Tính thế tương tác nguyên tử hiệu dụng, biểu thức tán sắc và dao động nguyên tử thực của tinh thể chứa tạp chất trong lý thuyết XAFS đối với tinh thể cấu trúc BCC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- NGUYỄN THANH HUYỀN TÍNH THẾ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ HIỆU DỤNG, BIỂU THƯC TÁN SẮC VÀ DAO ĐỘNG NGUYÊN TỬ THỰC CỦA TINH THỂ CHỨA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THANH HUYỀN

TÍNH THẾ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ HIỆU DỤNG, BIỂU THƯC TÁN SẮC VÀ DAO ĐỘNG NGUYÊN TỬ THỰC CỦA TINH THỂ CHỨA TẠP CHẤT TRONG LÝ THUYẾT XAFS

ĐỐI VỚI TINH THỂ CẤU TRÚC BCC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THANH HUYỀN

TÍNH THẾ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ HIỆU DỤNG, BIỂU THƯC TÁN SẮC VÀ DAO ĐỘNG NGUYÊN TỬ THỰC CỦA TINH THỂ CHỨA TẠP CHẤT TRONG LÝ THUYẾT XAFS

ĐỐI VỚI TINH THỂ CẤU TRÚC BCC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 60440103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN HÙNG

Hà Nội - Năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy

GS.TSKH Nguyễn Văn Hùng, thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian

em làm luận văn này Được làm việc với thầy đối với em thực sự có ý nghĩa to lớn, thầy không chỉ dạy bảo em về mặt kiến thức mà còn giúp em tự tin có ý chí phấn đấu hơn công việc, nhờ tác phong làm việc khoa học của thầy

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết đã nhiệt tình truyền đạt kiến thức và tạo điều kiện cho em hoàn thành luận

văn

Xin chân thành cảm ơn các bạn trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết đã đóng góp

ý kiến quý báu giúp em hoàn thiện luận văn luận văn Ngoài ra, em muốn gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè cùng những người thân yêu nhất đã hết lòng động viên, khích lệ, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua

Học viên

Nguyễn Thanh Huyền

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG MẠNG 4

1.1 Phương trình chuyển động của dao động mạng .4

1.2 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm một loại nguyển tử .8

1.3 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử 11

1.4 Dao động của mạng thực – Dao động định xứ 16

1.5 Hệ số Debye – Waller 21

CHƯƠNG 2: XẤY DỰNG CÁC BIỂU THỨC TÍNH THẾ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ HIỆU DỤNG, BIỂU THỨC TÁN SẮC, DAO ĐỘNG MẠNG THỰC VÀ HỆ SỐ DEBYE –WALLER CỦA TINH THỂ CHỨA TẠP CHẤT TRONG CẤU TRÚC BCC 23

2.1 Cấu trúc mạng tinh thể bcc 23

2.1.1 Liên kết kim loại 23

2.1.2 Cấu trúc mạng tinh thể bcc (body centered cubic) 24

2.2 Biểu thức tính thế tương tác nguyên tử hiệu dụng của tinh thể chứa tạp chất trong cấu trúc bcc 25

2.3 Biểu thức tán sắc của tinh thể chứa tạp chất trong cấu trúc bcc 29

2.4 Dao động của mạng thực 31

2.5 Tính hệ số Debye – Waller hay cumulant bậc 2 σ 2 32

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH SỐ VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ 34

3.1 Tính số đối với các tham số nhiệt động khi Fe nhiễm W và Cr và thế hiệu dụng 34

3.1.1 Thế Morse đối với nguyên tử Fe, W, Cr và Fe-W, Fe-Cr 35

3.1.2 Thế tương tác nguyên tử hiệu dụng điều hòa của Fe, W, Cr, Fe-W, Fe-Cr.36 3.2 Đường cong tán sắc 37

3.2.1 Đường cong tán sắc của Fe, W, Cr 37

3.2.2 Đường cong tán sắc của Fe-W, Fe-Cr với các nhánh âm và nhánh quang. 39

3.4 Sự dịch pha của dao động nguyên tử Fe khi bị nhiễm tạp W và Cr 43 3.5 Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số Debye-Waller của Fe, W, Cr, Fe-W, Fe-Cr 45 3.6 Sự phụ thuộc nhiệt độ của biên độ dao động nguyên tử của Fe, W, Cr và Fe-W, Fe-Cr 46 KẾT LUẬN CHUNG 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1: Tọa độ các nguyên tử 27 Bảng 2: Các thông số hệ số [2] 34 Bảng 3: Các giá trị tính toán của Fe khi nhiễm tạp chất W, Cr 35

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.2.1 Hệ một chiều gồm một loại nguyên tử 8

Hình 1.2.2 Biểu thức tán sắc cho hệ một chiều gồm một loại nguyên tử 10

Hình 1.3.1 Hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử 11

Hình 1.3.2 Biểu thức tán sắc cho hệ một chiều hai loại nguyên tử 13

Hình 1.3.3 Dao động âm học 14

Hình 1.3.4 Biểu diễn nhánh âm và nhánh quang 16

Hình 1.3.5 Hình biểu diễn sóng dọc L và sóng ngang T 16

Hình 2.1.1 Liên kết kim loại gồm cation (+) ở nút mạng và electron hóa trị (e) chuyển động tự do 23

Hình 2.1.2 Các loại mạng tinh thể kim loại 24

Hình 2.1.3 Cấu trúc mạng tinh thể lập phương tâm khối 24

Hình 2.2.1 Hình vẽ mô tả việc xác định tọa độ của các nguyên tử 27

Hình 3.1.1a Thế Morse đối với nguyên tử Fe, W và Fe-W 35

Hình 3.1.1b Thế Morse đối với nguyên tử Fe, Cr và Fe-Cr 36

Hình 3.1.2a Thế tương tác nguyên tử hiệu dụng điều hòa của Fe, W và Fe-W 36

Hình 3.1.2b Thế tương tác nguyên tử hiệu dụng điều hòa của Fe, Cr và Fe-Cr 37

Hình 3.2.1a Đường cong tán sắc của Fe 37

Hình 3.2.1b Đường cong tán sắc của W 38

Hình 3.2.1a Đường cong tán sắc của Cr 38

Hình 3.2.2a Đường cong tán sắc của Fe-W với các nhánh âm và nhánh quang 39

Hình 3.2.2b Đường cong tán sắc của Fe-Cr với các nhánh âm và nhánh quang 39

Hình 3.2.2c Đường cong tán sắc của Fe-W và Fe-Cr với các nhánh âm và nhánh quang. 40

Hình 3.3a Dao động nguyên tử của Fe khi nhiễm tạp W 41

Hình 3.3b Dao động nguyên tử của Fe khi nhiễm tạp Cr 41

Hình 3.3c Dao động nguyên tử của Fe – W và Fe – Cr 42

Hình 3.4a Sự dịch pha của dao động nguyên tử Fe khi bị nhiễm tạp W 43

Hình 3.4b Sự dịch pha của dao động nguyên tử Fe khi bị nhiễm tạp Cr 43

Hình 3.4c Sự dịch pha của dao động nguyên tử Fe-W và Fe-Cr 44 Hình 3.5a Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số Debye-Waller của Fe, W, Fe-W 45 Hình 3.5b Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số Debye-Waller của F, Cr, Fe-Cr 45 Hình 3.6a Sự phụ thuộc nhiệt độ của biên độ dao động nguyên tử của Fe, W, và Fe-W 46 Hình 3.6b Sự phụ thuộc nhiệt độ của biên độ dao động nguyên tử của Fe, Cr và, Fe-Cr.

46

MỞ ĐẦU

Ngày nay, những thành tựu Khoa học kỹ thuật đóng vai trò to lớn trong việc thúc đẩy nhiều ngành nghề phát triển, trong đó không thể không kể đến sự phát triển của các bộ môn Khoa học nói chung và Vật lý hiện đại nói riêng Nền tảng cốt lõi của của sự phát triển đó chính là sự nghiên cứu các tính chất vật lý của vật rắn, tương tác giữa các nguyên tử trong vật rắn, các tham số nhiệt động, các tham số cấu trúc và hiệu ứng dao động nhiệt nguyên tử của các hệ vật liệu Cho nên nó được phát triển rộng rãi trên cả mảng lý thuyết lẫn thực nghiệm với nhiều phương pháp khác nhau

Sử dụng phương pháp XAFS là một phương pháp hữu nghiệm trong việc xác định cấu trúc vật thể không những thích hợp với các vật liệu có cấu trúc định hình

mà còn rất ưu thế đối với việc nghiên cứu các vật liệu có cấu trúc vô định hình Sự phát triển rộng rãi của kỹ thuật này không chỉ vì bản chất lượng tử của nó mà còn vì những lợi ích thực tiễn đã mang lại cho nhiều ngành nghiên cứu khác Tính ưu việt của phương pháp này cho ta thông tin về số nguyên tử trên quả cầu phối vị và ảnh Fourier của các phổ trên cho thông tin về bán kính của các quả cầu này

XAFS là kết quả của quá trình hấp thụ trong đó do tác dụng của photon tia X điện tử chuyển từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối Cụ thể là dưới tác dụng của photon tia X một quang điện tử phát ra khỏi nguyên tử Nó bị tán xạ bởi các nguyên

tử lân cận rồi quay trở lại giao thoa với sóng của quang điện tử mới phát ra và cho

ta hình ảnh về cấu trúc tinh thể Do chuyển động giữa chùm các nguyên tử bao quanh nguyên tử hấp thụ hay nguyên tử trung tâm nên phổ XAFS không chỉ cho thông tin về cấu trúc mà còn cung cấp thông tin về các tính chất nhiệt động của các nguyên tử dao động cấu thành vật thể

Dao động mạng thực thường liên quan đến sự có mặt của nguyên tử tạp chất

Và nghiên cứu các tính chất nhiệt động học của các tinh thể trong những trường hợp này là một đề tài thú vị [3, 4] Dao động nguyên tử luôn luôn bị chi phối bởi các thế tương tác Thế Morse đã được tính toán [3, 11] nhưng với thế tương tác đơn cặp tinh khiết này không đủ để mô tả dao động nguyên tử [6] và mô hình thế tương tác

hiệu dụng đã phát triển để xem xét bằng số lực địa phương trong nghiên cứu XAFS (X- ray Absorption Fine Structure) [8, 10, 11] Đối với hệ gồm hai loại nguyên tử người ta xây dựng thế tương tác hiệu dụng với đóng góp của các thế tương tác cặp một chiều [6, 7] Các hiệu ứng tán sắc cho ta một liên hệ giữa tần số dao động và số sóng trong vùng Brillouin thứ nhất của vật rắn

Thế tương tác và hằng số lực có ý nghĩa quan trọng cho nghiên cứu các đặc tính vật lý, chẳng hạn như các tham số nhiệt động của mạng tinh thể Trong đó, các Cumulant bậc nhất hay độ giãn nở mạng, cumulant bậc hai hay hệ số Debye – Waller, cumulant bậc ba hay độ dịch pha của phổ XAFS… đã được xem xét rất nhiều cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm trong phương pháp cấu trúc tinh thể của hiện tượng hấp thụ tia X Nó cũng rất quan trọng trong việc nghiên cứu các đặc tính nhiệt động học của hệ vật chất khi có sự pha tạp các nguyên tử hoặc là của các hệ hợp kim Một nghiên cứu quan trọng cả về thực nghiệm lẫn lý thuyết đối với thế tương tác nguyên tử và các hằng số lực địa phương trong các hệ vật liệu có chứa tạp chất đã được thực hiện Công trình này đã được công bố tại tạp chí Physical Review

B – (2004) [12] Các kết quả thực nghiệm đã được phân tích trên cơ sở mô hình Einstein tương quan phi điều hòa [8], trong đó dựa vào các lực địa phương mô hình

bỏ qua các hiệu ứng tán sắc Tuy nhiên để tính các hiệu ứng tán sắc đặc biệt trong trường hợp hệ gồm hai loại nguyên tử, ta có thể sử dụng mô hình Debye tương quan phi điều hòa, tức là mô hình trong đó các nguyên tử dao động trong một dải tần số cực đại là tần số Debye để có thể tính các nhánh tần số âm và quang, trong dao động nguyên tử điều này sẽ thuận tiện khi xét các dao động thực đối với các tinh thể

có chứa nguyên tử tạp chất

Mục đích của luận văn thạc sĩ này là xây dựng phương pháp lý thuyết trong tính toán và định giá các biểu thức tán sắc, các dao động nguyên tử, hệ số Debye Waller trong XAFS đối với các tinh thể cấu trúc bcc có chứa nguyên tử tạp chất sử dụng phương pháp thế hiệu dụng gồm có các tham số thế Morse

Nhiệm vụ chính: Xây dựng các biểu thức giải thích để tính thế hiệu dụng phi

quang, vùng cấm giữa các nhánh này, tần số và nhiệt độ Debye, sự biến đổi biên độ

và pha của dao động thực trong chuỗi nguyên tử có chứa nguyên tử tạp chất cũng như sự định xứ của dao động nguyên tử tạp chất

Lập trình một số thảo luận kết quả

Phương pháp chính được sử dụng trong bài luận văn này là phương pháp đại

số và phương pháp thống kê lượng tử Các hiệu ứng phi điều hòa là kết quả của tương tác phonon – phonon Mô hình sử dụng là mô hình Debye tương quan phi điều hòa, nó được xây dựng trên cơ sở thống kê lượng tử và phương pháp thế hiệu dụng

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày đại cương về dao dộng mạng Trong chương này tính toán được độ dịch pha và độ dịch chuyển của các nguyên tử khi mạng tinh thể có khuyết tật (1.3) Biểu thức của hệ số Debye Waller cũng được dẫn ra trong chương này Các kết quả của luận văn được trình bày chủ yếu tại chương 2 và chương 3 Chương 2: Xây dựng công thức tính hệ số đàn hồi hiệu dụng cho tinh thể có cấu trúc lập phương tâm khối (bcc) dựa trên thế tương tác hiệu dụng có bao chứa thế Morse đặc trưng cho tương tác cặp (thế Morse) Từ đó áp dụng vào xây dựng biểu thức tán sắc (biểu thức sự phụ thuộc của tần số dao động vào số sóng) và tính

hệ só Debye Waller dựa trên mô hình Debye tương quan phi điều hòa

Chương 3: Áp dụng tính số thảo luận Trên cơ sở đó các biểu thức thu được ở chương 2 được áp dụng số liệu tính số cho tính thế Fe có chứa nguyên tử tạp chất W

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG MẠNG

1.1 Phương trình chuyển động của dao động mạng

Vật rắn là kết quả của sự liên kết các phần tử hay nguyên tử lại với nhau bằng các lực nhất định, như lực Van – der – walls [2] Các nguyên tử này luôn dao động xung quanh vị trí cân bằng và chúng nằm trong chuyển động nhiệt của toàn vật thể

Để nhận được phổ dao động của toàn mạng ta cần xuất phát từ các lực địa phương và mô tả chuyển động một cách đầy đủ Khi dao động, vị trí của nguyên tử dịch chuyển trên một giá trị u nào đó Do dao động nhỏ, nên ta cá thể phân tích thế năng tương tác  giữa các nguyên tử thành chuỗi Taylor theo các thành phần Decartes u kn là độ dịch chuyển của nguyên tử k tại ô mạng n, trong đó α, (α,β) = x,

y, z:

' ' ' ' 'k'' 'n'' ' ' '' '' ' ' '' ''

Tại các đạo hàm, chỉ số 0 ký hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng

Ta sử dụng phương pháp Lagrange để xây dựng phương trình chuyển động của dao động mạng tinh thể, trong đó động năng có dạng.:

2 2

' ' ' '. ' '

' '

1 2

Ta giới hạn ở dao động tử điều hòa, nên trong (1.1.3) chỉ còn thành phần với

đạo hàm bậc 2 và bỏ qua các số hạng gần đúng bậc cao vì chúng mô tả các đóng

góp phi điều hòa

Hệ phương trình chuyển động trên bao gồm vô số các phương trình vi phân

Ta xét các hệ phía bên phải (1.1.3)

2

; ' ' ' ' 0

Chúng đóng vai trò hệ số đàn hồi đối với dao động giữa các nguyên tử k tại ô

mạng n và k’ tại ô mạng n’ Các hệ số trên tạo thành các số hạng của một tenxơ Khi

đó phương trình (1.1.3) có thể viết dưới dạng vectơ đơn giản hơn:

Mỗi số hạng trong tổng phía bên phải là các lực tác dụng lên nguyên tử k nằm

trong ô mạng n, nó được tạo lên bởi nguyển tử k’ trong ô mạng n’ khi nó dịch

chuyển vị trí trên một giá trị u k n' ' Ta giả thiết là thế năng tổng của mạng chỉ do các

lực giữa các cặp nguyên tử tạo nên, vì vậy có thể viết ngay phương trình khi biết lực

tác dụng giữa các nguyên tử Các lực này không phụ thuộc vào vị trí tuyệt đối của

các ô mạng n và n’, mà chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng là hR n'R n

dịch tịnh tiến, nghĩa là khi chuyển từ chỉ số n sang n” ta lại nhận được chính hệ số

đó

Giả sử ta tìm được một nghiệm của phương trình trên là tập hợp các hàm của thời gian mà nó mô tả u kn đối với từng giá trị của R n Khi đó các hàm này phải thỏa mãn định lý Bloch Như vậy tồn tại một vectơ sóng q sao cho:

( ) iq R. n ,0( )

u t e u t (1.1.8) Trong đó u k,0( )t là độ dịch chuyển trong ô mạng mà ở đó có gốc tọa độ đối với các vectơ mạng R n Cần lưu ý rằng trong tất cả các ô mạng các nguyên tử chuyển động cùng hướng và cùng biên độ, chỉ có pha thay đổi khi chuyển động từ ô mạng này sang ô mạng khác

Đặt (1.1.8) vào (1.1.7) ta nhận được:

  .

' ',0 '

(1.1.11) chỉ chứa 3s phương trình, đó là 3 phương trình thành phần đối với một trong các giá trị của chỉ số k

Như trong lý thuyết dao động ta phải giả thiết là U kq chứa thừa số thời gian dưới dạng:

U k q' ( )t U k q' (0)e i t (1.1.13) Trong đó là tần số của dao động

Thay (1.1.13) vào (1.1.11) ta có thể nhận được hệ 3s phương trình:

Ta xét có 3s nghiệm j:

  j( )q ; j= 1,2,3….3s (1.1.16) Các biểu thức tán sắc này rất quan trọng mà ta sẽ thấy sau Sử dụng các giá trị

2

 sẽ được các U k q' (0) và từ đó tìm được U k q' ( ).t

Thực tế là ta tìm 3s dao động chuẩn của s nguyên tử trong một ô mạng cơ sở, trong đó ta đã giả thiết là sự tương tác giữa các nguyên tử này được mô tả bởi tenxơ lực G kk' q , mà chúng khác nhau đối với các vectơ sóng khác nhau Trong phương trình (1.1.14) đối với tenxơ

1.2 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm một loại nguyển tử

Giả sử ta có chuỗi các nguyên tử trong hệ một chiều mà mỗi ô mạng chỉ có một nguyên tử với khối lượng M và nó chỉ tương tác với các nguyên tử gần nhất (H1.2.1).Từ (1.1.1) ta dễ dàng nhận được thế năng tương tác cho trường hợp này

2 1

Hình 1.2.1 Hệ một chiều gồm một loại nguyên tử

Lực tương tác ở đây là lực đàn hồi nên  là hằng số lực hay hệ số đàn hồi Các nguyên tử với khối lượng M, liên kết với nhau qua các lò xo với lực đàn hồi 

Do dao động mà nguyên tử ở vị trí n sẽ dịch chuyển một khoảng u n, nguyên tử ở vị trí (n – 1) sẽ dịch chuyển một khoảng u n1và nguyên tử ở vị trí (n +1) sẽ dịch chuyển một khoảng u n1 Như vậy ta xét thế năng tương tác giữa nguyên tử n với các nguyên tử lân cận n 1 có khoảng cách bằng a (hằng số mạng) (H2.2.1) Khi đó

từ (1.1.5) ta nhận được phương trình chuyển động:

Mu n (u nu n1)(u nu n1) (2u nu n1u n1) (1.2.2) Cách giải phương trình này cũng tương tự như trong mục 1.1 nghĩa là coi nghiệm u n chứa một thừa số biểu diễn sự phụ thuộc thời gian dưới dạng:

( ) 0

2 i q t

u   U e (1.2.5) ( )

Nó có dạng tương tự phương trình (1.1.14) Đó là phương trình dao động của

mộ dao động tử điều hòa đơn giản Muốn giải phương trình này ta đặt định thức

2 4 sin2 0

2

q

qa M



Đó là biểu thức tán sắc, tức là sự phụ thuộc của tần số dao động vào số sóng

mà được mô tả trên (H1.2.2)

Hình 1.2.2 Biểu thức tán sắc cho hệ một chiều gồm một loại nguyên tử

Kết quả trên đã đưa tới nhận xét sau đây:

1 Biểu thức (1.2.8) cho thấy tất cả các dao động khả dĩ được xác định qua các

2 Đối với các giá trị nhỏ của q (qa <<1) mà bước sóng 2

q



 , nghĩa là đối với sóng dài, ta nhận được:

sin

qa M





   (1.2.11) Vận tốc truyền sóng, tức vận tốc truyền năng lượng trong môi trường, sẽ là hằng số

 

1.3 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử

Ta xét một chuỗi tuyến tính gồm các nguyên tử có khoảng cách và hằng số lực (hệ số đàn hồi) bằng nhau như trước đây, nhưng với hai loại khối lượng M1M2,

mà chúng tương tác với nhau (H1.3.1) Như vậy ta có ô mạng cơ sở với hai nguyên

tử khác nhau và hằng số mạng là 2a

Hình 1.3.1 Hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử

Gọi u 1.n và u 2.n là độ dịch chuyển của M1 và M2tại vị trí n, u1.n2 và u2.n2 là

độ dịch chuyển của nguyên tử M1 và M2 tại vị trí n+2 và, u1.n2 và u2.n2là độ dịch

chuyển của nguyên tử M1 và M2tại vị trí n – 2 Đồng thời phân tích ta nhận được:

u  U e (1.3.3)

2 2

i t n

2 2

i t n

Các nghiệm trên được biểu diễn trên H1.3.2 như các hàm của số sóng q và đồ

Hình 1.3.2 Biểu thức tán sắc cho hệ một chiều hai loại nguyên tử

1 Nhánh âm ứng với nghiệm : Từ (1.3.7) ta thấy:

Như vậy, nhánh ứng với  có dạng giống như chuỗi có chứa một loại nguyên

tử Tại tâm BZ q = 0 nên  0và gần tâm vùng BZ theo (1.3.8) tần số tỷ lệ với q,

do đó vận tốc truyền năng lượng dao động là hằng số như (1.2.12), cụ thể là:

+

+ +

+ +

+

-

-

-

-

2 Nhánh quang ứng với nghiệm  Từ (1.3.7) ta nhận được:

điểm của mạng tinh thể có nhiều nguyên tử trong một ô cơ số Trong trường hợp này ở biên BZ1 có vùng cấm Sóng ứng với tần số trong khu vực đó không lan truyền trong tinh thể được mà bị hấp thụ mạnh

Ta có thể xét việc chuyển từ ô mạng chứa một nguyên tử sang ô mạng chứa 2 nguyên tử Giả thiết rằng trong trường hợp đầu một ô mạng cơ sở có 2 nguyên tử cùng khối lượng Khi đó tại

2

q a

một phép tịnh tiến AB và AB’ trên một đoạn

a



 , nghĩa là trên một véc tơ mạng

đảo, từ H1.2.4a nhận được H1.3.4b Khi đó nhánh quang và nhánh âm gặp nhau và kiên tục tại

2a



 Nếu khối lượng của hai nguyên tử trong ô mạng cơ sở khác nhau

sẽ dẫn đến xuất hiện một vùng biên mới tại

2a



 Tần số trên các vùng biên này

không còn liên tục nữa, mà xuất hiện các khe được biểu diễn trên H1.3.4c

Trong trường hợp hệ 3 chiều sẽ có 3 dạng khác nhau của các sóng âm chuyển

đi với tốc độ khác nhau Sự khác nhau cơ bản của 3 sóng âm trên nằm trong sự phân cực Trong một môi trường đẳng hướng, ta có một sóng phân cực dọc, nghĩa là véctơ chuyển dịch của mỗi nguyên tử chỉ theo hướng chuyển dịch của sóng và hai sóng kia có cùng tốc độ, nhưng phân cực ngang, nghĩa là các nguyên tử chuyển động trên mặt vuông góc với véctơ sóng Nói chung sóng dọc có tốc độ truyền sóng lớn hơn tốc độ của sóng ngang, nên các mặt với tần số không đổi trong không gian

q được biểu diễn trên H1.3.5a Tuy nhiên, một vật rắn thường không đẳng hướng Tốc độ truyền sóng phụ thuộc vào hướng Do đó, các mặt với tần số không đổi sẽ

khác với mặt cầu như biểu diễn trên H1.3.5b Trên H1.3.5a ta kí hiệu L đối với sóng dọc và T đối với sóng ngang

Hình 1.3.4 Biểu diễn nhánh âm và nhánh quang

Hình 1.3.5 Hình biểu diễn sóng dọc L và sóng ngang T

Theo tính chất bất biến đối với chuyển dịch tịnh tiến, các nghiệm đối với véctơ sóng '

q  q g đồng nhất với các nghiệm đối với véc \tơ sóng q nên tần số qtuần hoàn với chu kì g Vì vậy, các mặt với tần số không đổi trên H1.3.4 sẽ được lặp lại trong toàn không gian (trong sơ đồ lặp lại) [2]

1.4 Dao động của mạng thực – Dao động định xứ

Cho đến nay ta mới xét các trường hợp lý tưởng của chuỗi các nguyên tử không có một nhiễu loạn nào cả [2] Thực tế mạng tinh thể luôn có khuyết tật Ta xét các trường hợp đơn giản nhất là chuỗi tinh thể tuyến tính trong đó nguyên tử ở điểm khuyết tật có khối lượng là M0 M(1) tại điểm ứng với chỉ số thứ tự

nguyên tử l= 0 và độ dịch chuyển của nó là u0(H1.4.1) ( có thể âm hoặc dương) Nói chung hằng số lực hay hệ số đàn hồi đối với nguyên tử khuyết tật có thay đổi

mà ta ký hiệu là 0 và tiếp theo ta sử dụng tỷ lệ  / 0 æ Như vậy ta có thể suy xét cả trường hợp chuỗi các nguyên tử có khối lượng như nhau (  0) nhưng trong

đó hằng số lực có thay đổi do chuỗi có thay đổi do chuỗi nguyên tử có một sai lệch địa phương nào đó

Lý luận tương tự ta có được hệ các phương trình:

2

2 ax

2 ax

tan

21

m

b a

gốc tọa độ tại l=0 cụ thể là:

+ Phản đối xứng: u l  ul nghĩa là c10và sinφl = 0 Như vậy u00và

+ Đối xứng: u l ulnghĩa là c2 0 Góc φ được nhận từ (1.4.9) Phương trình (1.4.5) về hình thức phản ánh chuỗi không bị nhiễu, cho nên nếu thay biểu thức tán sắc (1.2.15) vào (1.4.9) sẽ nhận được φ=qa Ta giả thiết nhiễu loạn là nhỏ và giải phương trình (1.4.3) với:

u l cos(qa l ) (1.4.11) Thay (1.4.11) vào (1.4.3), đồng thời sử dụng (1.2.15) và các công thức về lượng giác ta sẽ nhận được:

Trường hợp 2: Ta xét trường hợp   max: Phương trình (1.4.5) cũng có phương trình đặc trưng (1.4.7) với nghiệm (1.4.8), nhưng các nghiệm này không có dạng liên hợp phức (1.4.8’) mà có dạng:

4

m æ

Thay (1.4.19) vào (1.4.15) hay (1.4.7) ta nhận được độ dịch chuyển:

( 1) (1 )

(1 ) 2

l l

Ta giải thích ý nghĩa vật lý của các kết quả nhận được

+ Đối với   maxphương trình (1.4.20) mô tả dao động mà biên độ của nó với khoảng cách xa nguyên tử lạ bị giảm mạnh và các nguyên tử lân cận dao động

nghịch pha với nhau Dao động này được định xứ xung quanh nguyên tử lạ tại l=0

Khi giải bài toán ta đặt l  1 và 0 Điều đó nghĩa là theo (1.4.19) khi

0

æ   thì 0   1 Khi đó nguyên tử lạ với khối lượng M0 (1 )Mnhỏ hơn nguyên tử lạ khác chuỗi Nghĩa là với   0đã có các dao động với   maxnhư công thức thứ nhất của (1.4.22) Còn khi khối lượng của các nguyên tử bằng nhau (ε=0) và   0(æ1)thì theo công thức thứ hai của (1.4.22) các dao động cũng xảy

ra với các   max

+ Trường hợp   maxđược xem xét liên quan đến các dao động cộng hưởng chuẩn định xứ đặc trưng bởi tăng biên độ dao động của nguyên tử lạ Lý thuyết về dao động trên bề mặt cũng khá thú vị Những dao động định xứ trên bề mặt và giảm dần khi đi vào trong tinh thể