Đặc trưng đại số và vấn đề chính qui hoá toán tử kì dị với dịch chuyển và liên hợp phức trong không gian banach

Trong truo'ng hçï> tinh Noether dUç'c thoa man thl chûng co... Hoàa toàa tuç'ng ti^, dl dàng kiêm tra tiah bât biéa cûj càc không giaa $ ^.. Bo dl dUç'c chûng miah... SU dung càc dàng th

McP dàu

Tron^ l y t h u y ^ t va ap dying, r a t n n i è u b ? i t o a n cuo V^t

l y t o a n , cuo co' hçc va kv t h u ^ t du'ç'c dân ve C3C phiPc^n^^ t r l n h

t i c h phân ky dj vd'i dj-ch chuyén m - [5] • Lc»p c ' c

phu'o'ns t r l r h nhiT v ^ , d l n naj diPç'c n(^hien cim tu'o'n-:: d é i ho an

c h i n h ve mgt d^nh t ỵ n h , Gy t b e l a da tlrn du»ç^c c ' c t i ê u cbuan Noether va c h l se eu:: chuns f ^ 3 Cac k é t qug này t h w n :

0:^3 t r ê n nhû^n:^ phep b i e n d è i k i è u t u y é n t i n h '^ê &v?3 cac

phiỵ'-^'rii^ t r i n h d? cho VG lo'p hç phu'o'nf;^ t r i n h co câu t r u c dc^n

g i â n ho'n (khơnc chu'a d}.ch c h u j ê n ) D\^'B t r ê n c ' c phTjPcm phap ,

ngy thu'ơ'ng khơn^ t i m di:?ç'c t o a n tu' c h i n h quy d o i vo'i phu'o»ng

t r i n h d i cho nçt cgch hu'VL h i ç u ^ i vP^y, b a i t o a n c h ỵ n h qi::y hoa t o a n tu? t ỵ c h phân ky dj chu'a c'i.ch chuyén va l i e n hç^p phiỵc

t r o n ^ tru'o'ng :-ç»p t o n g g u a t , dén nay vi>xi chJa d^j^ç'c :-^iai q u y é t U'.çt v à i t r w n c hç*p r i e n ; ; r e d^ du'g»c x é t tronf^ C l 3 l - C l 5 ]

Trons^ C163 da cho raçt phiTo'ng phap c h m h quy -k^* v^ ^ « * *e^-è^

k i ê u G è r l e n a n - Vela^a C l 3 - T ỵ j t u y n h i ê n , m§t b i e n thu'c

tu'o»ng minh cua t o a n tu: c h i n h quy vên chu'a dira r a '^An de chxn^

quy hoa v* bà:L t o a n xac àj.nh b i ê u thi'ï*c ciia t o a n tu' c h ỵ n h quy

co -nÇt y ngạa l y t h u y ê t v? t b / c t i e n quan tri)nr^ Tru'o^c h e t ,

no cho phep t x n t i ê u chuân N o e t h e r va chu'nỵ^ minh cac dj.nh l y

K o e t h e r tifcn^ u'ng ve c h i s e , IMôi r a , nho' c h m h cuy hoa raa t a

co t h ê ^ i a i gl.n dun.^^ cac lo^) ph'fo'ti^ t r i n h chit'g dj-ch chuyên va

l i e n hç^ phit*c dgn^ tonp^ q u a t Tronj^ con^ t r i n h n à y , chunr: t o i

dg c h i r a nÇt l o g t cac phiPo'n£^ phap c h m h quy hoa khac nhau

d o i vd»i If^ t o a n tif t i c h phân ky dj chu'a dỵ-ch chuyên va l i e n hç^ phu'c t|iồ,r"^3n d i e u fciçn Cgrleman ton^; q u a t , !T.:~;ồi r a , da

t i m du?ç)*c mçt SO dgc trirn^; d^ji s S cua lo*p t o a n ttf kf? t r e n Tri.t*o'ng hç^p r i ê n ^ , da chu'ng minh du^c rSng mpi t o a n tu' nhu? v^y,

d i u I s nhi?ng t o a n tir dgng d a i s e t r ê n

( d a i se g i a o hoan) da g i a i qujilt dutfc b a i t o a » c h i a h quy

wà t i a * ! tuc^ng d^tfag N o e t h e r cua n h i l u lo»p t o a n t u % o à i

?ra, trorig § 3 c u n chuo»ng ^^^7 co^^ "^^ c|lp t o ' i t i ê u chuâa lîioether simh bô^i mçt di-iah t h u c c a c à o a a t u vo?i phàn t u

d o i àçi»p t o a g q u a t Mot v à i triPc^ng hç^) r i ê n g da duç»c

chung t o i x e t dén tru^OJc do t r o n g C 3 1 l '

Toaa b§ chUo»i:g I I I dàah cho v i ^ c xây dtfag c a c

t i ê u chuân kh^j nghj.ch va xây dy'og t o a n t u c h m h quy d o i vo'i mçt da thUc chua t o a a t u d a i se va hàu d^ii s o Gaa i

l u u y r â û ^ , CiC b a i toafi lo;3i này di^ duvc x é t troiag mçt

lOiiit c^c côiit^ t r i n h cua Przworska - Holewicz 13 (xem fô] [7] va t r i c h dân trorig d o ) , oong dac diêm c h i n h t r o n g cac côiig t r l f î h kê t r ê n l à da g i a t h i é t t i a h b a t b i e n cûa iiç

30 ( t r o a g da thUc) d o i viyi t o à a t û d # i so da c h o 0 d â y ;

cac g i a t h i é t do duç'c chung t o i t h a y bô'i nhirïig gxa t h i é t

yeu ho»» (xem s 1 , c h I I I ) va cujag nh^Ja dUv'c cac b i ê u thu-c ttfoPag miah cua t o a a t u c h i n h quy

tài^ u TroJig chUo^ng IV, chu: g t o i dành cho v i ^ c ap

dïiiig c j c k e t qua ishân duç?c t r o a g c ' c chuo'ng I - I I I cho ahu^iag 1 ^ toaffl tïff cy t h ê khac nhau Ghvir-g t o i x i n t|im

l i $ t kê dUQ^i dây ahur.g k e t qua dl^ t h u duç'c t r o n g chUo'ng jftay ma chu«g t o i xem l à mo'i so vo'i nhûag k é t quij d^ nh^H

% ^

-duç?c truo»c do Cua •thièu t ' i c g l a (^^ cac ï^ao

-%uv t r î ) , 1) Doi vo'i moi t o a a t u t i c h phân k l dj vo'i

di.ch c h u y i a v*d l + ^ ' h ' p ï p h u c , dèu tèjK tgii mçt toaii t\V

t i c h phâa ky dj ( t r ê n cuag m§t khô»s g i a n Banach) tud'ng

dUo'Bg vd'i jao ( t h e o nghia N o e t h e r ) Luu y r<|ng, t]?u'0'c dây

nguo'i t a rno^i c a i d\?a^ duo^3 t o a a t û l o a i này t r o a g Ic^ h§

A toam t û t i c h phân ky dJ (xem [ 4 l ) (myc c ) 1 1 )

2) Xây d^ag cac dëc t r u » g d a i so cu« t o a n t u

t i c h phân ky d i v û i d i c h c h u y ê a , v û i nuâ^ l ô g a r i t va

ahâa hôn t j p Gy t h ê l a â.a dung duvc c à c bo da t n û c d|i.c

t r u n g cûa chûis^g t r ê a ahûng vành khàc ahau (§ 2 va i ^ )

5) ^ â y dïPa^ cac b i ê u t h û c tucfag miah eu» c à c

t o à a tu' chijoh quy va t h i é t l ê p niéi l i e a hç dc?a g i a a giUa

chûag v6»i càc t o a a t u da cho ( § 2 va i 3 )

4 ) xàc d i a h càc t i ê u chuâa N o e t h e r va ch^ se cûa Qiêt d i a h t h û c coc t o à ^ t u Cauchy t r ê n b i S a doag

(ayc b i l )

5) xàc d i a h càc t i ê u chp.âa N o e t h e r va c h i se cua lo^) t o à a t u v û i ahom huu h f a c à c d i c h chuyêa va l i ê a

>

-trUG^ag Dai hçc Toag hyp va Dai hçc -^àch khoa (do cac pho

g i a o su Nguyori thûa liçï» va Nguyên d l n h T r i chû t r i )

^ 3) " Phuo^^g t r l a h dao hàm r i ê a g " cûa Viçii

î c ^ a j i ç c (do t i c a s i Tràn duc Vâa chû t r i )

4) " G i a i t i c h p h i t u y é n " cûa truo'jag Dai hoc Toag hc?p Ha a ô i va dâ bào cào t a i c à c h ç i nghi khoa hçc :i

1) Dai hçc Toag hç>p Hà a ç i : nâm 1977 , 1978 ,

1979 , 1 9 8 1

^^^ 2) Viêa Toàïï hçc : aSm 1980 , ISB^^A^BZ

î*^t s ô k e t qua co» h^ti da duç»c t h ô n g bao t r o n g

- r32]

W^

;>i|r:>';vl

7

-Ghuo'aK I

Ly t h u y é t N o e t h e r cûa mot i c p t o à a t u t u y e n t i n h vcPi càc

4 i c h chuyên c h i s o

i 1 Dieu k i ê a I^oetner cua mot l 6 ^ t o a n t û

t u y é n t L i h vd'i mot d i c h chuyêxi c h i s e

• • Ky h i ê u , d l n h OKhia vm cac t m h chlit co'

bar^ CUJ toafi t u N o e t h e r t r o a R khôn^ ^ia^i Banach

Gia su P l à mot không g i g a Banach ¥.y n i ç u

Bimh aRhia 1.1 : Già su A C <if C©) Néu t o

t f i toàis t û R t -^Ce; s a o cho R:\ = I + D (/^E = I + D)

t r o a g do I l à dû»a v i cû^ d a i so iC(©) ; D e ;; C6; t h l toàja t u E duç^c g ç i l à c h i a h quy t r à i ( p h à i ) cûa t o à ^ t û

i Neu R dèag tho^iiô l à c h i a h quy t r à i va p h à i cûa A t h l

g ç i S l à toa'n t û , c h i a h quy h a i p h i a

' j te-;.^ filnh mik l y 1>1 T S l Toàn t û A £ 2(6^ co

c h i n h quy t r à i ( p h à i ) k h i va c h i k h i Icfp tuvj^ngt^rl ] khà

a i

e

-%.^. *

aghich trài (phài) trong fi^(») J

/

>i;, Gac khong giả doi ugâu cua \B va toan tu

liêa h<fp cûa A t ^ C®) dug'c ky higu làn lug^ bûi ^*

va /^l* -^ '

Diah a^hla 1.2 [4] 1) Tồn tû A £itCB)

duç»c gçi'là glai chuâa Hausdoff (gçi tât là giài chuân)

ắu phuo'ng trlah khơmg thuàn nhât : Axs-f ; x f C &•

giai duç»c khi va chi khi f trtfc giao vo^i ker A * » *ol chicacb khàc : u(f)9 0 ûag vo»! mçi u é i^^^-A*

'2) Tồa tû A ^ ^ ( 6 ) duç'c ^çi là tồa tû Noether ắu càc dieu kiç^ii sau day ûxtç^ tho^ maa.:

3) Khi A la toan tu Noether thi kxf^u '^j^'^^*

se duVc gçi là chi so cua tồa tu A va ky hi$u :

»i Truo»mg hç»p riêng, khi 1i*%A A r 0 thi ~^ se

^' dU^c gçi là tồn tu -i:redholm

Kj higu J(JB) là tâp h;)'p càc tồn tû Noether trong ^iiib) • Trong cac phân sau, ta se su dvitug càc *

tinh chit sau àà^ cûj càc tồn tû i^oether (^cem cngng h^a 1%] hQâc re] :

Tinh chat 1 : Néu A £ PCê) va D € ^ C < B )

'^'^^'^- ^'^iâh chat 2 : De A là toàn tû Noether, dieu

kiçn QQM va dû là m$t trong càc dilu kiça s«u dây duçic thôa

man x-^ ,

1) S éiilé% co chinh quy ca hai phia 2) To.a t f i càc tuaa tû 8.^ g ^ X/C*) ^^^ ^^<^*

Tiah chat 3 : Già su A £ ^ ( § j co **«4î càc

chifîLh quy t r à i va phai tucfr^g ûng l à E^ va S^ Khi do

'^^^ Tiah chat » : N|U A.g £ J * i ^ t h l 'V* t î*^*-^

.- 10 ^

•troag ^ éf >^i>* > tn I s nhûng nghiçm khàc i.hau -cûag,

d ô i mçt cua phuo'eg t r i n h i " ^ - 1 • Kiii do cKort

^ Nhên x e t rang U t : 1^; \ i=<3j i > - '

Ky higu <f^-s c-ii a.>^.-, >v^ la bç n so ty ahiêa dàu tien sâp theo thû ty? tâag dan va già su :

(Ti^^ (r(«),6"a)>- iCLy^))

h , • •

£là mçt h^vàa v i n i o do cua

€^-Diah nghia 1.3 : B i é a d o i (^ duç'c g ç i l à

d i c h chuy^u cûa t^ néu no t h o a man cac d i e u k i | î ^ s a u

1) ^ ^ j ) « J t l j p f,A,,- i n - 1

2) rcO = i

Nhan xét ris*'', néu dinh nghia 6' ^(>C€ )

va <r'* r r*^'* thl e^^ là bien doi m^^ich

dào cûa r (^ r6"'£^s-6^"*r£^ = ^,v) ^^

Già su a<>aj,.,,j û^ là ahûag phàn tû khà aghich tûy y trong ^^ig) va KAyH^,^^-, Ry, 1^^ lUg^ là ahûag phàa tu aghich dào cua chûng

Ky hiêu M s \\ M^s. j) '*' là ma trgn

Nhân x é t r i n g , khi do M ^ ^L^'^) (vûi t*'^ là t i c h

De càc cûa n te>Sij⣠khong giafi tB)

Û*ûg vûi càc toàn t u L^, L/-• ^ M trong 4l«C')' ( 1 2 ) , t a xét càc phucng t r i n h tuyén t i n h sau dây :

12

-lâti trâa M duç»c gçi la ma trâ.^ tuc^ag ûag sinh bûi toàa tû Irf^ oàc toàa tu L: duç»c gçi là nhûng toàn

tu kem theo cua L

Dinh ly 1.2 : PhUO»ng trinh (1.3) giai du^c (co aghiçm) trong IB khi va chi khi phuo'ng trinh (1.5)

giai duç»c trong *B^

Chung minh

( fi ^ Gia su phutfng trinh (1.3) giai dug^c va { la mçt aghiêm nào do cua (1.3) • Khi do

yi

Tù dây suy ra 2 - L îft- A K"" ^i"^ ^ ^ i i ; v= •.-«i-.^x

Vêy vécto» <> =(lfi«f> fliif ^-, Q „ f ^ se là asWçm cûa (1.5) Dieu nay chUng to phUû'ng t n a h (1.5) giai duç?c

Nguç'c lai, già su ^^3 i^+o tiî— > ^Tv) 1^ aghiçm cua phUo^ng trinh (1.5) Ta se chûng minh (1.3)

co aghi|m trong (B

Truccc hét, bâng càch kiên tra trg?c tiép, ta

co thê chi ra rang càc véctc sau âê^ cung se là aghi|m ^ cûa (1.5) :

j[x lu, ,-a

• - *A \\» Ui,' ^.%\M >-' ^> U.,i-;.,1 -J

Nhân xét ring vécto» f-± f ^|)V ^ % '"t j ' ^ ^

cuag là aghiçm cua phuo^ag trlah (1.5)« TÛ (X.6) , de diag tinh duç^c càc tça dç cua 4*':

^i=* «.( V( ^.%- h\, i'V) v%) Vv^O

0

" ' Bê dé 1,1 : Già su v2i, O i » - , 5^ € ^ ^ )

l à «Ini^ag phàn t û kha aghich tûy y Ky hiçu :

B ; ^ -1 f- C*o*-i> » 4 0 ^ ^'^ sao cho 3 i ^ i è

- 1 16

troag ùo

CO daag :

V '^iiKjit*"^ *i„ làn luçl: là càc phàa tû nghich dào cûa

.^• Thlit vâyi ûag vo'i moi tça dç k co dinh

(k ="i,2, ,n) ta dèu co :

ta co thê Viét (1.15) duûi d^ng :

18

-troag do

d :t 1,2, ,a ; iBjj dUç'c dinh nghia trong Bo dl 1.1

Bo de 1.2 : 1) Cac khong gian con ©*• "i i-^i4,-"'»»i

bat biéa doi vûi toàn tû i^i, troag do U^ là càc không

giaA coa cûa iB*'^ duç^c dinh nghïa trong bô de 1.1, M là

toàn tû (1.2)

2) Toàn tû Mj - '^Uj

(Ô = 1,2, ,3a) la toàn tu Noether khi va chi khi toàn tû

itl (xàc dinh theo (1.1)) là toàn tû Tt»4>ii>t Noether

Trong truo'ng hçï> tinh Noether dUç'c thoa man thl chûng co

19

-TÛ dây suy ra tiah bât bien cua không gian ^^ dèit vûi toàa tû M Hoàa toàa tuç'ng ti^, dl dàng kiêm tra tiah bât biéa cûj càc không giaa $ ^ A -I,:?,, , >n-J ^^^ vûi M

2) Tiép theo, ta ky hi$u Q, L, R là càc toàa tû tàc dving trong ^"^ , xàc dinh bcci càc raa tr^a duûng chéo

sau dây :

Khi do co t:.ê viât (1.15) duûi dang :

«

De thây rlag {2R.- R Û - r ^ ^ if C»*")- Vgy aêa,

•tu (1*16) ta suy ra i^^« va L dong thci là nhûng toa^: tu Noether hogc khômg Noether (tiah chat 5 » i 1 t a)

.^îj^ong truûng ïnfp chuag là nhu^ag toàn tu Noether thl :

(tiah chat 4 , i 1 , a)

Bang nhûng t i a h toàn và lâp luân hoà» toàn tuc^ng

ttf, t a 3~e co :},^ M^-.^ ^ , ; L^ ^-.- < , i , , ^ - l

Bo dl dUç'c chûng miah

20

-Hê guà 1.2 : Toîîn tu lA (xàc dinn bûi ma trân

(1.2)) là toàn tû Noetner khi va chi khi càc toàn tû

L#î C P *'^»"'>'^) (3C3C dinh bo'i (1.0) - (i,l)) dèag

thci là ahûag toàn tu Noether Troag truûng hç^) chuixg là

ahûag toan tu Noether thi

>v

Chuap: minh "^^

Theo hg q u i 1.1 t h l U ^ k«wM= ^-^ <U^ K«w H/

Chuyên qua càc t o à n t u l i e n hçï> troxig càc khôag g i a n d o i

Vây ( 1 1 7 ) l à dUç'c suy r a trtfc t i é p t û k é t l u 0 n 2) cûa bo dé 1 2

Dàng t h û c ( 1 1 7 ) cho t a méi l i ê a h^ c h a t chê giûa

t o à a t û tUo»ag ûng M cûa L t r o n g IB^ vs càc t o à a t u kèm

t h e o Uj > 3 = Il i> " ' J -yv , Soag mue d i c h c h i a h û àêj 1*

a g h i ê n cuu t i ê u chuân N o e t h e r va c h i so cua t o a n t u

L (=_ L^) va phUO'iig t r l a h ( 1 3 ) Nham m\ic d i c h a y ,

a g o a i v i g c khao s à t t o à a t u M va phucng t r l a h ( 1 5 ) > t a coa p h a i a g h i ê a cûu c h i t i é t càc t o à n t u U/ j 4-* »,4^"v**^'i

va cac moi l i ê a h$ g i û j c h u n g

Gi^, su h = l\ M.Ml dUç'c cho bo'i côag thiîc ( 1 2 )

Ky h i ç u :

21

-(khi d6 AT^Ce) là tâH cûu t-âp hvp {K,^i:;^ hir-,y^]

trong d»i aé ^Ci") theo môdua d 6lû) ^

Ky hiêu 3C[^^ , ^J(©) , JÎ^CIB) làn

luçt là nhûag tâp hçï> sau dây :

Nhâmxitriag J^^08)c: J^'^(iB) vi jî;((e7

khôag t r o n g , châag haa, ^i2_^^ Û^y j ^n) ^ ^T''-*)-, »<,.-r

• ï' Dinh l y 1.5 : Gia su j là a § t chi se co dj-iah mào

Khi do cac toan t u L va L dêeg tho»! co ho|[c

khôag co tiiBh l\foether Trong tru'O'ns hgï> co t i a h Noether

t h l

^ A L p = ^n«l b p

••tiêis»*!^-^

SU dung càc dàng thûc này, de dang ahân duVc :

TÛ ( 1 1 2 ) suy r a L va L dong t h û i l à nhung t o a n

t u Noether hogc không N o e t h e r ( t m n c h a t 1 - 5 § 1 , a )

va t r o n g t r u û n g hç^) N o e t h e r t h i c h i so cua chueg bâng nha'

Diah l y dUo^c chung minh

Hê Quà 1.3 : Neu d i e u k i g n ( 1 2 0 ) dUç'c t h ô a laan

(xem ahâa x é t 2 1 o' c u o i mue n à y )

Trong mv-c n%j t:i se c h i rs^ r-ing : g i û a càc t o à n iîû U; (^'- ^rf-^r-iH) va ^^ dà dUç'c x é t t r o n g § 1 , b cûa

chuo'ag a à y , cung co moi l i ê h h§ tuceng t y oau mj^ t;j

con cho ahûag mo' rçng t i é p càc k e t qua t h u dUç'c û dëj"

t r o n g nhuag t r u û n g hç^ t o n g q u à t ho'n ( k h i co n h i l u d i c h

chuyên t r o n g phUo'ng t r i n h ) (xem ah^n x é t o' c u o i I 3

chucng n à y ) •

Ky h i g u R , Q , M^ l a n lUç't l à nhûng ma t r ^ n vuông a x a co dgiag s a u dây :

25

-Ky hipu ma t r ^ E do'E vj - ^ | T J , >X l - 5 %-Ji)

Bè de 2.1 : Ciiâ su li , R , i , U^ , J l à a lug-t

l*3\î sah'-'ufs F:a t r â n diïçcc cho trong ( 1 2 ) , (2.2) - ( 2 4 )

Khi do 00 cac dâng thUc sau dây :

Khi do co thê viêt :

su d\ing ky hiçu (1.1) , ta cô thê vièt ' » *

V^j-'^'^i-• '^

Bât

27

-thl :

Vgy dâ^ag thûc (2.6) là dûng Bo de dUç'c chûag miah

De àp d\ing ve sau, ta se xét mgt truûng hçï> riâag

'ti^ 0; I j — ) ' n ^ l ) trong do A^^ xàc dinh theo ( 2 1 1 ) ,

l a ma t r ^ n tuo'ng ung cua totsn t u Y troiîg ÏB (xem)

i;.29

i

^^ i3'

vo>i 1 * - I T * ^" ^

Khi do, tû bo de 2.1 ta nhân duç»c :

BÔ de 2.2 : Già su T \ J \ ^ làn luç>t là «

ahûag ma trân xàc dinh theo (2.12) , (2.15) , (2.14)

Khi do, co càc fiâng thûc sau dêj : '

trong do j là ma trân do'n vi, J- ^ W i -^;X;"-) i

trong do X là ma trân tUo'rig ûag cua Y trong IB^

Nhâa xét 2.1 i Dâng tnûc ma trâa bâc hai doi vûi

truûng hçp T = W , W = I do Gokhberg - Krupnic f^j

dtfa ra , co d^jng sau daj :

30

-TÛ ( 2 1 7 ) t a de dàng mû r ç n g cho t r u û r ^ hç?p k h i

W l à t o à n t û d é i hçï> bâc n ( t û c v^^:=I ) • Dâng t h û c ^ly

l à truo'ng hOï> r i ê a g cua ( 2 1 6 ) k h i

s 3 Nj^hiên cûu t i n h Noether cua lo*p t o à n t u

t u y é n t i n h iKXCfl n ơ i v û i n h i l u d i c h chuyên c n i s o

Trong myc tiajf t a se mo» r ç n g cac k ê t qua da ah^a

dUç^c t r o n g i 1 VQ i 2 cno t r u û n g hç^ t o a g q u à t ( k h i phuo^ag

t r l a h d^ cho «o a h i é u d i c h chuyên c h i s ơ )

Gçi a-, , n2 , • , n l à nhûng so ttf a h i ê a lc?a

ho'a 1 và ky h i f u ^^Sa.^'-^ ^c ^^ nhûng d i c h chuyêa

bâc n-, , Mp » f n tUû'ng ûng (xem d i n h nghia 1 1 )

Dât y n ^ ^ n ^ , n ^ rx^

Khi do co thê chia € _ thanh m-, nhom coa, moi ahom gom a-j^ phan tu :

51

-•i^-^K

Tiop theo, ta lai coi moi nhom con -C^^vO^

y^ ^ ^ nhU mOt phàn tû va chia bO se

(£,,01) ; ^, H) -; € C'^^)^ "^^^^^ ^2 ^^^^ ^^^"^^ ^^^^ ^''^'^

^lo phàa tû : *~

trong do :

V- i^) ) ^ , Tiêp t\ic qua triah phâa ahom nhu trên, ta thu

dUç'c

« M

trong do

32

-Tlêp theo ta diah nghia càc dich chuyêa.cua bç

.^^ Diah np:hia 5.1 : Ûng vûi'moi K j A'^\c'ff

33

-Dinh n^hia 3.2 : Ta noi chi so j thuçc lûp ^•

^i^*U'->4sJ ^ ""^^^ i""' '^ii^i^r-;^,; ^Su chi

se i ûag vûi toàn tu A alm c? vi tri o trong tong dàu (kê tû trài qua phài), û vi tri j j^ trong tôag thû hai, ., va û vi tri ^i trong tong cuoi cùng cua (3.4)

Nhâa xét 3.1 : Vo'i quy uo'c nhu trong diah nghia 3.2 thl moi bç so sâp duç'c H-^ , Jp »•••> ^g^ ^^ ^^^ "^^

»$t chi so 3 tucfag ûng va nguç»c lai

vi du s 1 é (Aid)-, l) ;, >A^ é, v.^^;^^-^)'-'; ^^^^

Lien quan déa càc toàa tu (3.5) - (3-4) ta se

xét càc phuo'ng trinh sau daj :

Moi liêa hç mat thiét giû;a phuccng trinh (3.5) va

hê (3.7) duçfc mô ta troag dinh ly sau dêy :

Diah ly 5.1 : Phuccng trinh (3.5) co nghi^m khi

va chi khi phUo'ug trinh (3.7) co nghifm tro::g IB^o *

55

-Vgy fiên, ve'cto»

*'^-^c»"tfH r")=a',t;, ,K)-cung là aghiçm cua (3-7)

j-at khac, ta lai co :

- 59

Dieu aày chûng to rang ^'WN^^ =r A Y :r K^

^^ bât bien doi vûi toàn tû 4 Hoàn toàn tuo'ng ttf,

ta co thé kiêm aghiêm tiah bât bien cûa càc không giaa

0 «

coa *»•*'>' 4- i/^y-*wx^-J doi vci toan tu A

Tiép theo, dua vào xét càc ma trê^a duûng chéo :

Ku ^ ^ \ Ko) J<^o)'- > * s ]

Kni do co thê viét (3.12) duûi dâng

TÛ do suy ra càc toàn tu N va K dong thûi co tinh

o Noether hogc không Noether Trong trUo'ng hçï> tinh Noe-

ther duVc thoa man thl chûng co chi so bàng ahau Tud*ng

ty, ûag vûi moi jj i i j i- -^j,*! ta cûng co :

0' ^ Bo de dUç'c chung minh

Hê guà 5.2 : Toàn tu A là toàn tu Noether trong 18"^ khi va chi khi càc toàn tû ^À i^" - fz-^^ ••• ^^

dèng thûi là ahûag toàa tû Noether

Troag truûng hçï) â là toàn tû Noether , se co dàng

Khi d o , c h i so cua t o à n t u A hoan t o à n dUo»c xàc d i a h qua

c h i se cuuj t o à n t u x u â t p h à t K ,

Xet c à c không giaxi con :

« 0

r i

T^P iïC'P tât ca cac toaa tû Noether troag iCG^)

se dUgk; ky kiêu bc?i i^(lB) > C O E tâm dai so cua t^p

^ ^ i ^«» > •*»»# ',^j)f-ita.>'>-»^«\ troag ^i^) theo mô due 3f(i^ dUîCc ky hiçu bûi «^(JÉî)

Dât

K'Cé) r j ( N , 4^> W A^y., ri, iîrr,,): N, éZ ( « ) ^ < ^ ' « î j

Khi do co t h ê p h à t b i ê u ;

41

-Dinh l y 5.2 : Néu ^J^ Oid f\ :^" (tà) = ^ af5)

thl càc toaa tû K va K dèng thûi co hogc khong co tiah

Noether Trong truûng hçï) tinh Noether duo'c thôo man thl chûng co chi so gion^; nhau

ChûaK minh

^ia su dieu kign (3.13) duô'c thoa man va

Khi do , tû dinh nghi-î^ cua càc tâp hç*p if,- (*),^o ^®-)

a

se co

-'y*^ j «y,.^.•••'<)<))

So sa Ah t ç a dç c u o i cûng cua h a i v e c t c t r ê a , t a duçte

Mât khàc, do N.^^^Ce) aêa ^ o ^ , = ^^^\ (^^^«i^

Vây tû (3.14) suy ra : N^ * ^o "«-ï^o ^ A ^ ^^^^'

ïiêp tue so s'ah càc tç-^ dç thû k; »c é C*Cj,»^,"vic^^

se co : f f

f î '

42

-TÛ dé, dân déa N^K^r ^:^^-^^x) ^^ ^^«) '- ^0

Thât vây, su dung càc dâng thûc (5.14) - (3.15) ta co

thê bien déi :

IC = <L • =? i

r KJN, + D ,

^^û ( 3 1 5 ) suy r a K va K dong t h û i N o e t h e r h o | c khÔ£ig Noether va c h i s6 cua chung s e bàag nhau k h i titnh

N o e t h e r duç^c t h o a man (xem t i n h c h a t 1-2 cûa myc 1 1 ^ a) Dinn l y duç»c chUng minh

Hê Quà 5 5 : Néu

t h i câc t o â a t u K doag thcci K o e t h e r h03.c không Trong

tnjcfKg ù(?p t i i î h E o e t h e r duo'c thoa maa t h i chung co c h i

so s|ké>i^sm4Nm/4iM>< hâag nhau va

Ighàa x é t 3 2 : Heu d | t