+ Giải bất phương trình là tìm ra tất cả các nghiệm Tập nghiệm S của bất phương trình đó Biểu diễn S trên trục số.. BÀI GIẢNG: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN CHUYÊN ĐỀ:
Trang 1A ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1 Khái niệm bất phương trình một ẩn
* Định nghĩa
+) Cho hai hàm số y f x , yg x có TXĐ D f, D Đặt g DD f D g
+) Mệnh đề chứa biến có 1 dạng trong 4 dạng sau: f x g x , f x g x , f x g x , f x g x
gọi là bất phương trình một ẩn x, x là ẩn, D = tập xác định của bất phương trình
+) Số thực x0D gọi là một nghiệm của bất phương trình f x g x nếu nó thỏa mãn f x 0 g x 0 là mệnh đề đúng
+) Giải bất phương trình là tìm ra tất cả các nghiệm (Tập nghiệm S) của bất phương trình đó (Biểu diễn S
trên trục số)
Ví dụ 1:
1) 2 1 2 1
:
2) 2 1 2
TXD D
x
Với điều kiện trên 2 x 3 x 9
Vậy S 0;9
3) 1 2
ĐKXĐ: 1 0 1 ; 2 \ 1
D
4) x2 1 2x
TXĐ: D
4 x 2x 1 0 x1 0 (luôn đúng)
Vậy S
BÀI GIẢNG: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MÔN TOÁN LỚP 10
THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
Trang 22 Bất phương trình tương đương
* Định nghĩa
+) Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm/
+) Kí hiệu: f x1 g x1 f2 x g2 x ,S1S2
* Chú ý: Khi muốn hiểu 2 bất phương trình có cùng TXĐ D và tương đương với nhau, ta nói 2 bất phương
trình tương đương trên D hay với điều kiện D, 2 bất phương trình là tương đương nhau
Ví dụ 2: Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) x x 2 x 2 x 0
b) 2
x x
c) x23x 2 2 x2 3x0
d) với điều kiện 2, 1 1 2
2
x
Giải
a) D1 2;,D2 Khẳng định a) sai
Sửa lại x x 2 x 2 x 2
b) D1 1;
Với xD1 1 x 1 1 x 2
Kết hợp điều kiện 1 x 2 S1 1; 2
2
D
Với xD2 thì 2 x 2 S2 ; 2
1 2
S S
Khẳng định b) sai
c) D1
1 x 3x 0 x 3x0 2 Khẳng định c) đúng
d) Khẳng định d) đúng
3 Biến đổi tương đương các bất phương trình
+) Phép biến đôi tương đương biến 1 bất phương trình thành 1 bất phương trình tương đương với nó
Trang 3Ví dụ: Việc biến đổi đồng nhất ở mỗi vế bất phương trình và giữ nguyên TXĐ là 1 phép biến đổi tương đương
+) Một số phép biến đổi tương đương:
Cho bất phương trình f x g x , TXĐ: D, y f x xác định Khi đó trên D, f x g x tương đương với:
1) f x h x g x h x
2) f x h x g x h x nếu h x 0 x D
3) f x h x g x h x nếu h x 0 x D
Ví dụ 3:
1) x 2 x 2 0 (đúng) 2) 2 3 0 2
3
(đúng)
3) 2 2
x x x x (sai) Vì thiếu ĐK: 0 0 0 3
x
4) x 1 1 1 x 1
(sai) Vì thiếu điều kiện x0
Hệ quả: f x g x , TXĐ D
1) 3 3
2)
2 2
0 0
Ví dụ 4: x2 1 x 1
4 Chú ý:
+) Khi biến đổi 2 vế bất phương trình thì D có thể bị thay đổi Sau khi giải ra tập giá trị x ta cần kết hợp với
điều kiện để đưa ra tập nghiệm cuối cùng
+) Khi nhân (chia) 2 vế bất phương trình cho 1 biểu thức, ta lưu ý dấu của f x Nếu f x nhận cả giá trị dương lẫn âm thì phải xét từng trường hợp Mỗi trường hợp sẽ là một hệ bất phương trình riêng Giải xong
ta hợp kết quả lại
Ví dụ 5:
Trang 4a) 1 1
1
TH1: 1 0 1 1 2
x
TH2: 1 0 1
(vô lí)
Vậy 1 x 2
b) 1 2
2
x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 2;
c) x x 1 x 3x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 0;1
+) Khi giải P x Q x mà phải bình phương 2 vế
Ta xét 2 trường hợp sau đây:
1)
0
0
P x
Q x
2)
0
0
P x
Q x
Ví dụ 6: Giải bất phương trình x2 3 x 1
TH1: 2 3 0
1
1 0
x
Trang 5TH2:
2
3 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S
Ví dụ 7: Giải bất phương trình 2x2 1 3 x
2
2
2 1 0
3 3
6 8 0 3 17 3 17
2 1 9 6
x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình S 3 17; 3 17
5 Bất phương trình chứa tham số
+) Trong bất phương trình f x m , 0 thì x là ẩn, m là tham số (hằng số)
+) Giải và biện luận bất phương trình là xét từng trường hợp có nghiệm và tìm các nghiệm đó
Ví dụ: 2
2m1 x 3 0, x mx 1 0
B – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
* Hệ bất phương trình ẩn x gồm 2 hay nhiều bất phương trình ẩn x mà ta cần đi tìm tập nghiệm chung của
chúng (giao)
+) Một giá trị x thỏa mãn tất cả các bất phương trình là một nghiệm của hệ bất phương trình
+) Để giải hệ bất phương trình, ta giải từng bất phương trình rồi kết hợp các tập nghiệm
Ví dụ 8: Giải hệ bất phương trình:
a) 1 0 1 1 3 1;3
b)
5 3
1
1 0
1
x x
x
x x
x
3
3; 2 2;3 2
2
2
x x
S x
x
x