Tổ 9 đợt 2 đề THI HSG 12 điện BIÊN năm học 2018 2019 (1)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C biết tiếp tuyến đó song song với d.. Xác định số phần tử của S.. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn.. Tìm

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH ĐIỆN BIÊN NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN TIME: PHÚT

ĐỀ BÀI Câu 1 (6,0 điểm)

1 Cho hàm số

2 3 2

x y x





  C

và đường thẳng :d x y 1 0 Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị  C

biết tiếp tuyến đó song song với d

2 Tìm m để hàm số y x 3 3mx23m2 1x m 2

đồng biến trên khoảng 2;.

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

2sin ( )

x

f x





2 Giải hệ phương trình

3 3 3 2 2 2 2 15 10 0

;

x y











Câu 3 (4,0 điểm)

1 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các số 0; 1; 2; 3;

4; 5; 6; 7 ; 8; 9 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số

được chọn là số chẵn

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A0;9, B3;6 Gọi D là miền nghiệm của hệ

phương trình

6 3 5 0

x y a

  





 Tìm tất cả các giá trị của a để ABD

Câu 4 (4,0 điểm)

1 Cho hình chóp .S ABC Trên các đoạn thẳng lần lượt lấy các điểm ', ', ' A B C khác với S

Chứng minh rằng:

' ' '

S ABC

S A B C

V SA SB SC

V =SA SB SC

2 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD , có AB=a SA, =a 3 Gọi O là giao điểm của AC và

BD , gọi G là trọng tâm tam giác SCD

a) Tính thể tích khối chóp OGCS

b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SBC )

c) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BG

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Cho phương trình m2 x x 21  x2m 6x1 0 1  

Tìm các giá trị của m để phương trình  1

có nghiệm thực

2 Cho đa thức f x  x4ax3bx2ax có nghiệm thực Chứng minh rằng1

4 1 0

a b  b 

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (6,0 điểm)

1 Cho hàm số

2 3 2

x y x





  C

và đường thẳng :d x y 1 0 Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị  C

biết tiếp tuyến đó song song với d

2 Tìm m để hàm số y x 3 3mx23m21x m 2

đồng biến trên khoảng 2;

Lời giải

Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn

1 :d x y 1 0  d y x:   1  d có hệ số góc k  d 1

Xét hàm số

2 3 2

x y x





 có:

+ Tập xác định D \ 1 

+  2

1 , 1 1

x

Gọi đường thẳng  là tiếp tuyến của  C

tại điểm

0 0 0

2 3

; 1

x

M x

x



  (với x  ).0 1

 có hệ số góc là  0 2

1 1

k x

 



và phương trình    

0

2 3 1

1

x





+ Giả sử / /d ta được k k d  0 2

1

1 1

x



0 0

0 2

x x





  

+ Thử lại:

 x 0 0 :y x   thỏa mãn / /d3 

 x 2 :y x     không thỏa mãn.1 d

Vậy tiếp tuyến cần tìm là : y x  3

3 6 3 1 ,

y  x  mx m    x

1

0

1

x m y

x m

 



     

 ( Hai nghiệm phân biệt với mọi m) + Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng 2;  2;  m 1;   m 1 2 m 1

Vậy giá trị của m cần tìm là: m  1

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

2sin ( )

x

f x





2 Giải hệ phương trình

3 3 3 2 2 2 2 15 10 0

;

x y











Tác giả: Phạm Trung Khuê ; Fb: Phạm Trung Khuê

Lời giải

1 Ta có

2

Khi đó

2

x

f x

8

2 sin x

 Do đó 0  f x ( ) 4 

Ta có f x( ) 0  sinx 0 x k  k ,

2

2

f x   x  x  x  k k 

Vậy giá trị nhỏ nhất của f x ( ) là 0 đạt được khi x k  k , giá trị lớn nhất của f x ( ) là 4

đạt được khi 2  

2

x  k k 

2 Điều kiện:

3 2

x y









Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

x 233x 2  y 133 y 1  1

Xét hàm số f t( ) t3 3 ,t t  

Khi đó ta có f t'  3t2 3 0,  t Do đó f t ( ) là hàm đồng biến trên 

Nên phương trình  1 trở thành f x  2 f y  1  x 2 y 1 y x  1

Thay y x   1 vào phương trình thứ hai ta được:

2 3 x 2x 2 3 x  x 1

2

1 1

2 2

1

x x

x x

x x x

x









Với x  thì 2 y  1 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x y ;  2;1

Câu 3.(4,0 điểm)

1 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các số 0 ; 1 ; 2 ;

3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất

để số được chọn là số chẵn

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A0;9

, B3;6

Gọi D là miền nghiệm của hệ

phương trình

6 3 5 0

x y a

  





  

 Tìm tất cả các giá trị của a để ABD

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thanh Việt ; Fb: Nguyễn Thanh Việt

1 Số phần tử của tập S là n S   9.9.8.7.6 27216.

Gọi số chẵn thuộc tập S có dạng abcde a  0.

Nếu e {2;4;6;8}, trường hợp này ta có: 8.8.7.6.4 10752 số

Nếu e  , trường hợp này ta có: 9.8.7.6 30240  số

Vậy xác suất cần tìm là:

10752 3024 13776 41

27216 27216 81

2 Phương trình đường thẳng AB x y:   9 0

Trường hợp 1: Nếu AB là đường thẳng.

Xét hệ

2

 





 

Dễ thấy điểm C7;2AB

nhưng C D vì

12 12

48

5 48

5

a a

a







Trường hợp 2: Nếu AB là đoạn thẳng Ta thay y 9 x x 0;3 

vào hệ

2

 





 



Ta được:

9 3

3 27

9 3

3 27

5 5

x

x a

 



 



 







(*) (*) đúng 0;3 27 0

5

Vậy

27

0

5 a

  

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4 (4,0 điểm)

1 Cho hình chóp .S ABC Trên các đoạn thẳng lần lượt lấy các điểm ', ', ' A B C khác với S

Chứng minh rằng:

' ' '

S ABC

S A B C

V SA SB SC

V =SA SB SC

2 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD , có AB=a SA, =a 3 Gọi O là giao điểm của AC và

BD , gọi G là trọng tâm tam giác SCD

a) Tính thể tích khối chóp OGCS

b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SBC )

c) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BG

Lời giải

1

Gọi ,H H lần lượt là hình chiếu vuông góc của , '' A A trên ( SBC )

Ta có ' '

AH =SA

' '

.sin ; ' '.sin

Khi đó

·

S ABC A SBC SBC

·

' ' ' ' '.SC'.sin

S A B C A SB C SB C

Vậy

' ' '

S ABC

S A B C

V AH SB SC SA SB SC

V =A H SB SC =SA SB SC

2.

a) Ta có

2;

2

a

AC=a SO= SA - OA =

Gọi M là trung điểm của CD

Khi đó

3

S OCM

a

V = SO OM MC=

.

.

2 3

S OCG

S OCM

V =SM =

Suy ra

3

S OGC S OMC

a

b) Ta có

( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

Gọi H là trung điểm BC , K là hình chiếu vuông góc của O trên SH

10 5

10

22

a

a

d G SBC = d O SBC =

c) Gọi I là giao của BD và AM , I là trọng tâm tam giác ADC

Suy ra IG SA nên góc giữa hai đường thẳng ,/ / SA BG bằng góc giữa hai đường thẳng , IG BG

Ta có

IG= SA= BI= BG=

BG IG BI IGB

BG IG

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Cho phương trình m2 x x 21  x2m 6x1 0 1  

Tìm các giá trị của m để phương trình  1

có nghiệm thực

2 Cho đa thức f x  x4ax3bx2ax có nghiệm thực Chứng minh rằng1

a b  b 

Lời giải

Tác giả: Minh Hạnh; Fb: fb.com/meocon2809

Câu 5.1.

Điều kiện: x 0

- Với x 0 thì phương trình vô nghiệm

- Với x 0, Phương trình    

Đặt

2

2 2

2 1

1

t x

x

 





Ta được phương trình mới theo ẩn phụ:    

2

1

t

 

Xét hàm số

 

 

2

4

0







Bảng biến thiên

2



Nhìn bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm  m2

Câu 5.2

Giả sử đa thức đã cho có nghiệm trong trường hợp a2b2 4b  1 0

Ta có: a2b2 4b  1 0 a2b 22 3 1 

Vì x 0 không là nghiệm của phương trình f x   0 nên:

2

2

                      

Đặt

1

t x

x

 

thì phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi t2at b  2 0 có nghiệm thỏa mãn t 2

Xét hàm số g t   t2 at b  2

Ta có:   2 ,   0

2

a

g t  t a g t    t 

Như (1) trên thì  2; 2

2

a



 

Do đó ta có bảng biến thiên

t   2 2 

 

 



Phương trình có nghiệm thì

 

 

a b

a b

   





  



Những điểm M a b ; thoả (1) thì nằm bên trong hoặc biên đường tròn tâm I0;2 và bán kính bằng 3

Những điểm N a b ; 

thoả mãn (2) và (3) là những điểm thuộc phần không chứa gốc tạo độ của

các đường thẳng

x y

x y

   



   



Những phần đó theo hình vẽ là không có điểm chung, vì vậy ta có mâu thuẫn

Ta có điều phải chứng minh: Nếu đa thức đã cho có nghiệm thì a2b2 4b  1 0

Chú ý: Bài có thể giải nhanh như sau:

4

2

1

1

t

t

                 



