1,0 điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm E, gọi G là trọng tâm tam giác ABE.. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉ
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
Đề thi gồm 02 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y=x +3x - 9x 1+
có đồ thị là
( )C Gọi A,B là hai điểm cực trị của
( )C Tính diện tích của tam giác OAB, trong đó O là gốc tọa độ
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
2
y=2x+m x +4x+6
có cực tiểu
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình
3
2sin sin cos 2
0 tan 1
x
−
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình
( )
2
+ − = −
có nghiệm
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD
có đáy ABCD
là hình thang vuông tại A và B, ,
AB=BC =a AD=2a
, SA=2a
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SCD)
b) Cho M là điểm nằm trên cạnh SA
sao cho SM = x, 0( < <x 2a)
Mặt phẳng (BCM)
chia hình chóp thành hai phần có thể tích 1
V
và 2
V
(trong đó 1
V
là thể tích của phần chứa đỉnh S
)
Tìm x để
1 2
1 2
V
V =
Câu 4 (1,0 điểm) Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua
được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3
bước Tính xác suất để sau 3
bước đi quân vua trở về ô xuất phát
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy
, cho hình vuông ABCD tâm E, gọi G là trọng tâm tam giác ABE Điểm K(7; 2− )
thuộc đoạn ED sao cho GA GK=
Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AB, biết đường thẳng AG có phương trình 3x y− − =13 0
và đỉnh A
có hoành độ nhỏ hơn 4
Câu 6 (1,0 điểm) Cho dãy số { }u n
xác định bởi 1 ( 2 )
1
3 1
2
u
=
Ta thành lập dãy số { }v n
với
n
n
v
= + +…+
Chứng minh rằng dãy số { }v n
có giới hạn
và tính giới hạn đó
Câu 7 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x y≥ ; x z≥ ; x2+9yz xz≤ +9xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Trang 3
Lời giải Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y=x +3x - 9x 1+
có đồ thị là
( )C Gọi A,B là hai điểm cực trị của
( )C Tính diện tích của tam giác OAB, trong đó O là gốc tọa độ
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
2
y=2x+m x +4x+6
có cực tiểu
Lời giải
a)
+) Tập xác định
ê =-ë
¡
+)
( )C
có hai điểm cực trị là A( 3;28),B(1; 4)- -+)
OAB
1
OA ( 3;28),OB (1; 4) S | 3 ( 4) 1.28 | 8
2
b)
+) Tập xác định
2
x 2
x 4x 6
¡
+) Ta có: Hàm số có đạo hàm liên tục trên ¡
nên hàm số có cực tiểu thì phương trình y'=0
phải có nghiệm
+) Xét phương trình
2
2 x 4x 6
x 2
-+
Đặt
2
2 x 4x 6
x 2
Ta có
2 2
4
(x 2) x 4x 6
.Ngoài ra ta có x x
lim g(x) 2; lim g(x) 2
, từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
y=g x
như sau
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình y'=0
có nghiệm khi và chỉ m (Î - ¥ -; 2) (2;È +¥ ) +) Xét trường hợp 1 m>2
Phương trình y'=0
có nghiệm duy nhất 0
x , khi đó ta có:
xlim y' 2 m 0; lim y'x 2 m 0
®+¥ = + > ®- ¥ = - <
nên ta có bảng biến thiên của hàm số có dạng
Trang 4Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có cực tiểu.
+) Trường hợp 2 m<- 2
suy luận tương tự ta suy ra hàm số chỉ có cực đại, không thỏa mãn Vậy m > 2
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình
3
2sin sin cos 2
0 tan 1
x
−
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình
( )
2
+ − = −
có nghiệm
Lời giải
Tác giả: Nhóm 4 - Tổ 8 nhóm toán team toán vd - vdc
a) Điều kiện:
tan 1 0 cos 0
x x
− ≠
4
2
π π
π π
≠ +
⇔
≠ +
, k∈¢
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
3
2sin x−sinx+cos 2x=0 ⇔sinx(2sin2x− +1) cos 2x=0
sin cos 2x x cos 2x 0
⇔ − + = ⇔(sinx−1 cos 2) x=0
sin 1 cos 2 0
x x
=
⇔ =
2 2
π π
= +
⇔
= +
Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình thì phương trình đã cho có nghiệm 3
4
x= π +kπ
, k∈¢
b) Ta có
( )
2
+ − = −
2
2
2
⇔
Trang 5
Đặt
2
a x= +x
, b=2x y−
với điều kiện
4
a x= + ≥x
Hệ phương trình đã cho có dạng
1 2
a b m
=
+ = −
Suy ra a, b
là hai nghiệm của phương trình t2− −(1 2m t m) + =0 ( )*
Hệ ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( )*
có nghiệm
1 4
t≥
Ta có ( )* m 2 1t2 t g t( )
t
− +
+
,
1
; 4
∈ − +∞÷
( )
( )
2 2
2 1
g t
t
+
( ) 0
g t′ = ⇒ −2t2− + =2t 1 0
( )
2
2
t t
− −
=
⇔
− +
=
lo¹i
(tháa m·n)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên trên suy ra
2
m≤ −
Câu 3. Cho hình chóp S ABCD
có đáy ABCD
là hình thang vuông tại A và B, AB=BC =a, 2
AD= a
, SA=2a
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SCD)
-+
Trang 6b)Cho M là điểm nằm trên cạnh SA
sao cho SM =x, 0( < <x 2a)
Mặt phẳng (BCM)
chia hình chóp thành hai phần có thể tích 1
V
và 2
V
(trong đó 1
V
là thể tích của phần chứa đỉnh S
)
Tìm x để
1 2
1 2
V
V =
Lời giải
Tác giả: Nhóm 4 - Tổ 8 nhóm toán team toán vd - vdc
a) Gọi ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB
và SC
Ta có BC⊥(SAB)⇒BC ⊥AH
Ngoài ra AH ⊥SB⇒AH ⊥(SBC)
Tương tựAK ⊥(SCD)
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SCD)
bằng góc giữa hai
đường thẳng AH và AK, hay
cos cos
2
HAK
AH AK
Ta có
, 5
AH
SB
3
AK
SC
Mặt khác ∆SHK : ∆SCB
nên
30
HK
SC
Trang 7
Vậy
15 cos
5
ϕ =
b) Mặt phẳng (BCM)
cắt cạnh SD
tại N
Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (BCM)
là hình thang BCNM
Gọi V
là thể tích khối chóp S ABCD
Ta có S BCNM. S BCM. S CNM.
;
.
1 , 3
S ABC
.
2 3
S ACD
Đặt
SM k SA
= suy ra:
.
.
1 3
S BCM
S BCM
S BCA
;
.
.
2
3
S CMN
S CMN
S CAD
Từ đó suy ra
2 1
V = k+ k V
Mà
1
1 2
V
V = ⇒ =
Suy ra
2
3V 3k 3k V k 2 x a
= + ÷ ⇒ = ⇒ =
Câu 4. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển
sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3
bước Tính xác suất để sau 3
bước đi quân vua trở về ô xuất phát
Trang 8Lời giải
Tác giả: Nhóm 4 - Tổ 8 nhóm toán team toán vd - vdc
Mỗi bước đi quân vua có thể đi đến 8
ô xung quanh, từ đó suy ra số phần tử của không gian mẫu là n( )Ω =83
Cách 1.
Gắn hệ trục Oxy vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ ( )x y;
Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm ( )x y;
đến điểm có tọa độ (x x y y+ 0; + 0)
0; 0 1;0;1 ; 0 0 0
Ví dụ nếu 0 0
1; 0
x = y = thì quân vua di chuyển đến ô bên phải, 0 0
x = − y = −
thì di chuyển xuống ô đường chéo Giả sử tọa độ ban đầu là ( )0;0
, thế thì sau 3
bước đi thì tọa độ của quân vua là (x1+ +x2 x y3; 1+ +y2 y3); , , , , ,x x x y y y1 2 3 1 2 3∈ −{ 1;0;1}
Để về vị trí ban đầu thì
0 0
+ + =
+ + =
Suy ra các bộ {x x x1; ;2 3}
và { y y y1; ;2 3}
là một hoán vị của {−1;0;1}
+) {x x x1; ;2 3}
có 6 cách chọn, với mỗi cách chọn {x x x1; ;2 3}
có 4 cách chọn {y y y1; ;2 3}
vì (x y i; i),i=1;3
không đồng thời bằng 0
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng 24 và xác suất cần tìm là
3
24 3
8 64
Cách 2.
Trang 9Nhận xét để quân vua trở về vị trí xuất phát sau 3
bước thì sau bước II quân vua phải ở một trong 8
ô xung quanh ô ban đầu
Từ đây quân vua có 4 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi chéo)
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát
Vậy số cách đi ở TH1: 4 4 1 16× × =
cách
Từ đây quân vua chỉ có 2 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi dọc)
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát
Vậy số cách đi ở TH2: 4 2 1 8× × =
cách
Xác suất cần tìm:
3
16 8 3
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy
, cho hình vuông ABCD tâm E, gọi G là trọng tâm tam giác ABE Điểm K(7; 2− )
thuộc đoạn ED sao cho GA GK=
Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AB, biết đường thẳng AG có phương trình 3x y− − =13 0
và đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 4
Lời giải
Tác giả: Nhóm 5 tổ 8 nhóm strong team toán vd – vdc.
Trang 10+) Ta có GA GB GK= =
nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK
·AGK 2·ABK 2.45 90
⇒ tam giác AGK vuông cân tại G +) Đường thẳng GK đi qua K(7; 2− )
và vuông góc với AG
Ta có G GK= ∩AG⇒G(4; 1− )
Do AG có phương trình 3x y− − =13 0
nên A t t( ;3 13 ,− ) t<4
Có GA GK= =d K AG( ; ) = 10
3
3 5
t t
t t
<
=
⇔ = → =
Vậy A(3; 4− )
+) Ta có
tan
3
MG MAG
AM
10
MAG
Gọi ( ) ( 2 2 )
nur= a b a +b >
là VTPT của đường thẳng AB và nuur2 =(3; 1− )
là VTPT của đường thẳng AG
Khi đó:
·
2 2
3
cos
a b MAG
−
+
b
ab b
=
⇔ + = ⇔ = −
+) Với 3a= −4b ⇒AB: 4x−3y−24 0=
Thấy d K AB( ; ) = <2 d K AG( ; ) = 10
(loại)
+)Với b= ⇒0 AB x: − =3 0
Ghi chú: Nếu học sinh công nhận hoặc ngộ nhận trong chứng minh các kết quả ở bước 1
và làm đúng các bước còn lại thì cho 0.5 điểm.
Câu 6. Cho dãy số { }u n
xác định bởi 1 ( 2 )
1
3 1
2
u
=
Ta thành lập dãy số { }v n
với
n
n
v
= + +…+
Chứng minh rằng dãy số { }v n
có giới hạn
và tính giới hạn đó
Trang 11Lời giải
Tác giả: Nhóm 5 tổ 8 nhóm strong team toán vd – vdc.
Ta dễ có
* 0,
n
1
Do đó dãy { }u n
tăng
Giả sử { }u n
limu n =a a, ≥ =3 u a, ∈¡
Cho qua giới hạn hệ thức
1
vô lý
Từ đó suy ra { }u n
không bị chặn và
1 lim n ,lim 0
n
u
u
= +∞ =
1
2
, (vì
u + >u >
)
4
v
Suy ra
1 4 1 17 lim
9 5 3 45
n
Câu 7. Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x y≥ ; x z≥ ; x2+9yz xz≤ +9xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Lời giải
Tác giả: Nhóm 5 tổ 8 nhóm strong team toán vd – vdc.
+/ Ta sẽ chứng minh:
Với mọi a b,
dương và ab≥1
thì
1 +1 ≥1
+a +b + ab
(*) Thật vậy:
1 0
⇔ a− b ab− ≥
(luôn đúng) Đẳng thức xảy ra khi a b=
hoặc ab=1
+/ Ta có: x2+9yz xz≤ +9xy⇔(x z x− ) ( −9y) ≤ ⇒ −0 x 9y≤0
vì x z≥ ⇒ − ≥x z 0
Trang 12Đặt
[ ]1;9
= ⇒ ∈x
y
Khi đó
Áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh, ta có:
1
y z
Xét hàm số
[ ]
+
t
có ( ) (2 )2 ( )2 [ ] 3
9
−
−
t
từ đó suy ra
18 (t) f(9)
5
P f
Dấu bằng xảy ra khi
2
9
3
=
=
x y
x z
z y
Vậy min
18 5
=
P
khi
9 3
=
=