Tổ 4 đợt 2 HSG lớp 10 TỈNH hải DƯƠNG 2018 2019

Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính PA PC.. Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK.. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy l

ĐỀHSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

ĐỀ Câu I (2,0 điểm)

1) Cho hàm số y x 2 4x3 có đồ thị  P Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng

d m:y x m  cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x thỏa mãn 1, 2

2

x  x 

2) Cho hàm số y(m 1)x2  2mx m 2 (mlà tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2)

Câu II (3,0 điểm)

 





 2) Giải phương trình x 3 1  x x 4 x 2x2 6x 3

3) Giải bất phương trình x3(3x2 4x 4) x 1 0

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0

Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính PA

PC .

2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi , , H E K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh

, ,

A B C Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK Biết

4

A B C 

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC cân tại A Đường thẳng AB có phương trình

3 0

x y   , đường thẳng AC có phương trình x 7y 5 0 Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh

BC, tìm tọa độ các đỉnh A B C, ,

Câu IV (1,0 điểm)

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu

và máy làm việc trong 1,5 giờ Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120

giờ Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất Câu V (1,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz xz  3

Chứng minh bất đẳng thức:

x   y   z  

HẾT

GIẢI CHI TIẾT ĐỀHSG LỚP 10

TỈNH HẢI DƯƠNG MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu I (2,0 điểm)

1) Cho hàm số y x 2 4x3 có đồ thị  P Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng

d m:y x m  cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x thỏa mãn 1, 2

2

x  x 

y m x  mx m  (mlà tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2)

Lời giải 1) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x  x  x m x  x  m  *

Xét theo yêu cầu bài toán thì phương trình  * có hai nghiệm phân biệt và khác 0

13

4

3

m

m





Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2  * Ta có:

Theo định lý Vi-ét: 1 2

1 2

5 3

x x





 

2

m   m (thỏa mãn)

2

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán

2) Với m 1 y2x3 Hàm số nghịch biến trên  nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2) Do đó m 1 thỏa mãn

Với m 1 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2) khi và chỉ khi

0

2a

a

b







      





2

Vậy 1m2 là giá trị cần tìm

1) Giải hệ phương trình:        

 







x  x x  x  x  x 3) Giải bất phương trình 3 2

x  x  x x 

Lời giải 1) Ta có:

x y x   2xy y 23 3x2y22  x3 y33x 3y3x23y2 2

         x13 y13  x1 y 1 y x  2

Thế y x  2 vào phương trình  2 ta được phương trình:

2

x x  x   x3 x2 2x12 0    2 

2

3

x





 



Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  3;1.

2) Điều kiện   1 x 4

Ta có

x 3 1  x x 4 x 2x2 6x 3

x 3  1 x 1 x 4 x 1 2x2 6x

x x

 

2 , 2

x x









Giải  1 :  3 0 0 

3

x

x





1 1

1 x 1 4 x1   VP Vậy  2 vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 0;3

3) Điều kiện x 1

Ta có:

* Xét x 1, thay vào (1) thỏa mãn

* Xét x  1 x 1 0 Chia hai vế của (1) cho  x 13 ta được bất phương trình

Đặt

1

x t

x



 , ta có bất phương trình t33t2 4 0  (t1)(t2)2   0 t 1

x





1

2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là: 1 5

1;

2

T    

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0

Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính PA

PC .

2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi , , H E K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh

, ,

A B C Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK Biết

4

A B C 

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC cân tại A Đường thẳng AB có phương trình

3 0

x y   , đường thẳng AC có phương trình x 7y 5 0 Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh

BC, tìm tọa độ các đỉnh A B C, ,

Lời giải 1)

Gọi I là trung điểm của BC Gọi AP k AC 

Lại có: GN GI IN  13AI BC 61AB AC AC AB 76 AC 65 AB

Mặt khác, do ba điểm , ,G P N thẳng hàng nên hai vector GP ,GN cùng phương Do đó:





1

3

6

k



AP AC AP AC

5

PC AC  PA 4

PC  .

2)

H

K

E A

Đặt S S ABC thì từ giả thiết suy ra

HCE EAK KBH

EAK KBH HCE

S

Ta có:

2

1

2

EAK

2

1 sin

1

2

2

1 sin

1

2

HCE EAK KBH S

3)

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 3 0 2



Phương trình đường phân giác của góc A là 3 7 5

x y  x y

2

( )

( )

d

d

x y





Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao

Trường hợp 1: Xét d là đường cao của tam giác 1 ABC kẻ từ A

+ Phương trình đường thẳng BC đi qua M là vuông góc với BClà 3x y  7 0

+ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 3 0 1 ( 1; 4)

B

+ Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

11

;

5

x

C

x y

y









MB   MC    MC MB M

nằm ngoài đoạn BC

Trường hợp này không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét d là đường cao của tam giác 2 ABC kẻ từ A

+ Phương trình đường thẳng BC là x3y 31 0

B

+ Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

101

;

5

x

C

y









MB  MC   MC MB M

thuộc đoạn BC

Vậy (2;1), ( 11;14), 101 18;

Câu IV (1,0 điểm)

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu

và máy làm việc trong 1,5 giờ Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một

Lời giải

Giả sử sản xuất ( )x kg sản phẩm loại I và ( ) y kg sản phẩm loại II.

Điều kiện x0,y0và 2x4y200 x2y100

Tổng số giờ máy làm việc: 3x1,5y

Ta có 3x1,5y120

Số tiền lãi thu được là T 300000x400000y (đồng)

Ta cần tìm ,x y thoả mãn:









(I) sao cho T 300000x400000y đạt giá

trị lớn nhất

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng d x1: 2y100; d2: 3x1,5y120

E

C

D B

A

y

Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm (100;0)1 A , cắt trục tung tại điểm (0;50)B .

Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm (40;0)2 C , cắt trục tung tại điểm D0;80.

Đường thẳng d và 1 d cắt nhau tại điểm 2 E20;40.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC

0

0 0

x

T y









50

x

T y









40

x

T y









40

12000000 0

x

T y











Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I

và 40kg sản phẩm loại II

Câu V (1,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz xz  3

Chứng minh bất đẳng thức:

x   y   z  

Lời giải

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 2

2 3

2 6 8

x



Tương tự, ta cũng có

2 3

2 6 8

y     ;

2 3

2 6 8

Từ đó suy ra:

2

*

a b





2





  a y b x x y2  2    xy a b  2  ay bx 2 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

xy.

Áp dụng bổ đề ta có:

2

x y

2

x y z

 



2

x y z

 



Do x2y2z2 (x y z  ) 18 x y z  2 x y z   2xy yz zx  18

x y z2 x y z 12 0

Nên  3  2(x y z  )2x2y2z2 (x y z  ) 18

Mặt khác, do x y z, , là các số dương nên ta có: x2y2z2 xy yz zx  3 và

x y z   xy yz zx  

Nên bất đẳng thức (4) đúng

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1

HẾT