Nghiên cứu tổng hợp vật liệu phức hợp sắt polymaltose (iron polymaltose complex, IPC) từ các maltodextrin có DE khác nhau

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - ĐẶNG THỊ TOAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... ĐẠI HỌC QUỐ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- - - 

ĐẶNG THỊ TOAN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giảng viên hướng dẫn PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH SANG

MỤC LỤC 

LỜI NÓI ĐẦU  1 

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  3 

1.1 Các định lý về hàm khả vi  3 

1.1.1. Định nghĩa  3 

1.1.2.  Định lý Fermat  3 

1.1.3.  Định lý Rolle  3 

1.1.4. Định lý Lagrange  3 

1.1.5. Định lý Cauchy  4 

1.1.6. Công thức Taylor  4 

1.2. Số phức, nghiệm liên hợp  7 

1.2.1. Số phức  7 

1.2.2 . Nghiệm liên hợp 7 

1.3. Hàm đơn điệu. Giá trị lớn nhất, giá trị  nhỏ nhất  7 

1.3.1. Hàm đơn điệu  7 

1.3.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhât của hàm số.  7 

1.3.3. Tính chất hàm đơn điệu  8 

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH  9 

2.1.Phương pháp dùng khai triển Taylor  9 

2.1.1 Phương trình bậc 3  9 

2.1.2  Phương trình bậc 4   13 

       2.1.3. Bài tập giới thiệu   16 

2.2  Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số   17 

2.2.1. Ứng dụng giải phương trình   17 

2.2.2. Ứng dụng vào hệ phương trình   23 

2.2.3. Bài tập giới thiệu   29 

2.3.  Ứng dụng tính khả vi để giải phương trình, hệ phương trình   30 

2.3.1. Dùng định lý Rolle để giải phương trình   30 

2.3.3. Dùng định lý Cauchy để giải phương trình hệ phương trình   40 

2.3.4. Bài tập giới thiệu   46 

2.4. Phương pháp cực trị hàm số-Phương pháp đánh giá   47 

2.4.1 Cơ sở phương pháp   47 

2.4.2. Các ví dụ   49 

2 4.3. Bài tập giới thiệu   57 

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH   59 

3.1. Phương pháp hàm liên tục giải bất phương trình   59 

3.1.1. Cơ sở phương pháp   59 

3.1.2. Các ví dụ   59 

3.1.3. Bài tập giới thiệu   62 

3.2.  Phương  pháp  cực  trị  hàm  số  -  Phương  pháp  đánh  giá  để  giải  bất  phương trình   63 

3.2.1. Các ví dụ   63 

3.2.2. Bài tập giới thiệu   67 

3.3. Biện luận phương trình – Bất phương trình   67 

3.3.1. Cơ sở phương pháp   67 

3.3.2. Các ví dụ   68 

3.3.3. Bài tập giới thiệu   75 

3.4. Phương pháp hàm chứng minh bất đẳng thức   76 

3.4.1. Các ví dụ   76 

3.4.2. Bài tập giới thiệu   80 

KẾT LUẬN   81 

TÀI LIỆU THAM KHẢO   82 

LỜI NÓI ĐẦU

Những bài toán về giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức và biện luận nghiệm phương trình luôn là những bài toán hay và khó, thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp, cao đẳng- đại học, kỳ thi Olympic Toán học. Với mỗi  bài  toán  lại  có  nhiều  cách  giải  khác  nhau,  trong  số  đó  có  các  cách  giải theo phương pháp hàm hiện nay rất hay được sử dụng. 

Luận  văn  “Một  số  phương  pháp  hàm  để  giải  phương  trình-  bất  phương trình” sẽ trình bày một số phương pháp hàm để giải phương trình, bất phương trình,  bất  đẳng  thức  cũng  như  bài  toán  biện  luận  nghiệm  phương  trình,  bất phương trình. Tuy nhiên, việc chia phương pháp chỉ là tương đối. Trong phạm 

vi  phương pháp toán sơ cấp và giới hạn của  một bài luận văn thạc sĩ  không thể  trình  bày  hết  các  phương  pháp  và  ứng  dụng.  Do  đó,  nội  dung  luận  văn gồm 3 chương: 

Chương 3: Phương pháp hàm để giải bất phương trình, bất đẳng thức và biện luận nghiệm phương trình, bất phương trình. 

Trình bày 4 nội dung: Phương pháp hàm liên tục để giải bất phương trình; phương pháp cực trị hàm số- phương pháp đánh giá để giải bất phương trình; phương pháp hàm để giải bất đẳng thức; biện luận nghiệm phương trình, bất phương trình. 

Để  hoàn  thành  luận  văn,  trước  hết  em  xin  bày  tỏ  sự  biết  ơn  sâu  sắc  tới người thầy kính mến PGS.TS Nguyễn Đình Sang. Người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền thụ kiến thức, hướng nghiên cứu giúp em hoàn thành luận văn này. 

Em cũng chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học quốc gia Hà Nội, những người 

đã giảng dạy, hướng dẫn em trong quá trình học, cùng các bạn bè đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến, động viên em trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. 

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Lấy a = x0 ,b=x0 +∆x thì b – a = ∆x, do x0 < c < x0 +∆x nên ta viết c dưới dạng c = x0 +  ∆x,   (0,1). Khi đó, (1.1) được viết dưới dạng: 

f(x0 +∆x) – f(x0) = f’ (x0 +  ∆x) ∆x 

Hệ quả: Giả sử f:[a,b]→ R lien tục trên [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b). Khi đó: 

1.1.6 Công thức Taylor

Ta dùng công thức Taylor để xấp xỉ một hàm số bằng một đa thức 

1.1.6.1 Định lí 1.1.6.1: (Công thức Taylor với số dư dạng Lagrange)

Giả sử hàm số f: (a,b) →R có đạo hàm đến cấp (n+1) trong khoảng (a,b), x0  (a,b) . Khi đó, với mọi x  (a,b) ta có: 

1 0

 (0,1) nên (1.4) còn có dạng 

1 0 0

0 1

0 0

0 ) (

)(

)1(

))(

()

(

!

)()

k

k

x x n

x x x

f x x k

x f x

n n

2

). Tại  x0=0  ta có : f(2n)(0)= (-1)n, f(2n+1)(0) = 0. Do vậy theo (1.7) ta có: 

a f a

x a f a x a f

) (

!

) (

) (

! 2

) ( '' ) (

! 1

) (

1.2 Số phức, nghiệm liên hợp

1.2.1 Số phức

-  Xét tập hợp C = abi|a,bR,i21 

Mỗi phần tử z = a+bi C được gọi là một số phức, a được gọi là phần thực của z, b được gọi là phần ảo của z. 

b). Nếu f’(x) < 0 với mọi x(a,b) thì hàm số f(x) đơn điệu giảm hay nghịch biến trên khoảng đó. 

1.3.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhât của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D: 

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm sô y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x  D và tồn tại x0 D sao cho :f(x0) = M. Ký hiệu: 

M= 

D

max  f(x) 

+ Bất phương trình   f(x) ≥ g(x) có nghiệm x ≥ x0.  

      + Bất phương trình     f(x) < g(x) có nghiệm x < x0. 

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Phương pháp dùng khai triển Taylor

p

3

2 427

p q

     Trường hợp 1: Nếu  

'( ) '( 5) 3.( 5) 6 5 5 3 12,( ) ( 5) ( 5) 3 5( 5) 3 5 9 5 14 5,

  2

3 5(x 3 5)(x 3) 0

'(x) 3 x 6 3(1 4),''(x) 6 x 6

3 2

4

133

2.2 Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số

2.2.1 Ứng dụng giải phương trình

2.2.1.1 Định lý 1

 Nếu y = f(x) là một hàm liên tục và đồng biến , g(x) liên tục nghịch biến trên ( α ,β ) .Khi đó ba phương trình f(x)=a hoặc g(x)=b hoặc f(x)=g(x) có nhiều nhất là một nghiệm. 

2

x x

02

x x

x x

   - Xuất phát từ phương trình vô tỷ đơn giản:  3x 2= x 

   Ta lập phương trình:  ( )f x  f( 3x2) 

 x22x 3x  2 2 0 

 x2   x 1 ( 3 x  2)2 3 x   2 1 

 x = 3x 2 

1

2

x x

x x

       3 x1= 3 2 x2  

       2x2 = x + 1  2x2 –x – 1 = 0 

11.2

x x

+ Tương tự x < 2 ta có: VT (*) > 1, phương trình không có nghiệm x < 2. Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất phương trình đã cho (i). 

Kết luận chung: Phương trình (i) đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1. 

2.2.2 Ứng dụng vào hệ phương trình

2.2.2.1 Lý thuyết

Nếu  f(x) đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên (a,b), f(x) = f(y) với x,y(a,b) thì  x = y. 

.

1 2 1 2

1

;2

1 ), (2

1

2

; -1), (-2

1

;2

1), (-2

1

2

;-1). 

5( )1

042 2

2 2

y x

xy y x

04

15)2

1(2 2

2

y x

3

x y

fy x f

x x

f(t) đồng biến với mợi t, nên (*)f(2x) =f( 5 2 y ) 

2x =  52 y    2

0

5 4

.2

y

x y

3 3

3 3 3

z y

x z

y x

     

3 3 3

66

) (

) (

y g z

x g y

z g x

     x= g(g(g(x))) 

Mà g’(t) = 3t2  ≥ 0 với mọi t. Suy ra hàm g(t) luôn đồng biến với mọi t. 

 , 

.  

3

. 

       2

2

1 1 1

2.3 Ứng dụng tính khả vi để giải phương trình, hệ phương trình

2.3.1 Dùng định lý Rolle để giải phương trình

2.3.1.1.Định lý Rolle

Nếu hàm f(x) có f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm. 

Thật vậy, f’(x0) = 0 có nghiệm là x0 thì có hai khả năng f’(x) = 0 đổi dấu khi qua x0 hoặc f’( x0) không đổi dấu khi qua x0. 

Khả năng 1:    

       Khả năng 2: 

     Với khả năng 1 xảy ra thì phương trình f(x) = 0 có tối đa hai nghiệm. 

Với khả năng 2 xảy ra thì  phương trình f(x) = 0 luôn có một nghiệm. 

Kết luận chung: f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất thì f(x) = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm. 

1 0

b a

  có nhiều nhất hai nghiệm. 

  x= log7 (

7 ln

+  Đặt f(t)= 3  2 t là hàm khả vi liên tục trên [-1;1]. 

Có  f '(t) 3 ln 3 2 ln 2 1 t  t  ,  

      f ''( ) 3 (ln 3)t  t 22 (ln 2)t 2.  

Ta có  f ''( )t  0; t. Suy ra f ‘(t)=0 có nhiểu nhất một  nghiệm, nên f(t)=0 có nhiều nhất hai nghiệm. 

1

  là nghiệm duy nhất  Phương trình f’(t) = 0 có không quá hai nghiệm. 

3 ln ) 1 2 (

2 2

ln ) 1 (

4 2

ln ) 1 (

+ Ta thấy: f(0) = f(1) = 0  x =0, x= 1 là các nghiệm của phương trình. Vậy phương trình (*) đã cho có nghiệm là x=0 và x=1. 

2.3.2 Dùng định lý Lagrange để giải phương trình

2.3.2.1.Định lý Lagrange và ứng dụng

- Định lý Lagrange: Giả sử hàm số f :[a;b]  R thỏa mãn các điều kiện:    + Liên tục trên [a;b]. 

2)[(

23

8 2

x y

y x x

Thay vào (2) ta có :  8x = 2x +2. 2x = 2x  2x – 2x = 0.   (5) 

+ Đặt g(x) = 2x – 2x.   

g’’(x) = 2x(ln2)2 > 0 x. 

Mặt khác g(1) = g(2) = 0 x = 1 , x = 2 là nghiệm của phương trình (5). Thử lại ta thấy x =1, x = 2 là nghiệm phương trình (1.) 

. Bình luận: Với việc giải ví dụ này ta có 3 cách làm, tuy nhiên ở cách 2, 3 thì sẽ đưa về phương trình, hệ phương trình bậc cao, ta vẫn tách được nhân 

) 

11 x7 x 7 x3 x      (2) + Giả sử x = α là nghiệm của (2) 

Ta có:       log 7 log 7 log 7 log 7

11  7  7  3         log 7 log 7 log 7 log 7

Ta có : f’(t) = log7α [( t  4 )log71  tlog71] 

Nên theo định lý Lagrange tồn tại c  (3,7) sao cho :  

       f’(c ) (7 – 3 ) = f(7) – f(3) 4.f’(c ) = 0  f’(c ) = 0        log7α [( c  4 )log71  clog71] = 0  

3()7

11ln(

)7

)7

3()7

11ln(

)7

11( t  t  > 0 với mọi t. 

Theo định lý Rolle ta có : phương trình  f(t) = 0 có không quá hai nghiệm  Mặt khác , f(0) = f(1) = 0  t = 0 , t = 1 là nghiệm phương trình (4) 

Định nghĩa 2.3.3.1: Giả sử f(x), g(x) là các hàm liên tục trêb [a,b] và khả 

vi trên (a,b). Khi đó: 

3 2

3 2

y z

z x

Kết luận: Hệ phương trình (*) có nghiệm là  x = y = z = 3. 

(x) g(y)(y) g(z)(z) g(x)

f f f

2 2 2

2.3.4 Bài tập giới thiệu

1 Giải phương trình  x 3x 1 x2 x 1, có hai nghiệm x = 0 , x = 1. 

2 Giải phương trình  2x = 2x   ( nghiệm x = 1, x = 2). 

3 Giải phương trình  3x = 2x + 1  (nghiệm x = 0 , x = 1). 

4 Giải phương trình   log 3 log 3

  3). Bất phương trình f(x)c có nghiệm thuộc [a;b] mc. 

  4). Bất phương trình f(x)c có nghiệm đúng  x  [a;b]mc. 

  5). Bất phương trình f(x)c có nghiệm đúng  x  [a;b] M c. 

Điều kiện đủ: vì  f x( ) c  có nghiệm thuộc [a;b] nên x0 [ ; ]a b  mà c= f(x )0  thì 

0

minf  f(x ) max f. Do đó, m c M  

2 Điều kiện cần: Vì   f x( ) c  có nghiệm thuộc [a;b] nên x0 [ ; ]a b  sao cho  f x( )0 c. Ta luôn có [a;b] 

[ ; ]

min (x)

a b f  Vì

1 max (4 x 1) 3

Ví dụ 2.4.2.2 Giải phương trình:  

  x2  x 1 1 x x2 x2 x 2 (2)  

Lời giải: 

2 2

x   x  x x   x x  x  +) Xét hiệu:  

1 (x 1) 1.

VT

x VP

1.

x x

Ví dụ 2.4.2.8: Giải phương trình sau:  

  2015x20142014x2015 1.  

Lời giải:

Nếu x>2015 thì  2014 x2015   1 VT  1 phương trình vô nghiệm. Nếu x 2014 : 2015 x2014  1 VT  1  phương trình vô nghiệm. 

t xy

Từ phương trình (2), 2 2

         Kết hợp với TXĐ, ta có: 0<x,y1. 

5 Giải phương trình x3  3x2  8x 40 8 4  4 x 4  0  có một nghiệm x=3. 

6 Giải phương trình: 2

4x  12  x  1 4(x 5x  1 9 5 )  x  có một nghiệm x=1.   

7 Giải phương trình  6

7 x  x 2 có một nghiệm x=5. 

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH - BẤT

PHƯƠNG TRÌNH 3.1 Phương pháp hàm liên tục giải bất phương trình

3.1.1 Cơ sở phương pháp

- Nếu f(x) là hàm liên tục và đồng biến : f(x) ≥ f(y)  x ≥ y. 

Nếu f(x) là hàm liên tục và nghịch biến: f(x) ≥ f(y)  x≤ y. 

- Giả sử f(x) là hàm liên tục trên (a,b) nếu f(x) = 0 không có nghiệm trên (a,b) thì f(x) giữ nguyên một dấu trên khoảng đó. 

Nhận xét:  Để  giải  một  bất  phương  trình  ta  giải  phương  trình  tương  ứng. 

Do  tính  không  đổi  dấu  của  hàm  liên  tục  trên  khoảng  2  nghiệm  ta  kết  luận được nghiệm bất phương trình. 

Ví dụ 3.1.2.3: Giải bất phương trình: 3 x24  x 1 2x3 ( )i  

Lời giải

+ TXĐ: x ≥ 1. 

+ Xét f(x) = 3 x2 4 x 1 2x 3 0.  

  log (3 x2 x 1) log 3x2x x 2 có nghiệm x > 1. 

x x

Với x = 1 là nghiệm của (3). 

Với x < 1, (3)  2  x  3  x  2 4  x   vô nghiệm. 

4 4

4

4

1(1 log 3)

t      

0 

9

2  

      0  

Do đó 0 ≤ t  ≤ 9

2 . Khi đó phương trình (2) có dạng  :   9 + 2t = t2 + m  - t2 +2t + 9 = m.    (3) 

2 .   f’(t) = -2t + 2 ,  f’(t) = 0  t = 1. 

t t

    t          0         2      3   f’(t)         +            0        -  

 f(t)      

Ta có bảng biến thiên:    

    y         0     

 f’(y)  +       0         0        -  

 f(y)       

  

  f(y)=m có nghiệm duy nhất khi: m>1 hoặc  26

27

m   Với m >1 thì  

t t

f  <m. 

Chú ý: Trong một số trường hợp phương pháp này có thể thay thế định lý đảo tam thức bậc 2. 

Ví dụ 3.3.2.8: Cho tam thức bậc 2 : f(x,m) = mx2 + 2x + 4m – 3  (*) Tìm giá trị của tham số m để: 



 < m , x  max g(x) < m         g’(x) = 



  < m có nghiệm [0;2] 

[0,2]

1min ( )





  (*)  trong đó m là tham số. 





  x =  ( 

21

1 1

x x

7 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng  x ≥ 0 

             mx4 – 4x + m ≥ 0.  (Đáp số: m ≥  4 27 ). 

3.4 Phương pháp hàm chứng minh bất đẳng thức

Việc chứng minh một bất đẳng thức về mặt nào đó giống như việc tìm giá trị cực trị của một hàm nào đó. Vì vậy, trong một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể dùng phương pháp hàm theo một số bước: 

2 (P 3a) 4

t 

.  Xuất phát từ:  

1

4  

Nhận xét: Đối với các bất đẳng thức chứa nhiều biến số ta có thể: 

3.4.2 Bài tập giới thiệu

- Phương pháp hàm liên tục giải bất phương trình. 

- Phương pháp cực trị hàm số- phương pháp đánh giá hàm số giải bất phương trình. 

- Phương pháp hàm chứng minh bất đẳng thức. 

- Phương pháp hàm biện luận nghiệm phương trình- bất phương trình. Các phương pháp đểu quan trọng và tối ưu cho những bài toán khác nhau.  Thực hành nhiều, thành thạo các  phương pháp sẽ giúp chúng ta có lựa chọn phương  pháp  nhanh,  phù  hợp  nhất  cho  các  bài  toán  giải  phương  trình,  bất phương trình, bất đẳng thức và bải toán biện luận nghiệm. 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn  Tài  Chung, Sáng tạo và giải phương trình- Hệ phương trình,

bất phương trình, NXB tổng hợp TP Hồ Chí Minh,2014. 

2 Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội, 2007. 

3 Nguyễn  Văn  Mậu,  Nguyễn  Văn  Tiến,Một số chuyên đề Giải tích bồi

dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, Nxb giáo dục Việt Nam, 2010. 

4 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn,Giáo trình giải

tích, Bài tập giải tích. Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội, 2007. 

5 Phùng Đức Thành, Luận văn “Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán

phổ thông”, 2011. 

6 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Các bài thi Olympic toán trung học phổ

thông Việt Nam. NXB Giáo dục, 2007.