Tính toán từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- NGUYỄN VĂN TUẤN TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014... 2 ĐẠI HỌC

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN VĂN TUẤN

TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG TRONG

SIÊU MẠNG PHA TẠP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2014

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Văn Tuấn

TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: CH.60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Đinh Quốc Vương

Hà Nội – Năm 2014

3

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG TRONG BÁN DẪN KHỐI 3

1 1 Siêu mạng pha tạp 3

1.1.1 Khái niệm về Siêu mạng pha tạp 3

1.1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong Siêu mạng pha tạp …3

1.2 Tính toán từ trở ngang trong bán dẫn khối bằng phương pháp phương trình động lượng tử. 4

1.2.1 X ây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối 5

1.2.2 Biểu thức giải tích của từ trở trong bán dẫn khối 20

Chương 2: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP 26

2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp 26

2.2 Biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp. 38

Chương 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ, BÀN LUẬN KẾT QUẢ LÝ THUYẾT 54

3.1 Sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường B. 54

3.2 Sự phụ thuộc của từ trở vào biên độ của sóng điện từ E. 55

3.3 Sự phụ thuộc của từ trở vào tần số của sóng điện từ . 56

3.4 Sự phụ thuộc của từ trở vào nhiệt độ T. 56

KẾT LUẬN CHUNG 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

PHỤ LỤC 60

4

LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS Đinh Quốc

Vương Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong quá trình thực hiện

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô

giáo trong bộ môn vật lí lý thuyết – Khoa Vật Lí – trường Đại Học Khoa Học Tự

Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học

tập và hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ

nhiệm khoa Vật Lí, phòng sau đại học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại

Học Quốc Gia Hà Nội

Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên

em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

5

MỞ ĐẦU L do chọn đề tài

Trong nhiều năm lại gần đây đã có nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến tính chất của hệ thấp chiều như tính chất quang, tính chất từ, tính chất điện Những kết quả nghiên cứu cho ta thấy sự khác nhau của các tính chất vật lý trên cả

về mặt định tính lẫn định lượng giữa bán dẫn thấp chiều và bán dẫn khối Tính toán

từ trở đặc biệt được quan tâm và giải quyết khá tốt trong bán dẫn khối Tuy nhiên, nó chưa được giải quyết trong siêu mạng pha tạp dưới sự ảnh hưởng của sóng điện từ Tính toán từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ được chúng tôi thực hiện bởi phương pháp phương trình động lượng tử nhằm giải

quyết vấn đề còn bỏ ngỏ trên và được trình bày trong luận văn với đề tài: “Tính toán

từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp’’

2 Phương pháp nghiên cứu

Trong lĩnh vực lý thuyết, bài toán tính từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp

có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như: phương pháp phương trình động lượng tử, phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, … Mỗi phương pháp có một ưu điểm riêng nên tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử: Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn

thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định

Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng chương trình Matlab để có được các kết quả tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của từ trở vào các đại lượng như: từ trường B, nhiệt độ T, biên độ của sóng điện từ E và tần số của sóng điện từ 

3 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: siêu mạng pha tạp và tính toán từ trở ngang trong bán dẫn khối

Chương 2: Biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp

Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị, bàn luận kết quả lý thuyết

Các kết quả chính của luận văn được chứa đựng trong chương 2 và chương

3 Chúng tôi đã thu được biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp Việc tính toán số cũng được thực hiện và cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của

từ trở ngang vào các đại lượng như: từ trường B, biên độ của sóng điện từ E, tần số

6

của sóng điện từ  và nhiệt độ T Chúng ta thấy ở đây sự khác nhau trong sự phụ thuộc của từ trở vào nhiệt độ, biên độ E và tần số  của sóng điện từ so với trường hợp bán dẫn khối Khi tần số p đạt đến giá trị 0, ta thu được giới hạn các kết quả của bán dẫn khối

7

Chương : SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG

TRONG BÁN DẪN KHỐI

1 Siêu mạng pha tạp

1.1.1 Khái niệm về Siêu mạng pha tạp

Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp Do cấu trúc tuần hoàn, trong bán dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn phải chịu một thế tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số mạng rất nhiều Thế phụ được tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng

Trong bán dẫn siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể xuyên qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế tuần hoàn bổ xung vào thế của mạng tinh thể

Bán dẫn siêu mạng được chia thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong siêu mạng được tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau Siêu mạng pha tạp có ưu điểm là có thể điều chỉnh dễ dàng các tham số của siêu mạng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp

2 Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp

Trong siêu mạng pha tạp, chuyển động của các điện tử bị lượng tử hóa và năng lượng là gián đoạn theo một chiều nào đó

Chuyển động của điện tử trong mặt phẳng (xy) là tự do, phổ năng lượng có dạng:

Trong đó: k k x, ylà các thành phần vectơ sóng theo hai trục Ox và Oy

- Ngoài ra, năng lượng của điện tử tự do là lượng tử hóa nên sẽ phụ thuộc vào một

số lượng tử n là n Khi đó năng lượng toàn phần của điện tử là:

Với n là số lượng tử (n=1,2,3…), m là khối lượng điện tử

Khi đó phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử có dạng:

)(2

2

1 2

1 )

)()

(zz0 H zz0 z2

1.2 Tính toán từ trở ngang trong bán dẫn khối bằng phương pháp phương trình động lượng tử

m

eB

c 



9

2 Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối

Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:

 

t

p p

p

H a a t

k p k p k k k

k k k p

p p

a a k b

b a a c b

b a

a t A m

e p

a a t A m

e p

1

) là Hamiltonian của hệ điện tử trong điện từ trường

) (

c là toán tử mô tả tương tác điện tử và phonon

+) ck : hằng số tương tác điện tử - phonon âm

+) m , e là khối lượng và điện tích cho điện tử

   do toán tử a, b là hai loại độc lập

thì chúng giao hoán với nhau

' , ' 1

'

,

p p p k p k p p p p t

k

p k p p

k k d ieE a

a k a

Vế phải của (1.4) chứa ba số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton

H Ta lần lượt tính từng số hạng bằng cách tính giao hoán tử ta thu được

t k

Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tương tác lnF p p q1, 2, t   0 được nghiệm

của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:

2 1 2

1

t M t F

t

F

q p p q

q

e

mc e

*) Tính thế vectơ ( )A t của trường sóng điện từ

Ta có cường độ điện trường biến thiên theo thời gian

t E

t

t A

17

) sin (sin

cos )

t t

E dt t

2 1

1 1 1

) ( )

(

mc

ie t t i

b b b

a

a

t t k

p k p t

q q k q

Trong số hạng thứ nhất, thứ 3 ta thay q1  k và trong số hạng thứ 2, thứ 4

ta thay q1k Khi đó phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khi có mặt trường sóng điện từ:

p k p t

k k k k

b b b

a

a

2 2

1

2 ) ( ) (

ieE k ie

exp i eE k sin t sin t

s l k

p k

n dt t s l

p k

i

k p

)'()

1)(

'()

')(

i

k p

n

dt e t n

n

t i p p

t i p p

) ( 2

1

)

(

) ( )

N d e n

k p

k p k

t i k

i p

k t i k

(

k t i k p

i

k k p

N d e n

k k p

p k

t i

21

' '

i t

p

s k

*) Ta thấy rằng, với s ≠ ℓ trong vế trái của (1.15) sẽ cho đóng góp bậc cao hơn hằng

số tương tác điện tử - phonon Vì vậy ta chỉ lấy s = ℓ và thực hiện ngắt chuỗi bậc hai với C k

Suy ra:

1 2

l k

*) Do tính chất đối xứng của mạng tinh thể nên thay vecto k  k và chuỗi theo

ℓ chạy từ    nên thay …+ℓΩ……- ℓΩ; suy ra:

(1) + (2)  số hạng 1; (3) + (4)  (2)

p p

N t n N

t n k a J C

p

t n eE

p k

k p k

p k

Biểu thức (1.18) là phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối

1.2.2 Biểu thức giải tích của từ trở trong bán dẫn khối

Giải phương trình động lượng tử (1.18) trong phép xấp xỉ:

m    rồ lấy tổng theo p ta được:

2 3

F m

e n m

 

  ;     H  F ;    H   ; ik  ik   ;

)(1

H

xy xx

xx xx

(1.54)

Biểu thức (1.54) là biểu thức của từ trở trong bán dẫn khối

30

Chương 2: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU

MẠNG PHA TẠP 2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp

Đặt một điện trường không đổi E1 O,O,E1 và từ trường không đổi

i

,2

1

r

ψ    với =(k ,k )

y x

2

1 2

x x

2 0 0

0

z z z

z H z

E dt

t A d

Thì Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp trên có dạng:

N k N x

N k

N

b b a

a t A c

e k

H

x x x

x x x

k N q k N q

q q k N q k N N N q

k

N

N

a a

q b

b a a

q D

, ,

, ,'

' , ,

là toán tử sinh, huỷ điện tử

+) b ,q bq là toán tử sinh, huỷ phonon

N, , : hệ số tương tác điện tử phonon

 q : Thế vô hướng của trường điện không đổi E

     q

q E e ni

N k

n

, ,

N k N t

k N k

N

H a

a t

a a

i

x x

x x

,

, ,

x x x

x

k N k N

k

c

e k

' ' , ' '

'

,' , , ,' , '

k k N N k N x

N k N k k N N k N k N x

N

k

N

a a t A c

e k a

a t A c

32

x x

q q k

N q

q q q k

, , ,

x x x

q q k N q k N N

N k

a

, ,

, ' ,

"

, ' ,

,

' , ,

' '

x x x

x x

k N q k N N

N N

N N

N N

0'

' ,

' ,

N N

N N

N N

N N

, '

, '

x x x

x x x

q k k x x x

q k k x x x

q k k

q k k

, '

, '

x x

x x

k k x x

k k x x

k k

k k





Suy ra:

q q k N q k N N N q

N

q q q k N k N N

D

x x x x

x x

,' '

, ,'

' '' , ,'

, ,

(Thay N = N''; kx = k'

x+qx) (Thay N = N' , kx = k'

x) Đổi chỉ số N''  N' ở số hạng thứ 2

q q k N q k N N N q

N

q q q k N k N N

D

x x x x

x x

, '

, ,

' ' , ,

'

, ' ,

, ,

, ',

x x

, , , , ,

, , , ,

*

, , , , ,

, ,

'

' '

N q F x x x F x x x F x x x F x x x

q k N k N q

k N k

F

2 2 1 1 2

2 1

F

1 1 2 2 2

2 1

*

, , ,

N

k

N

x x

x x

' '

'

, 1

E

x x x

x x x

x x x

k

a q q dq

x

k N k N k

a a

, , , ,

,

, 1 ,

' '

'

'( E

)

(

q q k N k N q k N q k N q

N

N N x

k N k

N

x x x x

x x

x x

F F

D

i k

t n e t

1 ta sử dụng phương trình động lượng tử:

34

 N k N k q  t

q k N

k

N

H b a a t

F

, , ,

, ,

3 2

2 1

k N k

c

e k

b a

,

, , ,

, 3

k

N

k k N N q k N k N

A c

e

2 2 , 1 1 1

q q q q

k N

k

, ,

1

1 1 1 2 2 1 1 1

1 1 1 2

1 1

3 3 1 3 3 '

3 3 2

2

1

1

, , ,

, ,

1 , ,

q k N N

q q

k N q k N N

N q

k N

3 3 1 1 ,

,

,

1 , ,

, ,

q k N k

,

,

1 , ,

, , ,

1 2 2 1 3 ' 3 '

3 3

,

,

,

, ,

1 ,

k N q k N N

3 1 1

k

N

k k N N q k N k N

,

, , 1 ,

q

N

q q q q k N k N N

3 3

,

,

, , ,

, ,

k

N

N

k N k N q k N k N N

*) Số hạng chứa eE1 sẽ không xuất hiện vì nó chỉ tồn tại khi trường điện cố định

đủ mạnh Thay (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3) vào (2.4) ta được:

1 2

A c

e k i

t

t F

q k N k N q N

N q

1 1 2 2 1 1 ' 3 1 ' 3 3

3 3

'

3

3

2 2 3 3 1 1 '

3 3

,

, ,

1 , ,

,

,

, , , ,

q N

q q q k N q k N N N k

N k

N

N

k N q k N k N N

1 2 3 1 1 2

3 ,

, ,

1 ,

N

N

q q

q q k N k N N

t A c

e k t

A c

e k i

t

t F

q k N k N q N

N q

1 ,

,

,

,

2 2 1 1 2

1 2

2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2

'

3

,

, ,

1 ,

36

Biến đổi: a N k aN k a N k a N k aN k a N k b qb q aN k a N k b q b q

1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1

 aN k aN k bqbq aN k aN k aN k aN k bqbq

1 1 1 1 2 2 2 2 2

2 2

k N k

N k N k N k N q q k N k N k N

k

a

1 1 1 1 1

1 1 1 2 2 2 2 1

1 1 1 2 2

N k N q q k N k N k

1 1 1 1

1 1 1 2

(

, , , , 2

1 ,

,

,

,

2 2 1 1 2

1 2

2

1

1

t F

t A c

e k t

A c

e k

i t

t F

q k N k N q N

N q

N k N q q k N k N k

N k N N

D

i

2 2 2 2 1

1 1 1 1

1 1 1 2

2 1 1 2

t f t t f t

t t

dt t

'

1 '

dt Mdt

Mdt N

dt t

f t

'

'

1

' 1

1 '

0

expexp

2 2 2 2

1 2

N k N N

N q

N q

q k N k N k

A c

e k

i b

b a a a

a

'

2 1

2 2 2 2 1

t A c

2 2

1 2

2 2

2

12

A c

e k m

t A c

e k m N

2)

k m

t A k k c

e m k

2 1 2

1 2 1 2

21

A c

e k i

t

t

q N

mc

ie t

t k

k i

' 2

2 '

2 0 '

t k

k

q N

' 2

l s

q N

2 2 2 2

1 2

N k N N

N q

k J k k J b b a

a a

l s s q q k N k N k

    (2.7) Một cách tương tự:

N k N N

N q

1 1 1 2

1 2

k J k k J b b a a a

l s s q q k N k N k

N

k

, ,

, ,

, 2 2 2 1 1 1 1

2





    (2.8)

Từ (2.7) và (2.8) ta sẽ tính được: N,'k q ,N,k ,q; N*,k ,N,'k q , q;

x x x x

l l

s

x s q

N

N N x

k N k

N

dt t s l i q

J q J q D k

t n e

t

t

n

x x

' )

( exp ) ( ) ( )

( 1

E

)

(

, ,

2 ' , 2

, 1 ,

x x

x x

x x x

N x

N l

x l q

N

N N x

k N k

N

N n

n q J q

D k

n e

t

n

x x N x

x x

) 1

( )

( )

( 1

E

, ' '

, 2

,

2 ' , 2

, 1

N x x N q

q k N q q

x x



x x

x N

x N x

N q

t

i dt

t

i t

t

i dt

'

( )( )'

( )exp

'( )exp)

'( )(

N N N x

k N k

N

q J q

D i k

n e

t

) ( )

(

,

2 ' , ,

n N n

n

q x

N x x N

q k

N q

k



 ) ( ) (

) 1 )(

1 ( )

N n

n

q x

N x x N

q q

k N q q

) ) 1

( )

1 )(

n N n

n

q x

x N x N

q k

N q k

) (

) 1 )(

1 ( )

n N

n n

q x

x N x N

q k

N q k

) (

) ) 1

( )

1 )(

41

Lưu ý: D N,N'(q) và J l2(q x)là các hàm chẵn nên không thay đổi khi thực hiện việc đổi chỉ số này Sau đó ta nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ 4, số hạng thứ 2 với số hạng thứ 3, thu được:

N q k N l

x l q

N N N x

k N

k

N

N n n N n

n q J q D i k

x x N x

x

) 1

( ) 1 )(

1 ( )

( ) (

E

,' ,'

'

, ,

2

,

2 ' , ,

()(

1

' '

 n ',  ( 1 n N,k )N q n N,k ( 1 n ',  )( 1 N q)

x x N x

x x

()(

1

' '

i X i X X i X i

N

N N x

k N k

N

q J q

D k

n e

t

)()

(2

,

2 ' , ,

1 ,

N N N x

n N n

n q J q D k

N x

x x x

x

) 1

( ) 1 )(

1 ( )

( ) ( 2

E

,' ,

,' 2

,

2 ' , ,

1

,

, '

( )

N x

N

q N

N x

k N k

N

x x x x

x

n n

q J N

q D k

n e t

n

) )(

( ) 1 2 ( ) ( 2

E

, ,'

2

,

2 ' , ,

1 ,

42

))

()

E

,

2 ' , ,

1

,

x x

k N q k N l

x l q

N

q N

N x

k N x c k

N

n n

q J N

q D k

t n h k e

()(

h là vectơ đơn vị theo chiều từ trường

Biểu thức (2.11) là phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp

2.2 Biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp

Giải (2.11) trong phép xấp xỉ thấp nhất qua cường độ của trường bức xạ ( tỉ

)

(

2 2

q q

2 2

q q

N x k N

k n

k m

e R

x x

x N x

k N

k

n F k m

e Q

,

,

)) ( (

) ,

( )

T E

2

' ,

2 '

k N

x k N q k N N

q

x q

N

D m

e

S

x

x x

43

 ( ( )))

)()(

())()(

 , ( )) ( , ( ) ( )) ( ),

()())

)(

x

k

k N k

N x k

N

m

e n

) ( )

2 2

h Q

)()

h S

S S

p

(2.17)

2 ,

2

1)

2

1()(

q

x p x q

x N

k

N

eE k k

m N

,

, 0 ,

'

k N

k N k

N

x N x

N x

x x

(

)()

x

x x

k N

k N x

k N x

k N

k N x

k N x

k

f k F m

e k

f F k m

e

Q

,

, ,

0 ,

, ,

0

)(

)(,)

()(,)

f F Fk k

f

x x x x

2 1 2

2

2 2

,

)2

1(22

p x

c k

N

E e m

N k

eE k

2 2 ,

c

p x

c x

k

k m k