13 bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn tiết 1

Cách biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn + Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của bất phương trình được biểu diễn bởi một điểm.. Tương tự bất phương trình bậc nh

A BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Định nghĩa

+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

ax by c   ax by c   ax by c   ax by c  

Trong đó a, b, c là các số cho trước sao cho 2 2

0

a b  , x, y là các ẩn số

+) Mỗi một cặp số x y0; 0 thay vào sao cho thu được 1 mệnh đề đúng gọi là một nghiệm của bất phương trình

Ví dụ:

   

   

     

 

2 1 0, 0; 0 ; 2;1 ;

2, 1;1 ; 2; 0 ;

3 0, 1; 0 ; 1;3 ; 2;3 ;

2 1, 1; 1 ;

x y

x y

x

y

  

  

 

  

2 Cách biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

+) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của bất phương trình được biểu diễn bởi một điểm Tương tự bất phương trình bậc nhất một ẩn, bất phương trình bậc hai một ẩn cũng có vô số nghiệm Tập hợp nghiệm

ấy được biểu diễn bởi 1 tập hợp điểm và gọi là miền nghiệm của bất phương trình

+) Định lí: Người ta chứng minh được trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng :d ax by c chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó được gọi là miền nghiệm của bất phương trình

ax by c , nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình ax by c (kể cả bờ là đường thẳng d )

Ví dụ:

Xét điểm O 0; 0 Thay x0, y     0 0 0 1 0 Miền tô sọc là

miền x  y 1 0 là miền không to sọc là miền x  y 1 0

+) Ta suy ra

Nếu M x y 0; 0 là một nghiệm của bất phương trình

  0

ax by  c d thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa M là miền

BÀI GIẢNG: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MÔN TOÁN LỚP 10 THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

* Phương pháp biểu diễn hình học tập nghiệm (biểu diễn tập nghiệm) của bất phương trình

ax by c

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng :d ax by c

Bước 2: Lấy 1 điểm M x y 0; 0d (thường chọn O 0; 0 )

Bước 3: Thay M x y 0; 0 vào bất phương trình và so sánh:

+) Nếu thấy đúng: ax0by0  c Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm M

+) Nếu thấy sai: ax0by0  c Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm M

Chú ý: Đối với các bất phương trình ax by c miền nghiệm có kể cả bờ

Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm các bất phương trình sau:

a) 2x y 3

Bước 1: Vẽ đường thẳng  d : 2x y 3

Cho x   0 y 3

0

2

y  x

Bước 2: Lấy O 0; 0 d thay vào BPT: 0 0 3 (đúng)

Bước 3: Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  d có chứa điểm O (miền

không gạch sọc, có kể bờ d)

b) 2x y 2

Bước 1: d: 2x y 2

Bước 2: Lấy điểm O 0; 0 d thay vào bất phương trình ta có 02 (đúng)

Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc có chứa điểm O và có kể

bờ d

c) 2y 3 0 3

2

y

  

2

d y 

Bước 2: Lấy O 0; 0 d thay vào bất phương trình ta có 0 3

2

  (đúng)

Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc có chứa điểm O

và không kể bờ d

d) 2x 1 0 1

2

x

 

2

d x

Bước 2: Lấy O 0; 0 d thay vào bất phương trình ta có 1 0  (đúng)

Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc có chứa điểm O và

không kể bờ d

e) 2x y 0

Bước 1: d: 2x y 0

Bước 2: Lấy M 1; 0 d thay vào bất phương trình ta có 20 (đúng)

Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc có chứa điểm M và có

kể bờ d

Bài 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm các bất phương trình sau:

a) 2x    y 1 2x y

 

x y

Bước 1: Vẽ d: 4x y 2

x 0 1/2

Bước 2: Lấy O 0; 0 d thay vào bất phương trình (1) ta có 02 (sai)

có kể bờ d

b) x 2 2y 1 2x4

 

Bước 1: Vẽ d: x 2y8

x 0 -8

Bước 2: Lấy O 0; 0 d thay vào bất phương trình (2) ta có

08 (sai)

Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc không

chứa điểm O và không kể bờ d

x y  x y

 

3x 6y 4x 2y 2 x 8y 2 x 8y 2 3

Bước 1: Vẽ x8y 2

x 0 -2

Bước 2: Lấy O 0; 0 d thay vào bất phương trình (3) ta có 0 2

(sai)

Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc không chứa

điểm O và không kể bờ d

B – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Định nghĩa

* Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn gồm 1 số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải đi tìm nghiệm

chung của chúng Mỗi nghiệm chung đó là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

* Tương tự bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm (miền nghiệm) của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2 0

x y



   

0

0

3 0

x y

x y x y

 



  



 



  



,

0

3 0

x y x y

  



 



  



1

x

y





 



2 Phương pháp tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

* Bước 1: Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại

* Bước 2: Sau khi làm như trên lần lượt với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng

tọa độ, miền chung còn lại không bị gạch là miền nghiệm của hệ đã cho

Chú ý:

* Miền nghiệm có bờ là các đường thẳng đã vẽ chỉ lấy bờ nếu bất phương trình trong hệ có dấu “=”

* Miền nghiệm có thể kín như một đa giác hoặc hở Trong trường hợp là đa giác kín, đề có thể hỏi tìm cực trị (Max, Min) của 1 biểu thức F ax by các cực trị xảy ra tại một đỉnh của đa giác kín

Bài tập áp dung

Bài 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  

 

x y

x y

  





  

Giải

Bước 1: Vẽ hai đường thẳng  d1 :x y 2, d2 : x3y 3

x 0 -2

x 0 -3

Bước 2: Thay O 0; 0 d d1, 2 vào (1), (2) ta có  

 

2 0

3 0

sai sai

 







Bước 3: Vậy O không thuộc miền nghiệm của cả 2 bất phương trình

Bài 4: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  

2 0

x y

H x y

x y

  



   



   



Tìm x y;  thỏa mãn

 H sao cho F 2x3y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Giải

Bước 1: Vẽ d1: x  y 2, d2:x y 1,d3: 2x  y 1

x 0 -2

Bước 2: Thay O 0; 0 d d1, 2,d3 vào hệ ta có

 

 

 

2 0

1 0

1 0

sai

dung

dung







 



 



Bước 3: Vậy O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) và thuộc miền nghiệm của bất phương

trình (2) và (3)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là tam giác ABC, miền này không chứa O có kể bờ là các đoạn

thẳng AB, BC, CA

b) Ta có:

 

 

1 2

2 3

3 1

;

2; 3 1; 1

A d d A

B d d B

C d d

     

    

    

  11    

2

F A   F B   F C  

Vậy Fmax F   1; 1 5, Fmin F   2; 3 13

Bài 5: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  

 

 

 

 

x y

x y H

x y

 





 









 



+ Biết miền nghiệm của hệ đã cho là 1 tứ giác kín Tính diện tích tứ giác ấy

+ Tìm GTLN của F x y ; 2xy với x y;  thuộc miền nghiệm  H

Giải

Bước 1: Vẽ d1: 3x y 6, d2: x y 4,

d x truc Oy d y truc Ox

x 0 -2

Bước 2: Lấy O 0; 0 d d1, 2, Od d3, 4 vào hệ ta có

 

 

 

 

dung dung

dung dung

Bước 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác

OABC (miền không bị gạch) chứa O, có kể bờ là các đoạn

thẳng OA, AB, BC, CO

Kẻ BH Oy H Oy

Ta có O       0; 0 , A 2; 0 , B 1;3 ,C 0; 4

+) F x y ; 2xy x y ; H

  0,   4,   5,   4

F O  F A  F B  F C 

Vậy Fmax F B 5