ĐỀ bài toán cực trị trong hình giải tích trong không gian có lời giải chi tiết

Mục tiêu đề thi: Đề thi xét các bài toán tìm điểm thuộc mặt phẳng, điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt cầu để giá trị của một biểu thức T nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất... Tìm

Trang 1

ĐỀ THI ONLINE –TÌM ĐIỂM CÓ YẾU TỐ MIN - MAX

I Mục tiêu đề thi:

Đề thi xét các bài toán tìm điểm thuộc mặt phẳng, điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt cầu để giá trị của một biểu thức T nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

II Nội dung đề thi

Câu 1 (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y 2z 6 0 Tìm M ( )P

sao cho  2 2 2 

x y z nhỏ nhất

A M(1;3;1) B M(3;1;1) C M1;1; 2 D 1 7 5; ;

3 3 3

Câu 2 (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1; 1), ( 1;3; 1) B   và mặt phẳng ( ) :P x y 2z 6 0 Tìm M( )P sao cho MA MB nhỏ nhất

A M(1;3;1) B M(0;0;3) C M(6;0;0) D M(2; 2;1)

Câu 3 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1), ( 1;3; 1), (0, 2,5) B   C và mặt phẳng ( ) :P x y 2z 6 0 Tìm M( )P sao cho MA MB MC  nhỏ nhất

A M(1;3;1) B M(3;1;1) C 7 1 5; ;

3 3 3

1 7 5

; ;

3 3 3

Câu 4 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (1;1; 1), ( 1;3; 1), (0, 2,3)A  B   C và mặt phẳng ( ) :P x y 2z 6 0 Tìm M( )P sao cho MA MB 2MC nhỏ nhất

A M(1;3;1) B M(3;1;1) C 7 1 5; ;

3 3 3

1 7 5

; ;

3 3 3

Câu 5 (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (1;1;1), ( 1;3; 1), (0, 2,3)A B   C và mặt phẳng ( ) :P x y 2z 6 0 Tìm M( )P sao cho MA2MB3MC nhỏ nhất

A M 1 43 16; ;

18 18 9

1 43 16

18 18 9

1 4 16

M ; ;

18 9 9

1 7 5

; ;

3 3 3

Câu 6: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 2;1)và B(2;0; 4)và ( ) :P x   y z 4 0 Tìm M( )P sao cho (MA+MB) min

A M2; 2; 0 B. 2 4; ; 2

3 3

1 2 4

; ;

3 3 3

Câu 7: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 2;1)và B(2;0; 4)và ( ) :P x  y z 0 Tìm M( )P sao cho (MA+MB) min

Trang 2

A 2; 2; 0

3 3

; 0;

2 2

; 0;

3 3

2 2

; ; 0

3 3

 

Câu 8: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0;1), B( 1;1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình ( ) :P x   y z 1 0 Tìm M ( )P sao cho MA MB max

A. 2; ;4 1

3 3

  

3 3 3

  

3 3

  

3 3

   

M

Câu 9: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0)và B(1;0; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình ( ) :P x2y  z 2 0 Tìm M( )P sao cho MA MB max

A. 1; 0;3

2 2

  B M3; 0; 1  C.M1;0;3 D M0;1;0

Câu 10: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d x: 2y3z và A(0;0;1), (0;1;0)B Tìm ( )

M d sao cho MA2MB2 min

A M( 6; 3; 2)   B M(6;3; 2) C 15; 15; 5

49 98 49

15 15 5

; ;

49 98 49

Câu 11 (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) , B(2; 0;1) Tìm tọa độ điểm M thuộc trong mặt phẳng (Oyz) sao cho : 2 2

MA MB đạt giá trị bé nhất

A M(0;1; 0) B M(0; 2;1) C M(0;1; 2) D M(0; 1;1)

Câu 12: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho :d x y z và (0;0;1), (0;1;0)A B Tìm ( )

M d sao cho AM BM min

A M( 1; 1; 1)   B M(1;1;1) C 1 1 1; ;

3 3 3

1 1 1

; ;

3 3 3

M   

Câu 13: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d x:  y z và A(0;0;1), (0;1;0), (1;0;0)B C Tìm M( )d sao cho AMBMCM min

A M( 1; 1; 1)   B M(1;1;1) C 1 1 1; ;

3 3 3

1 1 1

; ;

3 3 3

M   

Câu 14(thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;1), (0;1;0), (1;0;0)B C và phương trình :

d x  y z Tìm Mdsao cho MA MB MC  min

A M( 1; 1;1)  B M(1;1; 1) C. 1 1; ; 1

3 3 3

1 1 1

; ;

3 3 3

Câu 15 (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 3

  Tìm

Mdsao cho OM đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 3

A M(4; 4; 4) B 8 4 16; ;

7 7 7

8 4 16

; ;

7 7 7

  D M1; 2;3

Câu 16 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;3) và đường thẳng

:

d     

Gọi B là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oyz) Tìm Mdsao cho BM đạt giá trị nhỏ nhất

A 10 16 22; ;

7 7 7

2 8 18

; ;

7 7 7

4 12 20

; ;

7 7 7

8 4 16

; ;

7 7 7

Câu 17 (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d x:    y 1 z 1 và

(2;1;0), ( 4; 5;3)

A B   Tìm M( )d sao cho (MA+MB) nhỏ nhất

A.M( 1; 2;0)  B M(1;0; 2) C.M(2;1;3) D M(0; 1;1)

Câu 18 (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d x:    y 1 z 1 và

(2;1;0), ( 4; 5;3)

A B   Tìm M( )d sao cho MA MB nhỏ nhất 

A.M 1; 0;1

2

 

  

Câu 19 (vận dụng cao)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

2 4 2 3 0

x y z  x y z  và mặt phẳng (P) có phương trình 2x y 2z140 Tìm điểm M( )S để ( ; )

d M P đạt GTLN

A M2;1; 2  B M( 1; 1; 3)   C M2;1; 2  D M(1;1;3)

Câu 20 (vận dụng cao)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

( ) :

S x  y  z  

      và mặt phẳng (P) có phương trình x   y z 3 0 Tìm điểm M( )P

để từ M kẻ được đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại N sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất

A 26 8; ; 7

9 9 9

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

Trang 4

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu 1

Phương pháp:

 Vì 2 2 2 2

x y z OM   2 2 2 

x y z đạt giá trị nhỏ nhất MO đạt giá trị nhỏ nhấtM là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P)

 Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của O trên mặt phẳng (P)

Cách làm:

Ta có 2 2 2 2

x y z OM

 2 2 2 

 x M y M z M đạt giá trị nhỏ nhất MO đạt giá trị nhỏ nhất

M là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P)

Ta có: 1;1; 2

(0;0;0)

2

P

x t

O





1 1

1;1; 2

M

         

Chọn C

Câu 2

Phương pháp:

 Vì MA MB  2MI 2MI(với I là trung điểm của AB)  MA MB đạt giá trị nhỏ nhất MI đạt giá trị nhỏ nhấtM là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

 Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Cách làm:

Gọi I là trung điểm của ABI(0; 2; 1)

Ta có MA MB  2MI 2MI

MA MB đạt giá trị nhỏ nhất MI đạt giá trị nhỏ nhấtM là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Ta có: 1;1; 2

(0; 2; 1)

1 2

P

x t

MI n

I





  



Trang 5

Tọa độ của M là nghiệm của hệ

1

(1;3;1)

M

         

         

Chọn A

Câu 3

Phương pháp:

 Vì MA MB MC   3MG (với G là trọng tâm của ABC)  MA MB MC  đạt giá trị nhỏ nhất

MG

 đạt giá trị nhỏ nhấtM là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P)

 Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của G trên mặt phẳng (P)

Cách làm:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABCG(0; 2;1)

Ta có MA MB MC   3MG 3MG

MA MB MC  đạt giá trị nhỏ nhất MG đạt giá trị nhỏ nhấtM là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P)

Ta có: 1;1; 2

(0; 2;1)

1 2

x t

G





1 3 7

; ;

3

2 6 0 6 2 0

1 3

x

y

M

z

t

 



        

 



Chọn D

Câu 4

Phương pháp:

 Tính MA MB 2MC =k.MJ với J là một điểm cố định

 Bài toán đưa về tìm hình chiếu của J trên (P)

Cách làm:

Gọi I là trung điểm của ABI(0; 2; 1)

Trang 6

Ta có MA MB 2MC  2MI2MC 2MIMC

Gọi J là trung điểm của ICJ0; 2;1

Ta có MIMC  2MJ 2MJ

Suy ra MA MB 2MC 4.MJ

2

MA MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất MJ đạt giá trị nhỏ nhất

M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (P)

Ta có: 1;1; 2

(0; 2;1)

1 2

P

x t

MJ n

J





1 3 7

; ;

3

2 6 0 6 2 0

1 3

x

y

M

z

t

 



 

        

 



Chọn D

Câu 5

Phương pháp:

 Tính MA2MB3MC =k.MJ với J là một điểm cố định

 Bài toán đưa về tìm hình chiếu của J trên (P)

Cách làm:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABCG 0; 2;1 

I là một điểm nằm trên BC sao cho

1 x 3

3z 5

z 3

  



             

       

J là trung điểm của GI J 1 13 4; ;

6 6 3

 

Trang 7

Khi đó:

MA 2MB 3MC MA MB MC MB 2MC

3MG MI IB 2 MI IC 3MG 3MI 3 MG MI 3.2.MJ 6MJ

MA 2MB 3MC 6 MJ 6MJ

Nên MA 2MB 3MC  đạt GTNN khi M là hình chiếu của J trên  P

Ta có:

P

1

6

MJ n 1;1; 2

J ; ;

z 2t 3

   



 



                   

Chọn B

Câu 6

Phương pháp:

 Xét vị trí A, B so với bờ là mặt phẳng (P)

 Nếu A, B khác phía với (P) thì MA+MB min khi A, B, M thẳng hàng

 Nếu A, B cùng phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’ ta có MA+MB=MA’+MB Khi đó MA+MB min khi A’, B, M thẳng hàng

Cách làm:

Ta có (x Ay Az A4)(x By Bz B    4) (0 2 1 4)(2 0 4 4)   0

Suy ra A, B khác phía với (P)

Ta có: AMMBABMin(AM MB ) AB A,B,M thẳng hàngM  AB( )P

Phương trình đường thẳng

2 (2; 2;3)

(0; 2;1)

1 3

AB

A





1 3

2

; ; 2 3

4

4 0 3 1 0

3 2

t

M

y

z

 





        

 



Trang 8

Chọn B

Câu 7

Phương pháp:

 Nếu A, B khác phía với (P) thì MA+MB min khi A, B, M thẳng hàng

 Nếu A, B cùng phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’ ta có

MA+MB=MA’+MB Khi đó MA+MB min khi A’, B, M thẳng hàng

Cách làm:

Ta có (x Ay Az A)(x By Bz B)  (0 2 1)(2 0 4)  0

Suy ra A, B cùng phía với (P)

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)

P

x t

AA ' (P) AA ' n (1;1;1)

A(0; 2;1)

z 1 t





Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P) ta có HAA ' ( ) P

Suy ra tọa độ của H là nghiệm của hệ

1

( 1;1; 0)

H

         

Vì H là trung điểm AA’ nên ta có A'( 2; 0; 1) 

Ta có: AMMBA M' MBA B' min(AM MB )A B'  A’,B,M thẳng hàngM  A B' ( )P

2 4 ' (4;0;5)

(2;0; 4)

4 5

A B

B

 



2 3

0

; 0;

2

3

0 9 6 0

2 3

x

y

M

t

  





       

  



Chọn C

Câu 8

Phương pháp:

Trang 9

 Nếu A, B cùng phía với (P) thì MA MB max khi A, B, M thẳng hàng

 Nếu A, B khác phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’ ta có

'

MA MB  MAMB Khi đó MA MB max khi A’, B, M thẳng hàng

Cách làm:

Ta có (x Ay Az A1)(x By Bz B         1) (2 0 1 1)( 1 1 0 1) 0

Suy ra A, B cùng phía với (P)

Ta có: MA MB AB MaxMA MB AB  A,B,M thẳng hàngM  AB( )P

2 3 ( 3;1; 1)

(2;0;1)

1

 



AB

A

2 4

2; ; 1

3

4 3

 





        

 



x

M

t

Chọn A

Câu 9

Phương pháp:

 Nếu A, B cùng phía với (P) thì MA MB max khi A, B, M thẳng hàng

 Nếu A, B khác phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’ ta có

MA MB  MAMB A B Khi đó MA MB max khi A’, B, M thẳng hàng

Cách làm:

Ta có (x A2y Az A2)(x B2y Bz B2) (1 2.2 0 2)(1 2.0 1 2)     0

Suy ra A, B khác phía với (P)

Gọi A’ là điểm đối xứng của A(1; 2;0) qua ( ) :P x2y  z 2 0

Gọi H là hình chiếu của A trên (P) Ta có:

1 (1; 2;1)

(1; 2;0)

P

AH n

A

z t

 



Trang 10

Tọa độ của H là nghiệm của hệ

1 2

1

;1;

1

2

1 2

x

y

H

t

 





        

  



H là trung điểm của AA’ Suy ra A' 0; 0; 1  

Ta có: MA MB  MA'MB A B' maxMA MB A B'  A’,B,M thẳng hàngM A B' ( )P

Phương trình đường thẳng ' 1; 0; 0 1

(1; 0; 1)

1

A B

B

z

 





3; 0; 1

M

         

Chọn B

Câu 10

Phương pháp:

 Lấy Md

 Tính biểu thức 2 2

MA MB

 Biến về bài toán Min, Max

Cách làm:

Phương trình tham số của d x: 2y3zlà:

6 3 2





 



 



Lấy M d M 6 ;3 ; 2t t t

Ta có

6 ;3 ; 2 1 ; 6 ;3 1; 2

49 4 1 49 6 1 2 49 5 1

Trang 11

 2 5 5 2 171 5 2 171 171

           

Dấu = xảy ra khi 7 5 0 5 15 15 5; ;

t   t M 

Chọn D

Câu 11

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

Cho hai điểm A a a a và ( ;1 2; 3) B b b b( ; ; )1 2 3 ta có: 2 2 2

AB AB  b a  b a  b a

Cách làm:

M thuộc trong mặt phẳng (Oyz), giả sử M(0; ; )m n

Ta có

(0 0) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1)

(0 2) ( 0) ( 1) ( 1) 4

Suy ra

2

m

MA M

n







) 8

0

mi

0







Vậy M(0;1;0)

Chọn A

Câu 12

Phương pháp:

 Lấy Md

 Tính giá trị của AM BM

Cách làm:

Lấy M( )d M t t t( ; ; ) Khi đó ta có:

Trang 12

 

2 2

; ; 1

2 ; 2 1; 2 1

; 1;

AM t t t

AM BM t t t

BM t t t



 



 

 

Dấu = xảy ra khi 1

3

t Suy ra 1 1 1; ;

3 3 3

 

Chọn C

Câu 13

Phương pháp:

 Lấy Md

 Tính giá trị của AM BM CM 

Cách làm:

Lấy M( )d M t t t( ; ; ) Khi đó ta có:

; ; 1

1; ;

3 3 1 3 3 1 0

AM t t t





 



3

t Suy ra 1 1 1; ;

3 3 3

 

Chọn C

Câu 14

Phương pháp:

 Lấy Md

 Tính giá trị của MA MB MC 

Cách làm:

Lấy M( )d M t t( ; ;t) Khi đó ta có:

Trang 13

 

  2 2 2

; ; 1

1; ;

AM t t t





  



 

 

3

t  Suy ra 1; 1 1;

3 3 3

 

Chọn D

Câu 15

Phương pháp:

 Lấy Md

 Tính giá trị của OM

Cách làm:

Phương trình tham số của đường thẳng d là

1 3 : 2 2 3

 



  



  



Lấy M( )d M(1 3 ;2 2 ;3 t  t t) Khi đó ta có:

2 2

1 3 ; 2 2 ;3

7

t  Suy ra 8 4 16; ;

7 7 7

 

Chọn B

Câu 16

Phương pháp:

 Tìm tọa độ điểm B là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oyz)

 Lấy Md

 Tính giá trị của BM

Trang 14

Cách làm:

 B là điểm đối xứng của A(1; 2;3) qua mặt phẳng (Oyz)B( 1; 2;3)

 Phương trình tham số của đường thẳng d là

1 3 : 2 2 3

 



  



  



Lấy M( )d M(1 3 ;2 2 ;3 t  t t) Khi đó ta có:

2 2

2 3 ; 2 ;

 

 

 

7

t  Suy ra 2 8 18; ;

7 7 7

 

Chọn B

Câu 17

Phương pháp:

 Lấy Md

 Tính biểu thức MA+MB

Cách làm:

Phương trình tham số của :d x   y 1 z 1 là: 1

1

x t





   



  



Lấy M d M t ; 1 t;1t

Ta có

Xét hàm   2 2

f t  t   2t 3 t  4t 12, tR ta có:

Trang 15

 

f ' t

t 2t 3 t 4t 12

t 2t 3 t 2t 3 t 4t 12 t 4t 12

Do đó f ' t đồng biến trên R  

Mà t 0 là một nghiệm của f ' t 0 nên phương trình f ' t 0 có nghiệm duy nhất t0 Bảng biến thiên:

Dấu “=” xảy ra khi t 0 M 0; 1;1  

Chọn D

Câu 18

Phương pháp:

 Lấy Md

 Tính biểu thức MA MB 

Cách làm:

Phương trình tham số của d x:    y 1 z 1là: 1

1

x t





   



  



Lấy M d M t ; 1 t;1t

Ta có

Trang 16

   

2

2; 2 ; 1 ; 4; 4; 2

2 2; 2 2; 2 1

2 2 2 2 1

Dấu “=” xảy ra khi t 1 M 1; 3 1;

     

Chọn B

Câu 19

Phương pháp:

Đổi hệ trục tọa độ và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopki

Cách làm:

(S) có tâm I1; 2; 1   và bán kính R3

Đổi hệ trục tọa độ với

1 2 1

 



  



  



Khi đó, ta có phương trình mặt phẳng (P) là 2X Y 2Z 12 0 Phương trình mặt cầu (S) trở thành 2 2 2

9

X Y Z  Lấy M a b c( ; ; )( )S Khi đó ta có: 2 2 2

9

a b c 

Ta có: ( , ) 2 2 12

3

a b c

d M P   

Theo bất đẳng thức Bunhiacopki ta có:

9 12 2 2 12 9 12

     

        

       

2

1 2;1; 2

2 1 2

a

 



  



       

Trang 17

Tọa độ điểm M trong hệ trục tọa độ Oxyz là

1

2 ( 1; 1; 3) 1

x a

z c

 



      



  



Chọn B

Câu 20

Phương pháp:

MN IM IN IM R MN IM M là hình chiếu của I trên (P)

Cách làm:

 (S) có tâm 4; 2; 7

3 3 3

I   

 MN tiếp xúc với (S) tại N ta có MN IN

IN R





 

Theo định lý Pitago ta có 2 2 2 2 2

MN IM IN IM R MN IM M là hình chiếu của I trên (P)

Ta có

4 3 1;1;1

2

3

; ;

3

P

MI n

I

  



 

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình

4

3

2

26 8 7

; ; 3

7

3

M

  

         

Chọn A

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	429,23 KB