Phân tích dao động và chẩn đoán kết cấu dầm bằng vật liệu cơ tính biến thiên có nhiều vết nứt

Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu xây dựng được một mô hình dao động của kết cấu dầm bằng vật liệu FGM có nhiều vết nứt theo phương pháp độ cứng động lực là một phát triển gần đây của ph

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Mã số: 9520101

LUẬN ÁN TIẾN SỸ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VĂN LIÊN

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN

Luận án ―Phân tích dao động và chẩn đoán kết cấu dầm bằng vật liệu

cơ tính biến thiên có nhiều vết nứt‖ là kết quả nghiên cứu trong thời gian vừa qua của Tác giả dưới sự hướng dẫn của GS.TS Trần Văn Liên (Trường Đại học Xây dựng) Luận án nhằm giải quyết một số vấn đề đặt ra khi phân tích

và chẩn đoán hư hỏng của kết cấu dầm làm bằng vật liệu cơ tính biến thiên

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Trường Đại học Xây dựng, Khoa Đào tạo Sau Đại học, Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Bộ môn Sức bền vật liệu, các nhà khoa học, đặc biệt là GS.TS Trần Văn Liên đã hướng dẫn nghiên cứu và tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành Luận án

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TS Trần Văn Liên, và đây là sự hiểu biết và sự tin tưởng nhất của tôi Các số liệu, kết quả được đưa ra trong luận án là trung thực và chưa từng được tác giả khác công bố trong các tài liệu

Hà nội, ngày … tháng … năm 2019

Tác giả luận án

Ngô Trọng Đức

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

LỜI CAM ĐOAN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT vii

1 Các ký hiệu vii

2 Các chữ viết tắt ix

DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ x

1 Danh mục các bảng x

2 Danh mục các sơ đồ x

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ xi

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do lựa chọn đề tài 1

2 Mục đích, mục tiêu nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Nội dung nghiên cứu 4

6 Cơ sở khoa học 4

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 5

8 Những kết quả mới đạt được 5

9 Cấu trúc luận án 5

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 7

1.1 Tổng quan về đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình 7

1.1.1 Sự cần thiết phải tiến hành SHM 7

1.1.2 Các cấp độ SHM 8

1.1.3 Những thành phần cơ bản của hệ thống SHM 8

1.1.4 SHM dựa vào các đặc trưng động lực học 10

1.2 Vật liệu cơ tính biến thiên 11

1.2.1 Khái niệm về vật liệu FGM 11

1.2.2 Phân loại vật liệu FGM 12

1.3 Mô hình hóa hư hỏng 13

1.3.1 Mô hình kết cấu liên tục (hệ vô hạn bậc tự do) 13

1.3.2 Mô hình kết cấu rời rạc (hệ hữu hạn bậc tự do) 14

1.3.3 Mô hình tham số của kết cấu thanh không nguyên vẹn [12] 16

1.4 Mô hình vết nứt trong phân tích động lực kết cấu dầm 17

1.4.1 Các dạng vết nứt [16] 17

1.4.2 Mô hình suy giảm độ cứng theo hệ số tập trung ứng suất 18

1.4.3 Mô hình suy giảm độ cứng liên tục 20

1.4.4 Mô hình lò xo đàn hồi 22

1.5 Các nghiên cứu về phân tích kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt 25

1.6 Phương pháp độ cứng động lực trong phân tích kết cấu dầm 27

1.6.1 Khái niệm về phương pháp độ cứng động lực 27

1.6.2 Các nghiên cứu về phương pháp độ cứng động lực 28

1.7 Các phương pháp chẩn đoán hư hỏng dựa trên các đặc trưng động lực 30

1.7.1 Phương pháp dựa trên tần số dao động 31

1.7.2 Phương pháp dựa trên sự thay đổi dạng dao động riêng 32

1.7.3 Phương pháp đo đạc ma trận độ mềm 35

1.7.4 Phương pháp sử dụng phân tích wavelet 37

1.7.5 Phương pháp mạng trí tuệ nhân tạo 38

1.8 Định hướng nghiên cứu 41

1.9 Kết luận chương 1 41

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM CÓ NHIỀU VẾT NỨT 43

2.1 Dao động của dầm Timoshenko nguyên vẹn 44

2.1.1 Các hệ thức cơ bản 44

2.1.2 Phương trình vi phân dao động trong miền thời gian và miền tần số 45

2.1.3 Nghiệm phương trình vi phân dao động tự do 48

2.1.4 Nghiệm phương trình vi phân dao động cưỡng bức 50

2.2 Điều kiện liên tục tại vị trí vết nứt Mô hình hai lò xo tương đương 51

2.3 Dao động của dầm Timoshenko có nhiều vết nứt 53

2.3.1 Xác định ma trận hàm vết nứt G(x) và biểu thức chuyển vị Z c (x) 53

2.3.2 Tần số và dạng dao động riêng của dầm Timoshenko có nhiều vết nứt 55

2.3.3 Dao động cưỡng bức của dầm Timoshenko có nhiều vết nứt 57

2.4 Ma trận độ cứng động lực và véc tơ tải trọng quy về nút của phần tử dầm Timoshenko có nhiều vết nứt 57

2.4.1 Ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng quy về nút 58

2.4.2 Ghép nối và điều kiện biên 60

2.4.3 Phân tích kết cấu bằng phương pháp độ cứng động lực 61

2.5 Sơ đồ thuật toán và chương trình 63

2.5.1 Sơ đồ phân tích kết cấu bằng phương pháp độ cứng động lực 63

2.5.2 Sơ đồ khối chương trình được lập 64

2.6 Kết luận chương 2 66

CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DẦM BẰNG VẬT LIỆU FGM CÓ NHIỀU VẾT NỨT 67

3.1 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình được lập 67

3.1.1 So sánh kết quả tính tần số dao động riêng 67

3.1.2 So sánh kết quả tính dạng dao động riêng 69

3.2 Phân tích dao động của dầm FGM Timoshenko nguyên vẹn 71

3.2.1 Ảnh hưởng của vị trí trục trung hòa đến tần số dao động riêng 71

3.2.2 Ảnh hưởng của điều kiện biên đến tần số dao động riêng 71

3.2.3 Ảnh hưởng của tham số vật liệu FGM đến tần số dao động riêng 73

3.3 Phân tích dao động của dầm FGM Timoshenko có nhiều vết nứt 74

3.3.1 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt 74

3.3.2 Dạng dao động riêng của dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt 77

3.3.3 Dao động cưỡng bức của dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt 81

3.4 Phân tích dao động của dầm liên tục FGM có nhiều vết nứt 83

3.4.1 Tần số dao động riêng của dầm liên tục FGM có nhiều vết nứt 83

3.4.2 Dạng dao động riêng của dầm liên tục FGM có nhiều vết nứt 86

3.4.3 Dao động cưỡng bức của dầm liên tục FGM có nhiều vết nứt 92

3.5 Kết luận chương 3 94

CHƯƠNG 4: CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRÊN KẾT CẤU DẦM FGM BẰNG PHÂN TÍCH WAVELET VÀ MẠNG ANN 97

4.1 Chẩn đoán vị trí vết nứt bằng phân tích wavelet dừng 97

4.1.1 Cơ sở toán học của biến đổi wavelet 97

4.1.2 Một số họ wavelet thông dụng 100

4.1.3 Nhiễu đo đạc và khử nhiễu 101

4.1.4 Bộ công cụ phân tích wavelet của MatLab 103

4.1.5 Sơ đồ phương pháp chẩn đoán vết nứt bằng phân tích wavelet dừng các dạng dao

động hay chuyển vị động 104

4.1.6 Kết quả số chẩn đoán vị trí vết nứt bằng phân tích wavelet dừng 104

4.2 Chẩn đoán vết nứt bằng mạng trí tuệ nhân tạo 113

4.2.1 Nơ ron nhân tạo 113

4.2.2 Mạng trí tuệ nhân tạo 115

4.2.3 Phương pháp học và huấn luyện mạng 117

4.2.4 Bộ công cụ ANN của MatLab 118

4.2.5 Sơ đồ phương pháp chẩn đoán vết nứt bằng ANN 119

4.2.6 Kết quả số chẩn đoán vết nứt bằng ANN 120

4.3 Chẩn đoán vết nứt kết hợp phân tích SWT và ANN 124

4.3.1 Chẩn đoán vết nứt trên dầm công xôn FGM bằng ANN sử dụng phân tích SWT của dạng dao động riêng 125

4.3.2 Chẩn đoán vết nứt trên dầm công xôn FGM bằng ANN sử dụng phân tích SWT của chuyển vị cưỡng bức 126

4.4 Kết luận chương 4 127

KẾT LUẬN CHUNG 129

A Những kết quả mới chủ yếu đạt được của luận án 129

B Kiến nghị hướng phát triển tiếp theo của luận án 130

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN ĐÃ CÔNG BỐ 131 TÀI LIỆU THAM KHẢO 133

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

cA j Hệ số xấp xỉ trong biến đổi wavelet

cD j Hệ số chi tiết trong biến đổi wavelet

cD j Hệ số chi tiết tại mức j

f i Hàm truyền của nơ ron thứ i

G t Mô đun trượt hữu hiệu vật liệu lớp trên của dầm FGM (N/m2

)

G b Mô đun trượt hữu hiệu vật liệu lớp dưới của dầm FGM (N/m2

)

h Chiều cao dầm (m)

h 0 Khoảng cách từ trục trung hòa đến trục giữa dầm

I 11 Mô men khối lượng dọc trục

I 12 Mô men khối lượng tương hỗ trục - xoay

I 22 Mô men khối lượng xoay (của mặt cắt ngang)

L Chiều dài dầm (m)

U, W, Θ Biên độ chuyển vị dọc trục, chuyển vị uốn và góc xoay

u 0 , w 0 Các chuyển dọc trục, uốn trên trục trung hoà

w ki Trọng số thứ k của nơ ron thứ i

x k Đầu vào thứ k của nơ ron

y k Đầu ra thứ k của nơ ron

i Độ lệch của nơ ron thứ i

t Hệ số poisson của vật liệu mặt trên dầm FGM

b Hệ số poisson của vật liệu mặt dưới dầm FGM

 Tần số dao động (rad/s)

j , j Tần số riêng (rad/s) và dạng dao động riêng thứ j của kết cấu

*

j

 Tần số riêng đo được thứ j của kết cấu

[B0], [BL] Toán tử điều kiện biên bên trái, bên phải dầm

  Ma trận độ cứng động lực, véc tơ tải trọng quy về nút của phần

tử dầm FGM trong hệ tọa độ địa phương

ANN Mạng trí tuệ nhân tạo (Artificial neural network)

CDF Hệ số hƣ hỏng độ cong (Curvature Damage Factor)

CWT Biến đổi wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform)

COMAC Tiêu chuẩn bảo toàn tọa độ dạng (Co-ordinate Modal Assurance

Criterion) DIM Chỉ số hƣ hỏng (Damage Index Method)

DWT Biến đổi wavelet rời rạc (Discrete Wavelet Transform)

ĐCĐL Độ cứng động lực

FGM Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material)

MAC Tiêu chuẩn bảo toàn dạng (Modal Assurance Criterion)

MLP Mạng nhận thức nhiều lớp (Multilayer Layer Perceptron)

PTHH Phần tử hữu hạn

SHM Đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình (Structural Health

Monitoring) SWT Biến đổi wavelet dừng (Stationary Wavelet Transform)

SNR Tỷ số tín hiệu và nhiễu (Signal to Noise Ratio)

WT Biến đổi wavelet (Wavelet Transform)

DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ

1 Danh mục các bảng

Bảng 3.1 So sánh tần số không thứ nguyên i của dầm đơn giản thuần nhất 68

Bảng 3.2 Giá trị tỷ số giữa tần số dao động đầu tiên của dầm có nứt và nguyên vẹn 68

Bảng 3.3 So sánh tần số không thứ nguyên i của dầm đơn giản FGM 72

Bảng 3.4 So sánh tần số không thứ nguyên i của dầm hai đầu ngàm FGM 72

Bảng 3.5 So sánh tần số không thứ nguyên i của dầm công xôn FGM 73

Bảng 4.1: Kết quả chẩn đoán vị trí, độ sâu vết nứt dựa trên 1 tần số dao động riêng 120 Bảng 4.2: Kết quả chẩn đoán vị trí, độ sâu vết nứt dựa trên 2 tần số dao động riêng 120 Bảng 4.3: Kết quả chẩn đoán vị trí, độ sâu vết nứt dựa vào 3,4 tần số dao động riêng 121

Bảng 4.4: Kết quả chẩn đoán vị trí, độ sâu vết nứt dựa trên dạng dao động riêng 122

Bảng 4.5: Kết quả chẩn đoán vị trí, độ sâu vết nứt dựa trên chuyển vị cưỡng bức 124

Bảng 4.6: Kết quả chẩn đoán độ sâu vết nứt bằng ANN dùng dạng dao động riêng 125

Bảng 4.7: Kết quả chẩn đoán độ sâu vết nứt trên dầm FGM bằng ANN sử dụng chuyển vị cưỡng bức 127

Tổng số bảng: 12 2 Danh mục các sơ đồ Sơ đồ 2.1: Sơ đồ phân tích kết cấu dầm bằng phương pháp độ cứng động lực 64

Sơ đồ 2.2: Sơ đồ khối chương trình được lập trong MatLab 65

Sơ đồ 4.1: Sơ đồ phân tích SWT 103

Sơ đồ 4.2: Sơ đồ phương pháp chẩn đoán vết nứt bằng phân tích SWT 104

Sơ đồ 4.3: Sơ đồ phương pháp chẩn đoán vết nứt bằng ANN 119

Tổng số sơ đồ: 05

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Các thành phần của đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình 9

Hình 1.2 Phân loại kỹ thuật SHM dựa trên tần số ứng xử động của công trình 10

Hình 1.3: Tấm bằng vật liệu FGM 12

Hình 1.4 Mô hình dầm FGM có 1 vết nứt 13

Hình 1.5 Rời rạc hóa vết nứt theo phương pháp phần tử hữu hạn [168] 15

Hình 1.6: Mô hình vết nứt tính theo hệ số tập trung ứng suất (I(a) do lực kéo ngang, II(b) do cắt dọc trục I(c), II(d) do uốn và xoắn, III(e) do lực cắt ngang [16] 18

Hình 1.7 Mô hình phần tử thanh phẳng có vết nứt 19

Hình 1.8 Phần tử dầm thứ e với một sự thay đổi tam giác trong độ cứng 21

Hình 1.9: Mô hình vết nứt mở một phía qui đổi sang lò xo đàn hồi 22

Hình 1.10: Mô hình vết nứt mở một phía quy đổi sang lò xo đàn hồi 22

Hình 1.11: Sơ đồ mạng trí tuệ nhân tạo - ANN 38

Hình 2.1: Dầm FGM 43

Hình 2.3: Dầm FGM với vết nứt mở và mô hình hai lò xo tương đương 51

Hình 2.4 Phần tử thanh chịu kéo, nén và uốn 59

Hình 2.5: Phương pháp độ cứng trực tiếp 60

Hình 2.6: Phương pháp dò tìm tần số bằng phương pháp (a) Chia đôi, (b) Newton – Raphson [16] 62

Hình 3.1 Sự thay đổi tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm FGM có 1 vết nứt có độ sâu 20% khi vị trí vết nứt thay đổi dọc chiều dài dầm 69

Hình 3.2 Sự thay đổi tỷ số tần số dao động riêng thứ hai của dầm FGM có 1 vết nứt có độ sâu 20% khi vị trí vết nứt thay đổi dọc chiều dài dầm 69

Hình 3.3 So sánh ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản Timoshenko có 2 vết nứt tại vị trí 0.2m và 0.4m, với độ sâu vết nứt là 30% 70

Hình 3.4 So sánh ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm nguyên vẹn Timoshenko FGM với kết quả của Su và Banerjee 70

Hình 3.5 Ảnh hưởng của tỷ số E t /E b và chỉ số n đến vị trí trục trung hòa 71

Hình 3.6 Sự thay đổi của tần số dao động đầu tiên tính toán với NA và MA 71 Hình 3.7 Thay đổi của 3 tần số dao động không thứ nguyên đầu tiên của dầm đơn giản

FGM Timoshenko a) Tần số thứ 1; b) Tần số thứ 2; c) Tần số thứ 3 74 Hình 3.8 Thay đổi của 3 tần số dao động không thứ nguyên đầu tiên của dầm 2 đầu ngàm FGM Timoshenko a) Tần số thứ 1; b) Tần số thứ 2; c) Tần số thứ 3 74 Hình 3.9 Thay đổi của 3 tần số dao động không thứ nguyên đầu tiên của dầm công xôn FGM Timoshenko a) Tần số thứ 1; b) Tần số thứ 2; c) Tần số thứ 3 74 Hình 3.10 Sự thay đổi 3 tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM

có 1 vết nứt và không nứt tương ứng khi độ sâu vết nứt thay đổi: 10-30% 75 Hình 3.11 Sự thay đổi của 3 tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản

FGM có 1 vết nứt với độ sâu 20% khi n=0.5, 5, 10 75

Hình 3.12 Sự thay đổi của 3 tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản

FGM có 1 vết nứt với độ sâu 20% khi n=0.5 và tỷ số E b /E t =0.2,1,5 75

Hình 3.13 Sự thay đổi của 3 tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản

FGM có 1 vết nứt với độ sâu 20% khi n=0.5 và tỷ số L/h=5,10,20 76

Hình 3.14 Sự thay đổi của 3 tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM có 3 vết nứt, độ sâu vết nứt thứ 3 thay đổi 10%, 20%, 30% 76 Hình 3.15 Sự thay đổi của 3 tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM có 10 vết nứt tập trung tại ¼ chiều dài bên trái dầm, độ sâu vết nứt 10-30% 76 Hình 3.16 Sự thay đổi ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm Timoshenko FGM có

0 đến 6 vết nứt cách đều nhau (=0.15m) Độ sâu vết các vết nứt là 30% 78

Hình 3.17.Sự thay đổi ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm Timoshenko FGM có 2 vết nứt tại 0.4m and 0.6m và độ sâu vết nứt thay đổi 0-50% 78 Hình 3.18 Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM có 1 vết nứt tại vị trí 0.2m và độ sâu vết nứt thay đổi 10-30% 78 Hình 3.19 Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm hai đầu ngàm FGM có 1 vết nứt tại vị trí 0.2m và độ sâu vết nứt thay đổi 10-30% 78 Hình 3.20 Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm công xôn FGM có 1 vết nứt tại vị trí 0.2m và độ sâu vết nứt thay đổi 10-30% 79 Hình 3.21 Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM có 4 vết nứt cách đều nhau và độ sâu vết nứt thay đổi 10-30% 79 Hình 3.22 Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm hai đầu ngàm FGM có 4

vết nứt cách đều nhau, độ sâu vết nứt thay đổi 10-30% 79 Hình 3.23 Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm công xôn FGM có 4 vết nứt cách đều nhau và độ sâu vết nứt thay đổi 10-30% 80 Hình 3.24 Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM có từ 1 đến

4 vết nứt cách đều nhau, độ sâu vết nứt thay đổi 10-30% 80 Hình 3.25 Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm hai đầu ngàm FGM có từ

1 đến 4 vết nứt cách đều nhau, độ sâu vết nứt thay đổi 10-30% 80 Hình 3.26 Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm công xôn FGM có từ 1 đến 4 vết nứt cách đều nhau, độ sâu vết nứt thay đổi 10-30% 81 Hình 3.27: Chuyển vị (a), góc xoay (b), mômen (c), lực cắt (d) của dầm FGM hai đầu

ngàm có 1 vết nứt với độ sâu a/h=0%-30%, tần số kích thích ω=200rad/s 82

Hình 3.28: Chuyển vị (a), góc xoay (b), mômen (c), lực cắt (d) của dầm FGM hai đầu

ngàm có 1 đến 4 vết nứt, độ sâu vết nứt là 30%, tần số kích thích ω=200rad/s 82

Hình 3.29: Dầm liên tục FGM 83 Hình 3.30: Sự thay đổi bả tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM

có 1 vết nứt, độ sâu vết nứt lần lƣợt là 10%; 20%; 30% 83 Hình 3.31: Sự thay đổi của ba tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục

FGM có 1 vết nứt có độ sâu 20%, chỉ số n thay đổi lần lƣợt là 0.5; 5; 10 84

Hình 3.32: Sự thay đổi của ba tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục

FGM có 1 vết nứt có độ sâu 20%, với tỷ số E 1 /E 2 thay đổi lần lƣợt là 0.2; 1; 5 84 Hình 3.33: Sự thay đổi của ba tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có từ 1 đến 10 vết nứt trên nhịp đầu tiên, độ sâu vết nứt là 10%, 20%, 30% 85 Hình 3.34: Sự thay đổi của ba tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có từ 1 đến 10 vết nứt trên nhịp thứ hai, độ sâu vết nứt là 10%, 20%, 30% 85 Hình 3.35: Sự thay đổi của ba tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có từ 1 đến 10 vết nứt trên nhịp thứ ba, độ sâu vết nứt là 10%, 20%, 30% 86 Hình 3.36: Dạng dao động riêng đầu tiên (a), thứ hai (b) và thứ ba (c) của dầm liên tục FGM có từ 1 đến 4 vết nứt cách đều nhau trên nhịp đầu tiên, độ sâu vết nứt là 30% 86 Hình 3.37: Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có từ 1 đến

4 vết nứt cách đều nhau trên nhịp đầu tiên, độ sâu vết nứt là 30% 87

Hình 3.38: Dạng dao động riêng đầu tiên (a), thứ hai (b) và thứ ba (c) của dầm liên tục FGM có từ 1 đến 4 vết nứt cách đều nhau trên nhịp thứ hai, độ sâu vết nứt là 30% 87 Hình 3.39: Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có từ 1 đến

4 vết nứt cách đều nhau trên nhịp thứ 2, độ sâu vết nứt là 30% 87 Hình 3.40: Dạng dao động riêng đầu tiên (a), thứ hai (b) và thứ ba (c) của dầm liên tục FGM có từ 1 đến 4 vết nứt cách đều nhau trên nhịp thứ ba, độ sâu vết nứt là 30% 88 Hình 3.41: Hiệu số ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có từ 1 đến

4 vết nứt cách đều nhau trên nhịp thứ 2, độ sâu vết nứt là 30% 88

Hình 3.42: Hiệu số dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có từ 1 vết nứt tại vị

trí lần lƣợt là 0.2m, 0.3m, 0.4m trên nhịp đầu tiên, độ sâu vết nứt là 10-30% 88

Hình 3.43: Hiệu số dao động riêng thứ hai của dầm liên tục FGM có từ 1 vết nứt tại vị trí lần lƣợt là 0.2m, 0.3m, 0.4m trên nhịp đầu tiên, độ sâu vết nứt là 10-30% 89 Hình 3.44: Hiệu số dao động riêng thứ ba của dầm liên tục FGM có từ 1 vết nứt tại vị trí lần lƣợt là 0.2m, 0.3m, 0.4m trên nhịp đầu tiên, độ sâu vết nứt là 10-30% 89 Hình 3.45: Hiệu số dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có từ 1 vết nứt tại vị trí lần lƣợt là 0.2m, 0.3m, 0.4m trên nhịp thứ hai, độ sâu vết nứt là 10-30% 89 Hình 3.46: Hiệu số dao động riêng thứ hai của dầm liên tục FGM có từ 1 vết nứt tại vị trí lần lƣợt là 0.2m, 0.3m, 0.4m trên nhịp thứ hai, độ sâu vết nứt là 10-30% 90 Hình 3.47: Hiệu số dao động riêng thứ ba của dầm liên tục FGM có từ 1 vết nứt tại vị trí lần lƣợt là 0.2m, 0.3m, 0.4m trên nhịp thứ hai, độ sâu vết nứt là 10-30% 90 Hình 3.48: Hiệu số dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có từ 1 vết nứt tại vị trí lần lƣợt là 0.2m, 0.3m, 0.4m trên nhịp thứ ba, độ sâu vết nứt là 10-30% 91 Hình 3.49: Hiệu số dao động riêng thứ hai của dầm liên tục FGM có từ 1 vết nứt tại vị trí lần lƣợt là 0.2m, 0.3m, 0.4m trên nhịp thứ ba, độ sâu vết nứt là 10-30% 91 Hình 3.50: Hiệu số dao động riêng thứ ba của dầm liên tục FGM có từ 1 vết nứt tại vị trí lần lƣợt là 0.2m, 0.3m, 0.4m trên nhịp thứ ba, độ sâu vết nứt là 10-30% 91 Hình 3.51: Dầm liên tục chịu tải trọng cƣỡng bức 92 Hình 3.52: Chuyển vị động của dầm FGM có tần số kích thích thay đổi (a),độ sâu vết nứt thay đổi (b) 93 Hình 3.53: Chuyển vị động, hiệu số chuyển vị động của dầm liên tục FGM có từ 1 đến

4 vết nứt cách đều nhau trên từng nhịp dầm, độ sâu vết nứt là 20% 93

Hình 3.54: Biểu đồ mô men, lực cắt của dầm liên tục FGM có từ 1 đến 4 vết nứt cách đều nhau trên từng nhịp dầm, độ sâu vết nứt là 20% 94

Hình 4.1: Hệ số wavelet SWT ba dạng dao động đầu tiên của dầm FGM có 1 vết nứt, độ sâu vết nứt là 10%, 20%, 30% với số điểm đo là 50(a-c), 100(d-f), 200(g-i) 105

Hình 4.2: Hệ số wavelet SWT ba dạng dao động đầu tiên của dầm FGM có 4 vết nứt cách đều nhau 0.2m, độ sâu vết nứt là 10%, 20%, 30% 106

Hình 4.4: Hệ số wavelet SWT ba dạng dao động đầu tiên của dầm FGM có 1 vết nứt, độ sâu vết nứt 30% và tỷ số E t /E b thay đổi lần lượt là 0.5, 1, 5 106

Hình 4.3: Hệ số wavelet SWT ba dạng dao động đầu tiên của dầm FGM có 1 vết nứt, độ sâu vết nứt 30% và chỉ số tỉ lệ thể tích n thay đổi lần lượt là 0.1, 1, 10 106

Hình 4.5: Hệ số wavelet SWT ba dạng dao động đầu tiên của dầm FGM có 1 vết nứt, độ sâu vết nứt là 30% với mức nhiễu là 75, 80 và 90dB 108

Hình 4.6: Hệ số wavelet SWT ba dạng dao động đầu tiên của dầm FGM có 4 vết nứt cách đều nhau 0.2m, độ sâu vết nứt là 30% với mức nhiễu là 75, 80 và 90dB 109

Hình 4.8: Hệ số wavelet SWT ba dạng dao động đầu tiên của dầm liên tục FGM có 1 vết nứt giữa nhịp thứ nhất (a-c), nhịp thứ hai (d-f), nhịp thứ ba (g-i), độ sâu vết nứt là 10%, 20%, 30% 110

Hình 4.9: Hệ số wavelet SWT ba dạng dao động đầu tiên của dầm FGM có 3 vết nứt giữa ba nhịp, độ sâu vết nứt là 30%, chỉ số tỉ lệ thể tích n là 0.1, 1, 10 111

Hình 4.10: Hệ số wavelet SWT ba dạng dao động đầu tiên của dầm FGM có 3 vết nứt giữa ba nhịp, độ sâu vết nứt là 30%, tỷ số E t /E b là 0.2, 1, 5 111

Hình 4.11: Dầm liên tục chịu tải trọng cưỡng bức 112

Hình 4.12: Biểu hệ số chi tiết SWT của chuyển vị động trên nhịp thứ hai của dầm FGM liên tục nhiều nhịp khi độ sâu và số lượng vết nứt thay đổi 113

Hình 4.14 Một số hàm truyền thường dùng trong mạng ANN 115

Hình 4.15: Cấu trúc mạng một lớp 115

Hình 4.16 Cấu trúc mạng nhiều lớp 115

Hình 4.17: Mạng MLP nhiều lớp với một lớp ẩn 116

Hình 4.18: Minh họa mạng hồi quy 117

Hình 4.19: Biểu đồ hệ số tương quan R của mạng ANN sử dụng 1(a); 2(b); 3(c) và 4(d) tần số dao động riêng 121 Hình 4.20 Biểu đồ sai số trung bình (MSE) (a) và hệ số tương quan R (b) của mạng ANN sử dụng dạng dao động riêng đầu tiên 123 Hình 4.21: Biểu đồ sai số trung bình (MSE) (a) và hệ số tương quan R (b) của mạng ANN sử dụng chuyển vị cưỡng bức 124 Hình 4.22: Biểu đồ SWT-dB4 (a) Hệ số chi tiết và (b) Hệ số xấp xỉ của dạng dao động thứ nhất dầm công xôn FGM có hai vết nứt 125 Hình 4.23: Biểu đồ sai số trung bình (MSE) (a) và hệ số tương quan R (b) của mạng ANN chẩn đoán độ sâu 2 vết nứt sử dụng dạng dao động riêng đầu tiên 126 Hình 4.24: Biểu đồ hệ số chi tiết SWT với chuyển vị động (a) và hệ số tương quan R (b) của mạng ANN chẩn đoán độ sâu 2 vết nứt sử dụng chuyển vị cưỡng bức 126

Tổng số hình vẽ, đồ thị: 96

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material – FGM) là một loại vật liệu composite tiên tiến, cấu thành từ hai pha vật liệu, có các đặc trưng cơ học biến đổi trơn, liên tục và các tính năng ưu việt của các thành phần vật liệu được phát huy tối đa, đồng thời tránh được sự bong tách, tập trung ứng suất tại các bề mặt tiếp xúc như thường xảy ra đối với các vật liệu composite truyền thống Vật liệu FGM được ứng dụng cho các bộ phận kết cấu công trình quan trọng hay làm việc trong điều kiện khắc nghiệt trong các ngành công nghệ cao như hàng không vũ trụ, chế tạo máy, ô tô, quang học, điện tử, sinh học, kỹ thuật hạt nhân,

Hầu hết các công trình đang sử dụng, kể cả các kết cấu bằng vật liệu FGM, khó tránh khỏi khuyết tật và hư hỏng ở một mức độ nào đó Hư hỏng trong công trình có hình thức rất đa dạng và do nhiều nguyên nhân khác nhau Sự tồn tại của chúng nếu không được phát hiện kịp thời sẽ làm giảm độ an toàn và tuổi thọ của công trình, hậu quả sẽ dẫn đến sự phá hỏng một phần hoặc toàn bộ kết cấu công trình Vì vậy giám sát định kỳ hay liên tục các kết cấu công trình quan trọng để phát hiện các khuyết tật, hư hỏng từ đó kiểm soát và làm chậm sự phát triển đến mức nguy hiểm cũng như tiến hành các biện pháp sửa chữa và bảo dưỡng phù hợp là rất cần thiết và mang lại lợi ích lớn

Trong các khuyết tật và hư hỏng, vết nứt là một dạng phổ biến, sự xuất hiện của chúng làm giảm độ cứng cục bộ, thay đổi các đặc trưng động lực và ảnh hưởng lớn đến khả năng làm việc của công trình Bài toán chẩn đoán vết nứt trong công trình đã và đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong nước và trên thế giới Gần đây, các nhà khoa học trên thế giới và trong nước đã bắt đầu nghiên cứu các bài toán đánh giá ảnh hưởng của vết nứt và bài toán chẩn đoán vết nứt trong kết cấu làm bằng vật liệu FGM Tuy nhiên, các tác giả thường tập trung vào nghiên cứu

các dạng dầm đơn giản với số lượng vết nứt hạn chế, đối với các kết cấu dầm làm từ

vật liệu FGM nhiều vết nứt vẫn còn chưa được nghiên cứu

2 Mục đích, mục tiêu nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu xây dựng được một mô hình dao động của kết cấu dầm bằng vật

liệu FGM có nhiều vết nứt theo phương pháp độ cứng động lực là một phát triển

gần đây của phương pháp phần tử hữu hạn Từ đó xây dựng được một số phương

pháp chẩn đoán các tham số của vết nứt trên kết cấu dầm dựa trên tần số, dạng dao

động riêng hay chuyển vị động đo được Đây là hai thành phần cơ bản trong bốn

thành phần của bài toán đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình cho các kết cấu dầm

bằng vật liệu FGM

2.2 Mục tiêu nghiên cứu

- Xây dựng được ma trận độ cứng động lực và véc tơ tải trọng quy về nút của phần tử dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt theo phương pháp độ cứng động lực, từ đó thiết lập được phương trình tần số, biểu thức dạng dao động riêng và chuyển vị cưỡng bức của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt

- Xây dựng được thuật toán và chương trình nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến các đặc trưng động lực học của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt

- Xây dựng được các phương pháp chẩn đoán các tham số vết nứt (số lượng, vị trí

và độ sâu) trên kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt dựa trên phân tích wavelet và

mạng trí tuệ nhân tạo với dữ liệu đầu vào là các tần số, dạng dao động riêng hoặc chuyển vị động

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Các kết cấu dầm là dầm đơn giản và dầm liên tục làm bằng vật liệu FGM có các vết nứt ngang mở 1 phía

- Vết nứt trong phần tử dầm được định nghĩa là một dạng hư hỏng cục bộ làm cho tính chất cơ lý, độ cứng tại đó có những gián đoạn nhất định Tiết diện nằm sát hai bên bề mặt vết nứt có chuyển vị tương đối với nhau Chỉ xét vết nứt mở vuông góc với trục dầm và không xét đến sự tương tác giữa bề mặt vết nứt trong quá trình phân tích trạng thái dao động của kết cấu;

- Tiết diện dầm có vết nứt trong thực tế sẽ có độ cứng bị giảm yếu, giá trị độ cứng quy đổi tại vị trí này phụ thuộc vào độ sâu vết nứt, đảm bảo chuyển vị tỷ lệ với tác động, thỏa mãn các điều kiện tương thích tại hai mép của vết nứt Trong luận

án không xét đến các vết nứt trong các điều kiện khác;

- Các vết nứt tại các điểm đặc biệt trong kết cấu như các vị trí liên kết, mối nối không nằm trong phạm vi nhiên cứu của luận án này;

- Các tham số vật liệu, hình học sử dụng trong các ví dụ tính toán là tiền định;

- Trong luận án chỉ tập trung nghiên cứu phương pháp chẩn đoán các tham số vết nứt (số lượng, vị trí và độ sâu) trong kết cấu dầm bằng vật liệu FGM có nhiều vết nứt dựa vào phân tích đặc trưng động lực là tần số, dạng dao động riêng hoặc chuyển vị động Không xét đến nguyên nhân, quá trình hình thành và phát triển của các vết nứt

- Thuật ngữ "hư hỏng" sử dụng trong luận án này được định nghĩa là các khuyết tật, hư hỏng cục bộ, và vết nứt có thể mô phỏng được thành 2 lò xo đàn hồi (1 lò

xo dọc và 1 lò xo xoay)

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết và tính toán mô phỏng số:

- Tiến hành thu thập các tài liệu trong và ngoài nước về các vấn đề liên quan để đánh giá tổng quan, tác giả xây dựng mô hình độ cứng động lực của phần tử dầm FGM Timoshenko có nhiều vết nứt theo phương pháp độ cứng động lực

- Lập chương trình trên Matlab® để phân tích số dao động tự do và cưỡng bức dưới tác dụng của tải trọng ngoài của kết cấu dầm bằng vật liệu FGM có nhiều

vết nứt (bài toán thuận) và sử dụng các phương pháp phân tích wavelet, xử lý

nhiễu, mạng trí tuệ nhân tạo kết hợp với mô hình đề xuất để giải quyết chẩn

đoán vết nứt trên kết cấu theo các số liệu đo đạc được (bài toán ngược)

5 Nội dung nghiên cứu

- Tìm hiểu một số phương pháp phân tích dao động (bài toán thuận) và chẩn đoán

hư hỏng trong kết cấu dầm bằng vật liệu FGM có vết nứt (bài toán ngược)

Đánh giá những ưu điểm và nhược điểm của các phương pháp này để chọn hướng nghiên cứu

- Nghiên cứu và ứng dụng phương pháp độ cứng động lực kết hợp với mô hình lò

xo của vết nứt để xây dựng mô hình độ cứng động lực của phần tử dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt

- Xây dựng thuật toán và chương trình trong môi trường Matlab® để phân tích

dao động tự do và cưỡng bức của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt (bài toán

cấu (bài toán ngược) Tác giả đã kết hợp được phương pháp phân tích wavelet

dừng với mạng trí tuệ nhân tạo để giải quyết bài toán chẩn đoán vết nứt trong các kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt Kết quả nhận được cho thấy các phương pháp đề xuất cho kết quả khá chính xác, hiệu quả và có thể áp dụng vào thực tế

6 Cơ sở khoa học

Dựa trên các lý thuyết đàn hồi, cơ học phá hủy, động lực học công trình phương pháp độ cứng động lực (là phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn) cũng như các kết quả gần đây về phân tích và chẩn đoán hư hỏng dựa trên các đặc

trưng động lực học của kết cấu

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài “Phân tích dao động và chẩn đoán kết cấu dầm bằng vật liệu có cơ tính

biến thiên có nhiều vết nứt” có ý nghĩa khoa học vì góp phần giải quyết một số vấn

đề đặt ra chưa được giải quyết; có ý nghĩa thực tiễn vì việc áp dụng kết quả của đề tài giúp cho việc đánh giá khả năng làm việc an toàn của công trình, từ đó đưa ra các biện pháp gia cố, sửa chữa hay bảo dưỡng thích hợp

8 Những kết quả mới đạt được

1 Mô hình hóa dầm FGM có nhiều vết nứt như là một phần tử dầm duy nhất bằng phương pháp ĐLĐL kết hợp với mô hình lò xo của vết nứt Từ đó, luận án xây

dựng được ma trận độ cứng động lực và véc tơ tải trọng quy về nút của phần tử

dầm FGM Timoshenko chịu kéo, nén và uốn có nhiều vết nứt dựa trên mô hình

lò xo của vết nứt, từ đó xác định các tần số, dạng dao động riêng và chuyển vị cưỡng bức của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt

2 Xây dựng được một chương trình phân tích sự thay đổi các tần số, dạng dao

động riêng, chuyển vị cưỡng bức của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt khi các

tham số vết nứt (số lượng, vị trí và độ sâu), tham số vật liệu (E t /E b, chỉ số tỷ lệ

thể tích n) hay tham số hình học (tỷ lệ L/h) thay đổi

3 Ứng dụng phân tích wavelet SWT và mạng trí tuệ nhân tạo ANN để xây dựng một số phương pháp chẩn đoán hư hỏng của kết cấu tùy thuộc vào các số liệu đầu vào có được

9 Cấu trúc luận án

Luận án bao gồm: mở đầu, 4 chương và kết luận chung

Mở đầu: Nêu ý nghĩa khoa học, mục đích, phạm vi, các vấn đề cần giải quyết,

các phương pháp được áp dụng, kết cấu của luận án và các kết quả chính đạt được

Chương 1 Tổng quan: Chương này trình bày các vấn đề liên quan đến đề tài

nghiên cứu như mô hình hóa và chẩn đoán hư hỏng của dầm FGM có vết nứt, việc

sử dụng các đặc trưng động lực trong chẩn đoán hư hỏng, nghiên cứu ứng dụng wavelet, cũng như mạng trí tuệ nhân tạo để giải các giải bài toán ngược, từ đó hình thành nên phương pháp chẩn đoán tham số vết nứt trong kết cấu

Chương 2 Mô hình dao động của dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt: Chương này trình bày cách xây dựng ma trận độ cứng động lực và véc tơ tải

trọng quy về nút của phần tử dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt, trong đó mô hình vết nứt bằng 2 lò xo (1 lò xo dọc và 1 lò xo xoay) Từ đó thiết lập được phương trình tần số, biểu thức dạng dao động riêng và chuyển vị cưỡng bức để phân

tích kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt theo phương pháp độ cứng động lực Đây là

cơ sở để phân tích dao động tự do và dao động cưỡng bức của kết cấu dầm bằng vật

Kết luận chung: Nêu lên các kết quả mới chủ yếu đạt được của luận án

Tài liệu tham khảo: gồm 169 tài liệu trong đó có 16 tài liệu trong nước, 153

tài liệu nước ngoài

Các công trình khoa học đã được công bố: gồm 14 công trình trong đó có

10 bài báo trong nước và 4 bài báo trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục tạp chí ISI

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

1.1 Tổng quan về đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình

Đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình (Structural Health Monitoring - SHM)

là quá trình đánh giá trạng thái kỹ thuật (sức khỏe) và dự đoán tuổi thọ còn lại của công trình Sự phát triển của SHM dựa trên thành tựu trong các lĩnh vực công nghệ khác nhau như cảm biến, vật liệu, các thuật toán tính toán và mô hình hóa mới

1.1.1 Sự cần thiết phải tiến hành SHM

Với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, hiện nay việc thiết kế thi công công trình đã có những bước tiến dài đáng kể: kết cấu ngày càng nhẹ, thanh thoát, hình dáng tối ưu nhưng vẫn đủ khả năng chịu lực Tuy nhiên, chúng lại rất dễ

bị tổn thương bởi những hư hỏng nhỏ và vừa như là vết nứt ngang, dọc hoặc xiên, hay như ăn mòn trong kết cấu kim loại, hay việc bong tách lớp, nứt nền, vỡ sợi đối với vật liệu composite Cùng với sự xuống cấp ngay sau khi đưa vào sử dụng do quá trình xâm thực, mỏi, bào mòn hay quá tải, những hư hỏng này ảnh hưởng nghiêm trọng đến tính toàn vẹn của công trình nên cần phải được giám sát chặt chẽ

Để tránh những hậu quả nghiêm trọng, ta phải thường xuyên kiểm tra và đánh giá trạng thái kỹ thuật của công trình Việc kiểm tra này là cần thiết mặc dù chi phí lớn và thường không dễ tìm được hư hỏng Mỗi loại công trình đều có các tiêu chí đánh giá trạng thái kỹ thuật riêng và gần như không có sự tương đồng với nhau

Mục tiêu của SHM là thiết lập các công cụ giám sát liên tục hoặc định kỳ các

kết cấu công trình quan trọng để quyết định xem có cần thiết tiến hành sửa chữa, bảo dưỡng hay không, từ đó tránh những thảm họa có thể xảy ra Vì vậy, SHM được áp dụng trong nhiều lĩnh vực như hàng không, cơ khí, hạ tầng kỹ thuật,

Ý tưởng cơ bản của SHM là làm cho công trình có khả năng tự động nhận

biết các thay đổi, phân tích một cách liên tục hay định kỳ, từ đó đánh giá sức khỏe của chính nó SHM làm tăng mức độ an toàn cho công trình nhờ việc kiểm soát hư hỏng để không thể phát triển đến mức nguy hiểm, giảm chi phí cho chủ đầu tư

Lợi ích của SHM đem lại là rất lớn:

- Cho phép sử dụng công trình một cách tối ưu, giảm thiểu sự xuống cấp và tránh được những hư hỏng lớn có thể xảy ra

- Giúp người thiết kế cải thiện sản phẩm của mình

- Tạo ra sự thay đổi lớn trong công tác bảo trì, bảo dưỡng: từ kiểm tra định kỳ thành bảo dưỡng dựa trên thực trạng (hay khả năng hoạt động), tránh việc tháo bỏ những bộ phận chưa có hư hỏng, giảm thiểu sự can thiệp của con người, dẫn đến giảm nhân công, giảm thời gian dừng hoạt động và sai số, từ

đó tăng mức độ an toàn và tin cậy

Vì vậy nên rất nhiều nghiên cứu trên thế giới tập trung phát triển các hệ thống

này để giúp công trình có khả năng ―tự cảnh báo‖ [34, 152, 153, 157]

1.1.2 Các cấp độ SHM

SHM là bài toán ngược của cơ học công trình, trong đó hư hỏng trong kết cấu được chẩn đoán dựa trên các dữ liệu đo được trên công trình SHM được chia ra làm

2 loại: chẩn đoán (Diagnosis) và dự đoán (Prognosis) [127] Thông qua chẩn đoán,

người ta có thể xác định được sự hiện diện của hư hỏng, vết nứt, vị trí và độ sâu của chúng Phần dự đoán sử dụng các thông tin của phần chẩn đoán để dự báo tuổi thọ còn lại của kết cấu SHM có thể chia ra làm 5 cấp độ như sau [127]:

- Cấp 1: Xác nhận có sự hiện diện của hư hỏng

- Cấp 2: Xác định vị trí và hướng của hư hỏng

- Cấp 3: Xác định mức độ nghiêm trọng của hư hỏng

- Cấp 4: Khả năng kiểm soát và làm chậm sự phát triển hư hỏng

- Cấp 5: Xác định thời gian còn lại của kết cấu (dự đoán)

1.1.3 Những thành phần cơ bản của hệ thống SHM

Một hệ thống SHM bao gồm phần cứng và phần mềm Các cấu kiện phần cứng thường là những bộ cảm biến và các thiết bị đi kèm Các cấu kiện phần mềm bao gồm mô hình hư hỏng và các thuật toán dò tìm hư hỏng Do đó, SHM là một

lĩnh vực đa ngành đòi hỏi kiến thức sâu rộng về cơ học, vật liệu và điện tử, là sự kết

hợp chặt chẽ của 4 thành phần [164] (Hình 1.1):

- Công nghệ cảm biến mới: sử dụng các cảm biến chủ động, thụ động, có dây

hay không dây, Gần đây, cảm biến không dây và hệ thống cơ điện tử siêu nhỏ (MEMS) được sử dụng nhiều trong các công trình dân dụng, cầu,

- Giám sát thực trạng (Condition based monitoring - CBM): Do việc kiểm tra

định kỳ tốn nhiều thời gian và kinh phí nên người ta thực hiện giám sát, bảo dưỡng dựa vào thực trạng CBM lắp đặt hệ thống cảm biến trên công trình để giám sát sự nguyên vẹn, cảnh báo tới người vận hành khi phát hiện hư hỏng

- Công nghệ đánh giá không phá hủy (Non destructive evaluation - NDE):

SHM là một công nghệ NDE mới và tiên tiến, là sự kết hợp của rất nhiều cảm biến, vật liệu thông minh, truyền dẫn dữ liệu, mô hình hóa trên máy tính

và quá trình tự xử lý của công trình Điều đó khiến SHM có khả năng điều chỉnh lại thiết kế và thời gian sử dụng công trình

- Phương pháp mô hình hóa mới: Mô hình hóa có 2 phần chính là mô hình hư

hỏng và thuật toán dò tìm Phương pháp mô hình hóa hay được sử dụng là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [126] nhưng FEM không thật sự phù hợp khi muốn phát hiện những hư hỏng có kích thước nhỏ Mô hình toán học phù hợp hơn cho bài toán này là phương pháp phần tử hữu hạn phổ - SFEM (hay phương pháp độ cứng động lực)

Giám sát thực trạng

Công nghệ NDE mới

Công nghệ cảm biến mới

Phương pháp

mô hình hóa

Đánh giá trạng thái

kỹ thuật công trình

Hình 1.1 Các thành phần của đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình

1.1.4 SHM dựa vào các đặc trưng động lực học

Phương pháp này chiếm ưu thế do có thể thực hiện trên phạm vị rộng các công trình như nhà, cầu cống, đập, thông qua xác định các đặc trưng động lực học như tần số riêng [29, 151], dạng dao động riêng [45, 80], chuyển vị động [14, 110], hàm phổ phản ứng [119, 151], Các đặc trưng này có thể tách ra và nhận biết trong các tín hiệu đo về rung động như gia tốc, vận tốc, chuyển vị động hay biến dạng động Việc lựa chọn các chỉ tiêu động lực học để đánh giá không phải là mới nhưng cho đến nay vẫn chưa có được đặc trưng nào hiệu quả hơn Các đặc trưng này gắn liền với bản chất vật lý, hình học, liên kết của kết cấu và không phụ thuộc vào tác động của môi trường Các dao động có thể là tự nhiên hoặc dao động cưỡng bức

Các phương pháp SHM dựa vào các đặc trưng động lực có thể hoạt động trên dải tần số rất rộng, từ dao động tần số thấp đến tần số cao ở mức siêu âm Biểu đồ phân loại các kỹ thuật SHM dựa trên dải tần số dao động và kích thước hư hỏng thể hiện trên Hình 1.2 Vì thế, rất cần thiết phát triển các mô hình hóa phù hợp, cho

phép mô phỏng các quá trình diễn ra trên dải tần số càng rộng càng tốt Do FEM chỉ

giới hạn cho các tần số thấp nên gần đây rất nhiều nhà nghiên cứu phát triển

phương pháp mô hình hóa dựa trên các biến thể của FEM như phương pháp SFEM

[125], phương pháp độ cứng động lực [5, 43] được trình bày trong luận án này

1.2 Vật liệu cơ tính biến thiên

1.2.1 Khái niệm về vật liệu FGM

Vật liệu composite hiện đang được ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành công nghiệp tiên tiến trên thế giới do có nhiều ưu điểm nổi trội so với vật liệu truyền thống Đây là loại vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều pha vật liệu có tính chất

khác nhau [9] Vật liệu composite lớp là loại được sử dụng phổ biến gồm những lớp

vật liệu đàn hồi đồng nhất gắn với nhau nhằm nâng cao đặc tính cơ học Tuy nhiên,

sự thay đổi đặc tính vật liệu đột ngột tại mặt tiếp giáp giữa các lớp làm phát sinh ứng suất tiếp xúc lớn tại mặt này gây ra tách lớp Một trong những giải pháp khắc phục nhược điểm này là sử dụng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) [105]

FGM là một loại vật liệu composite được tổ hợp từ các thành phần vật liệu khác nhau, gọi là các Maxel (thép, Mg2Si, gốm, Ni, Cr, Co, Al,…), phân bố trong môi trường vật liệu theo một trật tự nhất định FGM có các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác, do đó làm giảm ứng suất tập trung, ứng suất nhiệt và ứng suất dư hay gặp trong các vật liệu composite lớp FGM có thể sử dụng trong một số trường hợp bề mặt chịu nhiệt độ rất cao, có thể đạt tới 2100K, như bề mặt của tàu không gian, máy bay, và sự chênh lệch nhiệt độ mặt trên và dưới có thể lên tới 1600K Khi đó, người ta thường sử dụng các vật liệu gốm chịu nhiệt ở bề mặt nhiệt độ cao và các loại thép có độ bền cao với độ dẫn nhiệt cao ở bề mặt có nhiệt độ thấp tạo ra sự biến thiên dần dần từ gốm tới kim loại

Với tính ưu việt của mình, vật liệu FGM thường được sử dụng làm các bộ phận, chi tiết rất quan trọng trong các ngành công nghệ cao Việc giám sát, đánh giá khả năng làm việc còn lại của chúng là rất quan trọng Ứng xử tĩnh và động của các cấu kiện làm từ vật liệu này đã được đề cập đến trong nhiều nghiên cứu [132, 140] Tuy nhiên, cho đến nay có chưa nhiều nghiên cứu trong nước cũng như trên thế giới

về giám sát sức khỏe kết cấu công trình làm từ vật liệu FGM Vì vậy, việc giải quyết bài toán này đang trở nên thực sự cấp thiết

1.2.2 Phân loại vật liệu FGM

Tùy thuộc vào quy luật phân bố các maxel trong không gian khối vật liệu, ta có thể chế tạo được các loại vật liệu FGM khác nhau Mỗi loại vật liệu FGM này có chỉ tiêu cơ lý đặc trưng bởi một hàm thuộc tính vật liệu xác định, giá trị của hàm thay đổi theo một hướng xác định, sau đây ta chỉ xét theo chiều dày tấm hay dầm Xét một tấm hình chữ nhật làm bằng vật liệu FGM như Hình vẽ 1.3 Hàm đặc trưng cho các đặc trưng vật liệu của tấm được biểu diễn là

( ) b ( t b) ( )

P z P  PP g z (1.1)

trong đó: P thể hiện các đại lượng E, G, , hệ số poission , hệ số giãn nở nhiệt,…

g(z) là hàm tỷ lệ thể tích của các pha vật liệu khác nhau; chỉ số t và b chỉ đặc trưng

vật liệu ở mặt trên (z=h/2) và mặt dưới (z=-h/2); Dựa vào hàm g(z), các nhà nghiên

cứu phân loại vật liệu FGM thành 3 loại cơ bản:

a) P-FGM: Hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm lũy thừa [26]

n

h

h z z

trong đó: n là tham số vật liệu, không âm; z là tọa độ điểm h 2  z h 2

b) S-FGM: Hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm Sigmoid (sử

dụng 2 quy luật hàm lũy thừa cho 2 miền) [116]

1

1( ) 1 1

n z

n z

cấu có hư hỏng Các số liệu rút ra từ mô hình này được chọn làm gốc để so sánh với

số liệu đo thực nghiệm Độ chính xác, tính đa dạng, linh hoạt khi áp dụng các mô hình này sẽ ảnh hưởng lớn đến khả năng tiếp cận các phương pháp chẩn đoán, nghĩa

là, phương pháp chẩn đoán phụ thuộc vào mô hình thực trạng của kết cấu có hư hỏng Như vậy để bài toán chẩn đoán cho kết quả tốt, ta cần phải có mô hình tính toán có độ tin cậy cao Dưới đây là một số mô hình kết cấu bằng vật liệu thuần nhất

và vật liệu FGM có hư hỏng được sử dụng nhiều trong thời gian gần đây

1.3.1 Mô hình kết cấu liên tục (hệ vô hạn bậc tự do)

Kết cấu được mô tả là các hệ đàn hồi có vô hạn bậc tự do chịu tải trọng động thể hiện bằng hệ các phương trình đạo hàm riêng liên kết với nhau tại các vị trí hư hỏng Chẳng hạn, đối với kết cấu dầm có vết nứt, các tác giả [28, 92] đã sử dụng mô hình liên tục để tính toán dao động tự do của dầm làm bằng vật liệu đồng nhất, đẳng hướng Đối với dầm Euler-Bernoulli làm bằng vật liệu P-FGM như Hình 1.4, Yang, Chen và các cộng sự [99, 100] đã thiết lập được phương trình chuyển động (1.5) và

sử dụng mô hình lò xo tương đương tại vị trí vết nứt để có được điều kiện liên tục tại vị trí vết nứt (1.6)

( 0, ) ( 0, ) ; ( 0, ) ( 0, ) ; ( 0, ) ( 0, );

( , )( 0, ) ( 0, )

mô hình hóa hư hỏng như thế nào cũng như điều kiện liên tục tại chỗ hư hỏng thể hiện bằng toán học như thế nào? Tuy vậy việc nghiên cứu trên các kết cấu đơn giản như thanh, dầm cho các thông tin cần thiết khi xem xét các kết cấu phức tạp

Kết hợp với ý tưởng rời rạc hóa kết cấu của phương pháp PTHH, các nhà nghiên cứu đã phát triển mô hình liên tục cho các kết cấu phức tạp thành mô hình

độ cứng động lực mà dưới đây luận án sẽ ứng dụng và phát triển cho bài toán phân tích và chẩn đoán kết cấu dầm bằng vật liệu FGM có nhiều vết nứt

1.3.2 Mô hình kết cấu rời rạc (hệ hữu hạn bậc tự do)

Kết cấu liên tục được mô hình là một tập hợp nhiều phần tử nhỏ hơn, có số lượng và kích thước hữu hạn liên kết với nhau thông qua các nút Nó bao gồm lớp rộng các mô hình như PTHH, phần tử biên, tương đương năng lượng, Đối với mô hình PTHH, phương trình chuyển động kết cấu có dạng [5]

 M  q (t)  D q (t)  K    q(t)  F(t) (1.7)

trong đó [M], [D], [K] là các ma trận khối lượng, hệ số cản và độ cứng của kết cấu,

 q , F là các véc tơ chuyển vị nút và lực ngoài

Hầu hết các tác giả đều theo hướng mở rộng mô hình PTHH thông thường khi đưa vào tham số hư hỏng cho phần tử dầm FGM có 1 vết nứt [83, 107] để tính toán các đặc trưng tĩnh và động của kết cấu có hư hỏng Về bản chất các mô hình này đều không xét đến hiện tượng các phần tử xuất hiện khuyết tật, vết nứt hay hư hỏng, Hình 1.5 thể hiện việc chia phần tử cho một đoạn dầm có vết nứt

Để mô hình hóa được các kết cấu có hư hỏng, một trong những cách làm phổ thông nhất được thực hiện bởi một số tác giả như: Huang và Chen [42] đã phân tích dao động của dầm FGM bằng cách chia nhỏ các phần tử thành các đoạn ngắn hơn Đoạn dầm xuất hiện hư hỏng có độ cứng suy giảm từ 1 đến 10% Nazari [69] đã chia dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao thành rất nhiều lớp, mỗi lớp có chiều dày hữu hạn và coi như vật liệu đồng nhất Độ sâu vết nứt sẽ quy định số lượng lớp vật liệu bị tách ra Tiếp theo, phương pháp PTHH được sử dụng để tính toán dao động tự do của dầm Kết quả được đem so sánh với giải tích và các tác giả nhận thấy kết quả nhận được có độ hội tụ và chính xác cao khi số lượng lớp vật liệu lớn hơn 40 Banerjee [25], Yu và Chu [103] cũng chia dầm có vết nứt thành nhiều lớp đồng nhất rồi sử dụng chương trình ANSYS [66] để tính toán tần số dao động

so sánh với kết quả giải tích tìm được Như vậy, cách làm này tạo nên một số lượng phần tử rất nhiều trong tính toán, mặt khác việc chia vật liệu thành quá nhiều lớp làm cho mô hình không còn sát với kết cấu thực

Hình 1.5 Rời rạc hóa vết nứt theo phương pháp phần tử hữu hạn [168]

Do việc chia lưới lại phần tử trong quá trình tính toán rất phức tạp, gần đây đã

có nhiểu nghiên cứu về phát triển phương pháp PTHH mở rộng hay phương pháp PTHH không lưới ứng dụng vào phân tích kết cấu có hư hỏng [134, 141, 144]

1.3.3 Mô hình tham số của kết cấu thanh không nguyên vẹn [11]

Để khắc phục hạn chế của mô hình kết cấu liên tục và mô hình kết cấu rời rạc trong phân tích động lực kết cấu có hư hỏng, một hướng đi khác là xây dựng phần

tử mẫu của kết cấu có vết nứt bằng cách sử dụng các mô hình vết nứt khác nhau như: mô hình thanh gãy, mô hình ăn mòn, mô hình phần tử có vết nứt Các nhà nghiên cứu đã cố gắng xây dựng các phương pháp hiệu quả để nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt tới các tham số động lực học của kết cấu thông qua các phương trình tần số liên hệ tham số vết nứt với tần số và dạng dao động riêng của hệ

a) Mô hình gãy thanh (phần tử không tham gia vào chịu lực)

Xuất phát từ phương trình (1.7), lúc này tham số chẩn đoán d chỉ có một và là

đại lượng nhận các giá trị nguyên trong tập hợp các số liệu phần tử d 1 , 2 , ,N

Các ma trận M, K được xây dựng trong từng trường hợp riêng biệt M(d), K(d),

d=1,2,…,N trong đó M(d), K(d) là ma trận khối lượng, độ cứng của kết cấu không

có phần tử thứ d

b) Mô hình ăn mòn

Giả thiết quá trình ăn mòn xảy ra đều trên thanh, ta chọn tham số diện tích, mô

men quán tính tiết diện d  F j của phần tử là tham số chẩn đoán Khi đó

vào tham số chẩn đoán d

c) Mô hình suy giảm độ cứng mối nối

Liên kết tại hai đầu thanh được thay thế bằng 6 lò xo với các tham số d, từ đó

xây dựng được các ma trận độ cứng, khối lượng phụ thuộc vào các tham số d:

M e =M e (d), K e =K e (d)

d) Mô hình phần tử có vết nứt

Giả thiết các vết nứt trên dầm có vị trí là  x j và độ sâu a j, khi đó dầm được

mô hình hóa thành các phần tử liên kết với nhau thông qua các lò xo tại vị trí vết nứt Các đặc trưng của lò xo được xác định thông qua các công thức thực nghiệm từ

cơ học phá hủy Từ đó, người ta xây dựng được ma trận độ cứng, khối lượng của phần tử thông qua các tham số chẩn đoán dx j,a j

1.4 Mô hình vết nứt trong phân tích động lực kết cấu dầm

1.4.1 Các dạng vết nứt [15]

Sự xuất hiện vết nứt trong kết cấu làm thay đổi các đặc trưng động lực Các vết nứt thường được đặc trưng bởi các tham số: số lượng, vị trí, độ sâu và dạng hình học của vết nứt Theo dạng hình học, có thể chia vết nứt trên dầm thành các dạng:

Vết nứt ngang: vuông góc với trục dầm Đây là dạng vết nứt phổ biến nhất và nguy hiểm nhất vì nó làm giảm nhanh tiết diện dầm, giảm độ cứng chống uốn của

dầm do năng lượng biến dạng tập trung tại vùng đỉnh của vết nứt

Vết nứt dọc: song song với trục dầm Dạng vết nứt này không phổ biến, chỉ

gây nguy hiểm khi xuất hiện ứng suất kéo trên các mặt song song với trục dầm;

Vết nứt xiên: nghiêng một góc với trục dầm Vết nứt này không thật sự phổ

biến, và ảnh hưởng chủ yếu đến các dầm chịu xoắn Đối với dầm chịu uốn, có thể xem vết nứt xiên ảnh hưởng nhỏ hơn vết nứt ngang

Vết nứt mở: giữ nguyên trạng thái mở, dạng chữ “V" Vết nứt xuất hiện trên bề

mặt gọi là "vết nứt bề mặt" Vết nứt xuất hiện nhưng không quan sát thấy trên bề mặt gọi là "vết nứt chìm"

Vết nứt thở: là hiện tượng vết nứt mở ra và đóng vào tùy theo tình trạng chịu

lực của kết cấu, do đó vết nứt thở được xem là không tuyến tính khi tính toán các đặc trưng động lực Độ cứng của dầm bị ảnh hưởng lớn khi vết nứt chịu ứng suất kéo Hầu hết các nghiên cứu hiện nay đều mới tập trung nghiên cứu vết nứt thở ngang [6, 71]

Trong các nghiên cứu lý thuyết và thí nghiệm, người ta tập trung nghiên cứu vết nứt ngang mở nằm trên bề mặt vì ảnh hưởng của chúng đến dao động là chủ yếu nhất và cũng dễ dàng mô phỏng vết nứt trong điều kiện thí nghiệm Các nghiên cứu

về mô hình vết nứt hiện nay đều xuất phát từ mô hình trạng thái xuất hiện vết nứt

theo ngoại lực để xây dựng công thức tính độ cứng tại vị trí vết nứt Dưới đây sẽ trình bày ba mô hình xác định độ cứng của thanh có vết nứt ngang được hầu hết các tác giả trên thế giới trích dẫn và sử dụng

1.4.2 Mô hình suy giảm độ cứng theo hệ số tập trung ứng suất

Thomson [93], Irwin [131] là những người đầu tiên trên thế giới nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng tại vết nứt thường tập trung ở ranh giới của vết nứt với phần vật rắn chưa bị nứt (được gọi là đầu vết nứt) và được mô tả bằng hệ số tập trung ứng suất tại đầu vết nứt

Các tác giả đã đưa ra 3 mô hình vết nứt khác nhau tương ứng với 3 dạng gây nứt là: dạng mở (I) do lực kéo ngang, dạng trượt (II) do lực cắt song song với bề mặt vết nứt và dạng xé (III) do lực cắt ngang Đối với các kiểu vết nứt cơ bản này,

có thể tính được các hệ số tập trung ứng suất tại các đầu vết nứt tương ứng, kí hiệu

là K I , K II , K III Từ đó, ta có thể nghiên cứu trạng thái ứng suất và biến dạng tại vết nứt Ngoài ra, để thể hiện chi tiết hơn mô hình vết nứt dưới tác động của lực tác dụng, Dirgantara, Aliabadi [33] còn phân loại chi tiết hơn cho các loại vật liệu khác nhau như trên Hình 1.6

Đối với một phần tử dầm chịu uốn, khi bỏ qua biến dạng trượt, năng lượng biến dạng của một phần tử dầm nguyên vẹn có dạng như sau [150]

(1) 0W

a s

(1 )W

trong đó: E’=E cho trạng thái ứng suất phẳng, E’=E/(1- 2

) cho trạng thái biến dạng

phẳng; E là mô đun đàn hồi;  là hệ số Poisson; k I , k II , k III lần lƣợt là các hệ số tập trung ứng suất Bỏ qua tác dụng của lực dọc trục, biểu thức (1.9c) trở thành

(1) 0

với s=a/h là hệ số giữa độ sâu vết nứt với chiều cao h của dầm; F I , F II là các hàm số được xác định từ lý thuyết cơ học phá hủy Đối với vật liệu FGM, đã có một số tác giả sử dụng mô hình này để tính toán [103]

Sử dụng nguyên lý công ảo, ma trận độ cứng của phần tử được xác định qua

ma trận độ mềm như sau

[ ] [ ] [ ] [ ] (1.11) với

[ ]=[

]

và [c] là ma trận độ mềm của thanh nguyên vẹn, được xác định như sau

, i,j=1,2 (1.12)

Do thế năng biến dạng đàn hồi của thanh có vết nứt bằng tổng thế năng biến

dạng đàn hồi của thanh không có vết nứt W (0)

và thế năng biến dạng đàn hồi bổ sung

W (1) nên ma trận độ mềm của phần tử thanh thẳng chịu uốn có vết nứt sẽ là

có vết nứt, mà chỉ cần ghép nối ma trận độ cứng này vào ma trận độ cứng tổng thể

như trong trường hợp không có vết nứt [114] Do không xét đến vị trí vết nứt trên

phần tử nên mô hình này không thuận tiện cho bài toán chẩn đoán vị trí vết nứt

1.4.3 Mô hình suy giảm độ cứng liên tục

Xét dầm chịu uốn với mặt cắt ngang hình chữ nhật có một vết nứt như Hình

1.8 Khi đó Christides và Barr [123] đã xác định được độ cứng chống uốn EI(x) thay

đổi dọc trục có dạng hàm mũ

trong đó:CI0I cj I cj với I0 bh3 12 ,I cj b h a(  cj) 123 là các mô men quán

tính của dầm không nứt và tại vị trí nứt thứ j; b, h là độ rộng và độ cao của dầm không nứt; a cj là độ sâu vết nứt; x j vị trí vết nứt; =0.667 là hằng số được Christides và Barr tính toán từ thí nghiệm

Độ cứng chống uốn gần vết nứt,El e( ) được xác định là

1

1 2

suy giảm độ cứng l c được tính gần đúng là: l c =1.5×h [156] Mô hình này có ưu

điểm là xét đến sự suy giảm độ cứng liên tục xung quanh tiết diện có vết nứt, nhưng

do EI thay đổi dọc trục nên việc giải phương trình vi phân chuyển động của dầm có vết nứt là khá phức tạp Do đó mô hình này ít được nghiên cứu và chỉ được dùng

trong phương pháp PTHH Đối với vật liệu FGM, đã có một số tác giả sử dụng mô hình này để tính toán [98]

1.4.4 Mô hình lò xo đàn hồi

Vết nứt ngang xuất hiện trong kết cấu làm suy giảm độ cứng dẫn đến làm thay đổi đặc trưng động lực học Khi đó vết nứt có thể mô hình hoá thành những liên kết mềm, mà để đơn giản và phù hợp với sơ đồ tính kết cấu, được lấy là mô hình lò xo

đàn hồi tuyến tính có chuyển vị tỷ lệ với tác động (Hình 1.9) Mô hình này thuận

tiện cho tính toán nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết, do đó được nhiều tác

giả trên thế giới và trong nước nghiên cứu

a) Mô hình lò xo của vết nứt trong thanh bằng vật liệu đồng nhất

Đối với vật liệu đồng nhất, các tác giả [18, 117, 121, 122, 128] đã tìm ra mối liên hệ giữa độ cứng lò xo và mức độ vết nứt, đồng thời xây dựng các công thức thực nghiệm xác định độ cứng lò xo thay thế Dưới đây là mô hình lò xo tương đương được sử dụng nhiều trong các tài liệu

Xét thanh thẳng tiết diện hình chữ nhật có chiều rộng b và chiều cao h, mômen quán tính I, môđun đàn hồi E và hệ số Poisson  Trên thanh có vết nứt mở 1 phía

tại vị trí x j với độ sâu a j (Hình 1.10a) Khi đó, vết nứt tại vị trí x j được mô hình hoá bằng các lò xo đàn hồi có độ cứng tương đương như sau:

- Khi thanh chịu kéo, nén dọc trục (Hình 1.10b) [122]

2 1

- Khi thanh chịu uốn phẳng (Hình 1.10c) [121]

Hình 1.10: Mô hình vết nứt mở một phía quy đổi sang lò xo đàn hồi