2
MAB
x y
Để SMABmax x 2y3 max
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cosky ta có:
2 2
2 2
2 2
16 5
x y
x y
Dấu “=” xảy ra
2
1
5 4
16 10
y
x
x y
2
8
;
3
x
M
y
Vậy 8; 5
M
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip , : 2 2 1
x y
E và A 3; 4 ; B 5;3 Tìm C E sao cho diện tích
tam giác ABC bằng 4, 5?
Giải:
Gọi ; 2 2 1 1
x y
C x y E
3; 4
qua A
Gọi CH AB H ABCH d C AB ;
Trang 5 22 211
ABC
Theo yêu cầu bài toán: 4,5 9 1 2 11 9
ABC
2 11 9
x y
+ Với x2y20 x 20y thay vào 1 ta được:
20 2
2 2
phương trình vô nghiệm
+ Với x2y 2 x 2y2 thay vào 1 ta được:
2 2
1 2
2
2 2
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn: 1 1 3;1 3 ; 2 1 3;1 3
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip : 2 2 1
x y
E Tìm điểm M E sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng : 2x3y 1 0 lớn nhất?
Giải:
2 2
2 2
;
13
d M
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cosky:
Trang 6
2 2
2 2
x y
x y
x y
Dấu “=” xảy ra
4
; 3
x
x y
M y
Dạng 4: Tìm M E có tọa độ nguyên – Bài toán tương giao
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip , : 2 2 1
x y
E Tìm M E sao cho M có tọa độ nguyên?
Giải:
+ Nếu M x y ; E các điểm x y; ; x;y ; x; y cũng thuộc E
Như vậy ta chỉ xét M x y 0; 0 với x y0, 0 0 ; x y0, 0
0 0
2
2;1
M x y E
M
Vậy tìm được 4 điểm M nguyên thỏa mãn: M1 2;1 ;M22;1 ; M32; 1 ; M4 2; 1
Bài 2: Cho Elip : 2 2 1
x y
E Tìm điểm M E sao cho tổng hai tọa độ của M đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất?
Giải:
Gọi ; 2 2 1 *
x y
M x y E
Trang 7
2 2
2
4 10
4
8 2
10
x y
x y
x y
x
y
x y
x y
x y
2
10
5
;
10 5
M y
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip , : 2 2 1
25 9
x y
E và M 1;1 Viết phương trình đường thẳng đi qua
M và cắt E tại hai điểm A B, sao cho M là trung điểm của AB ?
Giải:
Thay M 1;1 vào 2 2 12 12
x y
E M có vị trí nằm trong E
Gọi đường thẳng qua M 1;1 pt : yk x 1 1
Tọa độ giao điểm A B, của và E là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
1 1
25 9
1 1 2
y k x
Thế 2 vào 1 ta được:
25k 9 x 50k k1 x25 k 2k9 0 3
Để E tại 2 điểm phân biệt A B, 3 có 2 nghiệm phân biệt
' 0 25k k 1 25k 9 25 k 2k 9 0
3
có hai nghiệm phân biệt k
k k
k
Trang 8
9
25
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 9x25y340
Bài 4: Cho Elip 2 2
4
x
E y và điểm 2 2;
3 3
Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt E
tại 2 điểm A B, sao cho MA2MB?
Giải:
Thay 2 2;
3 3
vào
2
2 2
2 3
1
có vị trí nằm trong E Nếu E tại A B, M thuộc đoạn thẳng AB hay MA 2MB
0; 0 0 1 0 4 0 4 0 1
4
x
B x y E y x y
Có
0
0 0 0
2
2 2
2 2
2
A
A B A
2 2
4
x
Từ 1 , 2 ta có hệ phương trình:
2 2
0 0
2
0
1
2
0 0
0
0
0;1
x
B
y
8 3
;
5 5 5
B
1
0;1
qua B B
VTCP u MB VTPT n
Trang 9
1:1 0 2 1 0 2 2 0
+ Với
1
2
8 3
;
5 5
8 3
;
qua B B
2
Vậy có hai phương trình thỏa mãn: 1
2
x y
Bài 5: Cho Elip : 2 2 1
16 9
x y
E và đường thẳng d: 3x4y120, d cắt E tại hai điểm A B, Tìm tọa độ điểm C E sao cho ABC có diện tích bằng 6
Giải:
,
A B d E Tọa độ A B, là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2 2
1
16 9
4;0 ; 0;3
hoặc A 0;3 ; B 4;0
4;3
5 4; 3
4; 0
: 3 4 12 0 3; 4
AB
AB
qua
Gọi ; 2 2 1 1
16 9
a b
C a b E
3 2
5
ABC
4
a
a b b
thay vào 1 ta được:
Trang 10 2
2
24 3
a
a
2
153a 2304a 9072 0
(phương trình vô nghiệm)
4
a
thay vào 1 ta được:
2
1 2
2
3
9 4
3 2
2 8
a
C
a
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn: 1 2 2; 3 2 ; 2 2 2;3 2
Bài 6: Cho Elip : 2 2 1
25 9
x y
E và đường thẳng thay đổi có phương trình tổng quát: AxBy C 0 luôn thỏa mãn: 2 2 2
25A 9B C Tính tích khoảng cách từ 2 tiêu điểm F F1, 2 đến
Giải:
2 2
1 2 2 2
16
d d
A B
Thế 25A29B2 C2 vào 1 ta được:
d d
Vậy tích khoảng cách từ 2 tiêu điểm F F1, 2 đến bằng 9